2019高中自主招生数学试题
2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷及答案解析
（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；
（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．
11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∠OPA＝45°．
A．23B．24C．25D．26
【解答】解：由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，
则1＝1×20，2＝1×21+0×20，3＝1×21+1×21，4＝1×22+0×21+0×20，5＝1×22+0×21+1×20，
∵●〇〇●●〇用数字表示为“011001”，
∴●〇〇●●〇表示的数为0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝25，
6．（5分）关于x的不等式组 有且只有四个整数解，则a的取值范围是．
7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是．
8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为（不要求写自变量x的取值范围）．
D．不能确定x1、x2、x3的大小
【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，
∴二次函数y1＝a1（x+1）（x﹣2），y2＝a2（x+1）（x﹣2），y3＝a3（x+1）（x﹣2）开口大小为：y1＜y2＜y3．
2019年四川省南充高中自主招生数学试卷
2019年四川省南充高中自主招生数学试卷一、填空题（每小题8分，共112分）1．（8分）已知x 满足﹣x2﹣2x＝1，那么x2+2x＝．2．（8分）若|m+2|+（n ﹣1）2＝0，则m+2n值为．3．（8分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac＝．4．（8分）已知a n＝（﹣1）n+1，当n＝1时，a1＝0，当n＝2时，a2＝2，当n＝3时，a3＝0，…，则a1+a2+a3+…+a＝．5．（8分）已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是．6．（8分）直角三角形ABC中，∠C＝90°且tan B＝2tan A﹣1，则∠B＝．7．（8分）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则a n＝．（用含n的代数式表示）所剪次数1234…n正三角形个数471013…a n8．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝3m，则m＝．9．（8分）设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0的两个实数根，当m＝时，x12+x22有最小值，最小值是．10．（8分）从3台甲型彩电和2台乙型彩电任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是．11．（8分）对于正数x，规定f（x）＝，计算f（）+f（）+…+f（）+f （）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）＝．12．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是．13．（8分）若ab＝1，则的值为．14．（8分）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC ＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为．二、选择题（每小题6分，共24分）15．（6分）如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈16．（6分）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．≤m C．≤m≤1D．＜m≤1 17．（6分）解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（）A．2B．1C．k≠2且k≠一2D．无法确定18．（6分）如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．65°和115°D．130°和50°三、解答题（共64分）19．（10分）先化简，再求值：÷，其中a＝1+，b＝1﹣20．（12分）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG＝a，FH＝b，四边形EFGH的面积为S．（1）求证：sinθ＝；（2）试用a，b，S来表示正方形ABCD的面积．21．（12分）抛物线的解析式y＝ax2+bx+c满足如下四个条件：abc＝0；a+b+c＝3；ab+bc+ca ＝﹣4；a＜b＜c．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．P 是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD＝1.5时，试比较S△AOD与S△DPC 的大小．22．（14分）如图△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB切于点E．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）设⊙D与BC交于点F，当CF＝2时，求CD的长；（3）设CD＝a，试给出一个a值使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合要求．23．（16分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．2019年四川省南充高中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题8分，共112分）1．（8分）已知x满足﹣x2﹣2x＝1，那么x2+2x＝2．【解答】解：﹣x2﹣2x＝1，设x2+2x＝y，则原方程可化为﹣y＝1，3﹣y（y﹣1）＝y﹣1，y2＝4，解得y1＝2，y2＝﹣2，经检验，y＝±2是方程﹣y＝1的解，当y1＝2时，x2+2x＝2，解得x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解；当y2＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此方程无实数解；∴x2+2x＝2，故答案为：2．2．（8分）若|m+2|+（n﹣1）2＝0，则m+2n值为0．【解答】解：根据题意得，m+2＝0，n﹣1＝0，解得m＝﹣2，n＝1，所以，m+2n＝﹣2+2×1＝0．故答案为：0．3．（8分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac＝﹣1．【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0），由△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，则x1•x2＝＜0，由于函数图象与y轴相交于C点，所以C点坐标为（0，c），由射影定理知，|OC|2＝|AO|•|BO|，即c2＝|x1|•|x2|＝||，故|ac|＝1，ac＝±1，由于＜0，所以ac＝﹣1．故答案为：﹣1．4．（8分）已知a n＝（﹣1）n+1，当n＝1时，a1＝0，当n＝2时，a2＝2，当n＝3时，a3＝0，…，则a1+a2+a3+…+a ＝2008．【解答】解：由已知可得a1+a2＝2，a3+a4＝2，…，a2n﹣1+a2n＝2，∵a1+a2+a3+…+a＝1004（a1+a2）＝2008，故答案为2008．5．（8分）已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是0°＜α＜45°．【解答】解：由sinα＜cosα，得0°＜α＜45°，故答案为：0°＜α＜45°．6．（8分）直角三角形ABC中，∠C＝90°且tan B＝2tan A﹣1，则∠B＝45°．【解答】解：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，则tan B＝，tan A＝，∴＝2×﹣1，整理得，2a2﹣ab﹣b2＝0，（2a+b）（a﹣b）＝0，解得，a＝b，∴∠B＝45°，故答案为：45°．7．（8分）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则a n＝3n+1．（用含n 的代数式表示）所剪次数1234…n正三角形个471013…a n数【解答】解：故剪n次时，共有4+3（n﹣1）＝3n+1．