数值计算方法课程(运用Matlab)
《数值计算方法》教学中的MATLAB应用研究初探
教学和实验 ， 要求学生既要对算法有充分的了解 ， 又要熟练
掌握 这 两种语 言 的语 法和 编程 技巧 ，导致 学 生和 教师 将 大
量的时间和精力都花在烦琐的程序编写 以及对各种结果的 绘图上 ， 学习效果往往令人不满意。 正￣ ／ Ｉ Ｉ Ｆ Ｏ Ｒ Ｔ Ｒ Ａ Ｎ 和ｃ 等高 级 语使 人们 摆脱 了需要 直接 对计算 机 硬件 资源 进行操 作 一 样， 被称为第四代计算机语 言的Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ ， 以其简洁 的、 更 符 合 人 们 思维 习惯 的代 码 以及 强 大 的绘 图能 力 备受 青 睐 。 《 数值计算方法》 课程内容多、 课 时少 ， 如果运用传统教学方 法， 有些 内容得不到细致地讲解 ， 易使学生产生厌学情绪 ， 收不到 良好 的教学效果。利用Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 对数值计算方法中 涉及到的算法进行设计 ， 不仅高效 、 准确 ， 而且可以直观地 看出结果 ， 便于对算法进行整体 的描述与分析 。 Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 可 将教学中复杂的概念以及难 以用文字表达清楚的内容 ， 用 图形 、 动画等形式体现出来 。 这样 ， 不仅可以活跃课堂气氛 ， 增强学生的学习兴趣 ， 而且可以节约讲解算法所需的时间， 让 学 生在 有 限的 时间 内接受 和掌 握更 多 的知识 。
的 形式 体 现 出来 ， 活跃 了课 堂 气氛 ， 增 大 了学生 学 ＊ － ７ 本 课 程 的兴 趣 。 关键词 ： 《 数值计算方法》 ； ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ； 教 学 中图 分 类号 ： Ｇ６ ４ ２ ． ０
一
文献 标 志码 ： Ａ
文章 编 号 ： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ３ ７ — ０ ０ ５ ０ — ０ ２
二、 ＭＡ ＴＬ ＡＢ 软 件引 入 的必要 性
如何使用MATLAB进行数值计算
如何使用MATLAB进行数值计算使用MATLAB进行数值计算一、引言数值计算是现代科学与工程领域中不可或缺的一部分，它能够解决许多实际问题，包括求解方程、优化问题和模拟实验等。
而MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍如何使用MATLAB进行数值计算，并结合实例进行说明。
二、MATLAB基础首先，我们需要了解MATLAB的基本操作和语法，以便能够熟练运用。
MATLAB使用矩阵和数组来存储和处理数据，因此，熟悉矩阵和数组操作是非常重要的。
MATLAB中的矩阵和数组是通过方括号来定义的，例如：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示一个3x3的矩阵A，其中每个元素由空格或分号隔开。
我们可以使用括号或索引来访问矩阵中的元素。
例如，要访问矩阵A的第二行第三列的元素，可以使用A(2,3)。
MATLAB提供了大量内置的数学函数，包括算术运算、三角函数、指数和对数函数等。
这些函数可以直接应用于矩阵和数组，简化了数值计算的过程。
三、方程求解方程求解是数值计算中的一个重要任务，MATLAB提供了多种方法来求解方程，包括代数方法和数值方法。
1. 代数方法对于一些简单的方程，例如一元一次方程或二次方程，可以直接使用MATLAB内置的解方程函数进行求解。
例如，对于一元一次方程ax + b = 0，可以使用solve函数来求解。
代码示例：syms x;eqn = a*x + b == 0;sol = solve(eqn, x);其中，syms x;指定x为符号变量，eqn为方程表达式，sol为方程的解。
2. 数值方法对于一些复杂的方程，无法用解析方法求解。
这时，可以使用数值方法来近似求解。
MATLAB提供了多种数值求解方法，包括二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法可以通过迭代逼近的方式求解方程的根。
