反三角函数
反三角函数特殊值表
反三角函数特殊值表反三角函数是一种基本初等函数。
它是反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx，反余切arccotx，反正割arcsecx，反余割arccscx这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切，正割，余割为x的角。
反三角函数特殊值表反三角函数的分类1.反正弦函数正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]。
2.反余弦函数余弦函数y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1]，值域[0，π]。
3.反正切函数正切函数y=tanx在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
定义域R，值域（-π/2，π/2）。
4.反余切函数余切函数y=cotx在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。
定义域R，值域（0，π）。
5.反正割函数正割函数y=secx在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函数，叫做反正割函数。
记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0，π/2）U（π/2，π]区间内。
定义域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[0，π/2）U（π/2，π]。
6.反余割函数余割函数y=cscx在[-π/2，0）U（0，π/2]上的反函数，叫做反余割函数。
记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2，0）U（0，π/2]区间内。
定义域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[-π/2，0）U（0，π/2]。
全部反三角函数
全部反三角函数
反三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们是三角函数的反函数。
在一些数学问题中，使用反三角函数可以简化计算，同时也有一些实际应用。
本文将介绍全部的反三角函数，包括正弦函数的反函数arcsin(x)，余弦函数的反函数arccos(x)，正切函数的反函数arctan(x)，余切函数的反函数arccot(x)，正割函数的反函数arcsec(x)，余割函数的反函数arccsc(x)。
同时，本文将讨论这些函数的性质和图像，以及它们在实际问题中的应用。
希望读者通过本文的学习，能够更好地理解反三角函数，并能够熟练运用它们解决实际问题。
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反三角函数
例5 求下列各式的值. 3 2 3 (1) cos arcsin ; *(2) tan arcsin +arcsin . 5 5 2 解 (1) 设 arcsin 3, 5 所以为在 - , 内的且正弦值为3的角, 5 2 2
附录B
反三角函数
反三角函数
根据反函数的定义，三角函数在它们的定义域内是没有 反函数的.如果把它们的定义域分成若干个小区间，使它们在 每个小区间上都是一一对应的，那么三角函数在每个小区间上 都分别有反函数. 下面，我们分别讨论反正弦、反余弦、反正切、反余切四 个反三角函数.
一、反正弦函数
正弦函数 y sin x 的定义域是 , ,值域是 -1,1由于正
例7 把下列各等式写成反余弦形式的等式. (1) cos 3 ; (2) cos =-1; (3) cos 0. 6 2 2 解 因为 , , 都在区间0, 上,所以 6 2 (1) arccos 3 ; (2) arccos(-1)=; (3) arccos0= . 2 6 2
例9 求下列各式的值. 2 2 (1) arccos ; (2) arccos - . 2 2 解 (1) 因为cos 2 ,且 0, ,所以arccos 2 ; 4 2 4 2 4 (2) 因为cos 3 cos cos 2 ,且 3 0, , 4 4 4 2 4
图5-3 y= cos x的图像
定义2 余弦函数y=cos x在0, 上的反函数称为反余弦函 数,记作x=arccos y(或x=cos-1 y).