8．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝3m，则m＝﹣．【解答】解：二元一次方程组的解为，∵x+y＝3m，∴m﹣＝3m，∴m＝﹣，故答案为﹣9．（8分）设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0的两个实数根，当m＝时，x12+x22有最小值，最小值是．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0的两个实根，∴△＝（﹣4m）2﹣4×2×（2m2+3m﹣2）≥0，可得m≤，又x1+x2＝2m，x1x2＝，∴x12+x22＝2（m﹣）2+＝2（﹣m）2+，∵m≤，∴﹣m＞0，∴当m＝时，x12+x22取得最小值为2（﹣）2+＝．故答案为，．10．（8分）从3台甲型彩电和2台乙型彩电任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是．【解答】解：根据题意画图如下：共有20种等情况数，其中两种品牌的彩电都齐全的12种，则两种品牌的彩电都齐全的概率是＝；故答案为：．11．（8分）对于正数x，规定f（x）＝，计算f（）+f（）+…+f（）+f （）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）＝2007.5．【解答】解：根据题意得：f（x）+f（）＝+＝+＝＝1，f（1）＝0.5，则原式＝[f（）+f（2008）]+[f（）+f（2007）]+…+[f（）+f（2）]+f（1）＝2007.5，故答案为：2007.512．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是3＜r≤4或r＝2.4．【解答】解：如图，∵BC＞AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．根据勾股定理求得AB＝5．分两种情况：（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．∴3＜r≤4或r＝2.4．13．（8分）若ab＝1，则的值为1．【解答】解：原式＝＝，将ab＝1代入得，原式＝1．填空答案为：1．14．（8分）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC ＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为．【解答】解：连结BC并延长，交圆于F，过O作OE⊥BF，∵BA是圆O的切线，切点为A，由切割线定理可知：AB2＝BC•BF，∵BC＝DC＝3，AB＝6，∴BF＝12，CF＝9，∴DE＝，OD＝2，∴OE＝＝＝，CE═，OC＝＝＝．故答案为：．二、选择题（每小题6分，共24分）15．（6分）如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈【解答】解：如图，设圆的周长是C，则圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长＝4C，则这个圆共转了4C÷C＝4圈．故选：A．16．（6分）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．≤m C．≤m≤1D．＜m≤1【解答】解：∵方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0有三根，∴x1＝1，x2﹣2x+m＝0有根，方程x2﹣2x+m＝0的△＝4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴有x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，而x2+x3＝2＞1已成立；当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．即：4﹣4m＜1．解得m＞．∴＜m≤1．故选：D．17．（6分）解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（）A．2B．1C．k≠2且k≠一2D．无法确定【解答】解：去分母得，x（x+1）﹣k＝x（x﹣1），解得x＝k，∵方程不会产生增根，∴x≠±1，∴k≠±1，即k≠±2．故选：C．18．（6分）如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．65°和115°D．130°和50°【解答】解：连接OC，OB，则∠ACO＝∠ABO＝90°，∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，应分为两种情况：①当点P在优弧BC上时，∠P＝∠BOC＝65°；②当点P在劣弧BC上时，∠BPC＝180°﹣65°＝115°；故选：C．三、解答题（共64分）19．（10分）先化简，再求值：÷，其中a＝1+，b＝1﹣【解答】解：原式＝＝＝当，时，原式＝．20．（12分）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG＝a，FH＝b，四边形EFGH的面积为S．（1）求证：sinθ＝；（2）试用a，b，S来表示正方形ABCD的面积．【解答】（1）证明：设EG于FH相交于点O，过E作EM⊥FH于M，过G点作GN⊥FH于N，如图1所示：则S＝S△EFH+S△FHG，∴S＝EM•FH+GN•FH＝EO•sinθ•FH+OG•sinθ•FH＝（EO+OG）•sinθ•FH＝EG•FH•sinθ＝ab•sinθ，∴sinθ＝；（2）解：过E、F、G、H分别对正方形ABCD作对边的垂线，如图2所示：则四边形PQRT、四边形AETH、四边形EBFP、四边形CFQG、四边形DGRH都是矩形，设正方形ABCD的边长为x，PQ＝y，QR＝z，由勾股定理得：y＝，z＝，由矩形的性质得：S△AEH＝S△THE，S△EBF＝S△FPE，S△CFG＝S△QGF，S△DGH＝S△RHG，∴S正方形ABCD+S矩形PQRT＝2S四边形EFGH，∴x2+yz＝2S，即x2+•＝2S，解得：x2＝，∴正方形ABCD的面积用a、b、S表示为：．21．（12分）抛物线的解析式y＝ax2+bx+c满足如下四个条件：abc＝0；a+b+c＝3；ab+bc+ca ＝﹣4；a＜b＜c．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．P 是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD＝1.5时，试比较S△AOD与S△DPC 的大小．【解答】解：（1）∵a≠0，abc＝0，∴bc＝0＜1＞当b＝0时由，得，解得或，∵a＜b＜c，∴，（不合意，舍去）∴a＝﹣1，b＝0，c＝4．（2分）＜2＞当c＝0时由，得，解之得或．∵a＜b＜c，∴和都不合题意，舍去．（3分）∴所求的抛物线解析式为y＝﹣x2+4．（4分）（2）在y＝﹣x2+4中，当y＝0时，x＝±2∴A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），过P作PG⊥x轴于G，设P（m，n）∵点P在抛物线上且在第一象限内，∴m＞0，n＞0，n＝﹣m2+4∴PG＝﹣m2+4，OA＝2，AG＝m+2（5分）∵OD∥PG，OD＝1.5∴，即解得（不合题意，舍去），∴OG＝（7分）∵当x＝0时，y＝4，∴点C的坐标为（0，4）∴DC＝OC﹣OD＝4﹣1.5＝2.5 S△PDC＝CD•OG＝×S△AOD＝AO•OD＝×1.5×2＝∴S△PDC＞S△AOD．（8分）22．（14分）如图△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB切于点E．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）设⊙D与BC交于点F，当CF＝2时，求CD的长；（3）设CD＝a，试给出一个a值使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合要求．【解答】（1）证明：∵点E是切点∴∠AED＝90°∵∠A＝∠A，∠ACB＝90°∴△ADE∽△ABC；（2）解：连接DF，则DE＝DF设CD＝x，则AD＝6﹣x∵△ADE∽△ABC∴∴DE＝在RT△DCF中DF2＝x2+CF2＝x2+4∴＝x2+4x2+3x﹣4＝0∴x＝1，x＝﹣4（舍去）∴CD＝1（当CD＝1时，0＜x＜6，所以点D在AC上）；（3）解：取a＝3，（可取＜a＜6的任意一个数）则AD＝AC﹣CD＝3，∵DE＜AD，∴DE＜DC，即d＞r，则⊙D与BC相离，∴当a＝3时，⊙D与BC没有公共点．23．（16分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，∴4＝a（3﹣1）2，∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．（2）设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE＝h＝y P﹣y E＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．（3）存在．解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE＝DC．∵点D在直线y＝x+1上，∴点D的坐标为（1，2），∴﹣x2+3x＝2．即x2﹣3x+2＝0．解之，得x1＝2，x2＝1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．设直线CE的函数关系式为y＝x+b．∵直线CE经过点C（1，0），∴0＝1+b，∴b＝﹣1．∴直线CE的函数关系式为y＝x﹣1．∴得x2﹣3x+2＝0．解之，得x1＝2，x2＝1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．。
