节 MATLAB数值计算
Matlab中常用的数值计算方法
Matlab中常用的数值计算方法数值计算是现代科学和工程领域中的一个重要问题。
Matlab是一种用于数值计算和科学计算的高级编程语言和环境，具有强大的数值计算功能。
本文将介绍Matlab中常用的数值计算方法，包括数值积分、数值解微分方程、非线性方程求解和线性方程组求解等。
一、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数的定积分。
在Matlab中，常用的数值积分函数是'quad'和'quadl'。
'quad'函数可以用于计算定积分，而'quadl'函数可以用于计算无穷积分。
下面是一个使用'quad'函数计算定积分的例子。
假设我们想计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。
我们可以使用如下的Matlab代码：```f = @(x) x^2;integral = quad(f, 0, 1);disp(integral);```运行这段代码后，我们可以得到定积分的近似值，即1/3。
二、数值解微分方程微分方程是描述自然界各种变化规律的数学方程。
在科学研究和工程应用中，常常需要求解微分方程的数值解。
在Matlab中，可以使用'ode45'函数来求解常微分方程的数值解。
'ode45'函数是采用基于Runge-Kutta方法的一种数值解法。
下面是一个使用'ode45'函数求解常微分方程的例子。
假设我们想求解一阶常微分方程dy/dx = 2*x，初始条件为y(0) = 1。
我们可以使用如下的Matlab代码：```fun = @(x, y) 2*x;[x, y] = ode45(fun, [0, 1], 1);plot(x, y);```运行这段代码后，我们可以得到微分方程的数值解，并绘制其图像。
三、非线性方程求解非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
在很多实际问题中，我们需要求解非线性方程的根。
如何使用MATLAB进行数值计算
如何使用MATLAB进行数值计算使用MATLAB进行数值计算一、引言数值计算是现代科学与工程领域中不可或缺的一部分，它能够解决许多实际问题，包括求解方程、优化问题和模拟实验等。
而MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍如何使用MATLAB进行数值计算，并结合实例进行说明。
二、MATLAB基础首先，我们需要了解MATLAB的基本操作和语法，以便能够熟练运用。
MATLAB使用矩阵和数组来存储和处理数据，因此，熟悉矩阵和数组操作是非常重要的。
MATLAB中的矩阵和数组是通过方括号来定义的，例如：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示一个3x3的矩阵A，其中每个元素由空格或分号隔开。
我们可以使用括号或索引来访问矩阵中的元素。
例如，要访问矩阵A的第二行第三列的元素，可以使用A(2,3)。
MATLAB提供了大量内置的数学函数，包括算术运算、三角函数、指数和对数函数等。
这些函数可以直接应用于矩阵和数组，简化了数值计算的过程。
三、方程求解方程求解是数值计算中的一个重要任务，MATLAB提供了多种方法来求解方程，包括代数方法和数值方法。
1. 代数方法对于一些简单的方程，例如一元一次方程或二次方程，可以直接使用MATLAB内置的解方程函数进行求解。
例如，对于一元一次方程ax + b = 0，可以使用solve函数来求解。
代码示例：syms x;eqn = a*x + b == 0;sol = solve(eqn, x);其中，syms x;指定x为符号变量，eqn为方程表达式，sol为方程的解。
2. 数值方法对于一些复杂的方程，无法用解析方法求解。
这时，可以使用数值方法来近似求解。
MATLAB提供了多种数值求解方法，包括二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法可以通过迭代逼近的方式求解方程的根。
代码示例：f = @(x) x^2 - 4;x0 = 2;x = fzero(f, x0);其中，f为方程的表达式，x0为初始猜测值，x为方程的根。
matlab数值计算方法
Matlab提供了多种数值计算方法，以下是其中一些常用的方法：
1. 整数计算：Matlab中的计算方式和计算器类似，可以直接输入数值然后加上运算符进行运算。
2. 小数计算：小数计算的方式和整数相似。
3. 分数计算：Matlab可以切换至分数模式，这一点较计算器等具有较大优势。
4. 赋值运算：Matlab中除了和计算器一样直接运算，还能进行赋值运算，直接将其中一个值赋值后，带入运算即可。
5. 多重赋值运算：Matlab在数值计算的时候，还支持多重赋值计算。
这样可以很方便的求解列出的问题。
以上内容仅供参考，建议查阅Matlab官方文档获取更全面和准确的信息。
第三章 MATLAB数值计算
功 能
如果所有的元素都是非零值，返回1；否则，返回0。 如果有一个元素为非零值，那么返回1；否则，返回0 判断是否空矩阵 判断两矩阵是否相同 判断是否是实矩阵 返回一个由非零元素的下标组成的向量
常用的矩阵函数
矩阵的行列式、矩阵的秩、特征值等在现代控制理论 中有广泛的应用，Matlab提供了相应的函数求其值 • det(A) 方阵A的行列式 • eig(A) 方阵A的特征值和特征向量 • rank(A) 矩阵A的秩 • trace(A) 矩阵A的迹 • expm(A) 矩阵的指数 • sqrtm(A) 求矩阵的平方根 • funm(A,’fun’) 求一般的方阵函数
矩阵的修改
• (1)直接修改 可用↑键找到所要修改的矩阵，用←键移动到要 修改的矩阵元素上即可修改。
• (2)指令修改 可以用A(﹡, ﹡)=﹡ 来修改。 • (3)由矩阵编辑器修改 由Matlab提供工具栏按钮来查看工作区变量，单 击变量，可以打开或删除变量
• 例： 修改矩阵A中元素的数值 >>A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16]; >>A(1,1)=0;A(2,2)=A(1,2)+A(2,1);A(4,4)=cos(0); 则矩阵变为： • A= 0 2 3 4 5 7 7 8 9 10 11 12 13 14、控制理论、物理学等领域中的很多 问题都可以归结到下面的线性方程组
矩阵行列式
• 如N阶矩阵A的行列式不等于0，即时，称矩阵 A非奇异，否则A奇异。当线性方程系数矩阵 非奇异，则线性方程有唯一解。对N阶方阵A， MATLAB中由函数得到行列式
MATLAB的数值计算
例:a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]; p=poly(a) p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我们可用： p1=poly2str(p,‘x’) — 函数文件，显示 数学多项式的形式 p1 =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27
a./b=b.\a a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是a的元素被b的对应元 素除 a.\b=b./a — 都是a的元素被b的对应元 素除 例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000 c2 = 4.0000 2.5000 2.0000
—— 给出a,b对应元素间的商.
3. 数组乘方(.^) — 元素对元素的幂 例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; z=a.^2 z = 1.00 4.00 9.00 z=a.^b z = 1.00 32.00 729.00
对于p的其它值,计算将涉及特征值 和特征向量，如果p是矩阵，a是标量 a^p使用特征值和特征向量自乘到p次 幂；如a,p都是矩阵，a^p则无意义。
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2 ans =30 36 42 66 81 96 102 126 150
