Matlab数值计算(函数)
Matlab中常用的数值计算方法
Matlab中常用的数值计算方法数值计算是现代科学和工程领域中的一个重要问题。
Matlab是一种用于数值计算和科学计算的高级编程语言和环境，具有强大的数值计算功能。
本文将介绍Matlab中常用的数值计算方法，包括数值积分、数值解微分方程、非线性方程求解和线性方程组求解等。
一、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数的定积分。
在Matlab中，常用的数值积分函数是'quad'和'quadl'。
'quad'函数可以用于计算定积分，而'quadl'函数可以用于计算无穷积分。
下面是一个使用'quad'函数计算定积分的例子。
假设我们想计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。
我们可以使用如下的Matlab代码：```f = @(x) x^2;integral = quad(f, 0, 1);disp(integral);```运行这段代码后，我们可以得到定积分的近似值，即1/3。
二、数值解微分方程微分方程是描述自然界各种变化规律的数学方程。
在科学研究和工程应用中，常常需要求解微分方程的数值解。
在Matlab中，可以使用'ode45'函数来求解常微分方程的数值解。
'ode45'函数是采用基于Runge-Kutta方法的一种数值解法。
下面是一个使用'ode45'函数求解常微分方程的例子。
假设我们想求解一阶常微分方程dy/dx = 2*x，初始条件为y(0) = 1。
我们可以使用如下的Matlab代码：```fun = @(x, y) 2*x;[x, y] = ode45(fun, [0, 1], 1);plot(x, y);```运行这段代码后，我们可以得到微分方程的数值解，并绘制其图像。
三、非线性方程求解非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
在很多实际问题中，我们需要求解非线性方程的根。
如何使用MATLAB进行数值计算
如何使用MATLAB进行数值计算使用MATLAB进行数值计算一、引言数值计算是现代科学与工程领域中不可或缺的一部分，它能够解决许多实际问题，包括求解方程、优化问题和模拟实验等。
而MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍如何使用MATLAB进行数值计算，并结合实例进行说明。
二、MATLAB基础首先，我们需要了解MATLAB的基本操作和语法，以便能够熟练运用。
MATLAB使用矩阵和数组来存储和处理数据，因此，熟悉矩阵和数组操作是非常重要的。
MATLAB中的矩阵和数组是通过方括号来定义的，例如：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示一个3x3的矩阵A，其中每个元素由空格或分号隔开。
我们可以使用括号或索引来访问矩阵中的元素。
例如，要访问矩阵A的第二行第三列的元素，可以使用A(2,3)。
MATLAB提供了大量内置的数学函数，包括算术运算、三角函数、指数和对数函数等。
这些函数可以直接应用于矩阵和数组，简化了数值计算的过程。
三、方程求解方程求解是数值计算中的一个重要任务，MATLAB提供了多种方法来求解方程，包括代数方法和数值方法。
1. 代数方法对于一些简单的方程，例如一元一次方程或二次方程，可以直接使用MATLAB内置的解方程函数进行求解。
例如，对于一元一次方程ax + b = 0，可以使用solve函数来求解。
代码示例：syms x;eqn = a*x + b == 0;sol = solve(eqn, x);其中，syms x;指定x为符号变量，eqn为方程表达式，sol为方程的解。
2. 数值方法对于一些复杂的方程，无法用解析方法求解。
这时，可以使用数值方法来近似求解。
MATLAB提供了多种数值求解方法，包括二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法可以通过迭代逼近的方式求解方程的根。
代码示例：f = @(x) x^2 - 4;x0 = 2;x = fzero(f, x0);其中，f为方程的表达式，x0为初始猜测值，x为方程的根。
第06章_MATLAB数值计算_参考解答
%可参见教材第 157 页例 6.19
运行结果： dx =
000
%当 x=pi/2 时单独计算 x=pi/2; f=inline('sin(x).^2+cos(x).^2'); dx=diff(f([x, pi]))/(pi/2)
dx = 0
(2) 程序设计： clear all; close all; clc; x=1:3; f=inline('sqrt(x.^2+1)'); dx=diff(f([x, 4]))
运行结果：
U= 1.0e-004 * -0.0675
0.1715
fmin = 1.9920e-010
(2) 程序设计： clear all; close all; clc; f=inline('-sin(x)-cos(x.^2)'); fmax=fminbnd(f, 0, pi)