2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷
2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）用一排6盏灯的亮与不亮来表示数，已知如图分别表示了数1～5，则●〇〇●●〇表示的数是（）A．23B．24C．25D．262．（5分）用11个相同的正方体堆积如图，在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，结果左视图不变的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）如图入口进入，沿框内问题的正确判断方问，最后到达的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（5分）三个关于x的方程：a1（x+1）（x﹣2）＝1，a2（x+1）（x﹣2）＝1，a3（x+1）（x ﹣2）＝1，已知常数a1＞a2＞a3＞0，若x1、x2、x3分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＞x2＞x3C．x1＝x2＝x3D．不能确定x1、x2、x3的大小5．（5分）如图正方形ABCD的顶点A在第二象限图象上，点B、点C分别在x轴、y 轴负半轴上，点D在第一象限直线y＝x的图象上，若，则k的值为（）A．﹣1B．C．D．﹣2二、填空题（每小题5分，共20分）6．（5分）关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围是．7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是．8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为（不要求写自变量x的取值范围）．9．（5分）平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内⊙O上一点，PH⊥CB交CB延长线于点H，已知∠BPH＝2∠BPO，PH＝15，CH＝24，则tan∠BAC的值为．三、解答题（每小题15分，共30分）10．（15分）x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（a＜b），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y＝﹣x+3，当x＝1时y＝2；当x＝2时y＝1，即当1≤x ≤2时，1≤y≤2，所以y＝﹣x+3是1≤x≤2上的闭函数．（1）请说明是1≤x≤30上的闭函数；（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，∠OP A＝45°．（1）求证：PO平分∠APB；（2）作OH⊥P A交弦P A于H．①若AH＝2，OH+PB＝8，求BP的长；②若BP＝m，OH＝n，把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB（如图2），求AP′的长．2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）用一排6盏灯的亮与不亮来表示数，已知如图分别表示了数1～5，则●〇〇●●〇表示的数是（）A．23B．24C．25D．26【解答】解：由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，则1＝1×20，2＝1×21+0×20，3＝1×21+1×21，4＝1×22+0×21+0×20，5＝1×22+0×21+1×20，∵●〇〇●●〇用数字表示为“011001”，∴●〇〇●●〇表示的数为0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝25，故选：C．2．（5分）用11个相同的正方体堆积如图，在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，结果左视图不变的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，有6种情况：①②；①③；①④；②③；②④；③④；其中左视图不变的情况有5种：①②；①③；①④；②④；③④；∴左视图不变的概率是，故选：A．3．（5分）如图入口进入，沿框内问题的正确判断方问，最后到达的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等是假命题，因为如果这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不全等；一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，是假命题；，综合以上到达的是丁，故选：D．4．（5分）三个关于x的方程：a1（x+1）（x﹣2）＝1，a2（x+1）（x﹣2）＝1，a3（x+1）（x ﹣2）＝1，已知常数a1＞a2＞a3＞0，若x1、x2、x3分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＞x2＞x3C．x1＝x2＝x3D．不能确定x1、x2、x3的大小【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，∴二次函数y1＝a1（x+1）（x﹣2），y2＝a2（x+1）（x﹣2），y3＝a3（x+1）（x﹣2）开口大小为：y1＞y2＞y3．∴其函数图象大致为：．∴x1＜x2＜x3．故选：A．5．（5分）如图正方形ABCD的顶点A在第二象限图象上，点B、点C分别在x轴、y 轴负半轴上，点D在第一象限直线y＝x的图象上，若，则k的值为（）A．﹣1B．C．D．﹣2【解答】解：如图，过点A作AG⊥x轴，过点D作DE⊥x轴，作DF⊥AG交y轴于H，∴四边形DHOE是矩形∵∠ADC＝∠HDE＝90°∴∠ADC﹣∠FDC＝∠HDE﹣∠FDC∴∠ADF＝∠CDE，∵点D在第一象限直线y＝x的图象上，∴DH＝DE，且∠ADF＝∠CDE，∠DHM＝∠DEN∴△DHM≌△DEN（ASA）∴S△DHM＝S△DNE，∴＝S四边形DHOE＝DH×DE∴DH＝DE＝同理可证：△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC∴AF＝HD＝BG＝OC，AG＝DF＝BO＝HC∴OC＝HD＝＝AF＝BG∴CH＝∴AG＝＝BO∴GO＝∴点A坐标（﹣，）∴k＝﹣×＝﹣故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）6．（5分）关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围是6＜a≤9．【解答】解：解不等式2x+a＞5x，得：x＜，解不等式，得：x≥﹣1，∵不等式组有四个整数解，∴6＜a≤9，故答案为：6＜a≤9．7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是①③．【解答】解：设①②③三个等腰直角三角形的边长分别为a，b，c，∴①②③三个等腰直角三角形的周长分别为：（2+）a，（2+）b，（2+）c，∴每两个等腰直角三角形的周长之差分别为：（2+）（a﹣c），（2+）（a﹣b），（2+）（b﹣c）∵EF＝BE﹣BF＝a﹣b，∴不能求①②两个等腰直角三角形之差，∵∠BFC＝90°，∠GFC＝45°∴∠EFG＝45°∴EF＝DG＝a﹣c∴能求①③两个等腰直角三角形之差，∵b＝c，∴b﹣c＝c﹣c与EF无关，故答案为：①③8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为y＝（不要求写自变量x的取值范围）．【解答】解：如图，设切点分别为E点，H点，F点，G点，∵BC，AB，AC，MN都与△ABC内切圆相切，∴BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，∴BE+CF＝BG+GC＝BC＝x，ME+NF＝MH+NH＝MN＝y∵△ABC周长为12∴AB+AC+BC＝12∴AE+AF＝12﹣2x，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+MH+AN+NF＝AE+AF＝12﹣2x，∵MN∥BC∴△AMN∽△ABC∴∴∴y＝故答案为：y＝9．