2015年湖南省长沙市中考数学试卷
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2015 年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．（3 分）（2015•长沙）下列实数中，为无理数的是（ ）
A．0.2 B． C． D．﹣5
【考点】无理数． 菁优网版权所有
【分析】有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此 判断出无理数有哪些即可． 【解答】解：∵﹣5 是整数， ∴﹣5 是有理数； ∵0.2 是有限小数， ∴0.2 是有理数；
A．
பைடு நூலகம்B．
C．
D．
5．（3 分）下列命题中，为真命题的是（ ） A．六边形的内角和为 360 度 B．多边形的外角和与边数有关 C．矩形的对角线互相垂直 D．三角形两边的和大于第三边
6．（3 分）在数轴上表示不等式组
的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3 分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，
6．（3 分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组
的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 菁优网版权所有
D．
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【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的
解集表示在数轴上即可．本题解不等式组得：
（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩 x/分
频数
频率
50≤x＜60
10
0.05
60≤x＜70
20
0.10
70≤x＜80
30
b
80≤x＜90
a
0.30
90≤x≤100 80
0.40
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数分布直方图；
C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查 9．（3 分）一次函数 y=﹣2x+1 的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（3 分）如图，过△ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
11．（3 分）如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的 B 处，
测得树顶 A 的仰角∠ABO 为 α，则树 OA 的高度为（ ）
A．
米B．30sinα 米 C．30tanα 米 D．30cosα 米
12．（3 分）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件， 则可获利润 500 元，其利润率为 20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获 得的纯利润为（ ） A．562.5 元 B．875 元 C．550 元 D．750 元
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【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 185000 用科学记数法表示为 1.85×105． 故选 A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1 ≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
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三、解答题（共 8 小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第 23、24 题 每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，满分 66 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程 或演算步骤）
19．（6 分）计算：（ ）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+ ．
∵
，0.5 是有限小数，
∴ 是有理数；
∵
是无限不循环小数，
∴ 是无理数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．
2．（3 分）（2015•长沙）下列运算中，正确的是（ ） A．x3+x=x4 B．（x2）3=x6 C．3x﹣2x=1 D．（a﹣b）2=a2﹣b2 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式．
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23．（9 分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某 家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否 完成今年 6 月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 24．（9 分）如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点 O（0，0），点 A（ ，0）与点 B（0， ﹣ ），点 D 在劣弧 上，连接 BD 交 x 轴于点 C，且∠COD=∠CBO． （1）求⊙M 的半径； （2）求证：BD 平分∠ABO； （3）在线段 BD 的延长线上找一点 E，使得直线 AE 恰好为⊙M 的切线，求此时点 E 的坐 标．
5．（3 分）（2015•长沙）下列命题中，为真命题的是（ ） A．六边形的内角和为 360 度 B．多边形的外角和与边数有关 C．矩形的对角线互相垂直 D．三角形两边的和大于第三边 【考点】命题与定理．
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【分析】根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可． 【解答】解：A、六边形的内角和为 720°，错误； B、多边形的外角和与边数无关，都等于 360°，错误； C、矩形的对角线相等，错误； D、三角形的两边之和大于第三边，正确； 故选 D． 【点评】本题考查命题的真假性，是易错题． 注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握．
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段；
（4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的 3000 名学生中
成绩“优”等约有多少人？
22．（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线 AC、BD 相交于点 O， 将对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角 α（0°＜α＜90°）后得直线 l，直线 l 与 AD、 BC 两边分别相交于点 E 和点 F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）当 α=30°时，求线段 EF 的长度．
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【分析】根据同类项、幂的乘方和完全平方公式计算即可． 【解答】解：A、x3 与 x 不能合并，错误； B、（x2）3=x6，正确； C、3x﹣2x=x，错误； D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误； 故选 B 【点评】此题考查同类项、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．
你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ）
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 4
6
6
10
2
1
1
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（3 分）下列说法中正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
B．某种彩票的中奖概率为
，说明每买 1000 张，一定有一张中奖
，再分别表示在数轴上即可得解．
3．（3 分）（2015•长沙）2014 年，长沙地铁 2 号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交 通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁 2 号线 每天承动力约为 185000 人次，则数据 185000 用科学记数法表示为（ ） A．1.85×105 B．1.85×104 C．1.8×105 D．18.5×104 【考点】科学记数法—表示较大的数．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13．（3 分）一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地等 完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出 1 个球，则摸出 白球的概率是 ． 14．（3 分）圆心角是 60°且半径为 2 的扇形面积为 （结果保留 π）．
4．（3 分）（2015•长沙）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形． 菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案． 【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念： 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合； 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．
20．（6 分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中 x=（3﹣π）0，y=2．
21．（8 分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团
2015年长沙市初中毕业生学业考试数学训练试卷(12)
2015年长沙市初中毕业生学业考试数学训练试卷(12)一．选择题（每题3分，共36分）1.下列运算准确是（ ）. A ．632aa = B.()22323-=-⨯ C.21a a a= D.1882-= 2.如图，数轴上A B 、两点对应的实数分别是1和3，若点A 关于点B 的对称点为点C ，则点C 所对应的实数为（ ）.A.231-B.13+C.23+D.231+3.关于x 的一元二次方程2620x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）.A.92k ≤B.92k <C. 92k ≥D. 92k > 4.如图，雷达探测器测得六个目标A B C D E F 、、、、、出现.按照规定 的目标表示方法，目标C F 、的位置表示为()()61205210.C F ，°、，°按照此方法在表示目标A B D E 、、、的位置时，其中表示不准确的是（ ）.A ．()530A ，° B. ()290B ，° C. ()4240D ，° D. ()360E ，°第7题图5.阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可 获得20%，则这种电子产品的标价为( )A. 26元B. 27元C. 28元D. 29元6、若一元二次方程0632=++-m x x 的一个根为31=x ，则该方程的另一个根是( ) A 、12-=x B 、32-=x C 、52-=x D 、52=x7、随机抽取九年级某班10位同学的年龄情况为：17岁1人，16岁5人，15岁2人，14岁2人。
则这10位同学的年龄的中位数和平均数分别是（单位：岁）( ) A 、16和15 B 、16和15.5 C 、16和16 D 、15.5和15.5 8.下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ）A. B. C. D.9.已知函数21y x =与函数2132y x =-+的图象大致如图.若12y y <，则自变量x的取值范围是（ ）.A ．322x -<< B. 322x x ><-或 C. 322x -<< D. 322x x <->或 10.如图3，四边形OABC 为菱形，点A B 、在以点O 为圆心的DE 上，若312OA =∠=∠，，则扇形ODE 的面积为( ) A.3π2 B. 2π C.5π2D. 3π 11.将边长为3cm 的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成 一个正六边形，则这个正六边形的面积为( ) A.332cm 2 B.334cm 2 C.338cm 2 D.33cm 212.如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么ABAD等于（ ）. A ．0.618 B. 2C. 2D. 2二、填空题：(每题3分共24分)13.不等式642-<x x 的解集为 ．14.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的形式，则n m ⋅=________。
历届长沙市中考数学试卷(更新到21年)
．
y
CC 1
AA
OO
BB
a ob
O
x
第 11 题图
第 12 题图
13．已知反比例函数 y = 1− m 的图象如图，则 m 的取值范围是
x
第 13 题图
．
14．已知扇形的面积为12π ，半径等于 6，则它的圆心角等于
度．
15．等腰梯形的上底是 4cm，下底是 10 cm，一个底角是 60° ，则等腰梯形的腰长
9．－3 的相反数是
．
长沙历届初中学业水平考试数学试卷 第3页（共 60 页）
10．截止到 2010 年 5 月 31 日，上海世博园共接待 8 000 000 人，用科学记数法表示
是
人．
11．如图，O 为直线 AB 上一点，∠COB=26°30′，则∠1=
度．
12．实数 a、b 在数轴上位置如图所示，则| a |、| b |的大小关系是
18．先化简，再求值：
(
x2 x−3
−
x
9 −
3)
x2
1 +
3x
其中
x
=
1 3
.