反三角函数简介
反三角函数反正弦函数
x=sin y在[-π
2
，π
2
]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x
的角，该角的范围在[-π
2
，π
2
]区间内。
y=arcsinx定义域[-1，1] ，值域[-π
2
，π
2
]，在区间上是单调增加的。
反余弦函数
x=cos y在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x 的角，该角的范围在[0，π]区间内。
y=arccosx定义域[-1，1] ，值域[0，π]，在区间上是单调减少的。
（绿的为y=arccosx ，红的为y=arcsinx）
反正切函数
x=tan y在(-π
2
，π
2
)上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x
的角，该角的范围在(-π
2
，π
2
)区间内。
y=arctanx定义域R，值域(-π
2
，π
2
)，在区间上是单调增加的。
反余切函数
x=cot y在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x 的角，该角的范围在（0，π）区间内。
y=arccotx定义域R，值域（0，π），在区间上是单调减少的。
（绿的为y=arccotx，红的为y=arctanx）。
反三角函数取值范围
反三角函数取值范围
反三角函数是指以三角函数的值作为自变量，求出对应的角度的函数。
反三角函数有反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数等。
反三角函数的取值范围与定义域有密切关系。
反正弦函数的定义域是[-1,1]，取值范围是[-π/2,π/2]，即其返回的角度值在-90度到90度之间。
反余弦函数的定义域是[-1,1]，取值范围是[0,π]，即其返回的角度值在0度到180度之间。
反正切函数的定义域是R，取值范围是[-π/2,π/2]，即其返回的角度值在-90度到90度之间。
反余切函数的定义域是R，取值范围是[0,π]，即其返回的角度值在0度到180度之间。
需要注意的是，反三角函数的结果是角度值，而不是弧度制或者度数制的值。
因此，在使用反三角函数计算时，需要将返回的角度值转换成对应的弧度制或度数制的值才能使用。
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常用反三角函数公式表
常用反三角函数公式表在数学的广阔领域中，反三角函数是一个重要的概念，它们在解决各种数学问题和实际应用中发挥着关键作用。
反三角函数包括反正弦函数（arcsinx）、反余弦函数（arccosx）、反正切函数（arctanx）等。
为了更好地理解和运用这些函数，掌握相关的公式是必不可少的。
接下来，让我们一起深入了解常用的反三角函数公式。
一、反正弦函数（arcsinx）公式1、定义域：－1, 12、值域：π/2, π/2（1）arcsin(x) ＝ arcsinx这意味着当输入的值取相反数时，反正弦函数的值也取相反数。
（2）sin(arcsinx) ＝ x这是一个基本的对应关系，表明对一个数先进行反正弦运算，再进行正弦运算，结果就是最初的输入值。
二、反余弦函数（arccosx）公式1、定义域：－1, 12、值域：0, π（1）arccos(x) ＝π arccosx与反正弦函数类似，输入值取相反数时，反余弦函数的值也有相应的变化规律。
（2）cos(arccosx) ＝ x同样体现了先反余弦再余弦的运算结果为输入值本身。
三、反正切函数（arctanx）公式1、定义域：（∞，＋∞）2、值域：（π/2, π/2)（1）arctan(x) ＝ arctanx反映了输入值的符号变化对反正切函数值的影响。
（2）tan(arctanx) ＝ x也是基本的对应关系。
四、反三角函数的和差公式1、 arcsinx ＋ arcsiny＝arcsin(x√（1 y²) ＋y√（1 x²)）（｜x| ＋｜y| ≤ 1 且 xy ＜ 0 或x²＋y² ≤ 1）2、 arcsinx arcsiny＝arcsin(x√（1 y²) y√（1 x²)）（｜x| ＋｜y| ≤ 1 且 xy ＜ 0 或 x²＋y² ≤ 1）3、 arctanx ＋ arctany＝ arctan(（x ＋ y) ／（1 xy)）（xy ≠ 1）4、 arctanx arctany＝ arctan(（x y) ／（1 ＋ xy)）（xy ≠ －1）五、反三角函数的复合函数公式1、 arcsin(sin x) ＝ x （x ∈ π/2, π/2）2、 arccos(cos x) ＝ x （x ∈ 0, π）3、 arctan(tan x) ＝ x （x ∈（π/2, π/2)）六、反三角函数的导数公式1、（arcsinx)＇＝ 1 ／√（1 x²)2、（arccosx)＇＝－1 ／√（1 x²)3、（arctanx)＇＝ 1 ／（1 ＋ x²)这些导数公式在微积分中非常重要，用于求解与反三角函数相关的导数问题。
全部反三角函数
全部反三角函数反三角函数是指可以将以某个三角函数值为自变量的角度求出的函数。
下面将介绍三角函数的反函数及其性质。
一、反正弦函数当正弦函数的定义域限定为[-π/2,π/2]时，该函数的反函数称为反正弦函数，记为y=arcsin(x)。
反正弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
反正弦函数是一个奇函数，即满足arcsin(-x)=-arcsin(x)。
反正弦函数的导数是：(1-x²)^(-1/2)。
二、反余弦函数当余弦函数的定义域限定为[0,π]时，该函数的反函数称为反余弦函数，记为y=arccos(x)。
反余弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
反余弦函数是一个偶函数，即满足arccos(-x)=arccos(x)。
反余弦函数的导数是：-(1-x²)^(-1/2)。
三、反正切函数当正切函数的定义域限定为(-π/2,π/2)时，该函数的反函数称为反正切函数，记为y=arctan(x)。
