新人教版八年级数学《三角形》重点、难点、培优训练习题集

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人教版八年级上册第12章《全等三角形》培优练习题

《全等三角形》培优练习题一．选择题1．下列说法中错误的是（）A．有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等B．有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等C．有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等D．有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等2．如图，已知AB＝DE，∠1＝∠2．若要得到△ABC≌△DEF，则下列条件中不符合要求的是（）A．∠A＝∠D B．∠C＝∠F C．AC＝DF D．CE＝FB3．如图，点C是AB的中点，AD＝BE，CD＝CE，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对4．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边的长为10，AC边的长度可以在5，7，10，11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC6．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边高线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处7．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（）A．8 B．7 C．6 D．58．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ 的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS9．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D点，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，则BE的长为（）A．0.8 B．1 C．1.5 D．4.210．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（）A．90°B．120°C．135°D．150°二．填空题11．如图，在△ADC与△BDC中，∠1＝∠2，加上条件（只填写一个即可），则有△ADC≌△BDC．12．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD、CD，若∠B＝56°，则∠ADC的大小为度．13．已知，如图，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一个条件：，使得△ABC≌△DEF．14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE＝AB，连接ED，且∠E ＝∠C，AD＝2DE，则S△AED：S△ADB＝．15．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B 作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，，连接BE，，则CE ＝．三．解答题16．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如图1，求证：BD＝CE；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．17．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证：AD＝AE．（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系，并说明理由．18．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）．19．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．20．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E．小聪的探究方法是对∠B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B是直角时，如图1，△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B ＝∠E＝90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC＝EF，∠B＝∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF＝AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；A．全等B．不全等C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B ＝∠E＞90°．过点C作AB边的垂线交AB延长线于点M；同理过点F作DE边的垂线交DE延长线于N，根据“ASA”，可以知道△CBM≌△FEN，请补全图形，进而证出△ABC≌△DEF．参考答案一．选择题1．解：A、有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等，是“ASA”，说法正确；B、两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，是“AAS”，说法正确；C、有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等，是“SAS”，说法正确；D、有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，说法错误；故选：D．2．解：A、添加∠A＝∠D，根据ASA可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．B、添加∠C＝∠F，根据AAS可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．C、添加AC＝DF，根据SSA不可以判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意．D、添加CE＝FB可以得到BC＝EF，根据SAS可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．故选：C．3．解：∵点C是以AB的中点，∴AC＝BC，∵AD＝BE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠D＝∠E，∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE，∴∠ACG＝∠BCH，∴△ACG≌△BCH（ASA），∴CG＝CH，∴EG＝DH，△ECH≌△DCG（ASA），∵∠EFG＝∠DFH，∴△EFG≌△DFH（AAS）；∴图中全等三角形共有4对，故选：C．4．解：过A作AE⊥BC于E，∵∠AB＝10，∠B＝30°，∴AE＝AB＝5，即AE是A到直线BC的最短距离，当AC＝5时，此时三角形有1个；当AC＝7此时三角形有2个；当AC＝10时，此时三角形有1个；当AC＝11时，此时三角形有1个；即存在三角形1+2+1+1＝5（个），故选：B．5．解：过D点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、F，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点D，∴ED＝GD，GD＝DF，∴ED＝DF，∴AP平分∠CAB．故选：B．6．解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选：A．7．解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴ED＝CD，∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．故选：B．8．解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．故选：A．9．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC．CE＝AD＝2.5．∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8．故选：A．10．解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠1＝∠4，∵∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：加上条件AD＝BD（答案不唯一），则有△ADC≌△BDC．理由是：在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），故答案为：AD＝BD（答案不唯一）．12．解：由作图可知：AD＝BC，AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠ADC＝∠B＝56°，故答案为：56．13．解：∵EF∥BC，∴∠ACB＝∠DFE，又∵∠D＝∠A，∴添加条件AC＝DF，可以使得△ABC≌△DEF（ASA），添加条件AB＝DE，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），添加条件BC＝EF，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），故答案为：AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF）．14．解：取AD的中点G，连接BG，则AG＝DG，AD＝2AG，∵AD＝2DE，∴DE＝AG，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C＝∠ABC+∠BAG＝90°，∴∠C＝∠BAG，∵∠C＝∠E，∴∠BAG＝∠E，在△ABG和△EAD中，，∴△ABG≌△EAD（SAS），∴S△AED＝S△BAG，∵点G是AD的中点，∴S△BGD＝S△BAG，∴S△AED：S△ADB＝1：2，故答案为：1：2．15．解：∵∠CBF＝∠BCE，∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，∵AD∥BF，∴∠A+∠ABF＝180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，∴2y+13x＝180°①，∵∠DEC＝115°，∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°②，由①②解得，∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，∴∠CFB＝90°，∴BF⊥EC，∴CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，∵S△BCE＝•EC•BF＝，∴×2m×m＝，∴m＝或﹣（舍弃），∴CE＝2m＝5，故答案为5．三．解答题（共5小题）16．解：（1）在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．17．解：（1）证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ADC与△AEB中，，∴△ACD≌△ABE，∴AD＝AE；（2）直线OA垂直平分BC，理由如下：如图，连接AO，BC，延长AO交BC于F，在Rt△ADO与Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO，∴OD＝OE，∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴AO平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AO⊥BC．18．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD．（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ANB，∵∠ABC＝90°，∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD．（3）结论：②理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，∴•AE•BK＝•CD•BJ，∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM平分∠AMD．不妨设①成立，则△ABM≌△DBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．故答案为②．19．（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝90°，在△ABE和△CBD中∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BCA＝45°，∴∠AEB＝∠CAE+∠BCA＝30°+45°＝75°，∵△ABE≌△CBD，∴∠BDC＝∠AEB＝75°．20．解：第二种情况选C．理由：由题意满足条件的点D有两个，故△ABC和△DEF不一定全等（如图所示）故选C．第三种情况补全图．证明：由△CBM≌△FEN得，CM＝FN，BD＝EN又在Rt△CMA和Rt△FND中，∴△CMA≌△FND，∴AM＝DN，∴AB＝DE，又在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF．。

三角形40道压轴题型专训(8大题型)(原卷版)—2024-2025学年八年级数学上册重难点(人教版)