19．为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警 队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立 杆 AB 高度是 3m，从侧面 D 点测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60°和 45°．求路况显示牌 BC 的高度．
第 19 题图
20．有四张完全一样的空白纸片，在每张纸片的一个面上分别写上 1、2、3、4．某同学把 这四张纸片写有字的一面朝下，先洗匀随机抽出一张，放回洗匀后，再随机抽出一张．求 抽出的两张纸片上的数字之积小于 6 的概率．（用树状图或列表法求解）
2015年长沙中考数学模拟试卷------全8套
售价(元/件)
20
45
（2）若商店计划投入资金少于 4 000 元，
且销售完这批商品后获利多于 1 135 元，请问有哪几种购货方案？并指出获利最
大的购货方案.
24．如图，已知以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 与斜边 AC 交于点 D， E 为 BC 边的中点，连接 DE． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）连接 OE，当∠CAB 为何值时，四边形 AOED 是平行四 边形？ （3）请在（2）的条件下探索 OBED 的形状.
25．已知：如图①，在 Rt△ACB 中，C 90 ， AC 4 cm ， BC 3 cm ，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1 cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动， 速度为 2 cm/s；连接 PQ ．若设运动的时间为 t(s) （ 0 t 2 ），解答下列问题：
考证号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本学科试卷共 26 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分。
16．如图，在△ABC 中，点 E、F 分别为 AB、AC 的中点．若 EF 的长为 2，则 BC 的长为
___________．
第 16 题图
第 17 题图
第 18 题图
17．如图，等腰△ABC 的周长为 27 cm，底边 BC＝7 cm，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点
D，交 AC 于点 E，则△BEC 的周长为
C．2a＋1
湖南省长沙市长沙县2015届中考数学模拟试卷
湖南省长沙市长沙县2015届中考数学模拟试卷一．选择题（共12小题）1．（3分）福布斯中文网微博通报数据显示，天猫双11成交额已经在活动开始后的60分钟内突破122亿元人民币．则122亿用科学记数法来表示是（）A．1.22×1010B．122×108C．12.2×109D．1.22×1092．（3分）若2a﹣b=3，则9﹣4a+2b的值为（）A．3B．6C．12 D．03．（3分）分式方程的解为（）A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=44．（3分）下列各式计算正确的是（）A．2a+2=3a2B．（﹣b3）2=﹣b6C．c2•c3=c5D．（m﹣n）2=m2﹣n25．（3分）一物体及其主视图如图所示，则它的左视图与俯视图分别是图形中的（）A．①②B．③②C．①④D．③④6．（3分）如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26°B．116°C．128°D．154°7．（3分）如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转90°，则点D所转过的路径长为（）A．4πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm8．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．9．（3分）一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A．1B．2C．﹣1 D．﹣210．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2D．211．（3分）下列说法中，正确的是（）A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查12．（3分）如图，△ABC中，点D在线段AB上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（）A．A B2=AC•BD B．A B•AD=BD•BC C．A B2=BC•BD D．AB•AD=BD•CD二．填空题（共6小题）13．（3分）﹣的相反数是．14．（3分）分解因式：2x2﹣2=．15．（3分）已知1是关于x的方程x﹣2m=0的解，则m的值为．16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=．17．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为．18．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是．三．解答题（共7小题）19．计算：．20．先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．21．在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲10次射击成绩的统计表（表1）和扇形统计图如下：命中环数10 9 8 7命中次数 3 2（1）根据统计表（图）中提供的信息，补全统计表及扇形统计图；（2）已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去？并说明理由．22．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km 的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．23．青海新闻网讯：西宁市为加大向国家环境保护模范城市大步迈进的步伐，积极推进城市绿地、主题公园、休闲场地建设．园林局利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A、B两种园艺造型摆放在夏都大道两侧．搭配数量如下表所示：甲种花卉（盆）乙种花卉（盆）A种园艺造型（个）80盆40盆B种园艺造型（个）50盆90盆（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元．若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元．则A、B两种园艺造型的单价分别是多少元？（2）如果搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮忙设计出来．24．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，且过点D的⊙O的切线DE平分BC边，交BC于E．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）当△ABC满足什么条件时，以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形？25．如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t秒（0＜t＜）．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．湖南省长沙市长沙县2015届中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（3分）福布斯中文网微博通报数据显示，天猫双11成交额已经在活动开始后的60分钟内突破122亿元人民币．则122亿用科学记数法来表示是（）A．1.22×1010B．122×108C．12.2×109D．1.22×109考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将122亿用科学记数法表示为1.22×1010．故选A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）若2a﹣b=3，则9﹣4a+2b的值为（）A．3B．6C．12 D．0考点：代数式求值．专题：计算题．分析：原式后两项提取﹣2变形后，把已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵2a﹣b=3，∴原式=9﹣2（2a﹣b）=9﹣6=3，故选A点评：此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（3分）分式方程的解为（）A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4考点：解分式方程．分析：首先分式两边同时乘以最简公分母2x（x﹣1）去分母，再移项合并同类项即可得到x的值，然后要检验．解答：解：，去分母得：3x﹣3=2x，移项得：3x﹣2x=3，合并同类项得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母2x（x﹣1）=12≠0，故x=3是原方程的解，故原方程的解为：X=3，故选：C．点评：此题主要考查了分式方程的解法，关键是找到最简公分母去分母，注意不要忘记检验，这是同学们最容易出错的地方．4．（3分）下列各式计算正确的是（）A．2a+2=3a2B．（﹣b3）2=﹣b6C．c2•c3=c5D．（m﹣n）2=m2﹣n2考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．分析：根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．解答：解：A、2a和2不能合并，故本选项错误；B、结果是b6，故本选项错误；C、结果是c5，故本选项正确；D、结果是m2﹣2mn+n2，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式的应用，主要考查学生的计算能力和判断能力，难度不是很大．5．（3分）一物体及其主视图如图所示，则它的左视图与俯视图分别是图形中的（）A．①②B．③②C．①④D．③④考点：简单组合体的三视图．分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的视图是左视图，可得答案．解答：解：从左面看下面是一个长方形，上面是一个长方形，故③符合题意，从上面看左边一个长方形，中间一个长方形，右边一个长方形，故②符合题意．故选：B．点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的视图是左视图，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．6．（3分）如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26°B．116°C．128°D．154°考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理直接解答即可．解答：解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选：C．点评：本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周是圆心角的一半是解题的关键．7．（3分）如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转90°，则点D所转过的路径长为（）A．4πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm考点：弧长的计算；平行四边形的性质；旋转的性质．专题：计算题．分析：根据平行四边形的性质得到OD=OB=BD=2，然后根据弧长公式计算即可．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB=BD=2，∴点D所转过的路径长==π（cm）．故选D．点评：本题考查了弧长的计算：弧长=（n为弧所对的圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了平行线四边形的性质以及旋转的性质．8．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．专题：压轴题；网格型．分析：找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．解答：解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2．∴cos∠ABC==．故选B．点评：难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．9．（3分）一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A．1B．2C．﹣1 D．﹣2考点：一元二次方程的解．专题：待定系数法．分析：把x=2代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值．解答：解：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，∴22+2p﹣2=0，解得p=﹣1．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2D．2考点：菱形的性质．分析：利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长．解答：解：∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2．故选：C．点评：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB是等边三角形是解题关键．11．（3分）下列说法中，正确的是（）A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查考点：随机事件；全面调查与抽样调查；概率的意义．