代码示例：f = @(x) x^2 - 4;x0 = 2;x = fzero(f, x0);其中，f为方程的表达式，x0为初始猜测值，x为方程的根。
使用Matlab进行数值计算和数值方法
使用Matlab进行数值计算和数值方法近年来，数值计算和数值方法在科学研究和工程实践中的重要性日益凸显。
数值计算和数值方法作为一种通过计算机模拟和近似求解数学问题的手段，已经广泛应用于各个领域，如物理学、化学、工程学、经济学等。
而Matlab作为一种常用的科学计算软件，具有简单易学、功能强大、可扩展性强等优点，成为了数值计算和数值方法的首选工具。
一、Matlab的基本使用Matlab是一种基于矩阵运算的数学软件，它提供了丰富的数值计算函数库和直观的交互式编程环境，使得数值计算变得更加简单快捷。
在使用Matlab进行数值计算时，我们首先需要了解一些基本的概念和操作。
1. 数组和矩阵Matlab中最基本的数据结构是数组和矩阵。
数组是一种只有一个维度的数据结构，而矩阵则是二维的。
我们可以使用Matlab中的命令来创建和操作数组和矩阵，例如可以使用"zeros"来创建一个全零矩阵，使用"eye"来创建一个单位矩阵，使用"rand"来创建一个随机矩阵等。
2. 数值计算函数库Matlab提供了丰富的数值计算函数库，包括数值积分、微分方程求解、线性代数运算等。
这些函数库使得我们能够轻松地进行各种数值计算操作。
例如，我们可以使用"integral"来进行数值积分，使用"ode45"来求解常微分方程，使用"eig"来计算矩阵的特征值等。
3. 图形绘制除了数值计算，Matlab还提供了强大的图形绘制功能。
我们可以使用Matlab中的绘图函数来绘制各种图形，如曲线图、散点图、三维图等。
这样可以更直观地观察和分析数值计算的结果。
二、数值方法的应用数值方法是指通过数值计算的手段来近似求解数学问题的方法。
在实际科学研究和工程实践中，常常会遇到一些复杂的数学问题，无法直接通过解析的方式求出精确解。
这时候，数值方法便可以派上用场。
《数值计算方法》教学中的MATLAB应用的方法研究
一、引言数值计算方法又称数值分析，是研究适合计算机求解的各种数学问题的近似方法及其理论。
它的内容包括函数逼近、数值微分与积分、非线性方程（组）的数值解、数值代数、常微分与偏微分方程数值解等。
这门课程起着承上启下的作用，承上是使线性代数、高等数学中的原理得以应用，方法得以实现，启下是为后续课程中数学问题的建模和求解提供方法，是高等理工科院校的重要基础课程。
如今，数值计算、理论研究及物理实验并列成为当今世界科学活动的三种主要方式。
为众多的科学与工程问题提供计算方法，提高计算的可靠性、有效性和精确性，是《数值计算方法》这门课程研究的主要内容。
在长期的教学实践中体会到在《数值计算方法》课程中做好理论内容的传授和学生实践能力的培养这两个环节非常重要。
如何合理的利用计算机软件进行有效地教与学是值得探讨的一个课题。
本文以具体教学为例，介绍了MATLAB软件在提高《数值计算方法》课堂教学质量中的具体使用。
二、MATLAB软件引入的必要性MATLAB是美国MathWorks公司自上世纪80年代中期推出的数学软件，其优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。
在欧美等高校，MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、数理统计、数值计算方法、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。
以前的《数值计算方法》课程常采用FORTRAN或者C语言进行教学和实验，要求学生既要对算法有充分的了解，又要熟练掌握这两种语言的语法和编程技巧，导致学生和教师将大量的时间和精力都花在烦琐的程序编写以及对各种结果的绘图上，学习效果往往令人不满意。
正如FORTRAN和C等高级语使人们摆脱了需要直接对计算机硬件资源进行操作一样，被称为第四代计算机语言的MATLAB，以其简洁的、更符合人们思维习惯的代码以及强大的绘图能力备受青睐。
《数值计算方法》课程内容多、课时少，如果运用传统教学方法，有些内容得不到细致地讲解，易使学生产生厌学情绪，收不到良好的教学效果。