（5分）平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内⊙O上一点，PH⊥CB交CB延长线于点H，已知∠BPH＝2∠BPO，PH＝15，CH＝24，则tan∠BAC的值为．【解答】解：设PB交⊙O于点N，连接P A，延长PB、AC交于点M，∵AB是直径，PH⊥CB∴∠ANP＝90°＝∠ACB＝∠H，∴MC∥PH，由圆的对称性可得，P A＝P A，∠BPO＝∠APO＝∠APB，∵∠BPH＝2∠BPO，∴∠BPH＝∠APB，∴△PHB≌△PNA（AAS），∴PN＝PH＝15，由MC∥PH得，∠HPB＝∠M＝∠APM，∴AM＝AP＝PB，∵AN⊥PM，∴PM＝2PN＝30，由△PHB∽△MBC，∴＝＝，设MC＝a，BC＝b，MB＝c，则HB＝24﹣b，PB＝30﹣C，∴＝＝，∴＝＝sin M＝sin∠HPB，在Rt△PHB中，PH＝15，∴PB＝＝25，HB＝sin∠HPB•PH＝20，∴BC＝24﹣20＝4，MB＝30﹣25＝5，则MC＝＝3，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝AM﹣MC＝25﹣3＝22，∴tan∠BAC＝＝＝，故答案为：．三、解答题（每小题15分，共30分）10．（15分）x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（a＜b），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y＝﹣x+3，当x＝1时y＝2；当x＝2时y＝1，即当1≤x ≤2时，1≤y≤2，所以y＝﹣x+3是1≤x≤2上的闭函数．（1）请说明是1≤x≤30上的闭函数；（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．【解答】解：（1）∵k＝30，∴当1≤x≤30时，y随x的增大而减小．∴当x＝1时，y＝30；当x＝30时，y＝1．∴1≤y≤30．∴反比例函数是1≤x≤30上的闭函数；（2）∵x＝﹣＝﹣2，a＝1＞0，∴二次函数y＝x2+4x+k在闭区间[t，﹣2]上y随x的增大而减小．∵二次函数y＝x2+4x+k是闭区间[t，﹣2]上的“闭函数”，∴当x＝﹣2时，y＝k﹣4；当x＝t时，y＝t2+4t+k．，解得，．∵t＜﹣2，∴，舍去，∴k＝1，t＝﹣3．（3）由（2）知，抛物线解析式为：y＝x2+4x+1，或y＝（x+2）2﹣3由二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，得A（﹣2，﹣3），C（0，1）．设B（﹣3，a），由勾股定理，得AC2＝22+（﹣3﹣1）2＝20，AB2＝（﹣2+3）2+（﹣3﹣a）2＝10+6a+a2，BC2＝32+（1﹣a）2＝10﹣2a+a2①当∠ABC＝90°时，AC2＝AB2+BC2，即20＝10+6a+a2+10﹣2a+a2，则a＝0．此时AB2＝BC2＝10，故AB＝BC＝；②当∠ACB＝90°时，AB2＝AC2+BC2，此时a＝，而AC≠BC，不满足条件，舍去．③同理，当∠BAC＝90°时也不满足条件．综上所述，△ABC的腰长为．故答案是：．11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，∠OP A＝45°．（1）求证：PO平分∠APB；（2）作OH⊥P A交弦P A于H．①若AH＝2，OH+PB＝8，求BP的长；②若BP＝m，OH＝n，把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB（如图2），求AP′的长．【解答】证明：（1）如图1，连接AB，∵∠AOB＝90°∴AB是直径，∴∠APB＝90°∵∠OP A＝45°∴∠OPB＝∠APB﹣∠OP A＝90°﹣45°＝45°∴∠OP A＝∠OPB∴PO平分∠APB；（2）①∵∠OAB＝∠OPB＝45°，∠OBA＝∠OP A＝45°∴∠OBA＝∠OAB∴OA＝OB如图2，将△AOH绕点O逆时针旋转90°，得到△BOC，∴AH＝BC＝2，∠AHO＝∠C＝90°，∠OAH＝∠OBC∵四边形APBO是圆内接四边形∴∠OAH+∠PBO＝180°∴∠OBC+∠PBO＝180°∴点C，点B，点P共线∵∠AHO＝∠C＝90°＝∠APB∴四边形OCPH是矩形∴CP＝OH，∴AH＝OH﹣BP＝2，且BP+OH＝8∴BP＝3，OH＝5②BP＝m，OH＝n，如图3，将△AOP'绕点O逆时针旋转90°得到△BOQ，连接BQ，P'Q，∵OH⊥AP，∠OP A＝45°，∴∠POH＝∠OP A＝45°，∴PH＝OH＝n，OP＝n，∵OA＝OB，∴，∴∠BPO＝∠OP A＝45°，∵把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB∴OP＝OP'＝n，BP＝BP'＝m，∠BPO＝BP'O＝45°，∵将△AOP'绕点O逆时针旋转90°得到△BOQ，∴OQ＝OP'＝n，∠QOP'＝90°，∴P'Q＝2n，∠QP'O＝45°，∴∠QP'B＝90°，∴BQ＝＝，∴AP'＝．。
2019年四川省成都九中自主招生数学试卷含答案
2019年四川省成都九中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）当a＜1时，化简的结果是（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a2．（5分）满足的所有实数x的和为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）五张如图所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD 中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（）A．a＝2b B．a＝3b C．3a＝2b D．2a＝3b+14．（5分）如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（）A．15°B．18°C．20°D．22°5．（5分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP2＝y，则表示y与x 的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．9．（5分）设a、b、c为实数，且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c，顶点在y＝﹣2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，S△ABC的最大值是（）A．1B．C．3D．410．（5分）设，则的整数部分是（）A．61B．62C．63D．64二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知x，y都是非负数，且满足x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0，则x（1﹣y）的最大值为．12．（5分）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0．则a8+7a﹣4的值为．13．（5分）如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为．14．（5分）已知a、b是实数，且a2+ab+b2＝5．若a2﹣ab+b2的最大值是m，最小值是n，则m+n的值是．15．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为．（结果保留π）16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，作DH⊥CE于H，则DG：DH＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（1）已知a2+4a+1＝0，且，求m的值．（2）解方程：．18．（10分）一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B 之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米？全部所用的行车时间最短？最短时间为多少？19．（12分）已知m，n，p为正整数，m＜n．设A（﹣m，0），B（n，0），C（0，p），O为坐标原点．若∠ACB＝90°，且OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC）．（1）求图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式；（2）点D是抛物线上的一动点，直线AD交线段BC于点Q，若△ACQ，△ABQ的面积S△ACQ，S△ABQ 满足S△ACQ：S△ABQ＝1：3，求此时点D的坐标．