三角形40道压轴题型专训（8大题型）【题型目录】题型一与三角形的高有关的计算压轴题题型二根据三角形中线求面积压轴题题型三与平行线有关的三角形内角和问题题型四与角平分线有关的三角形内角和问题题型五三角形折叠中的角度问题题型六三角形内角和定理的应用题型七三角形外角压轴题题型八多边形内角和压轴题【经典例题一与三角形的高有关的计算压轴题】1．（22-23七年级下·广东河源·期中）如图，已知ABC V 的面积为5，点M 在AB 边上移动（点M 与点A 、B 不重合），MN BC ∥，MN 交AC 于点N ，连接BN ．设AM x AB=，MBN S y =V ．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)点E 、F 分别是边AB ，AC 的中点，设MBN V 与EBF V 的公共部分的面积为S ，试用含x 的代数式表示S ．2．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 在x 轴上，点C 在y 轴上，若点(),0A a ，点(),0B b ，点()0,2C ，且22AO OB OC ==．(1)求a ，b 的值；(2)动点P 从点O 出发沿着y 轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接AP ，设APC △的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒，求S 与t 的关系式；(3)在（2）的条件下，点D 是直线BC 上一点，点D 的横坐标为1，连接OD ，DA ，若DOA △的面积为2S ，求点P 的坐标．3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），C （0，c ），()2430a c +++=，b 为7的整数部分．(1)a ＋b ＋c ＝；(2)点P 为坐标平面内的一个动点，若S △PBC ＝2S △ABC ，求点A 与点P 距离的最小值；(3)如图2，点D 在线段AB 上，将点D 向右平移4个单位长度至E 点，若△ACE 的面积等于14，求点D 坐标．4．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）设ABC V 的面积为a ．(1)如图1，延长ABC V 的各边得到111A B C △，且1A B AB =，1B C BC =，1C A CA =，记111A B C △的面积为1S ，则1S =______．（用含a 的式子表示）(2)如图2，延长ABC V 的各边得到111A B C △，且12A B AB =，12B C BC =，12C A CA =，记111A B C △的面积为2S ，则2S =________．（用含a 的式子表示）(3)如图3，P 为ABC V 内一点，连接AP 、BP 、CP 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，则把ABC V 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到ABC V 的面积=a ________．5．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点()3,6A ，()9,6B ，连接AB ，将AB 向下平移10个单位得线段CD ，其中点A 的对应点为点C ．(1)填空：点C 的坐标为____________；(2)点E 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A B D C A ----…运动，设运动时间为t 秒，① 当2t =时，点E 坐标为__________，② 当E 点在BD 边上运动时，点E 坐标为_____________；（用含t 的式子表示）③当点E到y轴距离为7时，求t值；(3)在（2）的条件下，连接DE并延长，交y轴于点P，当PD将四边形ACDB的面积分成3:5两部分时，求点P的坐标．【经典例题二根据三角形中线求面积压轴题】6．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐-，点C在y轴的正半轴上，其坐标为(0,8)，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相标为(6,0)交于B．(1)点B坐标为（____，____）；(2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿BA向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为AB中点，N为BP中点，用含t的式子表示MN的长；(3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着AO向终点O运动，连接CP，求t为何值时，CP把长方形OABC分成的两部分面积比为13:，并求出此时点P坐标．V的角平分线，点E、F分别在BC、AC上，7．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，BD是ABCÐ．∥，EF平分DECDE AB(1)判断EF与BD的位置关系，并说明理由；(2)若2CD AD =，2CE BE =，2CF DF =，且ABC V 的面积为27，求DEF V 的面积．8．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）典型题例：（1）如图1，AD 是ABC V 的中线，ABC V 与ABD △的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）如图2，AD 是ABC V 的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）迁移应用：（3）如图3，ABC V 的两条中线AD ，BE 相交于点G ，求证：AGE BGD S S D D =；（4）如图4，ABC V 的三条中线AD ，BE ，CF 相交于点G ，①请你写出所有与AGE V 面积相等的三角形；②写出AG 与GD 的数量关系式，并说明理由；拓展应用；（5）设ABC V 的面积为a ，如图①将边BC AC 、分别2等份，1BE 、1AD 相交于点O ，AOB V 的面积记为1S ；如图②将边BC AC 、分别3等份，1BE 、1AD 相交于点O ，AOB V 的面积记为2S ；……，以此类推，若43S =，则a 的值为__________．9．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，ABC V 中，90CAB Ð=°，AD BC ^于点D ，AE 为ABC V 的中线，6cm AB =，8cm AC =，10cm BC =．求：(1)AD 的长(2)ABE V 的面积(3)ACE △和ABE V 的周长的差10．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知ABC V 的面积是60，请完成下列问题：(1)如图1，若AD 是ABC V 的BC 边上的中线，则ABD △的面积______ACD V 的面积．（填“>”“<”“=”）(2)如图2，若CD 、BE 分别是ABC V 的AB 、AC 边上的中线，求四边形ADOE 的面积可以用如下方法，连接AO ，由AD DB =得：ADO BDO S S =V V ，同理：CEO AEO S S =V V ，设ADO S x =△，CEO S y =△，则BDO S x =V ，AEO S y =V 由题意得：1302ABE ABC S S ==V V ，1302ADC ABC S S ==V V ，可列方程组为：230230x y x y +=ìí+=î，解得______，则可得四边形ADOE 的面积为______．(3)如图3，:1:3AD DB =，:1:2CE AE =，则四边形ADOE 的面积为______．(4)如图4，D ，F 是AB 的三等分点，E ，G 是CA 的三等分点，CD 与BE 交于O ，且60ABC S =△，则四边形A DOE 的面积为______．【经典例题三与平行线有关的三角形内角和问题】11．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，已知A 、B 两点坐标分别为(),4A a ，(),0B b ，且a ，b 满足60a -=，()280b -£，E 是y 轴正半轴上一点．(1)求A 、B 两点的坐标(2)若C 为y 轴上一点，且14AOC AOB S S =V V ，求C 点的坐标(3)过B 作BD y ∥轴，若13DBF DBA Ð=Ð，13EOF EOA Ð=Ð，求F Ð与A Ð间的数量关系12．（23-24七年级下·广东佛山·期中）综合探究：如图1，已知两条直线AB CD ，被直线EF 所截，分别交于点E ，点F EM ，平分AEF Ð交CD 于点M ，且FEM FME Ð=Ð．(1)直线AB 与直线CD 平行吗？说明你的理由；(2)点G 是射线MD 上一动点（不与点M ，F 重合），EH 平分FEG Ð交CD 于点H ，过点H 作HN EM ^于点N ，设EHN EGF a b Ð=Ð=，．①当点G 在点F 的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当60b =°时α的度数；②当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由．13．（23-24七年级下·福建三明·期中）在数学探究活动课中，老师要求同学们把一块直角三角板（图中的ABC V ，30B Ð=°）摆放在画有两条平行直线PQ MN 、的纸面上进行操作探究．(1)小明同学把三角板按如图1摆放，请你直接写出C Ð与1Ð，2Ð之间的数量关系；(2)小明移动三角板按如图2摆放，当DQ 平分ADE Ð时，发现MEC Ð和CDE Ð存在特殊的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由；(3)小明继续移动三角板，使顶点A 落在直线PQ 上，如图3，分别画出QAC Ð和CBF Ð的平分线相交于点E ，多次移动三角板位置（保持顶点A 在直线PQ 上），经度量并计算发现2AEB BFN Ð+Ð都等于270°，请问这个等式是否一定成立？如果成立，请你说明理由；如果不成立，请你画出一个符合条件且2AEB BFN Ð+Ð又不等于270°的图形．14．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，AB CD ∥，E 是直线AB 上一点，F 是直线CD 上一点．问题提出（1）如图1，G 是直线AB 上一点，P 是线段EF 上一点，连接GP ，若60EGP Ð=°，50EFD Ð=°，则GPF Ð=问题探究（2）如图2，120EQF Ð=°，PE 平分BEQ Ð，PF 平分DFQ Ð，请计算EPF Ð的度数．问题解决（3）如图3，FG 平分CFP Ð，延长PE 到点H ，且EH 平分AEG Ð，若EGF P a Ð=-Ð，请你探究GEA Ð与GFC Ð之间的关系，并说明理由（用含a 的式子表示）．15．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知：AB CD ∥，E 、G 是AB 上的点，F 、H 是CD 上的点，12Ð=Ð．(1)如图1，求证：EF GH ∥；(2)如图2，点M 在GH 的延长线上，作BEF Ð、DFM Ð的角平分线交于点N ，EN 交GH 于点P ，设N a Ð=．①若45a =°，试判断直线GH 上是否存在一点K 使得FK FM <，并说明理由；②如图3，作AGH Ð的角平分线交CD 于点Q ，若32FEN HFM Ð=Ð，请直接回答GQD Ð与N Ð的数量关系：______．【经典例题四与角平分线有关的三角形内角和问题】16．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）【认识概念】如图1，在ABC V 中，若BAD DAE EAC Ð=Ð=Ð，则AD ，AE 叫做BAC Ð的“三分线”．其中，AD 是“近AB 三分线”， AE 是“远AB 三分线”．【理解应用】（1）在ABC V 中，60A Ð=°，70B Ð=°，若A Ð的三分线AD 与B Ð的角平分线BE 交于点P ，则APB Ð= ____________；（2）如图2，在ABC V 中，BO 、CO 分别是ABC Ð的近AB 三分线和ACB Ð近AC 三分线，若BO CO ^，求A Ð的度数；【拓展应用】（3）如图3，在ABC V 中，BO 、CO 分别是ABC Ð的远BC 三分线和ACB Ð远BC 三分线，且A m Ð=°，直线PQ 过点O 分别交AC 、BC 于点P 、Q ，请直接写出12Ð-Ð的度数（用含m 的代数式表示）．（4）在ABC V 中，ACD Ð是ABC Ð的外角，ABC Ð的近BC 三分线所在的直线与ACD Ð的三分线所在的直线交于点P ．若A m Ð=，=60B Ð°；直接写出BPC Ð 的度数（用含m 的代数式表示）．17．（2024七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】（1）如图1，已知AD EF BC ∥∥，求证：AEB DAE CBE Ð=Ð+Ð；【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是线段CD 上一点．7030AEB DAE Ð=°Ð=°，，求CBE Ð的度数；【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是线段CD 上一点．若AE 平分DAC CAB ABC ÐÐ=Ð，．①试求出BAE Ð的度数；②已知30AEB ABE EBC Ð=ÐÐ=°，，点G 是直线AD 上的一个动点，连接CG 并延长．2.1若CA 恰好平分BCD Ð，当CG 与四边形ABCD 中一边所在直线垂直时，ACG Ð=_____°；2.2如图4，若CG 是ACD Ð的平分线与BA 的延长线交于点F ，与AE 交于点P ，且BFC a Ð=°，则ADC Ð=______°（用含a 的代数式表示）．18．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在ABC V 中，P 为ABC V 内一点，BP 平分ABC Ð，CP 平分ACP Ð．(1)如图1，当100A Ð=°时，则BPC Ð的度数为__________．(2)如图2，过C 作CQ CP ^，交BP 延长线于点Q ，求证：12Q BAC Ð=Ð．(3)如图3，在（2）的条件下，过C 作CM PQ ^，延长CM 与BA 延长线交于点N ，若57ABP HCM Ð=Ð，且5AHQ PCB ABC Ð-Ð=Ð，求BNC Ð的度数．19．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究如图1，已知2AOB a Ð=Ð，P 是其内部一点，过点P 作PC OB ∥，PD OA ∥，分别交OA ，OB 于点C ，D ，CM 平分ACP Ð，DN 平分PDB Ð．图1 图2(1)①写出所有等于a Ð的角：______．②试猜想CM 与DN 的位置关系，并说明理由．(2)如图2，点E 在射线CA 上，连接PO ，PE ，且POE OPE Ð=Ð，PF 平分CPE ∠，交OA 于点F ，延长FP 交DN 于点G ，若50OPF Ð=°，求AFP NGP Ð+Ð的度数．20．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）第43页第21题如下：如图1，90MON Ð=°，点A 、B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合），BC 是ABN Ð的平分线，BC 的反向延长线交OAB Ð的平分线于点D ．【特殊探究】（1）当60OAB Ð=°时，ADB =∠ °；【推理论证】（2）随着点A 、B 的运动，ADB Ð的大小会变吗？如果不会，求ADB Ð的度数，请说明理由；【拓展探究1】（3）如图2，在图1的基础上分别作DAO Ð与DBO Ð的平分线，交于点E ，则AEB Ð= °；【拓展探究2】（4）如图3，若将图1中的“90MON Ð=°”拓展为一般情况，即MON a Ð=，连接BP ，OPB Ð与OBP Ð的平分线相交于点Q ，试判断PQG Ð与D Ð的数量关系，并说明理由．