人教A版高中数学必修五1.1.3正、余弦定理习题课测试(教师版)
人教A版高中数学必修五余弦定理同步练习
随堂手记
§1.1.2余弦定理
✂ 学习目标
1、 理解并掌握余弦定理的推导过程。
解析法、三角法。
了解向量法。
2、 掌握利用余弦、正弦定理解1)两边一夹角；2）三边的三角形问题。
✂ 新课预习：
思考：你能解决课本P5的探究问题吗？
你的结论是：
提示：法一：建立坐标系；法二：三角形法
★ 研究成果应用：
1、ABC ∆中a=1，b=1，C=120o ，求c
2、ABC ∆中a=3，b=4，
思考：ABC ∆中
:2,求A 、B 、C
✂ 新课导学：
★ 探究：
余弦定理 ：（求边）
（1） （2） （3） ★ 推论：（求角）
（1） （2） （3） 总结提升
★ 利用正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？余弦定理呢？
正弦定理 ： 余弦定理：
例3、（1）ABC ∆中，
,C= 75o ，解三角形
（2）在ABC ∆
中，已知6,8,a b c ===，求角C 。
例4：在ABC ∆中，已知bc c b a ++=222，求角B.
变式练习：在ABC ∆中，已知()()3,a b c a b c ac ++-+=求角C.
★ 小 结
1.正弦定理能解决哪些问题： ；
2.余弦定理能解决哪些问题： ; 课 后 记。
2021年高中数学 1.1.3正、余弦定理综合练习 新人教A版必修5
2021年高中数学 1.1.3正、余弦定理综合练习 新人教A 版必修5►基础梳理1.(1)三角形三个角均为____角的三角形叫锐角三角形．(2)三角形ABC 中，cos A ·cos B ·cos C ＞0，则该三角形必为__________三角形．2．(1)三角形三个角中最大的角为____角的三角形叫直角三角形；三角形三个角中最大的角为____角的三角形叫钝角三角形．(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则该三角形必为__________三角形．3．在△ABC 中，若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 必是______三角形． 4．有____条边相等或____个内角相等的三角形为等腰三角形；____条边均相等或______个内角均相等的三角形叫等边三角形．5．S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A.已知a ＝2，b ＝3，C ＝30°，则三角形ABC 的面积S △ABC ＝________．基础梳理 1．(1)锐 (2)锐角2．(1)直 钝(2)解析：由正弦定理知：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，只需考察角C 的大小即可，设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k .由余弦定理可得：cos C ＝－14＜0，所以C 为钝角，该三角形必为钝角三角形． 答案：钝角3．解析：∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，∴∠C 为钝角．答案：钝角4．两 两 三 三 5.32►自测自评1．在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是( ) A ．b ＝20，A ＝45°，C ＝80° B ．a ＝30，c ＝28，B ＝60° C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45° D ．a ＝12，c ＝15，A ＝120°2．在钝角△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( )A ．1＜c ＜3B ．2＜c ＜3C .5＜c ＜3D ．22＜c ＜33．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A .518B .34C .32 D .78自测自评1．C 2．C3．解析：设三角形的底边长为a ，则周长为5a . ∴等腰三角形腰的长为2a ，由余弦定理可知 cos a ＝（2a ）2＋（2a ）2－a 22·2a ·2a ＝78.答案：D►基础达标 1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则角B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 1．解析：由sin A a ＝cos Bb及正弦定理得：sin A sin A ＝cos Bsin B ， ∴cos Bsin B＝1，tan B ＝1.又∵0°<B <180°， ∴B ＝45°，故选B. 答案：B2．(xx·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( )A ．3B .932 C .332D ．33 2．解析：因为c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，所以由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，所以－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6，因此△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C.答案：C3．在△ABC 中，cos 2B2＝a ＋c 2c，则△ABC 是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形3．B4.在三角形ABC 中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．115° 4．B5．(xx·福建卷)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 5. 解析：在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B ，解得sin B ＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－（23）2×23＝2 3.答案：2 3►巩固提高6．(xx·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．6．解析：∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c ，∴b ＝32c ，代入b －c ＝14a 得a ＝2c ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.答案：－147．(xx·辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )A .π6B .π3C .2π3D .5π67．解析：由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，又因为sin B ≠0，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，所以sin(A ＋C )＝sin B ＝12.因为a >b ，所以∠B ＝π6.答案：A8．(xx·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．8．解析：由已知sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab ＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab≥26ab －22ab8ab＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b＝23时等号成立． 答案：6－249．