学习使用MATLAB进行数值计算和数据分析
学习使用MATLAB进行数值计算和数据分析---第一章：MATLAB的基本介绍MATLAB是一种强大的数值计算和数据分析软件，广泛应用于科学研究、工程设计等领域。
它的主要特点是简洁直观的用户界面和丰富的数学函数库。
在本章中，我们将介绍MATLAB的基本特性和使用方法。
1.1 MATLAB的历史与发展MATLAB是由MathWorks公司于1984年首次推出的。
起初，它作为一个用于矩阵计算的工具被广泛使用。
随着时间的推移，MATLAB逐渐拓展了功能，加入了许多其他数学和工程计算的功能，如符号计算、数据统计和可视化。
如今，MATLAB已经成为一种非常受欢迎的工具。
1.2 MATLAB的安装和环境设置要开始使用MATLAB，首先需要从MathWorks官网下载并安装MATLAB软件。
安装完成后，打开MATLAB并设置工作目录和默认工作文件夹。
工作目录是指存储MATLAB代码和数据文件的文件夹，而默认工作文件夹是指MATLAB打开时默认选择的文件夹。
1.3 MATLAB的基本语法和命令MATLAB的基本语法和命令非常简单易懂。
它采用类似于其他编程语言的命令行交互方式，用户可以直接在命令行输入MATLAB语句并执行。
例如，可以输入"2+2"并按回车键得到结果4。
此外，MATLAB还具有许多内置的数学函数和运算符，可以进行各种数值计算和数据分析。
1.4 MATLAB脚本和函数在MATLAB中，可以使用脚本和函数来组织和执行一系列MATLAB命令。
脚本是一系列命令的集合，可以一次性运行。
函数是一段可以重复使用的代码，可以接受输入参数并返回输出结果。
通过编写脚本和函数，可以提高MATLAB代码的可重复性和可维护性。
第二章：数值计算MATLAB作为一种数值计算工具，提供了丰富的数学函数和算法，可以用于解决各种数值计算问题。
在本章中，我们将介绍MATLAB在数值计算方面的一些常用功能和技巧。
2.1 数值计算方法MATLAB中包含了许多数值计算方法，如数值积分、数值微分、线性代数求解等。
MATLAB数值计算教程
MATLAB数值计算教程第一章：MATLAB入门1.1 MATLAB简介MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数值计算软件，广泛用于工程、科学和金融领域。
它的特点是简单易用、高效快速，并且拥有丰富的工具箱和函数库。
1.2 MATLAB环境搭建要使用MATLAB进行数值计算，首先需要安装MATLAB软件，并进行必要的配置。
通过官方网站下载安装程序，根据提示进行安装即可。
安装完成后，打开MATLAB环境，即可开始使用。
1.3 MATLAB基本操作在MATLAB环境中，可以通过命令行窗口输入和执行命令，也可以使用脚本文件进行批量处理。
常用的基本操作包括变量赋值、算术运算、函数调用等。
例如，使用"="符号赋值变量，使用"+"、"-"、"*"、"/"等符号进行算术运算。
第二章：向量和矩阵操作2.1 向量操作在MATLAB中，向量是一种特殊的矩阵，可以通过一组有序的元素构成。
向量可以进行基本的算术运算，如加法、减法、乘法、除法，还可以进行向量的点积、叉积等操作。
可以使用内置函数和运算符来实现。
2.2 矩阵操作矩阵是MATLAB中最常用的数据结构之一，使用矩阵可以进行多个向量的组合和运算。
可以进行矩阵的加法、减法、乘法、除法等操作，也可以进行矩阵的转置、求逆、求特征值等操作。
MATLAB提供了大量的函数和工具箱来支持矩阵的操作。
第三章：数值计算方法3.1 数值积分数值积分是一种用数值方法计算定积分的方法。
在MATLAB 中，可以使用内置函数来进行数值积分，如trapz函数和quad函数。
也可以使用Simpson法则、复合辛普森法等方法实现数值积分。
3.2 数值微分数值微分是一种用数值方法计算导数的方法。
在MATLAB中，可以使用内置函数进行数值微分，如diff函数和gradient函数。
数值计算方法课程PPT(运用Matlab)
数与数组的点幂
例：x=[1 2 3]; y=[4 5 6];
x.^y =[1^4,2^5,3^6]=[1,32,729]
x.^2 =[1^2,2^ห้องสมุดไป่ตู้,3^2]=[1,4,9] 2.^x = ?