【经典例题五三角形折叠中的角度问题】21．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在ABC V 中，ABC ACB ÐÐ、的角平分线交于点P ，若50A Ð=°．则P Ð=______；(2)【问题推广】如图2，在ABC V 中，BAC Ð的角平分线与ABC V 的外角CBM Ð的角平分线交于点P ，过点B 作BH AP ^于点H ，若76ACB Ð=°，则PBH Ð=______；(3)如图3，如图3，在ABC V 中，ABC Ð、ACB Ð的角平分线交于点P ，将ABC V 沿DE 折叠使得点A 与点P 重合．①若110BPC Ð=°，则12Ð+Ð=______；②若PD PE =，求证：12Ð=Ð；(4)【拓展提升】在四边形BCDE 中，EB CD ∥，点F 在直线ED 上运动（点F 不与E ，D 两点重合），连接BF CF EBF DCF ÐÐ，，、的角平分线交于点Q ，若EBF DCF a b Ð=Ð=，，直接写出∠Q 和α，β之间的数量关系．22．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，有点(,0),(0,)A a B b ，且a ，b 满足4|2|0a b -++=，将线段AB 向上平移k 个单位得到线段CD ．(1)求出点A 、B 的坐标；(2)如图1，若5k =，过点C 作直线l x ∥轴，点M 为直线l 上一点，若MAB △的面积为8，求点M 的坐标；(3)如图2，点E 为线段CD 上任意一点，点F 为线段AB 上任意一点，120EOF Ð=°．点G 为线段AB 与线段CD 之间一点，连接GE ，GF ，且13DEG DEO Ð=Ð，80EGF Ð=°．试写出AFG Ð与GFO Ð之间的数量关系，并证明你的结论；23．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究(1)如图1，将ABC V 沿着DE 第一次折叠，顶点B 落在ABC V 的内部点O 处，试探究12Ð+Ð与B Ð之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，将ABC V 沿着FG 第二次折叠，顶点C 恰好与点O 重合，若85A Ð=°，562Ð=°，求13Ð+Ð的度数．(3)如图3，将ABC V 沿着GH 第三次折叠，顶点A 恰好与点O 重合，若A a Ð=，5b Ð=，用含a ，b 的代数式表示()61AGO Ð-Ð+Ð．24．（22-23七年级下·四川成都·期中）直线MN 与直线PQ 垂直相交于点C ，点A 在射线CP 上运动（点A 不与点C 重合），点B 在射线CN 上运动（点B 不与点C 重合）．(1)如图1，已知AD 、CD 分别是BAC Ð和ACB Ð的角平分线，①当60BAC Ð=°时，求ADC Ð的度数；②点A 、B 在运动的过程中，ADC Ð的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出ADC Ð的大小；(2)如图2，将ABC V 沿AD 所在直线折叠，点B 落在PQ 的点F 处，折痕与MN 交于点E ，连接DF 、EF ，在CDF V 中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出BAC Ð的度数．25．（22-23七年级上·江西南昌·期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D ，E 分别在边,AC BC 上，将C Ð沿DE 折叠，点C 落在点'C 的位置．(1)如图1，当点C 落在边BC 上时，若58ADC 'Ð=°，则C Ð＝，可以发现ADC 'Ð与C Ð的数量关系是；(2)如图2，当点C 落在ABC V 内部时，且42BEC 'Ð=°，20ADC 'Ð=°，求C Ð的度数；(3)如图3，当点C 落在ABC V 外部时，若设BEC 'Ð的度数为x ，ADC 'Ð的度数为y ，请求出C Ð与x ，y 之间的数量关系．【经典例题六三角形内角和定理的应用】26．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，如图，AB CD P ，直线MN 交AB 于点M ，交CD 于点N ，点E 是线段MN 上一点，,P Q 分别在射线,MB ND 上，连接,,PE EQ PF 平分,MPE QF Ð平分DQE Ð．(1)如图1，当PE QE ^时，求PFQ Ð的度数；(2)如图2，求PEQ Ð与PFQ Ð之间的数量关系，并说明理由．27．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，(),0A a ，()0,B b ，且满足30a a b +++=，将线段AB 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度．点A 的对应点为C ，点B 的对应点为D ．(1)求AB 、两点的坐标．(2)连接AC BD 、，求平行四边形ACDB 的面积．(3)设M 为x 轴负半轴上一动点（异于点A ），连接CM ，BAO Ð的平分线与DCM Ð的平分线交于点N ，请你探究AMC Ð与ANC Ð的数量关系，并证明你的结论．28．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如果两个角的差等于30°，就称这两个角互为“宝藏角”．其中一个角叫做另一个角的“宝藏角”．例如70a =°，40b =°，30a b -=°，则a 和b 互为“宝藏角”，即a 是b 的“宝藏角”，b 也是a 的“宝藏角”．(1)已知1Ð和2Ð互为“宝藏角”，12Ð>Ð，且1Ð和2Ð互补，求1Ð的度数；(2)在ABC V 中，90ACB Ð=°，AE 是BAC Ð的角平分线，①如图1，点P 在射线AC 上，CN 平分BCP Ð，与射线AE 交于点N ，若ANC Ð与B Ð互为“宝藏角”，求ANC Ð的度数；②如图2，若CP AB ∥，射线CN 平分BCP Ð且与射线AE 交于点N ，若ANC Ð与ABC Ð互为“宝藏角”，则ABC Ð的度数为______；③如图3，若CP AB ^于点P ，AE CP 、相交于点F ，若FCE Ð与CEF Ð互为“宝藏角”，求出CEF Ð的度数．29．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）如图，MN PQ ∥，点A 在MN 上，点B ，C 为PQ 上两点，60ABC Ð=°，40ACB Ð=°，AD 平分BAC Ð交BC 于点D ．(1)求DAN Ð的度数；(2)射线BP 绕B 点每秒15°的速度顺时针旋转t 秒()0t >，当BP 转动至射线BQ 后立即以相同速度回转，当BP 第一次与AD 互相平行时，求t 的值；(3)当射线BP 绕B 点每秒15°的速度顺时针转动的同时，射线AB 绕A 点每秒5°的速度逆时针旋转，当AB 转动至射线AN 时，AB ，BP 同时停止转动，请求出BP 与AB 互相平行时t 的值．30．（23-24七年级下·山东青岛·期中）已知直线MN PQ ∥，点A 在直线MN 上，点B 、C 为平面内两点，AC DC ^于点C ．(1)如图1，当点B 在直线MN 上，点C 在直线MN 上方时，则CAB Ð和CDP Ð之间的数量关系是．(2)如图2，当点C 在直线MN 上且在点A 左侧，点B 在直线MN 与PQ 之间时，小明过点B 作BF MN ∥．请根据他的思路，写出ABC Ð与BDP Ð的关系；(3)如图3，在（2）的条件下，作ABD Ð的平分线交直线MN 于点E ，2AEB ABC Ð=Ð，直接写出ABC Ð的度数．(4)如图4，当点C 在直线MN 上且在点A 左侧，点B 在直线PQ 下方时，当2BDP BEN Ð=Ð时，请补充图形并直接写出ABC Ð的度数．【经典例题七三角形外角压轴题】31．（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）已知：点A 在直线DE 上，点B C 、都在直线PQ 上（点B 在点C 的左侧），连接AB ，AC ，AB 平分CAD Ð，且ABC BAC Ð=Ð．(1)如图1，求证：DE PQ ∥；(2)如图2，点K 为线段AB 上一动点，连结CK ，且始终满足290EAC BCK Ð-Ð=°，①当CK AB ^时，在直线DE 上取点F ，连接FK ，使得12FKA AKC Ð=Ð，求此时AFK Ð的度数．②在点K 的运动过程中，AKC Ð与EAC Ð的度数之比为定值，请直接写出这个定值，不需要说明理由．32．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，直线AB CD ∥，点E 为直线CD 上一定点，射线EK 交AB 于点F ，FG 平分AFK Ð，FED a Ð=．(1)如图1，当60a =°时，GFK Ð= °；(2)点P 为线段EF 上一定点，点M 为直线AB 上的一动点，连接PM ，过点P 作PN PM ^交直线CD 于点N ．①如图2，当点M 在点F 右侧时，求BMP Ð与PNE Ð的数量关系；②当点M 在直线AB 上运动时，MPN Ð的一边恰好与射线FG 平行，直接写出此时PNE Ð的度数（用含α的式子表示）．33．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知：直线AB 与直线CD 平行，E 、G 是直线AB 上的点，F 、H 是直线CD 上的点，且FEG FHG Ð=Ð．(1)如图1，EN 为BEF Ð的角平分线，交GH 于点P ，连接FN ，猜测N Ð、HPN Ð，NFH Ð之间的等量关系并给出证明．(2)如图2，在（1）的条件下，过点F 作FM GH ^于点M ，作AGH Ð的角平分线交CD 于点Q ．若3MFN NFH Ð=Ð，且2:5GQH N ÐÐ=，请直接写出GQH Ð的度数．34．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知：点A 在直线DE 上，点B C 、都在直线PQ 上（点B 在点C 的左侧），连接AB ，AC ，AB 平分CAD Ð，且ABC BAC Ð=Ð．(1)如图1，求证：DE PQ ∥；(2)如图2，点K 为线段AB 上一动点，连接CK ，且始终满足290EAC BCK Ð-Ð=°．①当CK AB ^时，在直线DE 上取点F ，连接FK ，使得12FKA AKC Ð=Ð，求此时AFK Ð的度数；②在点K 的运动过程中，AKC Ð与EAC Ð的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由．35．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图1，已知线段AB 、线段CD 被直线l 所截于点A 、点C ，150Ð=°，2Ð的度数是1Ð的3倍少20°．(1)求证：AB CD P ；(2)如图2，连接BD ，AB 沿BD 方向平移得到EF ，点F 在BD 上，点G 是BD 上的一点，连接AG 、EG ，30BAG Ð=°，20FEG Ð=°，求AGE Ð的度数；(3)如图3，点M 是线段BD 上一点，点N 是射线CD 上一点，CAM Ð度数为k ，AMN Ð度数为m ，MND Ð度数为n ，请直接写出k 、m 、n 之间的数量关系．（本题的角均小于180°）【经典例题八多边形内角和压轴题】36．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知在ABC V 中，AD 是BC 边上的高，AE 是ABC V 的角平分线．(1)如图1，若4060B C Ð=°Ð=°，，求EAD Ð的度数；(2)如图2，PE 平分AEC Ð交AC 于点F ，交ACB △外角ACM Ð平分线于点P ，过F 作FG PC ∥交BC 于G ，请猜想EFG Ð与BAC Ð的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，连接PA ，过点P 作PG BM ^于点G ，若EAD CAD Ð=Ð，且107B CPE CPG Ð+Ð=Ð，过点P 作PH AB ^交BA 的延长线于点H ，求EPH Ð的度数．37．（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索：(1)下列有A 、B 两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A 给分)．A ．如图①，1Ð和2Ð是ABC V 的两个外角，求证12180A Ð+Ð=°+Ð；B ．如图②D 、E 是ABC V 边AB 、AC 上的点，将ADE V 沿DE 翻折至FDE V ，若点F 在ABC V 内部，122A Ð+Ð=Ð．我选择作答(2)如图③，BE 、CE 分别平分四边形ABCD 的外角CBM Ð、BCN Ð．已知100A Ð=°，120D Ð=°，求E Ð的度数；(3)如图④，已知五边形ABCDE ，延长AE 至F ，延长BC 至G ，连接CE ，点P 、Q 分别在边DE 、CD 上，将DPQ V 沿PQ 翻折至D PQ 'V ，若13DEF CEF Ð=Ð，13DCG ECG Ð=Ð，A m Ð=°，B n Ð=°．请你直接写出12Ð+Ð的度数(用含m 、n 的代数式表示)38．（23-24七年级下·吉林长春·期中）在ABC V 中，90,42C A Ð=°Ð=°．点D 、E 分别在ABC V 的边AC AB 、上，且均不与ABC V 的顶点重合，连接DE ，将ABC V 沿DE 折叠，使点A 的对称点A '始终落在四边形BCDE 的外部，A D '交边AB 于点F ，且点A '与点C 在直线AB 的异侧．(1)如图①，则B Ð=_______°．(2)如图②，则BED CDE Ð+Ð=_______°．(3)如图③，设图②中的1,2CDF A EF Ð=ÐÐ=Ð'．求12Ð-Ð的度数；(4)当A DE 'V 的某条边与AB 或AC 垂直时，直接写出ADE Ð的度数．39．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题背景】三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和180°，四边形的内角和是360°．【问题思考】如图1，在ABC V 中，延长AB 到点D ，AM ，BM 分别平分CAB Ð和CBD Ð．（1）若58CAB Ð=°，40CBA Ð=°，求AMB Ð的度数；（2）设CAB x Ð=°，CBA y Ð=°，x 与y 都是变量，但x 与y 的和是个常量，即x y m +=，m 是常量．在x 与y 变化的过程中，AMB Ð的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m 的代数式表示AMB Ð；若变化，请说明理由．【问题拓展】在四边形ABCD 中，设ADC a Ð=，BCD b Ð=，延长AB 到点E ，AP ，BQ 分别平分DAB Ð和CBE Ð．（3）如图2，当180a b +=°，此时AP ，BQ 的位置关系为；（4）如图3，当180a b +>°，AP ，BQ 所在直线交于点N ，请说明ANB Ð与α，β的数量关系；（5）将（4）中的条件180a b +>°改为180a b +<°，其余条件不变，请画出简图，并直接写出ANB Ð与α，β的数量关系．40．（23-24八年级上·云南·阶段练习）（概念学习）在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角，如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若1Ð、2Ð互为组角，且1135Ð=°，则2Ð=_____°；（理解运用）习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．（2）如图①，在镖形ABCD 中，优角BCD Ð与钝角BCD Ð互为组角，试探索内角A Ð、B Ð、D Ð与钝角BCD Ð之间的数量关系，（拓展延伸）（3）如图②，A B C D E F Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=______；（用含α的代数式表示）（4）如图③，已知四边形ABCD 中，延长AD 、BC 交于点Q ，延长AB 、CD 交于P ，APD AQB ÐÐ、的平分线交于点M ，180A QCP Ð+Ð=°；直接运用（2）中的结论，试说明：PM QM ^．。