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A. (1)求A;(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.9．解析：(1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C ＝sin C .由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.10．在△ABC 中，已知∠B＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．10．解析：在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12.∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°，在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B.∴AB＝AD·sin∠ADBsin B＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.1．正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理．2．三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯．3．注意A＋B＋C＝π式的运用，sin A＝sin(B＋C)．39006 985E 類)20784 5130 儰23379 5B53 孓30076 757C 畼33202 81B2 膲40430 9DEE 鷮421146 529A 劚 W*k23017 59E9 姩22570 582A 堪。
必修5余弦定理同步测试带答案新人教A版
适用精选文件资料分享必修5 余弦定理同步测试（带答案新人教 A 版）必修 5 余弦定理同步测试（带答案新人教 A 版）课时目标 1 ．娴熟掌握正弦定理、余弦定理； 2 ．会用正、余弦定理解三角形的有关问题． 1 ．正弦定理及其变形 (1)asin A ＝bsin B ＝csin C ＝2R. (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C. (3)sin A＝a2R ，sin B＝b2R，sin C ＝c2R. (4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a∶b∶c. 2 ．余弦定理及其推论 (1)a2 ＝b2＋c2－2bccos_A. (2)cos A ＝b2＋c2－a22bc. (3)在△ABC中，c2 ＝a2＋b2? C为直角；c2>a2＋b2? C为钝角；c2<a2 ＋b2? C为锐角． 3 ．在△ ABC中，边 a、b、c 所对的角分别为A、B、C，则有： (1)A ＋B＋C＝π，A＋B2＝π2－C2. (2)sin(A ＋B)＝sin_C ，cos(A ＋B)＝－ cos_C ，tan(A ＋B)＝－ tan_C. (3)sin A＋B2＝cos C2，cos A ＋B2＝sin C2. 一、选择题1．已知 a、b、c 为△ ABC的三边长，若满足 (a ＋b－c)(a ＋b＋c) ＝ab，则∠C的大小为 () A．60° B．90° C．120° D．150°答案C 分析∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，即 a2＋b2－c22ab＝－ 12，∴cos C ＝－ 12，∴∠ C＝120 °. 2 ．在△ABC中，若 2cos Bsin A＝sin C，则△ ABC的形状必定是 () A．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形答案C 分析∵2cos Bsin A ＝ sin C ＝sin(A ＋B)，∴sin Acos B －cos Asin B ＝ 0 ，即 sin(A －B)＝0，∴ A＝ B. 3. 在△ ABC中，已知 sin A∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( ) A．30°B．60° C．90° D．120°答案 B 分析∵a∶b∶c＝ sin A∶ sinB ∶sinC ＝3∶5∶7，没关系设 a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，则 cos C＝32＋52－722×3×5＝－ 12. ∴C＝120°. ∴最小外角为60°. 4 ．△ ABC的三边分别为 a，b，c 且满足 b2＝ac,2b ＝a＋c，则此三角形是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案 D 分析∵2b＝a＋c，∴4b2＝ (a＋c)2 ，即 (a －c)2 ＝0. ∴a＝c. ∴2b＝ a＋c＝2a. ∴b＝ a，即 a＝b＝c. 5 ．在△ ABC中，角 A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若 C＝120°， c ＝2a，则 ( ) A ．a>b B．a<b C．a＝b D．a 与 b 的大小关系不可以确立答案 A 分析在△ ABC中，由余弦定理得， c2 ＝a2＋b2－2abcos 120 °＝ a2＋b2＋ab. ∵c＝ 2a，∴ 2a2＝a2＋b2＋ab. ∴a2－ b2＝ab>0，∴ a2>b2，∴ a>b. 6 ．假如将直角三角形的三边增添相同的长度，则新三角形的形状是( ) A．锐角三角形B ．直角三角形C．钝角三角形D．由增添的长度确立答案A 分析设直角三角形三边长为 a，b，c，且 a2＋b2＝c2，则(a ＋x)2 ＋(b ＋x)2－(c ＋x)2 ＝a2＋b2＋2x2＋2(a ＋b)x －c2－2cx－x2＝2(a ＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x 所对的最大角变成锐角．二、填空题 7 ．在△ ABC 中，边 a，b 的长是方程 x2－5x＋ 2＝0 的两个根， C＝60°，则边 c＝________. 答案 19 分析由题意： a＋b＝5，ab＝2. 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C ＝a2＋b2－ab＝(a ＋b)2 －3ab＝52－3×2＝ 19，∴c＝ 19. 8 ．设 2a＋ 1，a,2a － 1 为钝角三角形的三边，那么 a 的取值范围是 ________．答案 2<a<8 分析∵2a－ 1>0，∴a>12，最大边为 2a＋1. ∵三角形为钝角三角形，∴ a2＋ (2a －1)2<(2a ＋1)2 ，化简得： 0<a<8.又∵ a＋ 2a－1>2a＋1，∴a>2，∴2<a<8. 9 ．已知△ ABC的面积为 23，BC＝5，A＝60°，则△ ABC的周长是 ________．答案 12 分析 S△ABC＝12AB?AC?sin A ＝12AB?AC?sin60°＝ 23，∴AB?AC＝ 8，BC2＝AB2＋AC2－2AB?AC?cos A＝AB2＋AC2－AB?AC＝( AB ＋AC)2－3AB?AC，∴(AB＋ AC)2＝BC2＋3AB? AC＝49，∴AB＋ AC＝7，∴△ ABC的周长为 12. 10．在△ ABC 中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝ 3，则△ ABC外接圆的面积是 ________．答案 13π3 分析 S△ABC＝ 12bcsin A ＝34c＝3，∴c＝4，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝ 13，∴a＝13.∴2R＝asin A ＝1332＝2393，∴R＝393. ∴S外接圆＝πR2＝13π3.三、解答题11．在△ ABC中，求证：a2－b2c2＝－C. 证明右侧＝sin Acos B－cos Asin Bsin C＝sin Asin C?cos B－s in Bsi n C?cos A ＝ac?a2＋ c2－b22ac－bc?b2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b22c2－b2＋c2－a22c2＝a2－b2c2＝左侧．