%用内联函数，求负的最小值 %注意函数名 f 不加单引号'
高教社刘卫国《MATLAB 程序设计与应用》（第二版）习题参考解答
第 6 章：MATLAB 数值计算
教材 P189 习题六
第 6 章 MATLAB 数值计算
1. 利用 MATLAB 提供的 randn 函数生成符合正态分布的 10×5 随机矩阵 A，进行如下操 作：
(1) A 各列元素的均值和标准方差。 (2) A 的最大元素和最小元素。 (3) 求 A 每行元素的和以及全部元素之和。 (4) 分别对 A 的每列元素按升序、每行元素按降序排列。 答：
运行结果： P=
0
15.0000
7.0000 -3.5000
0.5000 -2.0000 -2.0000
matlab数值积分 函数嵌套
数值积分在科学计算和工程领域中扮演着至关重要的角色。
作为一种近似计算方法，数值积分能够帮助研究人员和工程师在处理复杂的数学问题时提供有效的解决方案。
而在实际的数值积分计算中，函数嵌套则是一个常见的问题，它需要我们对嵌套函数的积分进行合理的计算和处理。
本文将以Matlab为例，探讨如何使用Matlab进行数值积分计算，并针对函数嵌套的情况给出相应的解决方案。
二、Matlab中的数值积分Matlab作为一种常用的科学计算工具，提供了丰富的数值积分计算函数，如trapz、quad等。
这些函数可以帮助用户对给定函数进行数值积分计算，从而得到函数的近似积分值。
在使用这些函数时，我们需要指定被积函数、积分区间等参数，以确保得到准确的积分结果。
下面以一个简单的例子来说明Matlab中的数值积分计算方法：```matlab定义被积函数f = (x) sin(x);指定积分区间a = 0;b = pi;使用trapz函数进行数值积分计算integral_value = trapz(linspace(a, b, 1000), f(linspace(a, b,disp(['The integral value of sin(x) from 0 to pi is: ',num2str(integral_value)]);```以上代码使用了Matlab中的trapz函数对sin(x)函数在区间[0, π]上进行数值积分计算，并输出了积分结果。
通过这样的方式，我们可以很快得到函数在给定区间上的积分值，而无需手动进行复杂的求解过程。
三、函数嵌套的数值积分计算虽然Matlab提供了丰富的数值积分计算函数，但在处理函数嵌套的情况时，我们需要对嵌套函数的积分进行合理的处理。
函数嵌套是指一个函数中包含了另一个函数作为变量，例如f(g(x))，在这样的情况下，我们需要对内层函数和外层函数进行逐层的积分计算。
对于函数嵌套的数值积分计算，Matlab提供了一个简单而有效的解决方案，即使用匿名函数进行嵌套积分计算。
MATLAB数值运算.pdf
第3章 MATLAB 数值运算教学提示：每当难以对一个函数进行积分或者微分以确定一些特殊的值时，可以借助计算机在数值上近似所需的结果，从而生成其他方法无法求解的问题的近似解。
这在计算机科学和数学领域，称为数值分析。
本章涉及的数值分析的主要内容有插值与多项式拟合、数值微积分、线性方程组的数值求解、微分方程的求解等，掌握这些主要内容及相应的基本算法有助于分析、理解、改进甚至构造新的数值算法。
教学要求：本章主要是让学生掌握数值分析中多项式插值和拟合、牛顿-科茨系列数值求积公式、3种迭代方法求解线性方程组、解常微分方程的欧拉法和龙格-库塔法等具体的数值算法，并要求这些数值算法能在MATLAB 中实现。
3.1 多 项 式在工程及科学分析上，多项式常被用来模拟一个物理现象的解析函数。
之所以采用多项式，是因为它很容易计算，多项式运算是数学中最基本的运算之一。
在高等数学中，多项式一般可表示为以下形式：120121()n n n n n f x a x a x a x a x a −−−=+++++…。
当x 是矩阵形式时，代表矩阵多项式，矩阵多项式是矩阵分析的一个重要组成部分,也是控制论和系统工程的一个重要工具。
3.1.1 多项式的表达和创建在MATLAB 中，多项式表示成向量的形式，它的系数是按降序排列的。
只需将按降幂次序的多项式的每个系数填入向量中，就可以在MATLAB 中建立一个多项式。
例如，多项式43231529s s s s +−−+在MATLAB 中，按下面方式组成一个向量x = [1 3 -15 -2 9]MATLAB 会将长度为n +1的向量解释成一个n 阶多项式。
因此，若多项式某些项系数为零，则必须在向量中相应位置补零。
例如多项式41s +在MATLAB 环境下表示为y = [1 0 0 0 1]3.1.2 多项式的四则运算多项式的四则运算包括多项式的加、减、乘、除运算。
下面以对两个同阶次多项式MATLAB 基础及其应用教程·66··66·32()234a x x x x =+++，32()4916b x x x x =+++做加减乘除运算为例，说明多项式的四则运算过程。
第四章_MATLAB的数值计算功能
第四章MATLAB 的数值计算功能Chapter 4: Numerical computation of MATLAB数值计算是MATLAB最基本、最重要的功能，是MATLAB最具代表性的特点。
MATLAB在数值计算过程中以数组和矩阵为基础。