反正切函数的定义域为R，值域为(-π/2,π/2)。
反正切函数是一个奇函数，即满足arctan(-x)=-arctan(x)。
反正切函数的导数是：(1+x²)^(-1)。
四、反余切函数当余切函数的定义域限定为(0,π)时，该函数的反函数称为反余切函数，记为y=arcctg(x)。
反余切函数的定义域为R，值域为(0,π)。
反余切函数是一个奇函数，即满足arcctg(-x)=π-arcctg(x)。
反余切函数的导数是：-(1+x²)^(-1)。
五、反正割函数当正割函数的定义域限定为[0,π/2)∪(π/2,π]时，该函数的反函数称为反正割函数，记为y=arcsec(x)。
反正割函数的定义域为[1,∞)，值域为[0,π/2)∪(π/2,π]。
反正割函数是一个偶函数，即满足arcsec(-x)=arcsec(x)。
反正割函数的导数是：|x|(x²-1)^(-1/2)。
反三角函数导数公式及推导过程
反三角函数导数公式及推导过程反三角函数导数公式及推导过程：反三角函数即为三角函数的反函数，将x和y的位置互换，此时y为自变量（即角度），x为y的函数，在将其化为x为自变量，y为x的函数的形式，得到的即是反三角函数。
反三角函数导数公式及推导过程反函数求导方法:若F(X),G(X)互为反函数,则: F'(X)*G'(X)=1E.G.:y=arcsinx x=sinyy'*x'=1 (arcsinx)'*(siny)'=1y'=1/(siny)'=1/(cosy)=1/根号(1-sin^2y)=1/根号(1-x^2)其余依此类推反正弦函数正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反余弦函数余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[0，π]。
反正切函数正切函数y=tan x在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
定义域R，值域（-π/2，π/2）。
反余切函数余切函数y=cot x在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。
定义域R，值域（0，π）。
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反三角函数是一种基本初等函数。
它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。
它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切,反正割，反余割为x的角。
三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
反三角函数反正弦函数
x=sin y在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反三角函数反余弦函数
绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x)
x=cos y在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x 的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[0，π]。
反三角函数反正切函数
x=tan y在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
定义域R，值域（-π/2，π/2）。
反三角函数反余切函数
x=cot y在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx
绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x) ，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。
定义域R，值域（0，π）。
反三角函数反正割函数
x=sec y在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数，叫做反正割函数。
记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。
定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域
[0,π/2)U(π/2,π]。
反三角函数反余割函数
x=csc y在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函数，叫做反余割函数。
记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。
定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域
[-π/2,0)U(0,π/2]。
反三角函数公式
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反三角函数余角关系
反三角函数负数关系
反三角函数倒数关系
反三角函数三角函数关系
反三角函数加减法公式arcsinx+arcsiny
或
且
且
且
且
arcsinx-arcsiny
或
且
且
且
且
arccos x+arccos y
arccos x-arccos y
arctanx+arctany
arctanx-arctany
arccotx+arccoty
反三角函数级数定义
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反三角函数导数
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反三角函数不定积分
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