人教版八年级数学上册第11章三角形培优训练(含答案)

人教版八年级数学第11章三角形培优训练一、选择题1. 已知在△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值()A. 11B. 5C. 2D. 12. 如图，在△ABC中，表示AB边上的高的图形是()3. 如图,AD⊥BD于点D,GC⊥BD于点C,CF⊥AB于点F,下列关于高的说法中错误的是()A.△AGC中,CF是AG边上的高B.△GBC中,CF是BG边上的高C.△ABC中,GC是BC边上的高D.△GBC中,GC是BC边上的高4. (2019•荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互∠的度数是相垂直，则1A．95︒B．100︒C．105︒D．110︒5. 有长度分别为4 cm，5 cm，9 cm，13 cm的四根木条，以其中三根为边，制作一个三角形框架，那么这个三角形框架的周长可能是()A．18 cm B．26 cm C．27 cm D．28 cm6. 若多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是()A．8 B．9 C．10 D．117. 试通过画图来判断，下列说法正确的是()A．一个直角三角形一定不是等腰三角形B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形8. 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A. 3，4，4B. 3，4，5C. 3，4，6D. 3，4，79. 将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能()A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形10. 如图,在△ABC中,BC边不动,点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越大.若∠A减小x°,∠B增加y°,∠C增加z°,则x,y,z之间的关系是()A.x=y+zB.x=y-zC.x=z-yD.x+y+z=180二、填空题11. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有______个．12. 有一张直角三角形纸片，记作△ABC ，其中∠B=90°.按如图所示的方式剪去它的一个角，在剩下的四边形ADEC 中，若∠1=165°，则∠2的度数为 .13. 一个正五边形和一个正六边形按如图所示的方式摆放，它们都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，则∠AOB 的度数是________．14. 设三角形三边之长分别为3，7，1＋a ，则a 的取值范围为__________．15. 如图所示，在△ABC 中，∠A ＝36°，E 是BC 延长线上一点，∠DBE ＝23∠ABE ，∠DCE ＝23∠ACE ，则∠D 的度数为________．16. 如图，若该图案是由8个形状和大小相同的梯形拼成的，则∠1＝________°.三、作图题17. 如图，已知△ABC .(1)画出BC 边上的中线AD ； (2)画出△ABD 的角平分线AE ； (3)画出△ADC 的边AD 上的高CF ； (4)若AD ＝5，CF ＝3，求△ABC 的面积．18. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A B C D E F 、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．(1)在图①中以线段AB 为边画一个ABM △，使其面积为6． (2)在图②中以线段CD 为边画一个CDN △，使其面积为6．(3)在图③中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ，使其面积为9，且90EFG ∠=︒．四、解答题19. 如图，△ABC 是正三角形，剪去三个边长均不相等的小正三角形(即△ADN ，△BEF ，△CGM )后，得到一个六边形DEFGMN . (1)六边形DEFGMN 的每个内角是多少度？为什么？ (2)六边形DEFGMN 是正六边形吗？为什么？20. 某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°.(1)求出这个正多边形的一个内角的度数;(2)求这个正多边形的边数.21. 如图，在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，BE，CD相交于点O.(1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；(2)求证：∠BOC＋∠A＝180°.22. 如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高．(1)若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；(2)若∠C＞∠B，猜想∠DAE与∠C－∠B之间的数量关系，并加以证明．23. 已知:如图1-Z-20，在四边形ABCD中，∠D=90°，∠ABC=∠BCD，点E在直线BC上，点F在直线CD上，且∠AEB=∠CEF.(1)如图①，若AE平分∠BAD，求证:EF⊥AE;(2)如图②，若AE平分四边形ABCD的外角，其余条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立?说明理由.人教版八年级数学第11章三角形培优训练-答案一、选择题 1. 【答案】 B2. 【答案】D3. 【答案】C [解析] △ABC 中,AD 是BC 边上的高,故C 错误.4. 【答案】C【解析】如图，由题意得，2454903060∠=︒∠=︒︒=︒，-，∴3245∠=∠=︒，由三角形的外角性质可知，134105∠=∠+∠=︒，故选C ．5. 【答案】C6. 【答案】C[解析] 设多边形有n 条边，则n －2＝11，解得n ＝13. 故这个多边形是十三边形．故经过这一点的对角线的条数是13－3＝10.7. 【答案】D[解析] 等腰直角三角形既是直角三角形，也是等腰三角形，故选项A错误；等边三角形既是等腰三角形，也是锐角三角形，故选项B错误；顶角是120°的等腰三角形，既是钝角三角形，也是等腰三角形，故选项C错误；因为一个等边三角形的三个角都是60°，所以等边三角形是锐角三角形．故选项D正确．8. 【答案】C【解析】①∵32＋42＝52，∴三条线段3、4、5组成直角三角形，∴B选项不正确；②当把斜边5变成7时，3＋4＝7，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，∴D选项不正确；③当把斜边5稍微变小一点为4时，三条线段为3、4、4组成锐角三角形，∴A选项不正确；④当把斜边5稍微变大一点为6时，三条线段为3、4、6组成钝角三角形，∴C选项正确．9. 【答案】C[解析] 如图①，沿虚线剪开即可得到两个直角三角形．如图②，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图③，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．10. 【答案】A[解析] 根据题意,得∠A+∠ABC+∠ACB=180°①,变化后的三角形的三个角的度数分别是∠A-x°,∠ABC+y°,∠ACB+z°,∴∠A-x°+∠ABC+y°+∠ACB+z°=180°②,①②联立整理可得x=y+z.二、填空题11. 【答案】612. 【答案】105°[解析] 因为四边形的内角和为360°，且∠A+∠C=90°，所以∠1+∠2=360°-90°=270°. 因为∠1=165°，所以∠2的度数为105°.13. 【答案】84°[解析] 由题意，得∠AOE ＝108°，∠BOF ＝120°，∠OEF ＝72°，∠OFE ＝60°，∴∠EOF ＝180°－72°－60°＝48°.∴∠AOB ＝360°－108°－48°－120°＝84°.14. 【答案】3＜a ＜9[解析] 由题意，得7－3＜1＋a ＜7＋3，解得3＜a ＜9.15. 【答案】24°[解析] ∠D ＝∠DCE －∠DBE ＝23∠ACE －23∠ABE ＝23(∠ACE －∠ABE)＝23∠A ＝23×36°＝24°.16. 【答案】67.5三、作图题17. 【答案】解：(1)～(3)如图．(4)S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12AD·CF ＝15.18. 【答案】(1)如图①所示，ABM △即为所求． (2)如图②所示，CDN △即为所求． (3)如图③所示，四边形EFGH 即为所求．四、解答题19. 【答案】解：(1)六边形DEFGMN的各个内角都是120°.理由：∵△ADN，△BEF，△CGM都是正三角形，∴它们的每个内角都是60°，即六边形DEFGMN的每个外角都是60°.∴六边形DEFGMN的每个内角都是120°.(2)六边形DEFGMN不是正六边形．理由：∵三个小正三角形(即△ADN，△BEF，△CGM)的边长均不相等，∴DN，EF，GM均不相等．∴六边形DEFGMN不是正六边形．20. 【答案】解:(1)设这个多边形的一个内角的度数是x°，则与其相邻的外角度数是x°+12°.由题意，得x+x+12=180，解得x=140.即这个正多边形的一个内角的度数是140°.(2)这个正多边形的每一个外角的度数为180°-140°=40°，所以这个正多边形的边数是=9.21. 【答案】解：(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠BEC＝90°.∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°.∴∠BCO＝40°，∠CBO＝30°.∴∠BOC＝180°－40°－30°＝110°.(2)证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠BEC＝90°.∴∠ABE＝90°－∠A.∴∠BOC＝∠ABE＋∠BDC＝90°－∠A＋90°＝180°－∠A.∴∠BOC＋∠A＝180°.22. 【答案】解：(1)在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠BAC＝70°.∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC ＝35°. ∵AE 是BC 上的高，∴∠AEB ＝90°. ∴∠BAE ＝90°－∠B ＝40°. ∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝5°. (2)∠DAE ＝12(∠C －∠B)．证明：∵AE 是△ABC 的高， ∴∠AEC ＝90°. ∴∠EAC ＝90°－∠C. ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAC ＝12∠BAC.∵∠BAC ＝180°－∠B －∠C ， ∴∠DAC ＝12(180°－∠B －∠C)． ∴∠DAE ＝∠DAC －∠EAC ＝12(180°－∠B －∠C)－(90°－∠C) ＝12(∠C －∠B)．23. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAE=180°-∠ABC-∠AEB ，∠EFC=180°-∠BCD-∠CEF ，且∠ABC=∠BCD ， ∠AEB=∠CEF ，∴∠BAE=∠EFC. ∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE=∠DAE. ∴∠EFC=∠DAE. ∵∠EFC+∠EFD=180°， ∴∠DAE+∠EFD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠DAE+∠EFD )=180°. 又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.(2)EF⊥AE仍成立.理由如下:如图.∵∠1=∠ABC-∠AEB，∠F=∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠1=∠F.∵AE平分四边形ABCD的外角，∴∠1=∠2.∴∠F=∠2.∵∠2+∠EAD=180°，∴∠F+∠EAD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠F+∠EAD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.。

人教版八年级三角形重难点分层训练

三角形部分能力提升及拓展训练一、三角形的三边关系应用：1、三边关系知识点复习：例1：变式训练1：2、三边关系的拓展几何模型及应用：例2：变式训练2：二、三角形的内角和及外角应用1、三角形内角和外角的知识点复习例1：如图，∠A=55°，∠B=30°，∠C=35°，求∠D的度数．例2：2、三角形的内角和及外角应用的几何模型ACDB例3：如图19－2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAB＝________.变式训练3：三、全等三角形的证明：1、全等三角形判定知识复习：（1）判定全等三角形的基本思路（题目中找，图形中看）：（2）全等三角形图形的几种典型模式：例1：变式训练4：2.全等三角形证明的相关方法总结;A 证明线段相等的方法：（1）等量代换（2）面积法：若两个三角形面积相等，等底则等高。

（3）两条等长的短线段加上中间的公共线段证明长线段相等。

（4）证明两条线段所在三角形全等。

（5）角平分线性质定理（6）垂直平分线性质定理（7）等腰三角形两腰相等B 证明角相等的方法（1）对顶角相等（2）同角或等角的余角（补角相等）（3）两个等角加上中间的公共角得到两大角相等（4）利用平行线得到同位角、内错角相等（5）证明两个角所在三角形全等C 证明三角形全等的思路方法：例2：变式训练5：D 构造全等三角形常用添加辅助线的方法：例3：（倍长中线法）变式训练6例4：（截长补短法）变式训练7：（1）（2）例5：（1）(2)变式训练8：。