20．（12分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．21．（12分）阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝．反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．22．（14分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，例如：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝115°．（1）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，求对角线AC的长；（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线过点A、C，点P在抛物线上，满足∠APC＝∠ADC的点至少有3个时，总有不等式2n﹣成立，求n的取值范围．2019年四川省成都九中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）当a＜1时，化简的结果是（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【解答】解：∵a＜1，∴1﹣a＞0，∵﹣a3（1﹣a）≥0，∴a≤0，∴＝|a|＝﹣a，故选：B．2．（5分）满足的所有实数x的和为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：当2﹣x＝1，即x＝1时，满足题意．当2﹣x＝﹣l，即x＝3时，由于，所以满足题意．当2﹣x≠±1且2﹣x≠0，即x≠1 且x≠3 且x≠2时，令x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1．因此，所求和为1+3+（﹣l）＝3．故选：A．3．（5分）五张如图所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD 中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（）A．a＝2b B．a＝3b C．3a＝2b D．2a＝3b+1【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝2b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝3b+PC，∴AE+a＝3b+PC，即AE﹣PC＝3b﹣a，∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝2b×AE﹣a×PC＝2b（PC+3b﹣a）﹣aPC＝（2b﹣a）PC+6b2﹣2ab，则2b﹣a＝0，即a＝2b，故选：A．4．（5分）如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（）A．15°B．18°C．20°D．22°【解答】解：如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝（180°﹣80°）＝50°，连接OB，∵D为BC中点，∴BD＝CD，OD⊥BC，∴∠DOC＝，∵∠BAC＝BOC，∴∠DOC＝∠BAC，∴∠DOC＝∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵F为OC中点，∴OF＝FD，∴△OFD为等边三角形，∴OD＝OF＝OE，∴点O是△EFD外接圆的圆心，∴，∴∠OED＝50°﹣30°＝20°．故选：C．5．（5分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（）A．B．C．D．【解答】解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，a n＝n（n+2）；∴+++…+＝+++…+＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝×（1+﹣﹣）＝×＝，故选：D．6．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP2＝y，则表示y与x 的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：（1）当0≤x≤时，如图1，过M作ME⊥BC与E，∵M为AB的中点，AB＝2，∴BM＝1，∵∠B＝60°，∴BE＝，ME＝，PE＝﹣x，在Rt△BME中，由勾股定理得：MP2＝ME2+PE2，∴y＝＝x2﹣x+1；（2）当＜x≤2时如图2，过M作ME⊥BC与E，由（1）知BM＝1，∠B＝60°，∴BE＝，ME＝，PE＝x﹣，∴MP2＝ME2+PE2，∴y＝＝x2﹣x+1；（3）当2＜x≤4时，如图3，连接MC，∵BM＝1，BC＝AB＝2，∠B＝60°，∴∠BMC＝90°，MC＝＝，∵AB∥DC，∴∠MCD＝∠BMC＝90°，∴MP2＝MC2+PC2，∴y＝＝x2﹣4x+7；综合（1）（2）（3），只有B选项符合题意．故选：B．7．（5分）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵先把四个女运动员任意排列，设为ABCD，和A配合的男运动员有4个选择；和B配合的男运动员剩下3种选择；和C配合的男运动员剩下2种选择；最后一个和D配合．所以总共有24种．∴4男4女组成四队混合双打的情况共有：4×3×2＝24种，设一、二、三、四班的男、女选手分别为A1、B1、A2、B2、A3、B3、A4、B4，则四队混合双打中，没有一对选手是同班同学的情景如下：由上得共有9种情形．故四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是：＝．故选：C．8．（5分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO＝BO＝AB，∵G（0，1），即OG＝1，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO＝＝，∴AB＝2AO＝2，又CO＝CG+GO＝2+1＝3，∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝2，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∴度数为60°，∵直径AC＝2，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长π．故选：B．9．（5分）设a、b、c为实数，且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c，顶点在y＝﹣2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，S△ABC的最大值是（）A．1B．C．3D．4【解答】解：设y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c2＝（﹣x1）x2＝﹣x1x2（射影定理的逆定理），由根与系数的关系得，，，∴，，又＝﹣2，即8a＝4+b2≥4，∴，∴，＝，＝＝，当且仅当，b＝0，c＝﹣2时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是4．故选：D．10．（5分）设，则的整数部分是（）A．61B．62C．63D．64【解答】解：∵，2050﹣2018+1＝33，∴M＞且M＜，∴＜M＜，∴＜＜，即61＜＜62，∵＞＞＞…＞，∴M＞，∴＜＝61，∴61＜＜61，∴的整数部分为61，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知x，y都是非负数，且满足x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0，则x（1﹣y）的最大值为3．【解答】解：x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0（x+y）2+（x+y）﹣12＝0，（x+y+4）（x+y﹣3）＝0∵x、y为非负数，∴x+y+4＞0，∴x+y＝3，即x＝3﹣y，∴0≤x≤3，0≤y≤3，∴x（1﹣y）＝（3﹣y）（1﹣y）＝（y﹣2）2﹣1≤3，故答案为：3．12．（5分）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0．则a8+7a﹣4的值为48．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴两边都除以a得，a﹣a﹣1＝1，∴a2+a﹣2＝3，a4+a﹣4＝7，∴a8+7a﹣4，＝a4•a4+a4•a﹣4﹣1+7a﹣4，＝a4（a4+a﹣4）+7a﹣4﹣1，＝7a4+7a﹣4﹣1，＝7×7﹣1，＝48．