2. 数组乘除(，./，.\） ab —— a，b两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10]; a.*b ans = 2 8 18 4 15 30 49 72 90
第二章 Matlab软件的数值计算方法2
3）三角函数、双曲函数及它们的反函数 ）三角函数、 只用于数值计算外， 除atan2只用于数值计算外，其余的三角函数（如sin）、 只用于数值计算外 其余的三角函数（ ）、 双曲函数（ 双曲函数（如cosh）以及它们的反函数（如asin, acosh） ）以及它们的反函数（ ） 在数值计算和符号计算中使用方法都相同。 在数值计算和符号计算中使用方法都相同。 4）指数、对数函数 ）指数、 数值、符号计算中，函数sqrt, exp, expm的使用方法 数值、符号计算中，函数 的使用方法 完全相同，至于对数函数，符号计算中只有自然对数log， 完全相同，至于对数函数，符号计算中只有自然对数log， 而没有数值计算中的log2, log10。 而没有数值计算中的 。 5） 复数函数 ） conj, real, imag, abs相同，但无求相角的指令。 相同， 相同 但无求相角的指令。 6） 矩阵代数指令 ） diag, triu, tril, inv, det, rank, rref, null, colspace, poly, expm, eig基本与数值计算相同，只有 基本与数值计算相同， 稍微不同。 基本与数值计算相同 只有svd稍微不同。 稍微不同
1.3 符号表达式中自由变量的确定 findsym可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数 可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数 目的独立自变量的自动认定。 目的独立自变量的自动认定。 findsym(expr) findsym(expr,n) 【例7】对独立自由符号变量的自动辨认。 】对独立自由符号变量的自动辨认。 syms a b x X Y; k=sym('3'); z=sym('c*sqrt(delta)+y*sin(theta)'); EXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y; findsym(EXPR)
Matlab学习指导第四章 数值计算
2x1-x2-x3=4
3x1+4x2-2x3=11 3x1-2x2+4x3=11
A=[ 2,-1,-1 ; 3,4,-2; 3,-2,4 ]; b=[4; 11; 11]; det(A), rank(A), rank([A,b]) x=A\b
方程组的解的三种情况:
对于方程Ax=b, A为Am×n矩阵,有三种情况: 当m=n时,此方程成为"恰定"方程,求解精确解 当m>n时,此方程成为“超定”方程,寻求最小二乘解 (直线拟
合)
1) 恰定方程组的解
当m<n时,此方程成为"欠定"方程,寻求基本解 matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程 x = 方程组Ax=b (A非奇异)，解为x=A\b 例4.2.1-2 求下列方程组的解 3.00 1.00 1.00
通俗地讲, 拟合就是由已知点得到一条曲线, 使该曲线 最能反映点所代表的规律.比如做欧姆定理的实验的时 候,由于实验中存在误差,最后拟合得到的曲线是一条 直线,而且肯定只有部分点落在拟合的直线上,但此时 该直线和测试点的方差最小.由拟合直线的斜率就可以 知道电阻的阻值.拟合是探测事物变化规律的办法. 插值就是根据函数上某些已知点(或实验数据),按一定 规律(插值方法)寻求未知的点,比如已知一个常用对数 y=log(x)表,是按照x=0.1:0.1:10制表的,如果按已知数 据求y=log(2.897)就可以用插值得到.表制得越密,插值 越准确．
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对于方程组Ax=b, 采用x=A\b计算，如果方程组为yC=d, 要使用右除，即指令为y=d/C
Ax=bx'A'=b'yC=d x=A\bx'=b'/A'y=d/C 例4.2.1-1 解下列方程组 2x1+2x2+3x3=3
MATLAB第二讲__数值计算和符号计算
（4）数值运算中必须先对变量赋值；符号运算无须事先对变 量赋值，但必须先定义，运算结果以标准的符号表达 式形式给出。
Matlab基础应用 21
2.2.2 符号运算中的运算符
（1）基本运算符 符号矩阵：‚+”，‚-”，‚*‛，‚\”， ‚/”， ‚^”, ‚ ’ ” 符号数组：‚.*”，‚./”，‚.\‛，‚.^”, ‚.’ ” （2）关系运算符 运算符只有‚==”，‚～=”。
Matlab基础应用 7
1.3.4 多项式乘除运算（续）
例4： a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x;求c=a(x)*b(x)。 解： >>a=[1 2 3];b=[4 5 0]; >>c=conv(a,b) c= 4 13 22 15 0 >>[d,r]=deconv(c,a) d= 4 5 0 r= 0 0 0 0 0
注意: 方法一只创建了符号表达式,没有创建符号变量; 而方法二既创建了符号表达式,又创建符号变量.
Matlab基础应用 19
2.1.3 创建符号矩阵
使用sym和syms命令创建
例4: A=sym(‘[a,b;c,d]’) A= [ a, b] [ c, d] syms f g h k B=[f,g;h,k] B=
%方法二
Name Size Bytes Class a 1x1 126 sym object b 1x1 126 sym object c 1x1 126 sym object f2 1x1 146 sym object x 1x1 126 sym object Grand total is 20 elements using 650 bytes
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4. 矩阵元素累加和与累乘积 在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得
向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式 为： cumsum(X)：返回向量X累加和向量。 cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。 cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向 量。 cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积 向量。 cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)； 当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加 和向量。 cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)； 当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘 积向量。
min函数的用法和max完全相同。 例 求两个2×3矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构成的 新矩阵p。
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2. 求矩阵的平均值和中值 求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数
是median均值。 median(X)：返回向量X的中值。 mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术
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5．求标准方差 在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。