部编数学八年级上册专题01与三角形有关的线段重难点专练(解析版)(人教版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题01与三角形有关的线段重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·西藏日喀则市·八年级期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1B．2C．8D．11【答案】C【详解】【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此根据选项即可判断.【详解】设第三边长为x，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，观察只有C选项符合，故选C.【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键. 2．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）在三角形ABC中，AB=7，BC=2，并且AC的长为奇数，则AC=( )A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出AC的取值范围，再根据AC是奇数解答即可．详解：∵AB=7，BC=2，∴7+2=9，7-2=5，∴5＜AC＜9，∵AC为奇数，∴AC=7．故选C．点睛：本题主要考查了三角形的三边关系，熟记关系式求出AC的取值范围是解题的关键．3．（2021·湖南八年级期末）如图，AD是△ABC的中线，△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为( )A．2 cm B．3 cm C．6 cm D．12 cm【答案】C【分析】根据三角形的周长和中线的定义进行解题．【详解】∵AD是△ABC的中线，∴BD=BC.∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB与AC的差值为6cm．故选C．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形是本题解题的关键．4．（2021·河北八年级期末）若实数m、n满足等式|m﹣=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )A．6B．8C．8或10D．10【答案】D【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【详解】解：∵=0，∴m-2=0，n-4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．5．（2021·武汉市武珞路中学八年级期中）已知三角形的两边分别为5和8，则此三角形的第三边可能是（）A．2B．3C．5D．13【答案】C【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．【详解】此三角形第三边的长为x，则8-5＜x＜8+5，即3＜x＜13，只有选项C符合题意．故选C．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6．（2021·河北八年级期末）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高【答案】C【分析】根据三角形高的定义分别进行判断.【详解】解:△ABC中，AC⊥BC,则AC是BC边上的高，所以A正确;△BCD中，DE⊥BC，则DE是BC边上的高，所以B正确;△ABE中，DE不是△ABE的高，所以C错误;△ACD中，CD⊥AB，则AD是CD边上的高，所以D正确.故答案为:C.【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高;三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.7．（2021·山东滨州市·八年级期末）三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A 表示（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．【详解】三角形根据边分类 ()ìïìííïîî不等边三角形两边相等的三角形等腰三角形三边相等的三角形等边三角形，∴图中小椭圆圈里的A 表示等边三角形．故选D ．【点睛】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．8．（2021·浙江八年级期末）已知三角形的三边长分别为2、x 、10，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边求出x 的取值范围,然后根据若x 为正整数,即可选择答案.【详解】10-2=8,10+2=12Q,812\<<,xQ若x为正整数,\的可能取值是9,10,11三个,故这样的三角形共有3个.x所以C选项是正确的.【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边;牢记三角形的三边关系定理是解答的关键,注意本题的隐含条件就是x为正整数. 9．（2021·湖南八年级期末）三角形的下列线段中将三角形的面积分成相等两部分的是( )A．中线B．角平分线C．高D．以上都对【答案】A【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．【详解】∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了“三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形”的知识，本知识点是中学阶段解三角形的面积经常使用，一定要熟练掌握并灵活应用．10．（2021·河南八年级期末）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm 【答案】B【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【详解】+>，能构成三角形，不合题意；A．234+=，不能构成三角形，符合题意；B．123+>，能构成三角形，不合题意；C．435+>，能构成三角形，不合题意．D．456【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题关键在于看较小的两个数的和能否大于第三个数．11．（2021·湖南娄底市·八年级期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A．2、2、4B．2、6、3C．8、6、3D．11、4、6【答案】C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】根据三角形的三边关系，知A、2+2=4，不能组成三角形；B、3+2=5＜6，不能组成三角形；C、3+6＞8，能够组成三角形；D、4+6＜11，不能组成三角形．故选C．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．12．（2021·邯郸市第十一中学八年级期末）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．【答案】D过A作河岸的垂线AH，在直线AH上取点I，使AI等于河宽，连接BI即可得出N，作出MN⊥a即可得到M，连接AM即可．【详解】解：根据河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直可知，只要AM＋BN最短就符合题意，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连结IB 交河岸b于N，作MN垂直于河岸交河岸a于M点，连接AM．故选D．【点睛】本题考查了最短路线问题以及三角形三边关系定理的应用，关键是找出M、N的位置．13．（2021·河南八年级期末）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能【答案】C【分析】根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部(如图1)，钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部(如图2)，直角三角形的三条高的交点在三角形的直角顶点上(如图3).故选C.【点睛】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键.14．（2021·重庆市两江中学校八年级月考）现有两根长度为3cm和8cm的木条，想制作一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，应该选择长度为（）的木条. A．11cm B．10cm C．5cm D．3cm【答案】B【分析】设木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论．【详解】解：设木条的长度为xcm，则8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11，故她应该选择长度为10cm的木条．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．15．（2021·山东八年级期末）下列各组数中，不能成为三角形三条边长的数是（）A．5，10，12B．3，14，13C．4，12，12D．2，6，8【答案】D【分析】根据三角形三边关系判断即可．【详解】解：A、因为5+10＞12，所以本组数可以构成三角形．故本选项不符合题意；B、因为3+13＞14，所以本组数能构成三角形．故本选项不符合题意；C、因为4+12＞12，所以本组数能构成三角形．故本选项不符合题意；D、因为2+6=8，所以本组数不能构成三角形．故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．16．（2021·湖北八年级期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm，5cm，8cm B．3cm，3cm，6cmC．25cm，24cm，7cm D．1cm，2cm，3cm【答案】C【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边进行分析即可．【详解】A、2+5＜8，不能组成三角形；B、3+3=6，不能组成三角形；C、7+24＞25，能够组成三角形；D、1+2=3，不能组成三角形．故选：C．【点睛】此题考查三角形三边关系．解题关键在于掌握用两条较短的线段相加，如果大于最长哪条就能够组成三角形．V的边AB上的高线，下17．（2021·北京延庆区·八年级期末）如图，用三角板作ABC列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．【详解】解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项正确；C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．18．（2021·山东临沂市·）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.【详解】①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B .【点睛】此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构成的情况.19．（2020·四川七年级期末）如图，在ABC D 中，90CAB Ð=°，AD 是高，CF 是中线，BE 是角平分线，BE 交AD 于G ，交CF 于H ，下列说法正确的是（）①AEG AGE Ð=Ð②BH CH =③2EAG EBC Ð=Ð④ACF BCF S S D D =A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．②③④【答案】C【分析】①根据90CAB Ð=°，AD 是高，可得90AEG ABE Ð=°-Ð,90DGB DBG Ð=°-Ð,又因为BE 是角平分线，可得ABE DBE ÐÐ=，故能得到∠AEG=∠DGB ，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；②因为CF 是中线，BE 是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC ，故该说法错误；③90EAG DAB Ð+Ð=°,90DBA DAB Ð+Ð=°,可得∠EAG=∠DBA ，因为∠DBA=2∠EBC ，故能得到该说法正确；④根据中线平分面积，可得该说法正确．【详解】解：①∵90CAB Ð=°，AD 是高∴90AEG ABE Ð=°-Ð,90DGB DBGÐ=°-Ð∵BE 是角平分线∴ABE DBEÐÐ=∴∠AEG=∠DGB∵∠DGB=∠AGE∴AEG AGE Ð=Ð，故该说法正确；②因为CF 是中线，BE 是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC ，故该说法错误；③∵90EAG DAB Ð+Ð=°,90DBA DAB Ð+Ð=°∴∠EAG=∠DBA∵∠DBA=2∠EBC ，∴∠EAG=2∠EBC ，故该说法正确；④根据中线平分面积，可得ACF BCF S S D D =，故该说法正确．故选C ．【点睛】本题主要考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，熟练各线的特点和性质是解决本题的关键．20．（2021·河北八年级期末）如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝4cm 2，则S 阴影等于…（）A ．2cm 2B ．1cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】B【分析】根据三角形的中线将三角形面积平分这一结论解答即可．【详解】∵在△ABC 中，点D 是BC 的中点，∴12ABD ACD ABC S S S D D D == =2cm 2，∵在△ABD 和△ACD 中，点E 是AD 的中点，∴12BED ABD S S D D ==1 cm 2，12CED ACD S S D D ==1 cm 2，∴BEC S D =2 cm 2，∵在△BEC 中，点F 是CE 的中点，∴12BEF BEC S S D D ==1 cm 2，即S 阴影=1 cm 2故选：B ．【点睛】本题考查三角形的中线与三角形面积的关系，熟知三角形的中线将三角形面积平分这一结论是解答的关键．21．（2020·重庆八年级月考）在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（）A ．8B ．9.6C ．10D ．12【答案】B【分析】如图，作CE AB ^与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ^,再利用面积法求出EC 即可.【详解】如图，作CE AB ^与E.AD Q 是ABC D 的中线,BC =12,\BD=6,10,8,6,AB AD BD ===Q \ 222AB AD BD =+,90,ADB \Ð=o,AD BC \^11,22ABC S BC AD AB CE D ==Q g g g g 1289.6.10CE ´\==故选B.【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.22．（2021·湖北八年级期末）若a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足|a ﹣5|+(b ﹣3)2=0，则c 的值可以为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A【分析】根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出c 的取值范围，然后解答即可．【详解】解：∵|a ﹣5|+(b ﹣3)2=0，∴a ﹣5=0，b ﹣3=0，解得a =5，b =3，∵5﹣3=2，5+3=8，∴2＜c ＜8，∴c 的值可以为7．故选：A ．【点睛】本题考查了非负数的性质以及三角形的三边关系．注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．23．（2021·湖北八年级期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A ．2cm ，3cm ，5cmB ．5cm ，6cm ，11cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．5cm ，6cm ，10cm 【答案】D【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【详解】解：A、2+3=5，不能构成三角形；B、5+6=11，不能构成三角形；C、3+4＜8，不能构成三角形；D、5+6＞10，能构成三角形．故选：D．【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数就可以．24．（2021·浙江八年级期末）已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（）A．4，4B．17，29C．3，12D．2，9【答案】D【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”进行判断即可．【详解】A、∵4＋4＝8，∴构不成三角形；B、29−17＝12＞8，∴构不成三角形；C、∵12−3＝9＞8，∴构不成三角形；D、9−2＝7＜8，9＋2＝11＞8，∴能够构成三角形，故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”是解题的关键．D的高的是（）25．（2021·湖北八年级期末）下面四个图形中，线段AD是ABCA．B．C ．D ．【答案】D【分析】根据三角形高的定义进行判断．【详解】解：线段AD 是△ABC 的高，则过点A 作对边BC 的垂线，则垂线段AD 为△ABC 的高．选项A 、B 、C 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．26．（2021·广州市番禺区新英才中英文学校八年级期末）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）A ．2，3，4B ．5，7，7C ．5，6，12D ．6，8，10【答案】C【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】A ．∵2＋3>4，∴能组成三角形，故A 错误；B ．∵5＋7＞7，∴不能组成三角形，故B 错误；C ．∵5＋6＜12，∴不能组成三角形，故C 正确；D ．∵6＋8>10，∴能组成三角形，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．27．（2021·全国八年级）AD 是ABC V 的高，80BAD Ð=°，20CAD Ð=°，则BAC Ð的度数为( )A ．100°B ．80°C ．60°D ．100°或60°【答案】D【分析】分高AD 在△ABC 内部和外部两种情况讨论求解即可．【详解】①如图1，当高AD 在△ABC 的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=80°+20°=100°；②如图2，当高AD 在△ABC 的外部时，∠BAC=∠BAD-∠CAD=80°-20°=60°，综上所述，∠BAC 的度数为100°或60°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．28．（2021·全国）如图所示，AD 为ABC V 的中线，DE AB ^于点E ，DF AC ^于点F ，6,8,3AB AC DE ===，则DF 等于( )A ．3B ．94C ．5D ．6【答案】B【分析】由AD 为中线得到ABD ADC S S =V V ，根据DE AB ^于点E ，DF AC ^于点F ，6,8,3AB AC DE ===列得1122AC DF AB DE ´=´，分别代入计算即可.【详解】解：Q 在ABC V 中，AD 为中线，∴ABD ADC S S =V V ，DE AB ∵⊥于E ，DF AC ^于,F 6AB = ，8AC =，3DE =，∴1122AC DF AB DE ´=´，∴1186322DF ´´=´´解得94DF =，故选：B.【点睛】此题考查三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形.29．（2021·全国八年级）如图，已知AD BC ^于点D ，BE AC ^于点E ，CF AB ^于点F ，则ABC V 中BC 边上的高是( )A ．CFB ．BEC ．CD D ．AD【答案】D【分析】从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求解即可．【详解】A 、CF ⊥AB ，∴线段CF 是△ABC 中AB 边上的高，此选项不符合题意；B 、BE ⊥AC ，∴线段BE 是△ABC 中AC 边上的高，此选项不符合题意；C 、CD 不是△ABC 的高，此选项不符合题意；D 、AD ⊥BC ，∴线段AD 是△ABC 中BC 边上的高，此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的高．准确识图并熟记三角形高的定义是解题的关键．30．（2021·全国八年级）以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．6cm ，7cm ，8cmC ．1cm ，1cm ，3cmD ．4cm ，4cm ，9cm【答案】B【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】A 、235+=，不能组成三角形，故本选项错误；B 、678+>，能组成三角形，故本选项正确；C 、1123+=<，不能组成三角形，故本选项错误；D 、4489+=<，不能组成三角形，故本选项错误．故选：B ．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．31．（2021·全国）下列长度的三根小木棒不能构成三角形的是（）A ．1，1，1B ．3，4，5C ．2，2，3D ．1，1，2【答案】D【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：A ，111+>，能构成三角形；B ，345+>，能构成三角形；C ，223+>，能构成三角形；D ，112+=，不能构成三角形．故选D ．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．32．（2021·新疆喀什地区·八年级期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长不可能是（）．A ．3B ．5C ．7D ．11【答案】D【分析】根据三角形的三边关系解答．【详解】设三角形的第三边为x，则5-3<x<5+3，2<x<8，故选：D．【点睛】此题考查三角形三边关系：三角形任意两边的和都大于第三边，熟记关系是解题的关键．33．（2021·天津红桥区·八年级期末）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，6cm B．3cm，4cm，8cmC．5cm，6cm，10cm D．5cm，6cm，11cm【答案】C【分析】根据三角形三边关系解答．【详解】A、∵2+3<6，∴以此三条线段不能组成三角形；B、3+4<8，∴以此三条线段不能组成三角形；C、∵5+6>10，∴以此三条线段能组成三角形；D、∵5+6=11，∴以此三条线段不能组成三角形；故选：C．【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．34．（2021·云南八年级期末）下列四个图形中，线段BE表示△ABC的高的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【详解】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．35．（2021·云南保山市·八年级期末）已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围．【详解】解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是1和4，∴4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5．故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．36．（2021·山东滨州市·八年级期末）若一个三角形的三边长分别为3，7，x，则x的值可能是（）A．6B．3C．2D．11【答案】A【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围，得到答案．【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，7，x，即4＜x＜10，四个选项中，A中，4＜6＜10，符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．37．（2021·江苏八年级期末）已知实数x、y满足|x－4|+ ＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形周长是（）A．20或16B．20C．16D．18【答案】B【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论．【详解】由题意可知：x-4=0，y-8=0，∴x=4，y=8，当腰长为4，底边长为8时，∵4+4=8，∴不能围成三角形，当腰长为8，底边长为4时，∵4+8＞8，∴能围成三角形，∴周长为：8+8+4=20，故选：B．【点睛】本题考查了算术平方根，以及三角形三边关系，解题的关键是正确理解非负性的意义，以及三角形三边关系，本题属于基础题型．38．（2021·广西钦州市·八年级期末）下列长度的三条线段中，有组成三角形的是（）A．3cm,4cm,9cm B．8cm,7cm,15cmC．12cm,13cm,24cm D．2cm,2cm,6cm【答案】C根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵3＋4=7<9，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；B、∵8＋7＝15，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；C、∵12+13=25>24，∴能构成三角形，故本选项符合题意；D、∵2＋2＝4＜6，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．39．（2021·广东八年级期末）如图，ABCV中，D、E分别是BC、AD的中点，若ABCV的面积是10，则ABE△的面积是（）A．54B．52C．5D．10【答案】B【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积.【详解】∵AD是BC上的中线，∴ S△ABD=S△ACD=12S△ABC ，∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴ S△ABE=S△BED=12S△ABD ，∴ S△ABE=14SΔABC，∵△ABC的面积是10，∴ S△ABE=14×10=52.【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，三角形一边上的中线把原三角形分成的两个三角形的面积相等.40．（2021·云南曲靖市·曲靖一中八年级期末）三角形的两边长分别是4和11，第三边+，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）长为34mA．B．C．D．【答案】A【分析】已知两边的长，第三边应该大于任意两边的差，而小于任意两边的和，列不等式进行求解后再进行判断即可．【详解】解：根据三角形的三边关系，得11-4＜3+4m＜11+4，解得1＜m＜3．故选：A．【点睛】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．41．（2021·江苏七年级期中）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（）A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定【答案】C【详解】a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．∵a，b，c是三角形的三边．∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．∴a2-2ab+b2-c2＜0．故选C．二、填空题42．（2021·富顺第二中学校八年级开学考试）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是_____．【答案】12cm．【详解】①当三边长分别为2，2，5时，因为2+2＜5，所以不符合题意；当三边长分别为2，5，5时，周长为2+5+5=12，故答案为12.43．（2021·湖北八年级期末）如图，△ABC中，D、E、F为BC、AD、BE的中点，若△CEF的面积是3，则△ABC的面积是________．【答案】12【分析】根据三角形的面积公式得到：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此进行答题即可．【详解】∵点F是BE的中点，∴S△EFC=12S△BCE．又∵点D是BC的中点，∴S△BDE=12S△BCE，S△ABD=12S△ABC，∴S△BDE=S△EFC=3，S△ABC=2S△ABD．又∵点E是AD的中点，∴S△BDE=12S△ABD，即S△ABD=2S△BDE=6，∴S△ABC=2S△ABD=12．故答案是12．【点睛】本题考查了三角形面积：三角形面积等于底边与底边上的高乘积的一半；等底等高的两三角形面积相等，等高的两三角形面积的比等于底边的比．44．（2021·固阳县第三中学八年级期中）等腰三角形的边长分别为6和8，则周长为。