数组是MATLAB运算中的重要数据组织形式。
前面章节对数组、矩阵的特征及其创建与基本运算规则等相关知识已作了较详尽的介绍，本章重点介绍常用的数值计算方法。
一、多项式(Polynomial)`多项式在众多学科的计算中具有重要的作用，许多方程和定理都是多项式的形式。
MATLAB提供了标准多项式运算的函数，如多项式的求根、求值和微分，还提供了一些用于更高级运算的函数，如曲线拟合和多项式展开等。
1．多项式的表达与创建(Expression and Creating of polynomial)(1) 多项式的表达（expression of polynomial）_Matlab用行矢量表达多项式系数(Coefficient)和根，系数矢量中各元素按变量的降幂顺序排列，如多项式为：P(x)=a0x n+a1x n-1+a2x n-2…a n-1x+a n则其系数矢量(V ector of coefficient)为：P=[a0 a1… a n-1 a n]如将根矢量(V ector of root)表示为：ar=[ ar1 ar2… ar n]则根矢量与系数矢量之间关系为：（x-ar1）(x- ar2) … (x- ar n)= a0x n+a1x n-1+a2x n-2…a n-1x+a n(2)多项式的创建（polynomial creating）a,系数矢量的直接输入法利用poly2sym函数直接输入多项式的系数矢量，就可方便的建立符号形式的多项式。
例1：创建给定的多项式x3-4x2+3x+2poly2sym([1 -4 3 2])ans =x^3-4*x^2+3*x+2也可以用poly2str.求一个方阵对应的符号形式的多项式。
如何在MATLAB中进行数值计算
如何在MATLAB中进行数值计算1.基本数学操作：-加法、减法、乘法、除法：使用+、-、*、/操作符进行基本算术运算。
-幂运算：使用^或.^(点乘)操作符进行幂运算。
- 开平方/立方：可以使用sqrt(或power(函数进行开平方和立方运算。
2.矩阵操作：- 创建矩阵：可以使用矩阵构造函数如zeros(、ones(、rand(等创建矩阵。
- 矩阵运算：使用*操作符进行矩阵相乘，使用transpose(函数进行矩阵转置。
- 矩阵求逆和求解线性方程组：使用inv(函数求矩阵的逆，使用\操作符求解线性方程组。
3.数值积分和微分：- 数值积分：使用integral(函数进行数值积分。
可以指定积分函数、积分上下限和积分方法。
- 数值微分：使用diff(函数进行数值微分。
可以指定微分函数和微分变量。
4.解方程：- 一元方程：使用solve(函数可以解一元方程。
该函数会尝试找到方程的精确解。
- 非线性方程组：使用fsolve(函数可以求解非线性方程组。
需要提供初始值来开始求解过程。
-数值方法：可以使用牛顿法、二分法等数学方法来求解方程。
可以自定义函数来实现这些方法。
5.统计分析：- 统计函数：MATLAB提供了丰富的统计分析函数，如mean(、std(、var(等用于计算均值、标准差、方差等统计量。
- 直方图和密度估计：使用histogram(函数可以绘制直方图，并使用ksdensity(函数进行核密度估计。
- 假设检验：使用ttest(或anova(函数可以进行假设检验，用于比较多组数据之间的差异。
6.数值优化：- 非线性最小化：使用fminunc(函数可以进行非线性最小化。
需要提供目标函数和初始点。
- 线性规划：使用linprog(函数可以进行线性规划。
需要提供目标函数和限制条件。
- 整数规划：使用intlinprog(函数可以进行整数规划。
需要提供目标函数和整数约束。
7.拟合曲线：- 线性拟合：使用polyfit(函数进行线性拟合。
MATLAB数值计算
(1)代数多项式求值
y = polyval(P,x)
若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则 对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。
（2）矩阵多项式求值 Y = polyvalm(P,X)
•
polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值
设A为方阵，P代表多项式x3-5x2，那么polyvalm(P,A)的含义是： A*A*A-5*A*A 而polyval(P,A)的含义是： A.*A.*A-5*A.*A
[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)
(2) k = polyder(P,Q)
例：求有理分式的导数。 命令如下： P=[1]; Q=[1,0,5]; [p,q]=polyder(P,Q)
求两个多项式乘积P·Q的导函数
(3) [p,q] = polyder(P,Q)
求两个多项式除法P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。
8. 多项式积分
例：求定积分。 (1) 建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad('fesin',0,3*pi) S=
