变化的电磁场之在直线电流的磁场中旋转线圈的电动势

②如果d = a，则 0 I b 1 4π 1 cos t 1 cos t 2π sin t
当ωt→nπ时，ε→∞，这是因为AC边或DE趋近于通电直线。
这时d = a的距离是电动势的奇点。 ③如果0 < d < a，不考虑直线对线圈的阻 挡，a与d互换，电动势公式的形式不变。 ④如果d = 0，则ε = 0，这是因为线圈沿磁感 应线运动，也就是不切割磁感应线的缘故。
{范例12.2} 在直线电流的磁场中旋转线圈的电动势
电流I在AC处的磁 B 0 I , 1 2πr1 感应强度大小为 θ = ωt， v1 = aω， r1 = (d2 + a2 + 2adcosθ)1/2。
因此AC边切割磁感应线产生的 动生电动势为ε1 = B1bv1sinφ1，
所以 1
{范例12.2} 在直线电流的磁场中旋转线圈的电动势
A 如上图所示，一无限长竖直导线上通有 BE 稳恒电流I，电流方向向上。导线旁有 I b 一横边为2a纵边为b的线圈ACDE，线圈 r d 的旋转轴与电流平行，相距为d。(1)当 O 线圈绕轴以角速度ω旋转时，试求线圈 中的感应电动势。当线圈距离直线的距 C 离不同时，感应电动势随时间变化的规 D 律是什么？(2)在什么条件下，线圈中 2a v1 B1 φ1 感应电动势随时间变化最平稳？ [解析](1)从上往下俯视，如下图所示。 A(C) r1 经过时间t，线圈转过的角度为θ = ωt， φ1 a r I d θ AC边的速度大小为v1 = aω， O B2 到直线电流I的距离为 a r2 r1 = (d2 + a2 + 2adcosθ)1/2。 E(D) φ2 v2 ω
[解析](2) 通过曲线 图发现： 当d/a的比 值较大时， 电动势最 大值出现 在ωt = π/2 + nπ处。
当d/a的比值较 小时，电动势 在一个周期内 有两对“犄 角”，其顶端 表示电动势的 极大值，ωt = π/2 + nπ处变成 了“凹点”。 “犄角”恰 好消失时， 电动势随时 间变化的拐 点在ωt = π/2 + nπ处。
⑤对于d < 0的情况也能做同样的讨论。
设k = d/a < 1， 则d = ka(< a)与 d' = a/k(> a)的电 动势随时间变化 的规律相同。
线圈在直 线电流磁 场中旋转 时，电动 势是周期 性变化的。
当两者距离很 远的时，就如 在匀强磁场中 旋转的线圈一 样，电动势按 正弦规律变化。 在ωt = π/2 + nπ 处，电动势有 极值。 但是，如果两 者相距比较近， 电动势会出现 两个“犄角”， 最大电动势出 现在“犄角” 的顶端。 当d = a时，“犄 角”变得无穷大。 当d = 0时，电 动势恒为零。 d = 0.5a与d = 2a的电动 势曲线是完 全重合的。
r1
A(C) r
r2 E(D)
B2
d
a φ2
φ1 a θ O
v2 在线圈内部，两个电动势的环绕方向相同，总电动势为
0 I abd 1 1 ( 2 2 2 2 )sin t. 2π d a 2ad cos t d a 2ad cos t
{范例12.2} 在直线电流的磁场中旋转线圈的电动势
0 I abd 1 1 ( 2 2 2 2 )sin t 2π d a 2ad cos t d a 2ad cos t [讨论]①如果d >> a，则 0 I 2ab sin t BS sin t
2 πd 这是单匝线圈在匀强磁场中旋转的电动势。
根据正 弦定理
r1 d sin 1 sin( π )
0 I abd
2πr
2 1
sin
其方向由 A指向C。 I
v1
φ1 B1
同理可得DE I abd 2 0 2 sin 中的电动势 2πr2 其方向由D指向E。 其中r2 = (d2 + a2 2adcosθ)1/2。
当d/a取某一临界值 时，“犄角”和 “凹点”恰好抹平， 因而电动势随时间 变化在ωt = π/2 + nπ 时刻附近最为平稳。
当d < 2.414a时，电动势随 时间变化的曲线有波动；
当d > 2.414a时， 电动势曲线虽 然没有波动， 但是在ωt = π/2 附近平稳的范 围比较小；
当d = 2.414a 时，曲线在 ωt = π/2附近 平稳的范围 最宽。