故答案为：48．13．（5分）如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为．【解答】解：∵正方形ABCD，∴∠ABC＝90°，∵OB为半径，∴BC是⊙O的切线，连接OE、OD′，作OH⊥ED′于H，∴EH＝D′H＝ED′∵ED′＝ED，∴EH＝ED，∵正方形ABCD，∴∠A＝90°，AB＝AD＝6，∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，∴∠OEH+∠D′EF＝90°，∠AEO+∠DEF＝90°，∵∠DEF＝∠D′EF，∴∠AEO＝∠HEO，在△AEO和△HEO中∴△AEO≌△HEO（AAS），∴AE＝EH＝ED，∴AE＝AD＝2，设OB＝OE＝x．则AO＝6﹣x，在Rt△AOE中，x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，∴OB＝，故答案为．14．（5分）已知a、b是实数，且a2+ab+b2＝5．若a2﹣ab+b2的最大值是m，最小值是n，则m+n的值是．【解答】解：设a2﹣ab+b2＝k，∵a2+ab+b2＝5，∴a2+b2＝，ab＝，∵a2+b2≥2|ab|，∴≥2||，即≥|5﹣k|，∴﹣≤5﹣k≤，解得，≤k≤15，∴m＝15，n＝，∴m+n＝，故答案为：．15．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为10π+5π．（结果保留π）【解答】解：菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，所以第一、二次旋转形成弧的半径是，圆心角是60°，所以第一、二次旋转的弧长和＝，因为第三次旋转形成弧的半径是1，圆心角是60°，所以第三次旋转的弧长＝，因为一个周期为3，所以45÷3＝15，所以菱形中心O所经过的路径总长为：．故答案为：10π+5π．16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，作DH⊥CE于H，则DG：DH＝：14．【解答】解：设BC＝21a，则BF＝14a，FC＝7a，AB＝28a，∴AE＝EB＝14a，∵∠ABC＝120°，∴，∴CE＝7a，∵S△ADF＝S△DEC，∴，∴．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（1）已知a2+4a+1＝0，且，求m的值．（2）解方程：．【解答】解：（1）由已知可得a2+1＝﹣4a，∴a4+1＝（a2+1）2﹣2a2＝14a2，∴由原式可得，∴m+14＝5（m﹣12）＝5m﹣60，∴4m＝74，∴．（2）令∴x2﹣3x＝t2﹣3，∴原方程化为：x2+（x2﹣3x）+2xt＝1，∴x2+t2﹣3+2xt＝1，∴（x+t）2＝4，∴x+t＝±2，∴若x+t＝﹣2，则t2＝x2+4x+4＝x2﹣3x+3，解得：，经检验，x＝﹣是增根，若x+t＝2，则t2＝x2+4﹣4x＝x2﹣3x+3，解得x＝1，经检验，x＝1是方程的解，∴综上所述，x＝1是原方程的解．答：（1）m的值为；（2）方程的解为x＝1．18．（10分）一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B 之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米？全部所用的行车时间最短？最短时间为多少？【解答】解：如图，作射线AM交BC的延长线于M，使得∠MAC＝30°，作DH⊥AM．∵时间t＝＝（AD+BD），DH＝AD，∴时间t＝（DH+BD），∴当D，H，B共线，且BH⊥AM时，时间t最小，作BH′⊥AM于H′交AC于D′，此时时间最小值＝•BH′，∵AB＝90km，BC＝30km，∴AC＝60（km），∴CM＝AC•tan30°＝20（km），在Rt△BMH′中，BH′＝BM•cos30°＝（20+30）×＝（30+15）（km），∴t的最小值＝+．此时AD′＝．19．（12分）已知m，n，p为正整数，m＜n．设A（﹣m，0），B（n，0），C（0，p），O为坐标原点．若∠ACB＝90°，且OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC）．（1）求图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式；（2）点D是抛物线上的一动点，直线AD交线段BC于点Q，若△ACQ，△ABQ的面积S△ACQ，S△ABQ 满足S△ACQ：S△ABQ＝1：3，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，OC⊥AB，∴OA•OB＝OC2，即mn＝p2．∵OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC），∴m2+n2+p2＝3（m+n+p）．又∵m2+n2+p2＝（m+n+p）2﹣2（mn+np+mp）＝（m+n+p）2﹣2（p2+np+mp）＝（m+n+p）2﹣2p（m+n+p）＝（m+n+p）（m+n﹣p），∴m+n﹣p＝3，即m+n＝p+3．∵mn＝p2，m+n＝p+3，∴m，n是关于x的一元二次方程x2﹣（p+3）x+p2＝0①的两个不相等的正整数根，∴△＝[﹣（p+3）]2﹣4p2＞0，解得﹣1＜p＜3．又∵p为正整数，故p＝1或p＝2．当p＝1时，方程①为x2﹣4x+1＝0，没有整数解．当p＝2时，方程①为x2﹣5x+4＝0，两根为m＝1，n＝4．综合知：m＝1，n＝4，p＝2．设图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为y＝k（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）的坐标代入得2＝k×1×（﹣4），解得．∴图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为．∴图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）如图，直线AD交线段BC于点Q，由S△ACQ：S△ABQ＝1：3，得CQ：QB＝1：3，∴，，∴，∵A（﹣1，0），∴，联立，消去y整理可得，2x2﹣3x﹣5＝0，由韦达定理：，而x A＝﹣1，∴，∴，∴D点坐标为：．20．（12分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．【解答】解：（1）分别过O、E作ON⊥CD于N，EM⊥CD于M，∵CD＝10，∴四边形ODEC＝S△OCD+S△CDE＝≤CD•OE＝＝60，此时OM、EN、OE重合，∵ON•CD＝OC•OD，∴10×ON＝6×8，∴ON＝，∴；（2）延长OB至点G，使BG＝OB，连接GE、GC、DE，则，∵点D为OB的中点，OB＝OE，∴，∴，又∠DOE＝∠EOG，∴△DOE∽△EOG，，∴EG＝2DE，∴CE+2DE＝CE+EG，当C、E、G三点在同一直线上上时，CE+EG最小，CO＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OG＝OB+BG＝12+12＝24，此时，故CE+2DE有最小值为．21．（12分）阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝．反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．【解答】解：（1）根据材料一；∵（﹣）×（+）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16∵﹣＝2，∴+＝8，∴＝5＝3∴解得：x＝﹣5∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）（2）①解：由材料二知：＝＝＝＝＝．∴可将的值看作点（x，y）到点（1，8）的距离的值看作点（x，y）到点（﹣2，2）的距离∴＝+．∴当代数式取最小值即点（x，y）与点（1，8），（﹣2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位点（1，8）（﹣2，2）的中间∴的最小值＝＝＝3且﹣2≤x≤1设过（x，y），（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为：y＝kx+b∴解得：∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）②：∵y＝+中∵y＝2x+6∴+＝2x+6 ①又∵（+）（﹣）＝2x2+5x+12﹣（2x2+3x+6）＝2x+6∴﹣＝1 ②由①+②式得：＝x+解得：x1＝＞1（舍）x2＝∴x的值为1﹣22．（14分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，例如：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝115°．