0.9008 n= 77
(2) 牛顿－柯特斯法
➢ method 用 于 指 定 插 值 的 方 法 ： ‘ l i n e a r ’ 、 ‘nearest’、‘cubic’、‘spline’
➢ X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否则，会 给出“NaN”错误。
运行结果如下图所示。
代数方程
线性方程
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In inline.subsref at 25
In quad at 63 Isim = 0.8862
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6.4 元素排序
Matlab中对向量X排序的函数是sort(X), 函数返回一个对X中 的元 素按升序排列的新向量。 sort函数也可以对矩阵A的各列（或行）重新排序，其调用 格式为： [Y,I] = sort(A,dim) dim=1,按列排序；dim=2, 按行排序， 8 5 Y 1 是排序后的矩阵，I记 录Y中 A 4 12 6 的元素在A中的位置。 13 7 13 例：对下列矩阵做各种排序。
2014-8-24 Application of Matlab Language 6
6.1 多项式(polynomial)
• 多项式加法: MATLAB没有提供进行加法运算的函数。 • 如果两个多项式向量大小相同，标准的数组加法有效。 把多项式a(x)与上面给出的b(x)相加。 >> d=a+b d= 2 6 12 20 结果: d(x)= 2x3＋6x2＋12x＋20 • 当两个多项式阶次不同，低阶的多项式必须用首零填补，使其与 高阶多项式有同样的阶次。 考虑上面多项式c和d相加： >> e=c+[0 0 0 d] e= 1 6 20 52 81 96 84 结果: d(x)= x6+6x5+20x4+52x3+81x2+96x+84
2014-8-24 Application of Matlab Language 4
6.1 多项式(polynomial)
• 已知多项式的根，求解多项式 ？
– 能！ – 使用poly指令
• 举例：由上例所得的根求其多项式
>> pp=poly(r) pp = 1.0000 -12.0000 -0.0000 25.0000 116.0000 即：x4－12x3＋25x＋116
Application of Matlab Language
2014-8-24
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命令如下： A = [1,-8,5;4,12,6;13,7,-13]; sort(A) ans = 1 -8 -13 4 7 5 13 12 6 -sort(-A,2) %对A的每行按降序排列 ans = 5 1 -8 12 6 4 13 7 -13
Application of Matlab Language
8
6.1 多项式(polynomial)
• 函数文件的编写
function p_out=poly_sum(p1, p2) % calculate the sum of two polynomials
if length(p1)==length(p2) p_out=p1+p2; elseif length(p1)>length(p2) p2=[zeros(1,length(p1)-length(p2)), p2]; p_out=p1+p2; else p1=[zeros(1,length(p2)-length(p1)), p1]; p_out=p1+p2; end
2014-8-24 Application of Matlab Language 9
6.1 多项式(polynomial)
• 多项式的除法(deconv) • 举例说明：
c(x)=x6＋6x5＋20x4＋50x3＋75x2＋84x＋64 除以b(x)= x3＋4x2＋9x＋16
>> c=[1 6 20 50 75 84 64]; >> b=[1 4 9 16]; >> [q , r]=deconv(c , b) q= 1 2 3 4 r= 0 0 0 0 0 0 0
Isim = 0.7468
I8 = 0.7468
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Application of Matlab Language
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6.3 数值积分（续）
I
• 举例：求解定积分 用quad指令求积分
1
0
1 ln dx x
>>ff=inline('sqrt(log(1./x))','x'); >>Isim=quad(ff,0,1) Warning: Divide by zero. > In inlineeval at 13
– 函数的内部处理
• 如p1、p2两参数大小相等，则直接相加: p_out=p1+p2 • 如p1、p2两参数大小不等：