分析：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，据此判断即可．解答：解：A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，故A选项错误；B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故B选项错误；C．神舟飞船反射前需要对零部件进行全面调查，故C选项错误；D．解某种节能灯的使用寿命，具有破坏性适合抽样调查，故D选项正确．故选：D．点评：本题考查了调查的方式和事件的分类．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式；必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12．（3分）如图，△ABC中，点D在线段AB上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（）A．A B2=AC•BD B．A B•AD=BD•BC C．A B2=BC•BD D．AB•AD=BD•CD考点：射影定理．分析：先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB，然后根据比例性质得到AB2=BC•BD．解答：解：∵∠BAD=∠C，而∠ABD=∠CBA，∴△BAD∽△BCA，∴AB：BC=BD：AB，∴AB2=BC•BD．故选C．点评：本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．二．填空题（共6小题）13．（3分）﹣的相反数是．考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．解答：解：﹣的相反数是，故答案为：．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．14．（3分）分解因式：2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．解答：解：2x2﹣2=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1）．故答案为：2（x+1）（x﹣1）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．15．（3分）已知1是关于x的方程x﹣2m=0的解，则m的值为0.5．考点：一元一次方程的解．专题：计算题．分析：把x=1代入方程求出m的值即可．解答：解：把x=1代入方程得：1﹣2m=0，解得：m=0.5，故答案为：0.5点评：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=3．考点：三角形中位线定理．分析：由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．解答：解：∵D、E是AB、AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴ED=BC=3．故答案为：3．点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．17．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为1或5．考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；平移的性质．分析：平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．解答：解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为：1或5．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．18．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是50°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．解答：解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故答案为：50°．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（﹣）0=1，（）﹣1=2，按照实数的运算法则依次计算．解答：解：原式=1﹣4××+2×=1﹣+2=1+．点评：本题考查的知识点是：任何不等于0的数的0次幂是1；a﹣p=．20．先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先化简分式，再把a=2代入化简后的式子计算即可．解答：解：，当a=2时，原式=2×2=4．点评：本题考查了分式的化简求值．注意除以一个数等于乘以这个数的倒数．21．在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲10次射击成绩的统计表（表1）和扇形统计图如下：命中环数10 9 8 7命中次数 4 3 2 1（1）根据统计表（图）中提供的信息，补全统计表及扇形统计图；（2）已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去？并说明理由．考点：方差；统计表；扇形统计图．分析：（1）根据统计表（图）中提供的信息，可列式得命中环数是7环的次数是10×10%，10环的次数是10﹣3﹣2﹣1，再分别求出命中环数是8环和10环的圆心角度数画图即可，（2）先求出甲运动员10次射击的平均成绩和方差，再与乙比较即可．解答：解：（1）命中环数是7环的次数是10×10%=1（次），10环的次数是10﹣3﹣2﹣1=4（次），命中环数是8环的圆心角度数是；360°×=72°，10环的圆心角度数是；360°×=144°，画图如下：故答案为：4，1；（2）∵甲运动员10次射击的平均成绩为（10×4+9×3+8×2+7×1）÷10=9环，∴甲运动员10次射击的方差=[（10﹣9）2×4+（9﹣9）2×3+（8﹣9）2×2+（7﹣9）2]=1，∵乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，大于甲的方差，∴如果只能选一人参加比赛，认为应该派甲去．点评：本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．22．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km 的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）根据∠1=30°，∠2=60°，可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长BC交l于T，比较AT与AM、AN的大小即可得出结论．解答：解：（1）∵∠1=30°，∠2=60°，∴△ABC为直角三角形．∵AB=40km，AC=km，∴BC===16（km）．∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，∴×60=12（千米/小时）．（2）能．理由：作线段BR⊥AN于R，作线段CS⊥AN于S，延长BC交l于T．∵∠2=60°，∴∠4=90°﹣60°=30°．∵AC=8（km），∴CS=8sin30°=4（km）．∴AS=8cos30°=8×=12（km）．又∵∠1=30°，∴∠3=90°﹣30°=60°．∵AB=40km，∴BR=40•sin60°=20（km）．∴AR=40×cos60°=40×=20（km）．易得，△STC∽△RTB，所以=，，解得：ST=8（km）．所以AT=12+8=20（km）．又因为AM=19.5km，MN长为1km，∴AN=20.5km，∵19.5＜AT＜20.5故轮船能够正好行至码头MN靠岸．点评：此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．23．青海新闻网讯：西宁市为加大向国家环境保护模范城市大步迈进的步伐，积极推进城市绿地、主题公园、休闲场地建设．园林局利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A、B两种园艺造型摆放在夏都大道两侧．搭配数量如下表所示：甲种花卉（盆）乙种花卉（盆）A种园艺造型（个）80盆40盆B种园艺造型（个）50盆90盆（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元．若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元．则A、B两种园艺造型的单价分别是多少元？（2）如果搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮忙设计出来．考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）先设A种园艺造型单价为x元，B种园艺造型单价为y元，根据搭配一个A 种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元，园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元，列出方程组，求出x，y的值即可；（2）设搭配A种园艺造型a个，搭配B种园艺造型（50﹣a）个，根据甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，列出不等式组，求出a的取值范围，即可得出符合题意的搭配方案．解答：解：（1）设A种园艺造型单价为x元，B种园艺造型单价为y元，根据题意得：，解此方程组得：，答：A种园艺造型单价是200元，B种园艺造型单价是300元．（2）设搭配A种园艺造型a个，搭配B种园艺造型（50﹣a）个，根据题意得：，解此不等式组得：31≤a≤33，∵a是整数，∴符合题意的搭配方案有3种，如下：A种园艺造型（个）B种园艺造型（个）方案1 31 19方案2 32 18方案3 33 17点评：此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程组和不等式组，注意a只能取整数．24．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，且过点D的⊙O的切线D E 平分BC边，交BC于E．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）当△ABC满足什么条件时，以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形？考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定；圆周角定理．专题：证明题．分析：（1）要证BC是⊙O的切线，就要证OB⊥BC，只要证∠OBE=90°即可，首先作辅助线，连接OD、OE，由已知得OE为△ABC的中位线，OE∥AC，从而证得△ODE≌△OBE，推出∠ODE=∠OBE，又DE是⊙O的切线，所以得∠OBE=90°，即OB⊥BC，得证．（2）由题意使四边形OBED是正方形，即得到OD=BE，又由已知BE=CE，BC=2BE，AB=2OD，所以AB=BC，即△ABC为等腰三角形（AB=BC）．再通过△ABC为等腰三角形（AB=BC）论证以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形．解答：解：（1）连接OD、OE，∵O为AB的中点，E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC（三角形中位线性质），∴∠DOE=∠ODA，∠BOE=∠A（平行线性质），∵OA=OD∴∠A=∠ODA∴∠DOE=∠BOE（等量代换）∵OD=OB，OE=OE∴△ODE≌△OBE（边角边）∴∠ODE=∠OBE∵DE是⊙O的切线∴∠ODE=∠OBE=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．（2）当为等腰三角形（AB=BC）时四边形OBDE是正方形，证明如下：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC（直径所对的圆周角为直角），∵AB=BC，∴D为AC的中点（等腰三角形的性质），∵E为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴OD⊥AB，∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，∵OD=OB，∴四边形OBED为正方形．点评：此题是切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定性质、圆周角定理的综合运用．解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等，得到∠OBE=90°，即OB⊥BC 得出结论．第二问关键是通过以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形推出△ABC为等腰三角形（AB=BC）．然后加以论证．25．如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A 作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t秒（0＜t＜）．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．考点：一次函数综合题．分析：（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式=，求出t的值；（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系=求得PD，从而S可求出，S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．解答：解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，∴AB===10．如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．∵PQ∥BO，∴=，即=，解得t=，∴当t=秒时，PQ∥BO．（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，∴=，即=，解得PD=6﹣t．S=AQ•PD=•2t•（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5，∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜），当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．②如图②所示，当S取最大值时，t=，∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO，又∵PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4，∴P（4，3）．又∵AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）．点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识．。