因此 a2－b2c2＝－在△ ABC中， a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边的长，cosB = ，且 ? ＝－ 21. (1) 求△ ABC的面积； (2) 若 a＝7，求角 C. 解（1）∵ ?? ? ＝－ 21，∴ ?? ? =21. ??∴ ? = | |?||?cosB = accosB = 21. ??∴ac=35，∵ cosB =，∴??sinB = . ??∴S△ABC = acsinB =×35× = 14.??(2)ac ＝35， a＝7，∴ c＝5. 由余弦定理得， b2＝a2＋c2－2accos B＝32，∴b＝42. 由正弦定理：csin C ＝bsin B. ∴sin C ＝cbsin B ＝542×45＝22. ∵c<b 且 B 为锐角，∴C必定是锐角．∴C＝45°. 能力提高 13 ．已知△ ABC中，AB＝1，BC＝2，则角 C的取值范围是 ( ) A．0<C≤π6 B．0<C<π2C.π6<C<π2D. π6<C≤π3 答案 A 分析方法一 ( 应用正弦定理)∵ABsin C ＝ BCsin A ，∴ 1sin C ＝2sin A ∴sin C ＝ 12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12. ∵AB<BC，∴ C<A，∴C 为锐角，∴0<C≤ π6. 方法二 ( 应用数形联合 ) 以下列图，以 B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线 BC上的点外，都可作为 A 点．从点C向圆B作切线，设切点为 A1和 A2，当 A 与 A1、A2 重合时，角 C最大，易知此时： BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴ C＝π6，∴0<C≤ π6. 14．△ ABC中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知 b2＝ac 且cos B ＝34. (1) 求 1tan A ＋1tan C 的值；（2）设 ? = ，求 a+c 的值. ?? 解 (1) 由 cos B ＝34，得 sin B ＝1－342＝74. 由 b2＝ac及正弦定理得 sin2 B＝sin Asin C. 于是 1tan A＋1tan C＝cos AsinA＋cos Csin C＝sin Ccos A＋cos Csin Asin Asin C＝＋＝s in Bsin2 B ＝1sin B ＝477. (2) 由 ? = 得 ca?cosB = 由cos B ＝34，可得 ca＝2，即 b2＝2. 由余弦定理： b2＝a2＋c2－2ac?cos B ，得 a2＋c2＝b2＋2ac?cos B ＝ 5，∴(a ＋ c)2 ＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴ a＋c＝3. 1 ．解斜三角形的常有种类及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个 ( 最少有一边 ) 才能求解，常有种类及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角 ( 如 a，B，C) 正弦定理由 A＋B＋C＝180°，求角 A；由正弦定理求出 b 与 c. 在有解时只有一解．两边和夹角( 如a，b，C) 余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由 A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解．三边 (a ，b，c) 余弦定理由余弦定理求出角 A、B；再利用 A＋B＋C＝180°，求出角C.在有一解时只有一解 . 两边和此中一边的对角如 (a ，b，A) 余弦定理正弦定理由正弦定理求出角 B；由 A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c. 可有两解、一解或无解 . 2. 依据所给条件确立三角形的形状，主要有两种门路(1) 化边为角； (2) 化角为边，并常用正弦 ( 余弦 ) 定理实行边、角变换．。
人教A版高中数学必修5：余弦定理 课时练习
课时作业 2 余弦定理[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则cos B ＝( ) A ．－18 B.18C ．－916 D.916解析：由余弦定理的推论得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋36－252×4×6＝916.答案：D2．在△ABC 中，c 2－a 2－b 2＝3ab ，则角C 为( ) A ．30° B．60°C ．150° D．45°或135°解析：由已知得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32.因为0°<C <180°，所以C ＝150°.答案：C3．在△ABC 中，A ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 解析：在△ABC 中，∵A ＝60°，a 2＝bc ，∴由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， ∴bc ＝b 2＋c 2－bc ，即(b －c )2＝0，∴b ＝c ，结合A ＝60°，得△ABC 一定是等边三角形．故选D. 答案：D4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．－5解析：cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17，∴cos〈AB →，BC →〉＝－17，∴AB →·BC →＝5×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝－5. 答案：D5．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4解析：由余弦定理的推论，得b cos C ＋c cos B ＝b ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，因为A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，所以得49＝25＋AC 2＋5AC ， 即AC 2＋5AC －24＝0， 解得AC ＝3或－8(舍去)． 所以AC ＝3.所以sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：357．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°； ③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ：B ：C ＝1：2：3，则a ：b ：c ＝1：2：3. 其中正确的序号为________．解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，所以A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ：b ：c ＝1：3：2，错误． 答案：①8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由余弦定理易得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝4＋12－42×2×23＝32，所以C ＝30°，B ＝30°.在△ABD 中，由正弦定理得ADsin B ＝AB sin∠ADB ，所以AD 12＝222， 所以AD ＝ 2. 