– If length(p1)>length(p2) » P2前面要补0元素，使p1、p2两参数大小相等 – 否则 » P1前面要补0元素，使p1、p2两参数大小相等
2014-8-24
2014-8-24 Application of Matlab Language 17
6.3 数值积分（续）
• 举例：求定积分
I e
0 1 x2
dx
MATLAB指令quad和quadl求积分 >>fun=inline(‘exp(-x.*x)’,‘x’); %数组乘符号.*的采用是必须的 >>Isim=quad(fun,0,1), I8=quadl(fun,0,1)
p(x) = x3＋4x2－7x－10在[-1, 3]段上的曲线:
2014-8-24
Application of Matlab Language
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6.2 函数的数值导数
• 导数定义为：
dy f ( x h) f ( x ) lim dx ( x h) ( x ) h0
• 则y=f(x)的导数可近似为： dy f ( x h) f ( x ) dx ( x h) ( x )
Matlab数值计算
第10讲
6.1 多项式(polynomial)
• 多项式的MATLAB表达
– 多项式由一个行向量表示
• 该向量元素是该多项式的系数 • 且按降幂次序排列
如：多项式x4－12x3＋25x＋116由行向量： p=[1 -12 0 25 116]表示。 注意，必须包括具有零系数的项。
8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 -3
-2
-1
0
1
2
3
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Application of Matlab Language
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6.3 数值积分
一元函数的数值积分
– 常用积分指令：quad和quadl。
一般说来，quadl比quad更有效。
– 具体调用格式如下：
q = quadl(fun,a,b) q = quadl(fun,a,b,tol) q = quadl(fun,a,b,tol,trace) [q,fcnt] = quadl(fun,a,b,...) • 输入量fun为被积函数的句柄。 • 输入量a, b分别是积分的下限、和上限，都必须是确定的数值; • 前3个输入参数是调用积分指令所必须的，其他可以缺省; • 输入量tol是一个标量，控制绝对误差; • 输入量trace为非0值时，将随积分的进程逐点画出被积分函数; • 输出参数fcnt返回函数的执行次数。 Note：quad的调用格式与quadl相同
2014-8-24 Application of Matlab Language 7
6.1 多项式(polynomial)
• 问题：编写一个多项式加法运算的函数文件 • 明确需求
– 定义一个函数，需要有两个输入参数（比如：p1、p2），一 个输出参数p_out。
• p1、p2表示两个待计算的多项式。 • p_out表示两个多项式的求和结果
% choose 100 data points between -1and 3.
plot(x, v); title('x^{3}+4x^{2}-7x-10'); xlabel('x')
2014-8-24 Application of Matlab Language 12
Байду номын сангаас
6.1 多项式(polynomial)
2014-8-24 Application of Matlab Language 11
6.1 多项式(polynomial)
• 多项式的估值(polyval) • 举例：绘制p(x) = x3＋4x2－7x－10在[-1, 3]段上的 曲线。
x=linspace(-1, 3); p=[1 4 -7 -10]; v=polyval(p, x);
这里h>0
它是y的有限差分除以x的有限差分。
MATLAB中没有直接提供数值导数的函数，只有计算向 前差分的函数diff，其调用格式为：
DX = diff(X) 计算向量X的向前差分 DX = diff(X，n) 计算向量X的n阶向前差分
2014-8-24
Application of Matlab Language
• 求解多项式的根？
roots指令
2014-8-24 Application of Matlab Language 3
6.1 多项式(polynomial)
• 举例：求解多项式x4－12x3＋25x＋116的根 >>p=[1 -12 0 25 116] p= 1 -12 0 25 116 >>r=roots(p) r= 11.7473 2.7028 -1.2251 + 1.4672i -1.2251 - 1.4672i MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量
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