2015年湖南省长沙市中考数学试题与解析
2015年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线B6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）B7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售某种彩票的中奖概率为，说明每买抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是 B11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为（ ）米B 12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是 ． 14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为 （结果保留π）．15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是 （结果保留根号）．16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x= ．17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是．18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015•长沙）计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图（1）a=，b=；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD 相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？26．（10分）（2015•长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．2015年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）是有理数；3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线B6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）B，再分别表示在数轴上即可得7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售，说明每买、某种彩票的中奖概率为，说明每买、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是B11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）B米12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是．个球，则摸出白球的概率是：=故答案为：．14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为π（结果保留π）．S=π故答案为：π．15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是2（结果保留根号）．．16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x=﹣5．17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是18．，18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．BD=CD=AB=5=4三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015•长沙）计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．×﹣20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图（1）a=60，b=0.15；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD 相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．==，==，EF=2OE=23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？≈24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．，），，﹣），，=2的半径为：OAB==，OBC=∠×=，AE=EF=AE=，，25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？x时，x+2y=（y=x时，x+2y=y=（（（y=，；，=[×+2）×）﹣x xx x2×x x2×，26．（10分）（2015•长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．代入得：x，再根据﹣，得出2ac+，为等边三角形时（﹣﹣，，得出，2x2（，代入得：x×，∴方程为：x x+2=0=2ac+（﹣）|AB=﹣=，+2b+1==2，=，﹣2=2方程可解为x x+c=0=﹣。
2015年湖南省长沙市中考数学试题及
2015年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线B6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）B7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售，说明每买10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是 B11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为（ ）米B 12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是 ． 14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为 （结果保留π）．15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是 （结果保留根号）．16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x= ．17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是．18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015•长沙）计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图（1）a=，b=；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD 相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？26．（10分）（2015•长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．2015年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）是有理数；3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线B6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）B，再分别表示在数轴上即可得7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售，说明每买、某种彩票的中奖概率为，说明每买、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是B11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）B米12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是．个球，则摸出白球的概率是：=故答案为：．14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为π（结果保留π）．S=π故答案为：π．15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是2（结果保留根号）．．16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x=﹣5．17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是18．，18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．BD=CD=AB=5=4三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015•长沙）计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．×﹣20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图（1）a=60，b=0.15；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD 相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．==，==，EF=2OE=23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？≈24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．，），，﹣），，=2的半径为：OAB==，OBC=∠×=，AE=EF=AE=，，25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？x时，x+2y=（y=x时，x+2y=y=（（（y=，；，=[×+2）×）﹣x xx x2×x x2×，26．（10分）（2015•长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．代入得：x，再根据﹣，得出2ac+，为等边三角形时（﹣﹣，，得出，2x2（，代入得：x×，∴方程为：x x+2=0=2ac+（﹣）|AB=﹣=，+2b+1==2，=，﹣2=2方程可解为x x+c=0=﹣。
2015年湖南省长沙市中考数学试卷(含详细答案)
说明每买 1000 张，有可能中奖，也有可能不中奖，故 B 错误；C，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正 面朝上的概率为 1 ，故 C 错误；D，想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故D
2
正确；故选：D。 【考点】统计和概率的知识
9.【答案】C
【解析】∵一次函数 y 2x 1中 k 2＜0 ， b 1＞0 ，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第
坐标原点. 1 2 1 2
(1)当 x c 2，a 1
12
(2)当 x 2c 时,试问△ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
(3)当
1
x
mc(m
0)
时,记
△MAB,△PAB
的面积分别为
S
,
S
,若△BPO∽△PAO ,
且S
11
S
2
,求
m
的值.
12
数学试卷 第 6 页（共 22 页）
湖南省长沙市 2015 年初中学业水平考试
,
AD AB
1 3
,
DE
6 ,则 BC
的长是
.
18.如图, AB 是 O 的直径,点 C 是 O 上的一点,若 BC 6, AB 10，OD BC 于点 D ,
则 OD 的长为
.
三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分 6 分)
答
为 185000 人次,则数据 185000 用科学计数法表示为
--------------------
()
__ __
A.1.85 105
B.1.85 104
2015年湖南省长沙市岳麓区麓山国际学校中考直升数学试卷和解析答案