答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解析：由余弦定理的推论及已知，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23.设AC 边上的中线长为x ，由余弦定理知，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB ·cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，解得x ＝7.所以AC 边上的中线长为7.10．已知△ABC 是锐角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足sin 2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＋sin 2B . (1)求角A 的值．(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求△ABC 的周长． 解析：(1)△ABC 是锐角三角形，sin 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cosB ＋cos π3sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos B －cos π3sin B＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34，所以sin A ＝±32.又A 为锐角，所以A ＝π3(2)由AB →·AC →＝12，得bc cos A ＝12 ①， 由(1)知A ＝π3，所以bc ＝24 ②，由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将a ＝27及①代入可得c 2＋b 2＝52 ③， ③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，所以c ＋b ＝10，△ABC 的周长是10＋27.[能力提升](20分钟，40分)11．已知在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，则这个三角形的最大角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D．120°解析：设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C化简已知的等式得，A ：b ：c ＝3：5：7，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，k ＞0， 根据余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 230k 2＝－12. ∵0°＜C ＜180°，∴C ＝120°. ∴这个三角形的最大角为120°.故选D. 答案：D12．在△ABC 中，已知(b ＋c )：(a ＋c )：(a ＋b )＝4：5：6，则△ABC 的最大内角为________． 解析：由题可设，b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，解得a ＝3.5k ，b ＝2.5k ，c ＝1.5k ，所以角A 最大，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又因为0°<A <180°，所以A ＝120°. 答案：120°13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．解析：已知a －b ＝4，则a >b 且a ＝b ＋4，又a ＋c ＝2b ，则b ＋4＋c ＝2b ，所以b ＝c ＋4，则b >c ，从而知a >b >c ，所以a 为最大边，故A ＝120°，b ＝a －4，c ＝2b －a ＝a －8.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ＝(a －4)2＋(a －8)2＋(a －4)(a －8)，即a 2－18a ＋56＝0，解得a ＝4或a ＝14.又b ＝a －4>0，所以a ＝14，即此三角形的最大边长为14. 14．在△ABC 中，已知sin(A ＋B )＝sin B ＋sin(A －B )． (1)求角A ；(2)若|BC →|＝7，AB →·AC →＝20，求|AB →＋AC →|.解析：(1)原式可化为sin B ＝sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin B . 因为B ∈(0，π)，所以sin B >0，所以cos A ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由余弦定理，得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|·cos A . 因为|BC →|＝7，AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝20， 所以|AB →|2＋|AC →|2＝89.因为|AB →＋AC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →＝129，所以|AB →＋AC →|＝129.。
【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第一章1.1第3课时正、余弦定理的综合应用(含答案)
第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第 3 课时正、余弦定理的综合应用A 级基础稳固一、选择题1．已知三角形的三边长分别是a，b，a2＋b2＋ab，则此三角形中最大的角是 ()A．30°B．60°C．120°D．150°分析：由于a2＋b2＋ab＞a，a2＋b2＋ab＞b，因此最大边是a2＋b2＋ab，设其所对的角为θ，则cosθ＝a2＋2－（a2＋2＋）2b b ab12ab＝－2，θ＝120 .°答案： C2．在△ ABC 中，有以下关系式：①a sin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－ c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin C.必定建立的有 ()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个答案： C3．在△ ABC 中， A ＝60°， AB ＝2，且△ ABC 的面积为 32 ，则BC 的长为 ( )3A. 2B. 3 C ．2 3 D ．21 1 3×AC ＝ 3分析：S ＝ ×AB·ACsin 60°＝×2×2 2 ，因此 AC ＝1，22因此 BC 2＝AB 2＋ AC 2－2AB ·ACcos 60°＝3，因此 BC ＝ 3.答案： B4．锐角三角形 ABC 中， sin A 和 cos B 的大小关系是 ( )A ．sin A ＝cos BB ．sin A ＜cos BC ．sin A ＞cos BD ．不可以确立分析：在锐角三角形 ABC 中， A ＋B ＞90°.因此 A ＞90 °－B ，因此 sin A ＞sin (90 －B)°＝cos B.答案： C5．在△ ABC 中， b ＝8，c ＝3， A ＝60°，则此三角形外接圆面积为 ()196196π49 49π A. 3 B.3C. 3D. 31分析： a 2＝b 2＋ c 2－2bccos A ＝82＋32－2×8×3 2 ＝49，a 7 14因此 a ＝7，因此 2R ＝sin A ＝ 3＝ 3，27 7 249答案： D二、填空题6．若锐角△ ABC 的面积为 10 3，且 AB ＝5，AC ＝8，则 BC 等于________．1分析：试题剖析：由已知得 △ABC 的面积为 2AB ·ACsinA ＝20sinA ＝10 3，因此 sin A ＝ 3π π 2 ，A ∈(0， 2 )，因此 A ＝ 3 .