矩阵的“除法”
矩阵的除法：/、\ 右除和左除
若 A 可逆方阵，则
B/A <==> A 的逆右乘 B <==> B*inv(A) A\B <==> A 的逆左乘 B <==> inv(A)*B 通常，矩阵除法可以理解为
X=A\B <==> A*X=B X=B/A <==> X*A=B
当 A 和 B 行数相等时即可进行左除 当 A 和 B 列数相等时即可进行右除
例：设A、B满足关系式：AB＝2B+A,求B。
其中A=[3 0 1; 1 1 0; 0 1 4]。
向量特殊运算介绍
min max mean 最小值 最大值 平均值 sum prod std 总和 总乘积 标准差
format 只改变变量的输出格式，但不会影响变量的值！
几个小技巧
Matlab 的命令记忆功能：上下箭头键
可以先输入命令的前几个字符，再按上下键缩小搜索范围
, then f (2) ?
矩阵
Matlab 的操作对象是 矩阵 矩阵的直接输入
例：>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
矩阵用方括号“[ ]”括起 矩阵同一行中的元素之间用空格或逗号分隔 矩阵行与行之间用 分号分开 直接输入法中，分号可以用回车代替
清除当前工作空间中的变量
clear
数值计算方法matlab 第一章 误差分析
1 第一章作业1.对一个数求和100000次。
对数1以单精度方式求和，对数0.00001分别以单精度和双精度方式求和。
问题分析：单精度方式使用函数single()，双精度求和为matlab自动调整，不需要特别说明。
程序编写如下：运行结果：实验结果分析：不难看出，对于1进行单精度求和得到的结果和期望值一致，但是对0.00001进行单精度求和的结果却存在误差，对0.00001进行双进度求和，误差得到减小。
这是由于量化误差造成的，0.00001在计算机中并不能准确表示，只能对其进行量化处理，得到一个和真值有一点区别的量化值，小量计算中可以忽略，但在计算了100000后误差积累，导致了最后的结果误差较大。
双精度的情况下，该误差小得多。
当x=0.1时，从1x -开始，然后每次加入一项来分别计算。
在每加入一个新项后，计算近似百分比相对误差，直到近似误差估计值的绝对值小于与五位有效数字一致的误差准则时停止计算。
问题分析：本例中，要保证5位有效数字，因此容限误差为：256s (0.510)%510--ε=⨯=⨯近似百分比误差为： -100%a ε=⨯当前近似值前一近似值当前近似值真误差为：-100%ε=⨯真值近似值真值跳出循环的标准为：a |s |ε<ε程序编写如下：运行结果如下：3实验结果分析：实验结果表明，当计算到第6次时，近似误差就已经小于了容限值，循环结束。
随着添加多的项数，实际误差和近似误差都减小了，说明了计算精度在逐步提高。
我们可以通过改的值来调节所需要的计算精度。
变s。
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Matlab 的特点与功能
Matlab 符号计算功能强大
Matlab 的绘图功能强大
Matlab提供丰富的绘图命令， 很方便实现数据的可视化
Matlab 的编程功能
Matlab简单易学、编程效率高。
Matlab 丰富的工具箱（toolbox）
根据专门领域中的特殊需要而设计的各种可选工具箱
MATLAB快速入门
1
编程环境
编程入门 绘图
2
3
Matlab 简介
Matlab是一种广泛应用于工程 计算及数值分析领域的新型高级 语言，现已成为国际公认的最优 秀的工程应用开发环境。 Matlab 提供了强大的科学计算、灵活的程序设计流 程、高质量的图形可视化与界面设计等功能，被广泛 应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分析、 仿真和毕业设计。Matlab 功能强大、简单易学、
数与算术表达式
Matlab 中的数默认是双精度实数，表示方法同 C 语言 3, -9, 0.4, 1.603e-12, 3.23e+20
浮点运算的相对误差为 eps 浮点数表示范围为：10-308 ～ 10308 复数的输入 z=3+4i (4 与 i 之间不能有空格) z=3+4*i
acosh 反双曲余弦函数 atanh sqrt log log10 log2 反双曲正切函数 平方根函数 自然对数函数 常用对数函数 以2为底的对数函数
简单实例
练习：