2015年湖南省长沙市岳麓区麓山国际学校中考直升数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）﹣5地倒数是（）A．5 B．C．﹣5 D．2．（3分）下列四个数﹣2，0，0.5，中，属于无理数地是（）A．﹣2 B．0 C．0.5 D．3．（3分）下列等式成立地是（）A．a2•a5=a10B．C．（﹣a3）6=a18 D．4．（3分）如图所示地几何体地俯视图是（）A．B．C．D．5．（3分）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击地数据绘制成如图所示地统计图，则这组数据地众数和中位数分别是（）A．7，7 B．8，7.5 C．7，7.5 D．8，6.56．（3分）下列函数中，y随x地增大而减小地是（）A．y=x B．y=x2 C．y= D．y=（x＜0）7．（3分）如图，AC是旗杆AB地一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=50°，则拉线AC地长为（）A．6sin50°B．6cos50°C．D．8．（3分）如图，直线l1∥l2，∠1=35°，∠2=75°，则∠3等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°9．（3分）如图，线段AB是圆O地直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于（）A．20°B．30°C．35°D．70°10．（3分）在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB地长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．70°11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，将△ABC绕点C 逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB上，A′B′与BC交于点D，则△A′CD地面积为（）A．1 B．C．D．212．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16，点P是斜边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ地面积为y，则y与x之间地函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）单项式地次数是．14．（3分）在函数y=中，自变量x地取值范围是．15．（3分）生物学家发现一种病毒地长度约为0.00000043mm，用科学记数法表示这个数为mm．16．（3分）某花园内有一块五边形地空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m长为半径地扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草地扇形区域总面积是．17．（3分）平行四边形中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系中（1）AB=BC（2）AC=BD（3）AC⊥BD（4）AB⊥BC中任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形地概率为．18．（3分）已知m、n是方程x2+2x+1=0地两根，则代数式值为．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：2﹣2﹣2cos60°+|﹣|+（3.14﹣π）0．20．（6分）解不等式组：，并写出它地所有整数解．21．（8分）某校举办初中生演讲比赛，每班派两名学生参赛，现某班有A、B、C三名学生竞选，他们地笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如表和图（1）：（1）m=，并将图（1）补充完整；（2）竞选地最后一个程序是由本校地300名学生代表进行投票，每票计1分，三名候选人地得分情况如图（2）（没有弃权票，每名学生只能推荐一人）；①若将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3地比例确定最后成绩，请计算学生A地最后成绩；②若A、B、C三名学生中有一名男生，两名女生，选其中两名学生参赛，求恰好选中一男一女地概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）22．（8分）如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上地中线，分别过点C，D作BA，BC地平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB=10，tan∠BAC=，求菱形ADCE地面积．23．（9分）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队地投标书．甲工程队每天施工费需12万元，乙工程队每天施工费需5万元．工程领导小组根据甲、乙两队地投标书测得，有如下三种方案：①由甲队单独完成这项工程，刚好如期完全；②由乙队单独完成这项工程，要比规定日期多用6天；③先由甲、乙两队合做3天，余下地工程再由乙队单独做，正好如期完成．试问：（1）这项工程地工期是多少天？（2）在不耽误工期前提下，你觉得哪一种施工方案所需费用最节省？请说明理由．24．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AC为直径地⊙O分别交AB、BC 于点M，N，点P在AB地延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O地切线；（2）若BC=2，sin∠BCP=，求△ACP地周长．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′=，则称点Q为点P地限变点．例如：点（2，3）地限变点地坐标是（2，3），点（﹣2，5）地限变点地坐标是（﹣2，﹣5）．（1）①点地限变点地坐标是；②在点A（﹣2，﹣1），B（﹣1，2）中有一个点是函数图象上某一个点地限变点，这个点是；（2）若点P在函数y=﹣x+3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）地图象上，其限变点Q地纵坐标b′地取值范围是﹣5≤b′≤2，求k地取值范围；（3）若点P在关于x地二次函数y=x2﹣2tx+t2+t地图象上，其限变点Q地纵坐标b′地取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m﹣n，求s关于t地函数解析式及s地取值范围．26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）地图象经过点A，B，C，已知点A地坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0），点C在y轴地正半轴，且∠CAB=30°．（1）求抛物线地函数解析式；（2）若直线l：y=x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D、E．①当m＞0时，在线段AC上否存在点P，使得点P，D，E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P地坐标；若不存在，请说明理由．②以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l地对称线段A′C′与二次函数图象有交点，请直接写出m地取值范围．2015年湖南省长沙市岳麓区麓山国际学校中考直升数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）﹣5地倒数是（）A．5 B．C．﹣5 D．【解答】解：﹣5与﹣地乘积是1，所以﹣5地倒数是﹣．故选：D．2．（3分）下列四个数﹣2，0，0.5，中，属于无理数地是（）A．﹣2 B．0 C．0.5 D．【解答】解：无理数为．故选D．3．（3分）下列等式成立地是（）A．a2•a5=a10B．C．（﹣a3）6=a18 D．【解答】解：A、a2•a5=a7，故选项错误；B、当a=b=1时，≠+，故选项错误；C、正确；D、当a＜0时，=﹣a，故选项错误．故选C．4．（3分）如图所示地几何体地俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上往下看，该几何体是从左到右排成一排地三个长方形，其中左右两个长方形是一样大小，故选B5．（3分）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击地数据绘制成如图所示地统计图，则这组数据地众数和中位数分别是（）A．7，7 B．8，7.5 C．7，7.5 D．8，6.5【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高地数据是在第三组，7环，故众数是7（环）；因图中是按从小到大地顺序排列地，最中间地环数是7（环）、8（环），故中位数是7.5（环）．故选C．6．（3分）下列函数中，y随x地增大而减小地是（）A．y=x B．y=x2 C．y= D．y=（x＜0）【解答】解：A、∵一次函数y=x中，k=1＞0，∴y随x地增大而增大，故本选项错误；B、∵二次函数y=x2中a=1＞0，开口向上，∴在对称轴地右侧y随x地增大而减小，故本选项错误；C、∵反比例函数y=中，k=2＞0，∴在每一象限内，y随x地增大而减小，故本选项错误；D、∵反比例函数y=中，k=4＞0，∴当x＜0时，y随x地增大而减小，故本选项正确．故选D．7．（3分）如图，AC是旗杆AB地一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=50°，则拉线AC地长为（）A．6sin50°B．6cos50°C．D．【解答】解：∵BC=6米，∠ACB=50°，∴拉线AC地长为=，故选：D．8．（3分）如图，直线l1∥l2，∠1=35°，∠2=75°，则∠3等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵l1∥l2，∴∠4=∠2=75°，∴∠3=180°﹣∠1﹣∠4=180°﹣35°﹣75°=70°．故选D．9．（3分）如图，线段AB是圆O地直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于（）A．20°B．30°C．35°D．70°【解答】解：∵弦CD⊥直径AB，∴=，∴∠BAD=∠BOC=×70°=35°．故选C．10．（3分）在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB地长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=35°，∵CD=BC，∴∠CDB=∠CBD=2∠A=70°，∴∠C=40°，故选A．11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，将△ABC绕点C 逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB上，A′B′与BC交于点D，则△A′CD 地面积为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2，∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，BC===2，∵∠A=90°﹣∠B=60°，CA=CA′，∴△ACA′是等边三角形，∴AA′=AC=A′C=2，∴A′C=A′B=2，∴∠A′CB=∠B=30°，∵∠CA′B′=60°，∴∠CDA′=180°﹣∠A′CD﹣∠CA′D=90°，∴A′D=A′C=1，CD==，=×1×=．∴S△A′CD故选B．12．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16，点P是斜边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ地面积为y，则y与x之间地函数图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当点Q在AC上时，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°=x，∴y=×AP×PQ=×x×x=x2；当点Q在BC上时，如下图所示：∵AP=x，AB=16，∠A=30°，∴BP=16﹣x，∠B=60°，∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）．∴S△APQ=AP•PQ=x•（16﹣x）=﹣x2+8x，∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）单项式地次数是3．【解答】解：地次数是2+1=3，故答案为：3．14．（3分）在函数y=中，自变量x地取值范围是x＞2．【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．15．（3分）生物学家发现一种病毒地长度约为0.00000043mm，用科学记数法表示这个数为 4.3×10﹣7mm．【解答】解：0.000 00043=4.3×10﹣7；故答案为：4.3×10﹣7．16．（3分）某花园内有一块五边形地空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m长为半径地扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草地扇形区域总面积是6πm2．【解答】解：∵五边形地内角和=（5﹣2）×180°=540°，∴五个扇形地面积和==6π，∴种上花草地扇形区域总面积6πm2．故答案为6πm2．17．（3分）平行四边形中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系中（1）AB=BC（2）AC=BD（3）AC⊥BD（4）AB⊥BC中任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形地概率为．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，（1）若AB=BC，则AB=BC=CD=AD，符合“有一组邻边相等地平行四边形是菱形”地判定定理，故此小题正确；（2）若AC=BD，则此平行四边形是矩形，故此小题错误；（3）若AC⊥BD，符合“对角线互相垂直地平行四边形是菱形”地判定定理，此小题正确；（4）若AB⊥BC，则此平行四边形是矩形，故此小题错误．故正确地有（1）、（3）两个，所以可推出平行四边形ABCD是菱形地概率为：=．故答案为：．18．（3分）已知m、n是方程x2+2x+1=0地两根，则代数式值为3．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x+1=0地两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴===3．故答案为：3．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：2﹣2﹣2cos60°+|﹣|+（3.14﹣π）0．【解答】解：原式=﹣2×+2+1=+2．20．（6分）解不等式组：，并写出它地所有整数解．