对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A， std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或 各行的标准方差。std函数的一般调用格式为： Y=std(A,flag,dim) 其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当 dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1，当 flag=0时，按σ1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按 σ2所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。 例6.4 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。
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6．相关系数 MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数
据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格 式为： corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系 数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一 样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后 求它们的相关系数。 corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与 corrcoef([X,Y])的作用一样。
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（3）两个向量或矩阵对应元素的比较 函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较， 调用格式为： U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与 A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的 较大者。 U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或 矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。
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prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A 的第i列的元素乘积。
sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于 sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量， 其第i个元素是A的第i行的各元素之和。
prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于 prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量， 其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。
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3. 矩阵元素求和与求积 数据序列求和与求积的函数是sum和prod，
其使用方法类似。设X是一个向量，A是一 个矩阵，函数的调用格式为： sum(X)：返回向量X各元素的和。 prod(X)：返回向量X各元素的乘积。 sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A 的第i列的元素和。
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max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1时， 该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该 函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩 阵的第i行上的最大值。 求最小值的函数是min，其用法和max完全 相同。 例6.1 分别矩阵A中各列和各行元素中的最大 值，并求整个矩阵的最大值和最小值。
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例6.5 生成满足正态分布的10000×5随机矩 阵，然后求各列元素的均值和标准方差， 再求这5列随机数据的相关系数矩阵。
命令如下： X=randn(10000,5); M=mean(X) D=std(X) R=corrcoef(X)
6.1 数据处理与多项式计算 6.1.1 数据统计与分析 1. 求矩阵最大元素和最小元素 MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小
值的函数分别为max和min，两个函数的调 用格式和操作过程类似。 （1）求向量的最大值和最小值 y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如 果X中包含复数元素，则按模取最大值。
平均值。 median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中
值。 mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim
为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术 平均值。 median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于median(A)；当 dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的 中值。
[y,l]=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置
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（2）求矩阵的最大值和最小值 求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分
别是： max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元 素是矩阵A的第i列上的最大值。 [Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量 记录A的每列的最大值，U向量记录每列最 大值的行号。
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[y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大 值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模 取最大值。
求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X) 完全相同。
例 求向量x的最大值。
命令如下：
x=[-43,72,9,16,23,47];
y=max(x)
%求向量x中的最大值