由余弦定理得 BC 2＝ AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos A ＝49，BC ＝7.答案： 7sin 2A7．(2015 ·北京卷 )在△ ABC 中， a ＝4，b ＝5，c ＝6，则 sin C ＝________．sin 2A2sin Acos A2ab 2＋c 2－a 22×4 25＋36－16分析： sin C ＝ sin C ＝ c ·2bc＝6·× ×6＝2 5 1.答案： 18．(2016 ·全国 Ⅱ卷 )△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，45c ，若 cos A ＝5，cos C ＝13，a ＝1，则 b ＝________.20答案： 13三、解答题9．在△ ABC 中，已知 sin 2 B －sin 2 C －sin 2A ＝ 3sin Asin C ．求B 的度数．解：由于 sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A ＝ 3sin A ·sin C.由正弦定理得： b 2－c 2－a 2＝ 3ac ，由余弦定理得： cos B ＝c 2＋a 2－b 23.2ca＝－2又 0°＜B ＜180 °，因此 B ＝150 °.10．在△ ABC 中， BC ＝ 5，AC ＝3， sin C ＝ 2sin A.(1)求 AB 的值；π(2)求 sin 2A － 4 .ABBC解： (1)在△ABC 中，依据正弦定理 sin C ＝sin A ，sin C于是 AB ＝sin A ·BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，依据余弦定理得AB 2＋AC 2－BC 25，cos A ＝＝2 5 2AB ·AC于是 sin A ＝55 ，4由倍角公式得 sin 2A ＝2sin Acos A ＝5，cos 2A ＝2cos2A －1＝35，π ππ 2因此 sin 2A － 4 ＝sin 2Acos 4 －cos 2Asin 4 ＝ 10.．在△ABC 中，∠ABC＝π，AB＝2，BC＝3，则 sin∠BAC14等于 ()10103105A.10B. 5C.10D.5分析：由余弦定理： AC＝9＋2－62×25，2＝3，由正弦定理：AC＝πsin∠CABsin 43×22 3 10因此 sin∠CAB＝ 5 ＝10答案： C2．在平面四边形 ABCD 中，∠ A＝∠ B＝∠ C＝75°，BC＝2，则AB 的取值范围是 ________．分析：以以下图所示，延伸BA ，CD 交于点 E，则可知在△ ADE中，∠＝105，°∠＝45°，∠ ＝30°，因此设AD＝1x，AE＝2DAE ADE E22x，DE＝6＋ 26＋ 24x，CD＝m，由于 BC＝2，因此·°4x＋m sin 156＋ 22，因此 0＜x＜4，而 AB＝6＋ 2＝1?4x＋m＝ 6＋4x＋m 26－ 22－2 x＝4x＋m＝6＋2－2 x，因此 AB 的取值范围是 ( 6－2， 6＋ 2)．答案： ( 6－2，6＋2)3．(2016 ·全国Ⅰ卷 )△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c.(1)求 C；3 3(2)若 c＝7，△ ABC 的面积为 2 ，求△ABC的周长．解： (1)由已知及正弦定理得：2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，即 2cos Csin(A＋B)＝sin C.故 2sin Ccos C＝sin C.1π可得 cos C＝2，因此 C＝3 .133(2)由已知，2absin C＝ 2.π又 C＝3，因此 ab＝6.由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7.2故 a2＋b2＝13，进而 a＋b ＝25.因此△ ABC 的周长为 5＋7.。
数学：新人教A版必修五 1.1正弦定理和余弦定理(同步练习)
1. 1.1正弦定理作业 1、 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ）A. ο30B. ο60C. ο30或ο150D. ο60或ο1202、在ABC ∆中，已知ο45,1,2===B c b ，则a 等于 （ ）A. 226-B. 226+ C. 12+ D. 23-3、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A. ο30,14,7===A b a ，有两解B. ο150,25,30===A b a ,有一解C. ο45,9,6===A b a ，有两解D. ο60,10,9===A c b ，无解4、在ABC ∆中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ∆的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5、在ABC ∆中，ο60=A ,3=a ，则=++++C B A cb a sin sin sin （ ）A. 338 B. 3392 C. 3326 D. 326、在ABC ∆中，已知ο30=A ,ο45=C 20=a ，解此三角形。
7、在ABC ∆中，已知ο30,33,3===B c b ,解此三角形。
参考答案： 1、 解析：由A b a sin 23=可得23sin b A a =，由正弦定理可知B b A a sin sin =，故可得23sin =B ，故=B ο60或ο120。
2、 解析：由正弦定理可得C c B b sin sin =，带入可得21sin =C ，由于b c <，所以ο30=C ，ο105=B ，又由正弦定理B b A a sin sin =带入可得226+=a 3、解析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。
4、解析：由B a b sin 323=可得23sin a B b =，所以23sin =A ，即ο60=A 或ο120，又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =，所以ABC ∆为等腰三角形。
【高二数学试题精选】必修5正、余弦定理应用举例同步练习题(含答案新人教A版)
必修5正、余弦定理应用举例同步练习题（含答案新人教A
版）
5 必修5正、余弦定理应用举例同步练习题（含答案新人教A版）
时目标
1．了解数学建模的思想；
2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．
1．基线的定义在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般说，基线越长，测量的精确度越高．
2．方位角指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α
3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．
一、选择题
1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的( ) A．南偏西45°10′ B．南偏西44°50′
c．南偏东45°10′ D．南偏东44°50′
答案 c
2．已知两灯塔A和B与海洋观测站c的距离都等于a ，灯塔A 在观测站c的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站c的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a B3a
c2a D．2a
答案 B
解析∠AcB＝120°，Ac＝Bc＝a，
∴由余弦定理得AB＝3a
3．海上有A、B两个小岛相距10 n ile，从A岛望c岛和B岛。
高中数学 1-1-3正、余弦定理习题课 新人教A版必修5
(2012·新课标全国理，17)已知 a，b，c 分别为△ABC 三 个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c＝0.