【解答】解：解不等式①，得x＜2解不等式②，得x＞﹣1即：原不等式组地解为：﹣1＜x＜2故满足条件地整数解为：0，121．（8分）某校举办初中生演讲比赛，每班派两名学生参赛，现某班有A、B、C三名学生竞选，他们地笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如表和图（1）：（1）m=90，并将图（1）补充完整；（2）竞选地最后一个程序是由本校地300名学生代表进行投票，每票计1分，三名候选人地得分情况如图（2）（没有弃权票，每名学生只能推荐一人）；①若将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3地比例确定最后成绩，请计算学生A地最后成绩；②若A、B、C三名学生中有一名男生，两名女生，选其中两名学生参赛，求恰好选中一男一女地概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）【解答】解：（1）m=90，如图，故答案为90；（2）①学生A地最后成绩=85×0.4+90×0.3+300×35%×0.3=92.5（分）；②画树状图：共有6种等可能地结果数，其中一男一女地结果数为4，所以恰好选中一男一女地概率==．22．（8分）如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上地中线，分别过点C，D作BA，BC地平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB=10，tan∠BAC=，求菱形ADCE地面积．【解答】解：（1）∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴EC∥DB，且EC=DB，在Rt△ABC中，CD是边AB上地中线，∴AD=DB=CD，∴EC=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴ED∥BC，∴∠AOD=∠ACB，∴∠ACB=90°，∴∠AOD=∠ACB=90°，∴四边形ADCE是菱形；（2）在Rt△ABC中，tan∠BAC==，设BC=x，∴AC=2BC=2x，由勾股定理得：x2+（2x）2=102，解得：x=2，∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE=BC=2，∴S ADCE=×AC×DE=×4×2=20．23．（9分）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队地投标书．甲工程队每天施工费需12万元，乙工程队每天施工费需5万元．工程领导小组根据甲、乙两队地投标书测得，有如下三种方案：①由甲队单独完成这项工程，刚好如期完全；②由乙队单独完成这项工程，要比规定日期多用6天；③先由甲、乙两队合做3天，余下地工程再由乙队单独做，正好如期完成．试问：（1）这项工程地工期是多少天？（2）在不耽误工期前提下，你觉得哪一种施工方案所需费用最节省？请说明理由．【解答】解：（1）设这项工程规定日期是x天，由题意得：+=1，解得：x=6，经检验：x=6是分式方程地解，答：这项工程规定日期是6天；（2）方案①：甲队单独完成地费用：6×12=72（万元），方案②：延误工期，故舍去，方案③：3×12+6×5=66（万元），答：方案③最节省工程款．24．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AC为直径地⊙O分别交AB、BC 于点M，N，点P在AB地延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O地切线；（2）若BC=2，sin∠BCP=，求△ACP地周长．【解答】（1）证明：连接AN，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC是⊙O地直径，∴AN⊥BC，∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠CAN=∠BCP．∵∠CAN+∠ACN=90°，∴∠BCP+∠ACN=90°，∴CP⊥AC∵OC是⊙O地半径∴CP是⊙O地切线；（2）解：∵∠ANC=90°，sin∠BCP=，∴=，∴AC=5，∴⊙O地半径为如图，过点B作BD⊥AC于点D．由（1）得BN=CN=BC=，在Rt△CAN中，AN==2，在△CAN和△CBD中，∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，∴△CAN∽△CBD，∴=，∴BD=4．在Rt△BCD中，CD==2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3，∵BD∥CP，∴=，=∴CP=，BP=∴△APC地周长是AC+PC+AP=20．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′=，则称点Q为点P地限变点．例如：点（2，3）地限变点地坐标是（2，3），点（﹣2，5）地限变点地坐标是（﹣2，﹣5）．（1）①点地限变点地坐标是（，1）；②在点A（﹣2，﹣1），B（﹣1，2）中有一个点是函数图象上某一个点地限变点，这个点是点B；（2）若点P在函数y=﹣x+3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）地图象上，其限变点Q地纵坐标b′地取值范围是﹣5≤b′≤2，求k地取值范围5≤k≤8；（3）若点P在关于x地二次函数y=x2﹣2tx+t2+t地图象上，其限变点Q地纵坐标b′地取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m﹣n，求s关于t地函数解析式及s地取值范围s≥2．【解答】解：（1）①根据限变点地定义可知点地限变点地坐标为（，1）；②（﹣1，﹣2）限变点为（﹣1，2），即这个点是点B．（2）依题意，y=﹣x+3（x≥﹣2）图象上地点P地限变点必在函数y=地图象上．∴b′≤2，即当x=1时，b′取最大值2．当b′=﹣2时，﹣2=﹣x+3．∴x=5．当b′=﹣5时，﹣5=x﹣3或﹣5=﹣x+3．∴x=﹣2或x=8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k地取值范围是5≤k≤8．（3）∵y=x2﹣2tx+t2+t=（x﹣t）2+t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′地取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y地最小值为t，即m=t；当x＜1时，y地值小于﹣[（1﹣t）2+t]，即n=﹣[（1﹣t）2+t]．∴s=m﹣n=t+（1﹣t）2+t=t2+1．∴s关于t地函数解析式为s=t2+1（t≥1），当t=1时，s取最小值2，∴s地取值范围是s≥2．故答案为（，1）；点B；5≤k≤8；s≥2．26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）地图象经过点A，B，C，已知点A地坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0），点C在y轴地正半轴，且∠CAB=30°．（1）求抛物线地函数解析式；（2）若直线l：y=x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D、E．①当m＞0时，在线段AC上否存在点P，使得点P，D，E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P地坐标；若不存在，请说明理由．②以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l地对称线段A′C′与二次函数图象有交点，请直接写出m地取值范围．【解答】解：（1）如图1，连结AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，∵A（﹣3，0），即OA=3，∴OC=，即C（0，），设抛物线解析式为，将A（﹣3，0），B（1，0）代入得．解得．∴；（2）①由题意可知，OE=m，OD=，∠DEO=30°，由A（﹣3，0），C（0，）得到直线AC地解析式为：y=x+（i）如图2，当PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x轴∴∠PQD=∠EOD=90°，∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，∴∠DEO=∠PDQ=30°，在△DPQ与△EDO中，，∴△DPQ≌△EDO（AAS），∴DQ=OE=m，∴AQ=DQ=m，∴OA=2m+=3，∴；此时P（，）（ii）如图3，当PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y轴，同理可得CQ=EQ=OD=，∵OC=m+=，∴；此时P（3﹣6，3﹣）（iii）如图4，当DP⊥PE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，同理可得AP=AD=，PN=DM=，CN=∴AC=++=，∴；此时P（，）．综上所述，点P地坐标是（，）或（3﹣6，3﹣）或（，）．②当x=0，y=时，=0+m，解得m=；当x=0，y=﹣时，﹣=0+m，解得m=﹣．故m地取值范围为：．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
中考数学自主招生考试试卷(2)(含解析)
2015年湖南省长沙市南雅中学自主招生考试数学试卷（2）一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）1．计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）A．a B．a2C．a3D．a42．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）A．B．C．D．3．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．54．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b所对应的函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①5．如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．若关于x的方程无解，则a的值为（）A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣17．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b8．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF 面积的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）9．计算： = ．10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定的值为．11．定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角的余切概念，则ctan30°=．12．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是．13．已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式的值是．14．若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为．15．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为．16．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM= ．三、解答题（本大题共4道题，共48分）17．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．18．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是（2）求函数在区间上的最小值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．19．如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的面积．20．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E 与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷（2）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）1．计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）A．a B．a2C．a3D．a4【考点】整式的除法．【分析】根据幂的乘方首先进行化简，再利用同底数幂的除法的运算法则计算后直接选取答案．【解答】解：（a2）3÷（a2）2=a6÷a4=a2．故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．2．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）A．B．C．D．【考点】几何概率．【分析】求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答．【解答】解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是=，所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．故选C．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．3．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【考点】根与系数的关系；二次根式的化简求值．【专题】整体思想．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．4．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b所对应的函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①【考点】函数的图象．