（1）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，求对角线AC的长；（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线过点A、C，点P在抛物线上，满足∠APC＝∠ADC的点至少有3个时，总有不等式2n﹣成立，求n的取值范围．【解答】（1）①如图1，∠B＝∠D＝90°时延长AD，BC交于点E，∵∠DAB＝60°，∴∠E＝30°，又∵AB＝4，AD＝3∴BE＝4，AE＝8，DE＝5，∴CE＝＝，BC＝4﹣＝，∴AC＝＝；②如图，∠A＝∠C＝60°时，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于点F，∵∠DAB＝∠BCD＝60°，又∵AB＝4，AD＝3，∴AE＝，DE＝BF＝，∴BE＝DF＝，∴CF＝，BC＝+＝，∴AC＝＝；综上，AC＝或；（2）∵A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），∴AB＝2，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∵AD＝CD，AB≠BC，∴∠BAD≠∠BCD，∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴D（0，2），∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A、C，∴y＝a（x+2）（x﹣2）＝ax2﹣4a，即：a＝﹣c，令t＝2c2+16a﹣8，则t＝2c2﹣4c﹣8，以D（0，2）为圆心，AD长为半径作⊙D，以D'（0，﹣2）为圆心，AD长为半径作⊙D'，如图所示，⊙D交y轴正半轴于点E，⊙D'交y轴负半轴于点F．当点P在优弧AEC和优弧AFC上时，∠APC＝∠ADC，当抛物线过E点时满足题意的P点有3个，此时，c＝OE＝OD+ED＝2+2，当满足∠APC＝∠ADC的P点至少有3个时，c≥2+2，当c≥2+2时，t＝2c2﹣4c﹣8≥16，∵总有不等式2n﹣≤2c2+16a﹣8成立，∴2n﹣≤16，∴n≤．。
2019年河南重点高中自主招生数学试卷
y 数学试题150分，考试时间100分钟，请将答案写到答题卷上，写在本试卷上无效. 6分，共60分）()2212=11x x x x x +⎛⎫÷- ⎪--⎝⎭▲ 2330x x ---=的根是 ▲a ，b ，c ，d 的长度比为1：2：3：4，任取其中三条线段，以它们为边能作出三角形的概率是 ▲1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10cm ，如图2，若此钟面显示3点45A 点距桌面的高度为16cm ，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为 ▲ cmm =，则3222016m m m --的值是 ▲．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为 ▲21y x =+与双曲线ky x=的交点 的横坐标是1，则关于x 的不等式2+10kx x+<的解集是 ▲ 1开始的连续自然数按如下规律分组： 第1行： 1 第2行： 2，3，4图1图2EBC第3行： 5，6，7，8，9 第4行： 10，11，12，13，14，15，16……则2017在第 ▲ 行. 第9题图9．如图，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF = ▲ 10．如图，四边形MNPQ 中，NP //MQ ，NP =2，MN= PQ=3，60NMQ ∠= ，正方形ABCD 的边长为1，它的一边AD 在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将正方形ABCD 在四边形MNPQ 的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动，则正方形在整个翻滚过程中点A 所经过的路线与四边形MNPQ 的三边MN 、NP 、PQ 所围成图形的面积是 ▲二、解答题（本大题共6小题，共90分）11．（本小题满分12分）对x ，y 定义一种新运算T ，规定：(),2ax byT x y x y+=+（其中a 、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()010,1201a b T b ⨯+⨯==⨯+．已知()1,12T -=-，()4,21T =．（1）求a ，b 的值； （2）若关于m 的不等式组()()2,544,32T m m T m m p-≤⎧⎪⎨->⎪⎩恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围．12．（本小题满分14分）如图，已知A ，B两点的坐标分别为(A ，()2,0B ，直线AB 与反比例函数my x=的图像交于点C 和点()1,D a -．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；BA (M )D C NPQ（2）求∠ACO 的度数；（3）将△OBC 绕点O 逆时针方向旋转α角（α为锐角）， 得到△''OBC ，当α为多少度时'OC AB ⊥，并求此时线段'AB 的长．13．（本小题满分14分）已知抛物线2243m mx x y -+=（m >0）与x 轴交于A 、B 两点． （1）求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧； （2）若3211=-OA OB （O 是坐标原点），求抛物线的解析式； （3）设抛物线与y 轴交于点C ，若∆ABC 是直角三角形，求∆ABC 的面积．14．（本小题满分14分）已知在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，在劣弧AD 上有一点E 使得∠EBC =∠DEC ，延长BE 依次交AC 于G ，交⊙O 于H ． （1）求证：AC ⊥BH ；（2）若∠ABC =45°，⊙O 的直径等于10，BD =8，求CE 的长．15．（本小题满分16分）为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD 是矩形，分别以AB 、BC 、CD 、DA 边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，矩形的边长AB y =米，BC x =米.（注：取=3.14π） （1）试用含x 的代数式表示y ；（2）现计划在矩形ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元. ①设该工程的总造价为W 元，求W 关于x 的函数关系式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由；ABCD③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC 的长不超过AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．16．（本小题满分20分）如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线P A 的解析式为：3y kx =+．（1）设点P 的纵坐标为p ，写出p 随k 变化的函数关系式；（2）设⊙C 与P A 交于点M ，与AB 交于点N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP ，请你对于点P 处于图中位置时的情形给予证明； （3）是否存在k ，使得△AMN 的面积等于3225请求出符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．。
四川绵阳中学2019自主招生数学试卷
A. 变大
B.
8. 已知二次函数 y
变小 C. 不变
D.
不确定
a( x h) 2 k, (a 0) 图像经过 A(0,4)、 B(8,6) 两点。若 0
h 8 ， h 的值在下列数字
中可能为（
）
A. 2
B.
3
C.
4
D.
5
9. 如图， ⊙ A 、⊙ B 的半径分别为 2、1，且 AB 8 ，若作⊙ C 使得三圆的圆心在同一直线上，
伴随点为 A2 ，点 A2 的伴随点为 A3 ，点 A3 的伴随点为 A4 ，…，这样依次得到点 A1 ， A2 ， A3 ，…， An ，… .
若点 A1 的坐标为 (a ,b) ，对于任意的正整数 n ，点 An 均在 x 轴上方，则 a, b 应满足的条件为
.
（第 14 题） 三．解答题（本大题共 8 小题，共计 90 分） 19. （本小题共 12 分）
且⊙ C 与⊙ A
外切，与⊙ B 相交，则⊙ C 的半径在下列数字中可能是 (
)
A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
10. 若多项式 x2 px 12 可以因式分解为 (x m)( x n) 的形式，且 p、m、 n 均为整数，则满足条件的整
数 p 共有（
）
A. 2个
B.
4个
C.
6个
D.