(1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b，c.
[解析] (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝0 及正弦定理得 sinAcosC＋ 3sinAsinC－sinB－sinC＝0. 因为 B＝π－A－C，所以
于是 sinA＝
1－cos2A＝
5 5.
从而 sin2A＝2sinAcosA＝45，
cos2A＝cos2A－sin2A＝35.
所以
sin2A－π4＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝
2 10 .
命题方向 三角形的面积公式
[例 2] 在△ABC 中，a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边．若 a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC 的面积 S.
2sinCsinA.
∵sinA≠0，∴sinC＝
3 2.
∵△ABC 是锐角三角形，∴C＝π3.
在△ABC 中，BC＝ 5，AC＝3，sinC＝2sinA. (1)求 AB 的值； (2)求 sin2A－4π的值．
[解析] (1)在△ABC 中，根据正弦定理得，
sAinBC＝sBinCA.
于是 AB＝BCsi·nsiAnC＝2BC＝2 5.
(2)在△ABC 中，根据余弦定理得， cosA＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝255，
3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0， 由于 sinC≠0，所以 sin(A－6π)＝12. 又 0<A<π，故 A＝3π.
(2)△ABC 的面积 S＝12bcsinA＝ 3，故 bc＝4. 而 a2＝b2＋c2－2bccosA，故 b2＋c2＝8. 解得 b＝c＝2.
人教A版高中数学必修五正弦定理、余弦定理课时练习
正弦定理、余弦定理●作业导航能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是() A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°2．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则⋅的值为() A．79 B．69C．5 D．-53．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则CBAcbasinsinsin++++等于()A．33B．3392C．338D．2394．在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()A．2＜x＜22B．2＜x≤22C．x＞2 D．x＜25．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是()A．135<<x B．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜5二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC的面积为3，B＝60°，b＝4，则a＝________；c＝________．2．化简a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)的结果是________．3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S＝4222cba-+，则角C＝________．5．在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________；|＋AC|＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？2．已知钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x-5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．3．在△ABC中，cos210922=+=ccbA，c＝5，求△ABC的内切圆半径．4．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cos A cos B，则外心位于△ABC的外部．5．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(3a-b)sin B．(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．C分析：A中b sin C＞c，无解；B中c sin B＜b＜c，有两解；C中a sin B＜a＜b，有一解；D中b sin A＜a＜b，有两解．2．D分析：∵·＝-·，∵·＝||||cos B＝21(||2＋||2-||2)＝21(52＋72-82)＝5∴·＝-·＝-53．B分析：∵S△ABC＝21×1×c×sin60°＝3，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2-2bc cos A＝13∴R＝339 sin2=Aa∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C∴33922sinsinsin==++++RCBAcba4．A分析：若解此三角形有两解，则a sin B＜b＜a，即22x＜2＜x，∴2＜x＜22．5．A分析：由三角形三边的关系，得1＜x＜5，(1)当1＜x＜3时，由22＋x2＞32解得5＜x＜3；(2)当3≤x＜5时，由22＋32＞x2解得3≤x＜13，由(1)(2)可知5＜x＜13．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．7±37±3分析：∵S△ABC＝21acsin B＝3，∴ac＝4 ①∵b2＝a2＋c2-2ac cos B，∴a2＋c2＝20 ②由①②解得a＝7±3；c＝7μ32．0分析：∵a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝b cos A＋a cos B，∴a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)＝(b cos C＋c cos B)cos A＋(a cos C＋c cos A)cos B-c·(cos A cos B＋sin A sin B)＝b cos C cos A＋c cos B cos A＋a cos C cos B＋c cos A cos B-c cos A cos B-c sin A sin B ＝cos C(b cos A＋a cos B)＋c(cos A cos B-sin A sin B)＝c cos C＋c cos(A＋B)＝c cos C-c cos C＝03．3337分析：设60°的角的对边长为x，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴x＝7∵7＝2R sin60°，∴R＝33 7∵S△ABC＝21×8×5×sin60°＝21×r×(8＋5＋7)，∴r＝34．45°分析：S△ABC＝21ab sin C＝21224222222=⋅-+=-+ababcbacbaab cos C∴sin C＝cos C，∴tan C＝1，∴C＝45°5．719分析：由三角形法则知|-|2＝||2＝||2＋|AC|2-2||·|AC|·cos A＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7∴|-|＝7类似地由平行四边形及余弦定理可知|＋AC|2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19∴|＋|＝19三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：∵A＝30°，b＝10(1)当0＜a＜b sin A时无解，即0＜a＜5时，无解．(2)当a＝b sin A时，有一解，即a＝5时，有一解．(3)当b sin A＜a＜b时，有两解，即5＜a＜10时，有两解．(4)当a≥b时，有一解，即当a≥10时，有一解．综上(1)、(2)、(3)、(4)得当0＜a＜5时，无解；a＝5或a≥10时，有一解；5＜a＜10时，有两解．2．解：∵B＞90°∴A、C皆为锐角，应有43104310630402232360)1(4)52(14524152102222222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->><∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+++>+->+->+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>+>>x x x x x x x x x x x x x x x b c a b c a c b a b∴ x 的取值范围是310＜x ＜4．3．解：∵ c ＝5，1092=+cc b ，∴ b ＝4又cos2c c b A A 22cos 12+=+=∴ cos A ＝c b又cos A ＝bc a c b 2222-+∴c bbc a c b =-+2222∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2 ∴ a 2＋b 2＝c 2∴ △ABC 是以角C 为直角的三角形．