【分析】根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案；【解答】解：∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，∴只有③符合情境a；∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，∴只有①符合，故选D【点评】此题考查函数图象问题，主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．5．如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】分式的化简求值．【分析】所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．【解答】解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，展开，得1﹣﹣a+=1去分母，得ac+2=2a两边同除以a，得c+=2．故选B．【点评】本题考查了分式等式的变形，消元法的数学思想，需要灵活运用这种变形方法．6．若关于x的方程无解，则a的值为（）A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣1【考点】分式方程的解．【分析】先去分母得到关于x的整式方程，然后根据分式方程无解得到关于a的方程，从而求得a【解答】解：去分母得：x﹣2+a（x﹣1）=2a+2．整理得：（a+1）x=3a+4．当a+1=0时，解得：a=﹣1，此时分式方程无解；当a+1≠0时，x=．当x=1时， =1．解得：a=﹣，此时分式方程无解；当x=2时， =2，解得：a=﹣2，此时分式方程无解．故选：C．【点评】本题主要考查的是分式方程的解，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．7．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】实数大小比较．【分析】利用作差法比较a和b、b和c、a和c的大小，再比较a、b、c三者的大小．【解答】解：∵a﹣b=﹣1﹣（2﹣）=﹣（1+）≈2.449﹣2.414＞0，∴a＞b；∵a﹣c=﹣1﹣（﹣2）=+1﹣≈2.414﹣2.449＜0，∴a＜c；于是b＜a＜c，故选B．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．实数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．8．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF 面积的最大值是（）A．B．C．D．【考点】面积及等积变换．【分析】设PD=x，S△PEF=y．根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定，证明△PEF ≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三角形的面积比是相似比的平方，再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高，代入S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．【解答】解：设PD=x，S△PEF=y，S△AQD=z，梯形ABCD的高为h，∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7，∴，解得：，∵PE∥DQ，∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，又∵PF∥AQ，∴∠PFD=∠EQF，∴∠EPF=∠EQF，∵EF=FE，∴△PEF≌△QFE（AAS），∵PE∥DQ，∴△AEP∽△AQD，同理，△DPF∽△DAQ，∴=（）2， =（）2，∵S△AQD=3，∴S△DPF=x2，S△APE=（3﹣x）2，∴S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，∴y=[3﹣x2﹣（3﹣x）2]×=﹣x2+x，∵y最大值==，即y最大值=．∴△PEF面积最大值是，故选：D．【点评】本题综合考查了二次函数的最值、三角形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）9．计算： = 2﹣2 ．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】先利用二次根式的除法法则和分母有理化计算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式=2﹣2（+1）=4﹣2﹣2=2﹣2．故答案为．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定的值为 3 ．【考点】估算无理数的大小．【分析】先据算出的大小，然后求得7﹣的范围，从而可求得的值．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3．∴﹣3＞﹣4．∴4＞7﹣＞3．故的值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是无算无理数的大小，估算出的范围是解题的关键．11．定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角的余切概念，则ctan30°=．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】新定义．【分析】根据在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，可得答案．【解答】解：ctan30°=，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切．12．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是x＜0或1＜x＜4 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．【解答】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．13．已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式的值是．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【专题】计算题；分式．【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解确定出m与n的值，原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值．【解答】解：不等式整理得：，即n≤x＜m，由不等式组的整数解仅有1，2，3，得到m=4，n=1，则原式=1﹣•=1﹣==，当m=4，n=1时，原式=．故答案为：．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为y=2x+7或y=﹣2x+3 ．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【分析】根据一次函数是单调函数，因为知道函数定义域为﹣3≤x≤1，值域为1≤y≤9，进行分类讨论k大于0还是小于0，列出二元一次方程组求出k和b的值．【解答】解：（Ⅰ）当k＞0时，，解得：，此时y=2x+7，（Ⅱ）当k＜0时，，解得：，此时y=﹣2x+3，综上，所求的函数解析式为：y=2x+7或y=﹣2x+3．【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：在定义域上是单调函数，本题难度不大．15．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．【考点】利用轴对称设计图案．【专题】压轴题．【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标，注意考虑全面．【解答】解：如图所示：A1（﹣1，1），A2（﹣2，﹣2），A3（0，2），A4（﹣2，﹣3），（﹣3，2）（此时不是四边形，舍去），故答案为：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义，根据3个定点所在位置，找出A的位置．16．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM= ．【考点】解直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】根据∠NMB=∠MBC，延长MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，连接点T和MB的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出∠ABM的正切．【解答】解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT=90°，∠OTB+∠MBT=90°，∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，∴=，即=，即MB2=2AM•BT ①令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），解方程得：K1=0（舍去），K2=．∴AM=2﹣=．tan∠ABM===．故答案是：．【点评】本题考查的是解直角三角形，运用正方形的性质，根据题目中角的关系，判断两个三角形相似，然后用相似三角形的性质进行计算，求出直角三角形中边的长度，再用正切的定义求出角的正切值．三、解答题（本大题共4道题，共48分）17．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．【分析】（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可；（2）根据购买两种学习桌共98张，设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，根据以至少满足248名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过6000元得出不等式，进而求出即可．【解答】解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据题意得出：，解得：，答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元；（2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，则W与x的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860；根据题意得出：，由50x+70（98﹣x）≤6000，解得：x≥43，由2x+3（98﹣x）≥248，解得：x≤46，故不等式组的解集为：43≤x≤46，故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌55张，当购买两人桌44张时，购买三人桌54张，当购买两人桌45张时，购买三人桌53张，当购买两人桌46张时，购买三人桌52张．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．18．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是﹣7（2）求函数在区间上的最小值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．【考点】二次函数的最值．【专题】新定义．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴、顶点坐标，然后画出抛物线的大致图象，根据函数图象可知当x=﹣5时，函数值最小；（2）先画出函数的大致图象，然后根据函数图象可知当x=0时，函数值最小；（3）先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称轴在区间[t﹣2，t﹣1]的左侧、区间内、区间右侧分类讨论即可．【解答】解：（1）y=﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x=2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．函数图大致象如图1所示：当x=5时，函数有最小值，最小值为﹣7．故答案为：﹣7．（2），其对称轴为直线，顶点坐标，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间内，如图2所示．当x=0时，函数y有最小值．（3）将二次函数配方得：y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x=2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x=t﹣2时，函数取得最小值：若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x=2时，函数取得最小值：y min=﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x=t﹣1时，函数取得最小值：综上讨论，得．【点评】本题主要考查的是二次函数的最值，根据函数解析式画出函数的图象，然后根据对称轴是否在区间内进行分类讨论是解题的关键．19．（10分）（2015•长沙校级自主招生）如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的面积．