专题三角形重难点题型分类(解析版)—八年级数学上册必刷题(人教版)

专题01 高分必刷题-三角形重难点题型分类（解析版）专题简介：本份资料包含《三角形》这一章在各次月考、期末中除压轴题之外的全部主流题型，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含七类题型：三角形的边长问题、多边形的内角和与对角线、三角形的三个角平分线模型、三角形的角度计算、8字模型、燕尾模型、折叠模型，本专题资料适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生月考、期末考前刷题时使用。

题型1：三角形的边长问题1．（2022·四川·成都）已知三角形两边长分别为4和9，则此第三边x 的取值范围是（） A ．5＜x ＜13B ．4＜x ＜9C ．18＜x ＜26D ．14＜x ＜22【详解】解：由三角形的三边关系得：9494x -<<+，即513x <<，故选：A ．2．（2021·河南周口）一个三角形的三边长分别为3，5，x ，若x 为偶数，则这样的三角形有（）个． A ．2B ．3C ．4D ．5【详解】解：根据题意得：5353x -<<+，即28x <<，∵x 为偶数，∴x 取4，6，即这样的三角形有2个．故选：A3．（2022·辽宁·沈阳）三角形两边长分别为4和7，若第三边的长为偶数，则这个三角形的周长可能是（） A ．15或12B ．15或19C ．16或17D ．19或23【详解】解：设三角形第三边的长为a ，∵三角形的两边长分别为4和7，∴7−4＜a ＜7＋4，即3＜a ＜11， ∵a 为偶数，∴a ＝4或a ＝6或a ＝8或a ＝10，当a ＝4时，这个三角形的周长＝4＋4＋7＝15；当a ＝6时，这个三角形的周长＝6＋4＋7＝17；当a ＝8时，这个三角形的周长＝8＋4＋7＝19；当a ＝10时，这个三角形的周长＝10＋4＋7＝21；综上所述，这个三角形的周长可能是15或17或19或21．故选：B ．4．（2022·四川成都）已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，b ，c 满足2(2)30b c -+-=，且a 为方程42x -=的解，则ABC 的周长为（） A ．4B ．5C ．7或11D ．7【详解】解：2(2)30b c -+-=，20b ∴-=且30c -=，2b ∴=、3c =，a 为方程42x -=的解，2a ∴=或6a =，又c b a c b -<<+，即15a <<，2a ∴=，则ABC 的周长为2237++=，故选：D ．5.已知实数x ，y 满足|x ﹣6|+＝0，则以x ，y 的值为两边的等腰三角形的周长为（）A ．27或36B ．27C ．36D ．以上答案都不对【解答】解：∵实数x ，y 满足|x ﹣6|+＝0，∴x ＝6，y ＝15．∵6、6、15不能组成三角形，∴等腰三角形的三边长分别为6、15、15，∴等腰三角形周长为6+15+15＝36．故选：C ．6．（2022·辽宁沈阳）已知a ，b ，c 是一个三角形的三边长，化简||||||a c b b c a a b c +-+-++--=_________．【详解】解：a ，b ，c 是一个三角形的三条边长，0＞∴+-a c b ，0＞-+b c a ，＜0a b c --，∴||||||a c b b c a a b c +-+-++--()a c b b c a a b c =+-+-+---a c b b c a a b c =+-+-+-++a b c =++，故答案为：a b c ++．7．已知a ，b ，c 分别为三角形的三边长，则化简|a ﹣b ﹣c |+|b ﹣c ﹣a |+|c ﹣a +b |的结果为（） A ．a +b +cB ．﹣a +b ﹣3cC ．a +2b ﹣cD ．﹣a +b +3c【解答】解：|a ﹣b ﹣c |+|b ﹣c ﹣a |+|c ﹣a +b |＝﹣a +b +c ﹣b +c +a +c ﹣a +b ＝﹣a +b +3c ，故选：D ．题型2：多边形的内角和、对角线8．（2022·广西·兴安）正多边形的一个内角等于144，则该多边形是正（）边形． A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：设正多边形是n 边形，由题意得（n -2）×180°=144°n ．解得n =10，故选：C ． 9．（2022·浙江·温州）若n 边形的内角和等于外角和的4倍，则边数n 是（） A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：根据题意得：()21803604n -⨯︒=︒⨯，解得：10n =，即边数n 是10．故选：C10．（2022·浙江杭州）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n =________．【详解】解：设这个多边形的边数为n ，依题意，得：()21802360n -⨯︒=⨯︒，解得：6n =．故答案为：6．11．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝．【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝32°．故答案是：32°． 12．（2020·四川·宜宾）如果一个多边形从一个顶点出发可以做7条对角线，则它的内角和是______．【详解】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，∴n −3＝7，解得n ＝10．十边形的内角和为：()1801021440︒⨯-=︒，故答案为：1440°． 13．一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，（1）求此正多边形的边数；（2）它有多少条对角线？【解答】解：（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多边形的每个外角为40°．又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数＝＝9．∴多边形的边数为9；（2）∵n边形的对角线条数为：n（n﹣3），∴当n＝9时，n（n﹣3）＝×9×6＝27，故有27条对角线．题型3：三角形的三个角平分线模型1、三角形的两内角角平分线模型14．（2022·山东滨州）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝88°，则∠BOC＝_____．【详解】∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，∠A＝88°，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠4=46°，∵∠2+∠4+∠BOC=180°，∴∠BOC=180°-46°=134°，故答案为：134°．15．（2022·山东济南）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果∠A＝54°，那么∠BOC的度数是（）A．97°B．117°C．63°D．153°【详解】∵BD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣12∠ABC﹣12∠ACB＝180°﹣12(∠ABC+∠ACB)，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，∴∠BOC＝180°﹣12×126°＝117°，故选：B．16．（2021·江苏·麒麟）如图，BI，CI分别是△ABC的角平分线，∠BIC=130°，则∠A=_______．【详解】解：∵BI ，CI 分别是△ABC 的角平分线，∴∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∵∠BIC ＝130°， ∴∠IBC ＋∠ICB ＝50°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝2×50°＝100°，∴∠A ＝180°−100°＝80°．故答案为：80°．17．（2021·福建·莆田）在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于O ，∠BOC ＝125°，则∠A 的度数为___．【详解】解：如图，∵∠BOC =125°，∴∠OBC +∠OCB =180°-125°=55°，∵∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于O 点，∴∠ABC =2∠OBC ，∠ACB =2∠OCB ，∴∠ABC +∠ACB =2（∠OBC +∠OCB ）=110°， ∴∠BAC =180°-110°=70°．故答案为：70°．2、三角形两外角角平分线模型18．如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC ＝．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，∴∠EAC ＝∠DAC ，∠ECA ＝∠ACF ；又∵∠B ＝40°（已知），∠B +∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），∴∠DAC +∠ACF ＝（∠B +∠2）+（∠B +∠1）＝（∠B +∠B +∠1+∠2）＝110°（外角定理）， ∴∠AEC ＝180°﹣（∠DAC +∠ACF ）＝70°．故答案为：70°．19．（2022·山东烟台）如图，已知ABC ，80A =∠，BF 平分外角CBD ∠，CF 平分外角BCE ∠，BG 平分CBF ∠，CG 平分外角BCF ∠，则G ∠=_________．【详解】解：∵∠DBC ＝∠A +∠ACB ，∠ECB ＝∠A +∠ABC ，∴∠DBC +∠ECB ＝∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ， ∵∠ACB +∠A +∠ABC ＝180°，∴∠DBC +∠ECB ＝∠A +180°＝80°+180°＝260°，∵BF 平分外角∠DBC ，CF 平分外角∠ECB ，∴∠FBC 12=∠DBC ，∠FCB 12=∠ECB ，∴∠FBC +∠FCB 12=（∠DBC +∠ECB ）＝130°， ∵BG 平分∠CBF ，CG 平分∠BCF ，∴∠GBC 12=∠FBC ，∠GCB 12=∠FCB ，∴∠GBC +∠GCB 12=（∠FBC +∠FCB ）＝65°，∴∠G ＝180°﹣（∠GBC ﹣∠GCB ）＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115°．3、三角形一个内角一个外角角平分线模型20．（2022·河南南阳）已知△ABC 中，①如图1，若点P 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠P ＝90°＋12∠A ；②如图2，若点P 是∠ABC 和外角∠ACE 的平分线的交点，则∠P ＝90°－∠A ；③如图3，若点P 是外角∠CBF 和外角∠BCE 的平分线的交点，则∠P ＝90°－12∠A ；上述说法正确的是__________________．【详解】解：①正确．P 点是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点， 111()(180)90222PBC PCB ABC ACB A A ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠， 111180()1809090222P ABC ACB A A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+∠=︒+∠；②错误．BP 是ABC ∆中ABC ∠的平分线，CP 是ACB ∠的外角的平分线，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCE ACE ∠=∠，ACE ∠是ABC ∆的外角，PCE ∠是BPC ∆的外角，ACE ABC A ∴∠=∠+∠，PCE PBC P ∠=∠+∠，∴111222ACE ABC A ∠=∠+∠，∴1122ABC A PBC P ∠+∠=∠+∠，即∠P=12∠A ；③正确，BP 、CP 为ABC ∆两外角的平分线，11()22BCP BCE A ABC ∴∠=∠=∠+∠，11(2)2PBC CBF A ACB ∠=∠=∠+∠，由三角形内角和定理得：180BPC BCP PBC ∠=︒-∠-∠1180[()]2A A ABC ACB =︒-∠+∠+∠+∠1180(180)2A =︒-∠+︒1902A =︒-∠；．故答案为：①③．21．（2022·山东泰安）如图①、②中，42A ∠=︒，12∠=∠，34∠=∠，则12O O ∠+∠的度数为（）A ．111B ．174C ．153D ．132【详解】解：∵①②中，∠A =42°，∠1=∠2，∠3=∠4，∴①中，1124(1234)(18042)6922∠+∠=∠+∠+∠+∠=⨯︒-︒=︒，故∠O 1=180°−69°=111°； ②中，∠O 2=∠4−∠2=12[(∠3+∠4)−(∠1+∠2)]=12∠A =21°；∴∠O 1+∠O 2=111°+21°=132°，故选：D ． 22．（2021·江苏无锡）如图，△ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒，AD 为∠CAB 的平分线，与∠ABC 的平分线BE 交于点E ，BG 是△ABC 的外角平分线，AD 与BG 相交于点G ，则∠ADC 与∠GBF 的和为（）A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°【详解】解：∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠CBA =90°，∵AE ，BE 分别平分∠CAB ，∠CBA ，∴∠EAB +∠EBA =12∠CAB +12∠CBA =45°，∵BG 平分∠CBF ，∴∠CBG =12∠CBF ，∵∠CBE =12∠CBA ， ∴∠CBE =∠CBG +∠CBE =12∠CBF +12∠CBA =90°，∴∠G =90°-45°=45°，∵∠ADC =∠BDG ， ∴∠ADC +∠GBF =∠BDG +∠DBG =180°-∠G =135°，故选：B ． 23．（2022·山东泰安）如图，在△ABC 中，设∠A ＝x °，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A ，得∠A 1；∠A 1BC与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；…；∠A 2021与∠A 2021CD 的平分线相交于点A 2022，得∠A 2022，则∠A 2022是（）度．A ．202012x B ．202112x C ．202212x D ．202312x【详解】解：∵∠ACD 是△ABC 三角形的外角，∠A 1CD 是△A 1BC 的外角，∴∠A =∠ACD -∠ABC ，∠A 1=∠A 1CD -∠A 1BC ，∵BA 1和CA 1分别是∠ABC 和∠ACD 的角平分线，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，∴∠A 1=12∠ACD -12∠ABC =12∠A =12x °，同理可得，∠A 2=12∠A 1=12×12x °，∠A 3=12∠A 2=12×12×12x °，…，∴∠A 2022=202212x °，故选：C ．题型4：三角形的角度计算24．（2022·浙江绍兴）如图，AB CD ∥，AE 平分∠BAC ，且与CD 相交于点E ，若∠C ＝50°，则∠AEC 的度数为___________．【详解】解：因为AB CD ∥，180C BAC ∴∠+∠=︒，又50C ∠=︒，130BAC ∴∠=︒，AE ∵平分BAC ∠，1652EAC BAC ∴∠=∠=︒，180()65AEC C EAC ∴∠=︒-∠+∠=︒．故答案为：65︒．25．（2022·江苏无锡）将一副三角板（含30°、45°的直角三角形）如图摆放，则图中∠1的度数为_______．【详解】解：由三角形的外角性质得：∠1=30°+90°=120°．故答案为：120°．26．（2022年江苏）一副三角板如图放置，45A ∠=︒，30E ∠=︒，DE AC ∥，则1∠=_________︒．【详解】解：如图，∵DE AC ∥，∴245A ∠=∠=︒，30E ∠=︒，90F ∠=︒，60D ∴∠=︒，124560105D ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：105．27．（2022·江苏·江阴）把一副常用的三角板如图所示拼在一起，点B 在AE 上，那么图中∠ABC =_____°．【详解】解：∵∠BAC =45°，∠BCA =60°，∴∠ABC ＝180°−（∠BAC ＋∠BCA ）＝75°．故答案为：75． 28．（2022·江苏·江阴）如图，已知△ABC 中，AD BC ⊥于D ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝80°，∠C ＝40°，则∠DAE =_________度．