a ＝22b c -＝3∴ △ABC 的内切圆半径r ＝21(b ＋a -c )＝1．4．证明：∵ ab ＜4R 2cos A cos B由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ∴ 4R 2sin A sin B ＜4R 2cos A cos B ∴ cos A cos B ＞sin A sin B ∴ cos A cos B -sin A sin B ＞0 ∴ cos(A ＋B )＞0∵ cos(A ＋B )＝-cos C∴ -cos C ＞0 ∴ cos C ＜0 ∴ 90°＜C ＜180°∴ △ABC 是钝角三角形∴三角形的外心位于三角形的外部．5．解：(1)∵ R C cB b A a 2sin sin sin === RbB R cC R a A 2sin ,)2(sin ,)2(sin 2222===∴∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B∴2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·R b 2∴ a 2-c 2＝3ab -b 2∴232222=-+ab c b a∴ cos C ＝23，∴C ＝30°(2)∵S ＝21ab sin C＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C＝R 2sin A sin B＝-22R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］＝22R ［cos(A -B )＋cos C ］＝22R ［cos(A -B )＋23］当cos(A -B )＝1时，S 有最大值。
人教A版高中数学必修五同步练测：1.1 正弦定理和余弦定理
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.1 正弦定理和余弦定理建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则 cos B=（ ）A. B. C. D.2.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的长是（ ） A. B.C.2D.23.已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a,b,c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是（ ） （1）b ＋c ＝2a ； （2）b ＋c 2a ；（3）b ＋c ≤2a ； （4）b ＋c ≥2a.A.（1）B.（2）C.(3)D.(4)4.在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ， ∠ADB＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝（ ）A.30°B.60°C.45°D.90°5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. B.C. D.6.在△ABC 中，下列各式中符合余弦定理的是（ ）（1）c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ；（2）c 2＝a 2－b 2－2bccos A ；（3）b 2＝a 2－c 2－2bccos A ；（4）cos C ＝a 2＋b 2＋c 2－2ab.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 7.一只船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为 .8.如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为________．9.在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，则△ABC 的形状是 ．(填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)10.在△ABC 中，下列关系式： ①asin B ＝bsin A ； ②a ＝bcos C ＋ccos B ； ③a 2＋b 2－c 2＝2abcos C ； ④b ＝csin A ＋asin C ，一定成立的个数是 .三、解答题（共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11.（14分）已知在△ABC 中，10c =，45A =，30C =，解三角形.12.（14分）在△ABC 中，b ＝asin C ，c ＝ acos B ，试判断△ABC 的形状．13. （16分）在△ABC 中，sin cos A A +=22，AC=2，AB=3，求Atan的值和△ABC的面积. 14.（16分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南θ（2arccos10θ=）方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45︒方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？1.1 正弦定理和余弦定理答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7． 8． 9． 10．三、解答题11.12.13.14.1.1 正弦定理和余弦定理参考答案1.A 解析：依题意得0°B 60°，由正弦定理得sin sin a b A B得sin B ＝sin b A a ＝33，cos B ＝ ＝63，故选A.2.D 解析：根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝219.故选D.3.C 解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos 2A ＝－12，又A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°.所以2b c a +＝sin sin 2sin B CA+＝2sincos 223B C B C+-＝cos 2B C -≤1，即b ＋c ≤2a.故选C.4.B 解析：由∠ADB ＝120°，知∠ADC ＝60°.又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DC ∙sin 60°＝3－3，所以DC ＝2(3－1).又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过A 点作AE ⊥BC 于E 点，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE ＝1，所以BE ＝ 3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°. 在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3，所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝2＋3，所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.故选B.5.C 解析：设底边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰长为2a ，故顶角的余弦值为22244222a a a a a ∙∙＋－＝78.故选C.6.A 解析：注意余弦定理形式，特别是正负号问题．7.1726 海里/时 解析：如图，由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°， ∠PNM ＝45°. 在△PMN 中，由正弦定理，得sin120sin 45MN PM︒︒=， ∴ MN ＝68×3222＝346（海里）.又由M 到N 所用的时间为 14－10＝4(小时)，∴ 船的航行速度v ＝3464＝1726(海里/时)． 8.2 解析：在△AOB 中，由正弦定理得ABsin∠AOB ＝1，∴ sin ∠AOB ＝AB.在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝A 1B 1sin∠A 1OB 1＝A 1B 1AB＝2.9.正三角形 解析一：根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos B. ∵ B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴ (2a c +)2＝a 2＋c 2－2accos 60°， 整理得(a －c)2＝0，∴ a ＝c.∴ △ABC 是正三角形． 解析二：根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C.又∵ B ＝60°，∴ A ＋C ＝120°，∴ C ＝120°－A ，∴ 2sin 60°＝sin A ＋sin (120°－A)，整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴ A ＝60°，C ＝60°.∴ △ABC 是正三角形．10.3 解析：由正、余弦定理知①③一定成立．对于②，由正弦定理知sin A ＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin(B ＋C)，显然成立． 对于④，由正弦定理知sin B ＝sin Csin A ＋sin Asin C ＝2sin Asin C ，不一定成立．