8个
（第 15 题）
（ 1）计算：： (
1 )
3
(8
2)
1 (
cos 45 )2
2(1
)0
3
2
（第 17 题）
（2）若关于 x 的分式方程 3
m 0 无解，求 m 的值。
2019高中自主招生数学试题
2019 数学试题考试时间 100 分钟满分 100 分说明：（ 1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！（2）请在背面的答题纸上作答。
另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！一、选择题（共8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）。
每小题均给出了代号为 A ，B， C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0 分。
1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的平均最高气温约为15 C ， B 点表示四月的平均最低气温约为 5 C ．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0 C 以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20 C 的月份有 5 个十二月一月二月20 C十一月15 C三月10C5Cy十月A B四月九月五月八月六月七月平均最低气温平均最高气温O 2 5x 第2 题2．上图是二次函数y ax2 bx c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2b x c 0 的解集为A ． x 1 或 x 5B ． x 5 C． 1 x 5 D．无法确定3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是 M , I , N中的一个字母，第二位是1，2， 3， 4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开 机的概率是A ． 1B ． 8C ． 1D ． 115 15 8 304．在 ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．若 b 2c 2 2b 4c 5 且 a 2 b 2 c 2bc ，则 ABC 的面积为 2 B ． 3 C ． 2 D． 3 A ．2 2 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则 该几何体的 表面积 （表面面积，也叫全面积） 为2 3 ．．．A ． 20B ． 24 C． 28 D ．324 参考公式： 圆锥侧面积 S rl ，圆柱侧面积 S 2 rl ，4 4其中 r 为底面圆的半径，l 为母线长． 正视图 侧视图 6．如下图，在 ABC 中， AB AC ， D 为 BC 的中点， 第 5题图BE AC 于 E ，交 AD 于 P ，已知 BP 3 ， PE 1， 俯视图 则AE6 B ． 2 C ．3 D ． 6 A ．2 ． ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．已知 a 5 ， c 2， cos A 2 ，7 3则 bA ． 2B ． 3C ． 2 D．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，G 则小明到老年公寓可以选择的 最短 路径条数为F ．．A ．9B ．12C ． 18 E D ．24二、填空题：本大题共8 小题，每小题 4 分，共 32 分。
安徽师范大学附属中学2019年高中自主招生考试数学试题
安师大附中2019年高中自主招生考试数学试题注意事项：1．本试卷总分150分，考试时间120分钟。
2．答案一律用0.5mm 黑色签字笔和2B 铅笔写在答题卷上，不能写在本试卷上。
一、选择题（每题4分，共16分）1A. 234△A. 56789101111222230a x b y a b ⎧⎨+=-+⎩的解为 ▲ . 11、已知：方程2310x x --=的两根分别为α、β，则31010αβαβ+-= ▲ . 12、由一次函数2y x =-+的图象与坐标轴围成的三角形未被圆心在（1，1）半径为1的圆覆盖的面积等于 ▲ .13、若关于x的不等式组4101x m xx m-+<+⎧⎨+>⎩的解集是4x>，则m的值为▲ .14、在△ABD中，AC是BD边上的高，且BC=9，DC=5，若AB+AD=28，则△ABD的面积为▲.15、如图，一束光线从点O射出照在经过A（1,0），B（0,1）的镜面上的点D，经过AB反射后，的，(第20题图)21、（本题满分14分）阅读理解：我们知道变量y 是变量x 的函数的解析法表示就是用x 的代数式来表示y ，如23y x =-、4y x=、23y x =-等，数学家欧拉是这样来表示函数的，如函数23y x =-，表示为()23f x x =-；函数4y x =表示为()4f x x=.在函数23y x =-中，当x =0时，y =-3，可表示为()02033f =⨯-=-.（（1.22)，（（（求23D 、C24、（本题满分10分）射影几何的奠基人之一、法国数学家庞斯莱（1788--1867）发明过一种玩具，如图，这种玩具用七根小棍做成，各个连接点均可活动，AF与AD等长，CD、DE、EF、FC等长，并且BC<AD－DC，使用时，将A,B钉牢在平板上，并使A，B间的距离等于木棍BC 的长，绕点B转动C点，则点C在一个圆上运动，E点就会在一条直线上运动.这样一边画圆一边画直线据此可设计出“狗熊走钢丝”等好玩的游戏.问题探究爱玩的小明看到这段材料，就想用数学家制作的这个玩具玩一把，可是身边没有这个玩具，怎么办呢？想了又想，最后他想用几何画板来模拟这个玩具，于是，他用几何画板构造了如图所示的“玩具”，在电脑上玩了起来，确实发现当点C在⊙B上运动时，点E在一条直线动，而且。
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2019数学试题
考试时间 100分钟 满分100分
说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！
（2）请在背面的答题纸上作答。
另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。
每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。
1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低
气温的雷达图．图中A 点表
示十月的平均最高气温约为15C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ．下面叙述不
正确的是
A ．各月的平均最低气温都在0C 以上
B ．七月的平均温差比一月的平均温差大
C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D ．平均气温高于20C 的月份有5个
2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为
A ．1x <-或5x >
B ．5x >
C ．15x -<<
D ．无法确定
第2题
20C
15C 10C 5C
A
十月四月
三月
二月
一月十二月
十一月
九月
八月
七月
六月
五月
B
平均最低气温
平均最高气温
3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一
个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．
115
B ．
815
C ．18
D ．
130
4．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且
222a b c bc =+-，则ABC ∆的面积为
A
B
C
D
5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．．
（表面面积，也叫全面积）为 A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长．
6．如下图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 的中点，
BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，
则AE =
A
B
C
D
7．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c
．已知a =，2c =，2cos 3
A =，则b =
A
B
C ．2
D ．3
8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
E
G
F
正视图
侧视图
俯视图
第5题图
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
请将答案填入下面表格里的横线上。
9．设x ∈R ，则不等式|3|1x -<的解集为______________．
10．方程组22
12
4
x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解为______________． 11．在ABC ∆中，若444222222()20a b c a b c a b ++-++=，则C ∠=_______． 12．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．
13．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，30A ∠=，BD 是ABC ∠的平分线，5CD =，则
AD =_______．
14．如图，圆O 的周长为4π，B 是弦CD 上任意一点（与,C D 不重合），过B 作OC 的平行线交OD 于点E ，则EO EB +=_________．（用数字表示）
15．已知31
=+x
x ，则231x x x =++_________．
16．如图，在ABC ∆中，90C ∠=，60A ∠=，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得ADE ∆为等腰直角三角形，90ADE ∠=，则BE =_________．
A
B
C
D
第13题图
A
B
C
D
E P
第6题图
A
B
C
E D
第16题图
B D
E
C
O
第14题图
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共36分． 17．（本小题12分）已知一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ． （1）证明：12b x x a +=-
，12c
x x a =；（2）若方程为22310x x --=，求①12
11x x +；②
2212x x +；（3）若二次函数2231y x x =--与一次函数1y x =+的图象交于,A B 两点，求
线段AB 的长．
18．（本小题10分）如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的中点，AD AC =，DE BC ⊥，
DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ．
（1）求证：ABC FCD ∆∆；
（2）若5FCD S ∆=，10BC =，求DE 的长．
19．（本小题14分）（1）已知正数,a b
满足1=，求22a b +的值．
（2）先填空：311=，3312+=9，333123++=___，33331234+++=___，
3333312345++++=___，然后根据发现的规律，试写出3333123n ++++的结果（用
n 表示）．可参考公式(1)
1232
n n n ++++
+=
，n 为正整数． A
B
E
D
F。