①求29的自然对数和无理数e的 值 3 x x 2 e 6 . 3 ② f() x , t h e n f( 2 ) ? 2 x l n ( x 0 . 5 )
cos(0)，2^10，2+4i A=[1 2 3;2 4 6;3 6 9] det(A) t=0:pi/100:2*pi; y=sin(t); plot(t,y,'r*')
Matlab 变量
变量命名原则
以字母开头：x1,y，千万不要以数字开头 后面可以跟 字母、数字 和 下划线
变量名称区分字母的 大小 写，比如Abc和abc不同 字母间不可留空格，可以用下划线math_score Matlab 语句的通常形式 变量=表达式
Symbolic Math PDE Optimization Signal process Image Process Statistics Control System System Identification
……
Matlab 的基本用法
Matlab 系统的启动
双击 桌面上的Matlab 快捷图标
Matlab 数值运算
数学运算符
+ 加法 - 减法 * 乘法 / 和 \ 除法（右除和左除） ^ 幂运算
.*
./
.\
.^ 点运算
常用数学函数
函数名 sin cos tan asin acos 含 义 正弦函数 余弦函数 正切函数 反正弦函数 反余弦函数 函数名 exp pow2 abs angle real 含 义 自然指数函数 2的幂 绝对值函数 复数的幅角 复数的实部
矩阵
Matlab 的操作对象是 矩阵 矩阵的直接输入
例：>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
矩阵用方括号“[ ]”括起 矩阵同一行中的元素之间用空格或逗号分隔 矩阵行与行之间用 分号分开 直接输入法中，分号可以用回车代替
矩阵下标
矩阵元素的引用
单个元素的引用
编程效率高，深受广大科技工作者的欢迎。
感受Matlab
A=magic(3),det(A),inv(A) ,eig(A) 求的根 f (x) = x*exp(x^2) 的10次导数， 在区间【0，1】上的积分等运算 x=syms x f= x*exp(x^2) diff(f ,x,10) int(f,x,0,1) 绘图
Matlab 的工作界面
当前工 作目录 命令 提示符 当前工 作空间 命令窗口
输入命令的 历史记录
Matlab 的命令窗口
交互式的命令执行方式
在Command Window内的提示符（>>）之后 输入运算式，并按 Enter 键即可 缺省变量名 「ans」
若不想在屏幕上输出结果，可以在语句最后加分号
Matlab: Matrix Laboratry
Matlab 是一个交互式软件系统
输入一条命令，立即就可以得出该命令的结果
Matlab 具有很强的数值计算功能
Matlab 以矩阵作为数据操作的基本单位，但无需 预先指定矩阵维数（动态定维）
提供十分丰富的数值计算函数，方便计算，提高效率 简便易学：Matlab 命令与数学中的符号、公式非 常接近，可读性强，容易掌握
使用 Windows “开始” 菜单→程序→MATLAB7.0 →MATLAB7.0
Matlab 系统的退出
在 Matlab 主窗口 File 菜单中选择 Exit Matlab 命令 在 Matlab 命令窗口输入 exit 或 quit 命令 单击 Matlab 主窗口的“关闭”按钮
注：在任何时候，只要按ctrl+c，MATLAB将停止运行 的所有工作
例：>> A(2,3)
利用小括弧和元素所在的位置（下标）
x(i)：向量 x 中的第 i 个元素 A(i, j)：矩阵 A 中的第 i 行，第 j 列元素
续行符…的作用
MatlabInf
无穷大
nan/NaN Not-a-Number，一个不定值，如 0/0 eps 浮点运算相对精度
i/j
虚部单位，即 1
应尽量避免给系统预定义变量重新赋值！
特殊变量 ans
Matlab 数值运算
atan
sinh
反正切函数
双曲正弦函数
imag
conj
复数的虚部
复数共轭运算
cosh
双曲余弦函数
rem
求余数或模运算
常用数学函数
函数名
tanh asinh
含 义
双曲正切函数 反双曲正弦函数
函数名
mod fix floor ceil round sign gcd lcm 模除求余
含 义
向零方向取整 不大于自变量的最大整数 不小于自变量的最小整数 四舍五入到最邻近的整数 符号函数 最大公因子 最小公倍数