11.分析：先将已知条件表示在示意图上（如图所示），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解：sin sin a cA C=， ∴ sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===，∵180()105B A C =-+=，sin sin b cB C=， ∴ sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯+====⨯=+．12.解：由余弦定理知cos B ＝2222a c b ac ＋－，代入c ＝acos B ，得c ＝2222a c b a ac∙＋－，∴ c 2＋b 2＝a 2，∴ △ABC 是以A 为直角的直角三角形． 又∵ b ＝asin C ，∴ b ＝a •ca，∴ b ＝c ， ∴ △ABC 是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形． 13.解法一：先解三角方程，求出角A 的值..21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180<<A , 4560,105.A A ∴-==13tan tan(4560)2313A +∴=+==---,.46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==A )62(434623221sin 21+=+⨯⨯⨯=∙=∴∆A AB AC S ABC . 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin A-cos A 的值. sin cos A A +=22， ①.0cos ,0sin ,1800.21cos sin 2.21)cos (sin 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A 又 23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A , ∴-=sin cos A A 62 . ② ①+②，得sin A =+264. ①－②，得cos A =-264. 从而sin 264tan 23cos 426A A A +==⨯=---. 以下解法同解法一.14.解：连接OQ ，设在t 时刻台风中心位于点Q ，此时|O P|=300，|PQ|=20t ，台风侵袭范围的圆形区域半径为r (t )=10t +60， 由102cos =θ，可知1027cos 1sin 2=-=θθ， cos ∠OP Q=cos(θ- 45︒)= cos θ cos 45︒+ sin θsin 45︒=227224.1021025⨯+⨯= 在 △OP Q 中，由余弦定理，得 OPQ PQ OP PQ OP OQ∠⋅-+=cos 2222=54203002)20(30022⨯⨯⨯-+t t =9000096004002+-t t .若城市O 受到台风的侵袭，则有|OQ |≤r (t )，即22)6010(900009600400+≤+-t t t ，整理，得0288362≤+-t t ，解得12t24.答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正、余弦定理习题课 （检测教师版）
时间:40分钟 总分：60分
班级： 姓名：
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是 ( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
[解析] ∵2sin A cos B ＝sin(A ＋B )，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ． 答案:B
2．在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是 ( )
A ．x >2
B ．x <2
C ．2<x <43
3
D ．2<x ≤43
3
[解析] 欲使△ABC 有两解，须a sin60°<b <a .即32x <2<x ，∴2<x <433
. 答案:C
3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是 ( )
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
[解析] 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ，又∵b 2＝ac ，
∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°.故△ABC 是等边三角形． 答案:B
4．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( )
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
[解析] ∵33＝12×4×3sin C ，∴sin C ＝3
2，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°，故选B ．
答案:B
5．在△ABC 中，已知(b ＋c )︰(a ＋c )︰(a ＋b )＝4︰5︰6，则sin A ︰sin B ︰sin C 等于 ( )
A ．6︰5︰4
B ．7︰5︰3
C ．3︰5︰7
D ．4︰5︰6
[解析] ∵(b ＋c )︰(c ＋a )︰(a ＋b )＝4︰5︰6，
∴
b ＋
c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b
6
＝k (k >0)， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＋
c ＝4k c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝72
k ，b ＝5
2k ，
c ＝32k .
∴sin A ︰sin B ︰sin C ＝a ︰b ︰c ＝7︰5︰3.
答案:B
6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π
3，则△ABC
的面积是 ( )
A ．3
B ．932
C ．332
D ．3 3
[解析] 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2＋6，∴ab ＝6，
∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33
2.
答案:C
二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）
7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1
4，3sin A ＝2sin B ，
则c ＝ .
[解析] 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理知：3a ＝2b ，又因为a ＝2，所以b ＝3；
由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×(－1
4)＝16，所以c ＝4.
答案:4
8．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 长为 .
[解析] ∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b ，c .由条件可知，b ＋c ＝9，bc ＝8，
∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos60°＝57，
∴BC ＝57.
答案: 57
三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
9．在△ABC 中，S △ABC ＝153，a ＋b ＋c ＝30，A ＋C ＝B
2
，求三角形各边边长.
[解析] ∵A ＋C ＝B 2，∴3B 2＝180°，∴B ＝120°.由S △ABC ＝12ac sin B ＝3
4ac ＝153得：ac
＝60，
由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos120°)＝(30－b )2－60得b
＝14，
∴a ＋c ＝16∴a ，c 是方程x 2－16x ＋60＝0的两根．
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6
c ＝10
，∴该三角形各边长为14,10和6.
10．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝1
3
.
(1)求sin A 的值；
(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．
[解析] (1)由sin(C －A )＝1，－π<C －A <π，知C ＝A ＋π
2.
又∵A ＋B ＋C ＝π，∴2A ＋B ＝π2，即2A ＝π2－B,0<A <π
4.
故cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝3
3.
(2)由(1)得cos A ＝
63. 又由正弦定理，得BC ＝AC sin A
sin B
＝3 2. ∴S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝1
2AC ·BC ·cos A ＝3 2.。