【详解】解：∵∠B =80°，∠C =40°，∴∠BAC =180°-∠B -∠C =180°-80°-40°=60°，∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE =∠CAE =12∠BAC =30°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°，∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =10°， ∴∠DAE =∠BAE -∠BAD =30°-10°=20°，故答案为：20．29．（2018·山东德州）如图，在△ABC 中，∠B =40°，∠C =80°，AD 是BC 边上的高，AE 平分∠BAC ，（1）求∠BAE 的度数；（2）求∠DAE 的度数．【详解】解：（1）∵在△ABC 中，∠ABC =40°，∠ACB =80°，∴∠BAC =180°-40°-80°=60°， ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =30°；（2）∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADB =90°，∴∠BAD =180°-90°-40°=50°，∴∠DAE =∠BAD -∠BAE =50°-30°=20°．30．（2021·北京）如图，在ABC 内，AD 是BC 边上的高，BE 平分ABC ∠交AC 边于E ，60BAC ∠=︒，25ABE ∠=︒，求DAC ∠的度数．【详解】解：BE 平分ABC ∠，12ABE CBE ABC ∴∠=∠=∠，25ABE ∠=︒，50ABC =∴∠︒，AD 是BC 边上的高，90ADB ∴∠=︒，则在ABD △中，90BAD ABD ∠=︒-∠9050=︒-︒40=︒，DAC BAC BAD ∠=∠-∠，60BAC ∠=︒， 604020DAC ∴∠=︒-︒=︒．31．（2020·黑龙江）如图，已知∠A ＝20°，∠B ＝27°，AC ⊥DE ，求∠1，∠D 的度数．【详解】∵AC ⊥DE ，∴∠APE =90°．∵∠1是△AEP 的外角，∴∠1=∠A +∠APE ．∵∠A =20°， ∴∠1=20°+90°=110°．在△BDE 中，∠1+∠D +∠B =180°，∵∠B =27°， ∴∠D =180°﹣110°﹣27°=43°．32．（2021·湖北）如图，在△ABC 中，∠A =40°，∠B =76°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于点D ，DF ⊥CE 于点F ，求∠CDF 的度数．【详解】解：∵∠A =40°，∠B =76°∴∠ACB =180°﹣40°﹣76°=64°，∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE =∠BCE =32°， ∴∠CED =∠A +∠ACE =72°∵CD ⊥AB ，DF ⊥CE ，∴∠CDF +∠ECD =∠ECD +∠CED =90°，∴∠CDF =∠CED =72°．33．如图，AD 是△ABC 的高，AE 、BF 是△ABC 的角平分线，它们相交于点O ，∠BAC ＝60°，∠C ＝70°．（1）求∠CAD 的度数．（2）求∠BOA 的度数．【解答】解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∵∠C ＝70°，∴∠CAD ＝180°﹣90°﹣70°＝20°；（2）∵∠BAC ＝60°，∠C ＝70°，∴∠BAO ＝30°，∠ABC ＝50°，∵BF 是∠ABC 的角平分线， ∴∠ABO ＝25°，∴∠BOA ＝180°﹣∠BAO ﹣∠ABO ＝180°﹣30°﹣25°＝125°．题型5：8字模型34．（2021·黑龙江）如图，90A D ∠=∠=︒，若31B ∠=︒，则DCE ∠=______°.【详解】解：∵31B ∠=︒，90A ∠=︒,∴90903159DCE ACB B ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：59 35．（2022·重庆）如图，已知1135∠=︒，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=______度．【详解】解：连接BC ，∵32180A D ACB DBC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，23∠∠=，∴A D ACB DBC ∠+∠=∠+∠，∴A D EBD ACF ACB DBC EBD ACF FCB EBC ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠． ∵1E F FCB EBC ∠=∠+∠=∠+∠，∴1A D EBD ACF ∠+∠+∠+∠=∠．∵1135∠=︒， ∴21270A EBD ACF D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠=︒．故答案为：270．36．如图，AE 是∠BAD 的平分线，CE 是∠BCD 的平分线，且AE 与CE 相交于点E ．若∠D ＝40°，∠B ＝30°，则∠E 的度数为______．【详解】解：∵AE 是∠BAD 的平分线，CE 是∠BCD 的平分线，∴12DAE BAE DAB ∠=∠=∠，12DCB DCE DCB ∠==∠∠，∵∠D =40°，∠B =30°，∠D +∠DCB =∠B +∠BAD ①，∴∠BAD -∠DCB =10°，∴∠DAE -∠DCE =5°，∵∠D +∠DCE =∠E +∠DAE ②，由①+②，得：2∠D +∠DCB +∠DCE =∠E +∠B +∠BAD +∠DAE ，80°+3∠DCE =30°+∠E +3∠DAE ，∴50°-3（∠DAE -∠DCE ）=∠E ， ∴∠E =35°．故答案为：35°．37．（2022·山西吕梁）如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC=57°，∠AFC=63°，则∠BAF的度数为____________________ ．【详解】解：过点F作FG∥AB，如图所示，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FG，∴∠DCF=∠GFC，∠BAF=∠GF A，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF=∠FCE=x，则∠GFC=x，∠GF A=∠AFC-∠GFC=63°-x，∴∠BAF=∠AFG =63°-x，在∆CFH中，∠CHF=180°-∠FCE-∠AFC=180°-x-63°=117°-x，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠EAF=632x︒-，在∆AEH中，∠EHA=180°-∠EAH-∠E=180°-632x︒--57°=123°-632x︒-，∵∠EHA=∠FHC，∴117°-x=123°-632x︒-，解得：x=17°，∴∠BAF=63°-17°=46°，故答案为：46°．38．（2020·安徽）如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的角平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题：(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；(2)在图②中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；(3)如果图②中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)．【答案】（1）∠A +∠D =∠B +∠C ；（2）38°；（3）2∠P =∠B +∠D【详解】解：（1）在AOD △中，180AOD A D ∠=︒-∠-∠，在BOC 中，180BOC B C ∠=︒-∠-∠，AOD BOC ∠=∠（对顶角相等），180180A D B C ∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，A D B C ∴∠+∠=∠+∠；（2）40D ∠=︒，36B ∠=︒，4036OAD OCB ∴∠+︒=∠+︒，4OCB OAD ∴∠-∠=︒，AP 、CP 分别是DAB ∠和BCD ∠的角平分线，12DAM OAD ∴∠=∠，12PCM OCB ∠=∠，又DAM D PCM P ∠+∠=∠+∠，1()382P DAM D PCM OAD OCB D ∴∠=∠+∠-∠=∠-∠+∠=︒；（3）根据“8字形”数量关系，OAD D OCB B ∠+∠=∠+∠，DAM D PCM P ∠+∠=∠+∠，所以，OCB OAD D B ∠-∠=∠-∠，PCM DAM D P ∠-∠=∠-∠，AP 、CP 分别是DAB ∠和BCD ∠的角平分线，12DAM OAD ∴∠=∠，12PCM OCB ∠=∠， ∴1()2D B D P ∠-∠=∠-∠，整理得，2P B D ∠=∠+∠．39．（2020·河北·保定）图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N.试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系：；（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P 的度数.（3）图2中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系.【详解】解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC ，∴∠A+∠D=∠C+∠B ；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP ，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P ，② ∵∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，∴∠DAP=∠PAB ，∠DCP=∠PCB ，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P ，即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，∴∠P=45°；（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.题型6：燕尾模型40．（2018·云南·腾冲）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E，在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2，∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3，∴∠A+∠1=∠P+∠3 ，∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC，∴∠1=∠2,∠3=∠4，∴∠A+∠2=∠P+∠4，由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C ，∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P；（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3,同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2 ，∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3，∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC，∴∠1=∠2,∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3 ，∴∠A+∠C=2∠P41．如图（1），由三角形的内角和或外角和可知：∠ABC＝∠A+∠C+∠O在图（2）中，直接利用上述的结论探究：①若AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，且∠O＝80°∠B＝120°，求∠ADC的度数②AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，猜想∠O，∠ABC，∠ADC之间的等量关系，并说明理由．【解答】解：①根据题意得：∠OAB+∠OCB＝∠B﹣∠O＝120°﹣80°＝40°，∵AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，∴∠OAD+∠OCD＝×40°＝20°，∴∠ADC＝∠O+∠OAD+∠OCD＝80°+20°＝100°；②由题意得：∠ADC＝∠OAD+∠OCD+∠O，∠ABC＝∠OAB+∠OCB+∠O，∵AD、CD是∠OAB、∠OCB的平分线，∴∠BAD＝∠OAD、∠OCD＝∠BCD，∴∠ABC＝2∠ADC﹣∠O．42．（2022·全国）如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论．．．．．．，解决以下三个问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2 、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A 的度数=__________°．【详解】解：（1）连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．故答案是：40；②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°；∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=12∠ADB,∠AEC=12∠AEB，∴∠DCE＝12(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；③由②知，∠BG1C＝110(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，∵∠BG1C＝77°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，∴110(140﹣x)＋x＝77，∴14﹣110x+x＝77，∴x＝70，∴∠A为70°．故答案是：70．题型7：折叠模型43．（2021·江西）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB ＝___．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，∴∠B =90°-50°=40°，由折叠可知∠DA ′C =∠A ＝50°，∴∠A ′DB =∠DA ′C -∠B =50°-40°=10°，故答案为：10°．44．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若∠ABE ＝25°，则∠EFC '的度数为（）A ．122.5°B ．130°C ．135°D ．140°【解答】解：Rt △ABE 中，∠ABE ＝25°，∴∠AEB ＝65°；由折叠的性质知：∠BEF ＝∠DEF ；而∠BED ＝180°﹣∠AEB ＝115°，∴∠BEF ＝57.5°；易知∠EBC ′＝∠D ＝∠BC ′F ＝∠C ＝90°， ∴BE ∥C ′F ，∴∠EFC ′＝180°﹣∠BEF ＝122.5°．故选：A ．45．（2022·四川宜宾）如图，将四边形纸片ABCD 沿EF 折叠，点A 落在1A 处，若1288∠+∠=︒，则A ∠的度数是_______．【详解】解：如下图，∵四边形纸片ABCD 沿EF 折叠，点A 落在A 1处，∴∠3+∠4=12（180°-∠1）+12（180°-∠2）=180°-12（∠1+∠2），∵∠1+∠2=88°，∴∠3+∠4=180°-12×88°=180°-44°=136°，在△AEF 中，∠A =180°-（∠3+∠4）=180°-136°=44°，故答案为：44°．46．（2021·湖北·咸丰）如图，在三角形纸片ABC 中，7470A B ∠=︒∠=︒，．将三角形纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 内，如果130∠=︒，那么2∠=___________．【详解】解：如图延长AE 、BF 交于点C '，连接C C '．在△AB C '中，∠A C 'B ＝180°−74°−70°＝36°，∵∠ECF ＝∠A C 'B ＝36°，∠1＝∠EC C '＋∠E C 'C ，∠2＝∠FC C '＋∠F C 'C ，∴∠1＋∠2＝∠EC C '＋∠E C 'C ＋∠FC C '＋∠F C 'C ＝2∠A C 'B ＝72°， ∵∠1＝30°，∴∠2＝42°，故答案为：42°．47．如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B ＝度．【解答】解：∵△ABC 沿着DE 翻折，∴∠1+2∠BED ＝180°，∠2+2∠BDE ＝180°，∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°，∴∠B＝40°．故答案为：40°．。

培优训练——三角形人教版八年级数学上册

；（用含 x，y 的代数式表示）
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（3）如图 2，若△ABC 是钝角三角形，其他条
件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由. （3）解：（2）中的结论成立．理由如下. ∵∠B=x，∠ACB=y， ∴∠BAC=180°-x-y. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠DAC= ∠BAC=90°- x- y.
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12. 【探究】如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点 P.
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A= 50 度，∠P= 115 度；
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（3）【应用】如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平
分线与∠ACB 的平分线相交于点 P. ∠ABC
的外角平分线与∠ACB 的外角平分线相交于
点 Q.直接写出∠A 与∠Q 的
数量关系为
.
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6. 如图， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 540° .
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7. 如图，∠B=∠C，DE⊥BC 于点 E，EF⊥AB 于点 F，若∠ADE=140°，则∠FED= 50° .

三角形培优训练100题集锦(一)2024

三角形培优训练100题集锦（一）【引言概述】三角形是数学中的一个重要几何概念，对于学生的数学培优训练具有重要意义。

本文整理了一份包含一百道三角形相关题目的训练集锦，旨在帮助学生系统地掌握三角形的性质、定理和计算方法，提高解题能力。

以下将从五个大点来阐述这份题集的内容。

【大点1：三角形基础知识】1. 三角形的定义及分类2. 三角形内角和的性质3. 三角形边长关系：三角不等式定理4. 三角形的周长和面积计算公式5. 三角形的特殊点：重心、垂心、外心、内心、费马点等【大点2：三角形的相似与全等】1. 相似三角形的性质2. 判定三角形相似的方法3. 三角形的全等的条件4. 利用相似三角形或全等三角形解题的方法5. 实际问题中的应用：测量、定位、相似比例等【大点3：三角形的角与线段关系】1. 角的平分线与垂直平分线的特点2. 三角形的角平分线定理3. 三垂线定理与垂心定理4. 外角与内角的关系5. 角与弧的关系及其应用：圆周角、弦切角、弧度制等【大点4：三角形的特殊性质与定理】1. 等腰三角形的性质与判定2. 直角三角形的性质与判定3. 正三角形的性质及计算4. 等边三角形的性质及计算5. 锐角三角形和钝角三角形的性质及判定【大点5：三角形的应用问题】1. 三角形的角度测量与边长测量2. 三角形在建筑工程中的应用：测量高度、角度与距离3. 三角形在地理学中的应用：测量地底深度、地图测量等4. 三角形在航空航天领域的应用：导航、角度计算等5. 三角形在日常生活中的应用：地理问题、旅行导航、地震角度计算等【总结】通过对本文中所整理的三角形培优训练100题集锦的学习，同学们将能够掌握三角形的基础知识，灵活运用三角形的相似与全等等性质和定理，熟练解决三角形的角与线段关系问题，理解各种特殊三角形的性质，并能够应用三角形的知识解决实际问题。

这将为学生的数学学习和思维能力的提高提供坚实的基础。

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三角形重难点培优突破
1、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a+b-c ︱+︱b-a-c ︱-︱c-a+b ︱
2、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a-b-c ︱+︱b-c-a ︱-︱c+a-b ︱.
3、为△ABC 内任意一点，BP 延长线交AC 于D ，试说明：（1）AB+AC+BC>2BD （2）AB+AC>PB+PC
4、所示②③两条路线，哪一条比较近？为什么？
5、三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6cm 和15cm 的两部分，求此三角形的腰和底边的长.
6、所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63º，求∠DAC 的度数．
7、图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数.
A
B C
D
P ②
③
A
B
C D
E
2
1C
A
8、已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为。

9如图，把△ABC的纸片沿着DE折叠．
（1）若点A落在四边形BCDE的内部点A′的位置．（如图1）且∠1=40°，∠2=24°，求：∠A′的度数；
（2）若点A落在四边形BCDE的外部（BE的上方）点A′的位置（如图2），则∠A′与∠1，∠2有怎样的关系？请说明你的理由；
（3）若点A落在四边形BCDE的外部（CD的下方）点A′的位置（如图3），∠A′与∠1，∠2又有怎样的关系？直接写出你的结论．
10、，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，BD是∠NBA的平分线，BD的反向延长线与∠BAO的平分线相交于点C．试猜想：∠ACB的大小是否随A、B的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B的移动发生变化，请给出变化范围．
11、如图
（1），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，这时∠EFM与∠B、∠C之间又有何数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要证明．
12、（09•顺义区一模）取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．
试问：（1）当α为多少度时，能使得图2中AB∥DC；
（2）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．
13、探索：在图1至图3中，已知△ABC的面积为a，
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）
（2）如图2，延长△ABC
的边BC到点D，延长边CA
到点E，使CD=BC，AE=CA，
连接DE．若△DEC的面积
为S2，则S2=
（用含a的代数式表示）
（3）在图2的基础上延长
AB到点F，使BF=AB，连接
FD，FE，得到△DEF（如图
3）．若阴影部分的面积为
S3，则S3= （用
含a的代数式表示），并
运用上述（2）的结论写出
理由．
发现：像上面那样，将△
ABC各边均顺次延长一倍，
连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩
展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的倍．
应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC
的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）．在第一
次扩展区域内种谎话，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的
区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：
（1）种紫花的区域的面积；
（2）种蓝花的区域的面积．
14、已知△ABC中，∠BAC=100°．
（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；
（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，
如图2所示，试求∠BOC的大小；
（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3
所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所
成的角．
15、如图，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB
（1）如图1，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE；
（2）如图2，若∠DAE=α，∠DBE=β，求∠DCE（用α，β表示）。