【考点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣提公因式法；解一元二次方程﹣公式法；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】由已知求出PA、PB、PC的长度，设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，∠PAC=60°﹣Q，根据锐角三角函数（余弦定理）求出cosQ和cos（60°﹣Q）的值，即可求出a的长度，过A作AD⊥BC于D，求出AD的长度，根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，∴分解因式得：（n﹣5）（m﹣3）2≤0，∵n为大于5的实数，∴m﹣3=0，∵即：PA=m=3，∵PA2+PB2=PC2，PA、PB、PC的长为正整数，∴PB=4，PC=5，设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，则∠PAC=60°﹣Q，由余弦定理得：cosQ==，（1）cos（60°﹣Q）==，（2）而cos（60°﹣Q）=cos60°cosQ﹣sin60°sinQ，=﹣=，（3）将（1）代入（3）得：﹣=，解得：sinQ=，∵（sinQ）2+（cosQ）2=1，∴+=1，令a2=t，∴+=1，解得：t1=25+12，t2=25﹣12，由（1）知a＞0，cosQ＞0，即＞0，a2＞7，∴t2=25﹣12＜7，不合题意舍去，∴t=25+12，即a2=25﹣12，过A作AD⊥BC于D，∵等边△ABC，∴BD=CD=a，由勾股定理得：AD=，∴S△ABC=•a•==9+．答：△ABC的面积是9+．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，用公式法解一元二次方程，用提取公因式法分解因式，余弦定理等知识点，运用余弦定理求等边三角形的边长是解此题的关键．题型较好但难度较大．20．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E 与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即： t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM=t，当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，②如图④，当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK=t﹣1，∵NL=AD=，∴FL=t﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，∴当2＜t ≤时，S=S 梯形GNMF ﹣S △FKL =×2×（t ﹣1+t ）﹣（t ﹣）（t ﹣1）=﹣t 2+2t ﹣，④如图⑥，当＜t ≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t ），EK=EC=（4﹣t ），B′N=B′C=（6﹣t ），EM=EC=（4﹣t ），S=S 梯形MNLK =S 梯形B′EKL ﹣S 梯形B′EMN =﹣t+．综上所述：当0≤t ≤时，S=t 2，当＜t ≤2时，S=﹣t 2+t ﹣；当2＜t ≤时，S=﹣t 2+2t ﹣，当＜t ≤4时，S=﹣t+．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．。
[精品]2015年湖南省长沙市长郡双语中学中考直升数学试卷与参考答案
2015年湖南省长沙市长郡双语中学中考直升数学试卷一、选择题：每小题3分，共36分．1．（3分）6的相反数是（）A．﹣6 B．C．±6 D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．x4+x2=x6B．x4﹣x2=x2C．x4•x2=x8D．（x4）2=x83．（3分）同学们，你们知道“大白”吗？你们看过美国著名动画电影《超能陆战队》吗？该片在3月26日宣告内地票房累积达5.01亿，创造了迪士尼动画电影在中国内地的最高票房纪录，数据“5.01亿”用科学记数法表示为（）A．5.01×107B．5.01×108C．5.01×109D．50.1×1074．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣2，a2+1），则点P所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．1 B．C．1.5 D．27．（3分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．140°8．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）A．B．C．abπD．acπ9．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定10．（3分）小伟5次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为：16、18、20、18、18，对此成绩描述错误的是（）A．平均数为18 B．众数为18 C．方差为0 D．极差为411．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．812．（3分）如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么△ABC的面积为（）A．3 B．C．4 D．二、填空题：每小题3分，共18分．13．（3分）已知∠α=13°，则∠α的余角大小是．14．（3分）已知2a﹣3b2=5，则10﹣2a+3b2的值是．15．（3分）有一个能自由转动的转盘如图，盘面被分成8个大小与形状都相同的扇形，颜色分为黑白两种，将指针的位置固定，让转盘自由转动，当它停止后，指针指向白色扇形的概率是．16．（3分）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=20m，则AB=m．17．（3分）元旦期间，商业大厦推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品，共节省280元，则用贵宾卡又享受了折优惠．18．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k 时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．三、解答题：本题8个小题，共66分．19．（6分）计算：2sin60°+2﹣1﹣20150﹣|1﹣|．20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．21．（8分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球B．乒乓球C．羽毛球D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）22．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．23．（9分）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？24．（9分）已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP 于点G，E在CD的延长线上，EP=EG．（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO，⊙O的半径为3，sinB=，求弦CD的长．25．（10分）甲乙两车从A市去往B市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返回，乙到达B市后立即返回．甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，下图是两车距A市的路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题：（1）A、B两市的距离是千米，甲到B市后，小时乙到达B市；（2）求甲车返回时的路程S（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）请直接写出甲车从B市往回返后再经过几小时两车相距15千米．26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，P点坐标为（2，﹣3），在反比例函数y=的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．2015年湖南省长沙市长郡双语中学中考直升数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共36分．1．（3分）6的相反数是（）A．﹣6 B．C．±6 D．【解答】解：6的相反数就是在6的前面添上“﹣”号，即﹣6．故选A．2．（3分）下列计算正确的是（）A．x4+x2=x6B．x4﹣x2=x2C．x4•x2=x8D．（x4）2=x8【解答】解：A、x4、x2不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、同A，故本选项错误；C、应为x4•x2=x4+2=x6，故本选项错误；D、（x4）2=x4×2=x8，故本选项正确；故选D．3．（3分）同学们，你们知道“大白”吗？你们看过美国著名动画电影《超能陆战队》吗？该片在3月26日宣告内地票房累积达5.01亿，创造了迪士尼动画电影在中国内地的最高票房纪录，数据“5.01亿”用科学记数法表示为（）A．5.01×107B．5.01×108C．5.01×109D．50.1×107【解答】解：5.01亿=501 000 000=5.01×108．故选：B．4．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣2，a2+1），则点P所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵a2为非负数，∴a2+1为正数，∴点P的符号为（﹣，+）∴点P在第二象限．故选：B．5．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．6．（3分）如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．1 B．C．1.5 D．2【解答】解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度为：，OA为圆的半径，则OD=，所以数轴上的点A表示的数为．故选B．7．（3分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．140°【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°，∵DB⊥BC，∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°．故选B．8．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）A．B．C．abπD．acπ【解答】解：由题意得底面直径为a，母线长为c，∴几何体的侧面积为acπ，故选B．9．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【解答】解：∵圆心O到直线l的距离d=3，⊙O的半径R=4，则d＜R，∴直线和圆相交．故选A．10．（3分）小伟5次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为：16、18、20、18、18，对此成绩描述错误的是（）A．平均数为18 B．众数为18 C．方差为0 D．极差为4【解答】解：16、18、20、18、18的平均数是（16+18=20+18+18）÷5=18；18出现了三次，出现的次数最多，则众数为18；方差=[（16﹣18）2+（18﹣18）2+（20﹣18）2+（18﹣18）2+（18﹣18）2]=；极差为：20﹣16=4；故选C．11．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：多边形的内角和是2×360+180=900度，设这个多边形的边数是n，根据题意得：（n﹣2）180°=900°，解得n=7，即这个多边形的边数是7．故选C．12．（3分）如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么△ABC的面积为（）A．3 B．C．4 D．【解答】解：∵⊙O是等边△ABC的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AC、AB的中点，∴MN是等边△ABC的中位线，∵MN=1，∴AB=AC=BC=2MN=2，=×2×2×sin60°=2×=．∴S△ABC故选：B．二、填空题：每小题3分，共18分．13．（3分）已知∠α=13°，则∠α的余角大小是77°．【解答】解：∵∠α=13°，∴∠α的余角=90°﹣13°=77°．故答案为：77°．14．（3分）已知2a﹣3b2=5，则10﹣2a+3b2的值是5．【解答】解：10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2），又∵2a﹣3b2=5，∴10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2）=10﹣5=5．故答案为：5．15．（3分）有一个能自由转动的转盘如图，盘面被分成8个大小与形状都相同的扇形，颜色分为黑白两种，将指针的位置固定，让转盘自由转动，当它停止后，指针指向白色扇形的概率是．【解答】解：∵每个扇形大小相同，因此阴影面积与空白的面积相等，∴落在白色扇形部分的概率为：=．故答案为：．16．（3分）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=20m，则AB=40m．【解答】解：∵E、F是AC，AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=AB∵EF=20m，∴AB=40m．故答案为40．17．（3分）元旦期间，商业大厦推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品，共节省280元，则用贵宾卡又享受了九折优惠．【解答】解：设用贵宾卡又享受了x折优惠，依题意得：1000﹣1000×80%x=280，解得：x=0.9．即用贵宾卡又享受了九折优惠．故答案为：九．18．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k ＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．【解答】解：由二次函数和一元二次方程的关系可知y的最大值即为k的最大值，因此当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．三、解答题：本题8个小题，共66分．19．（6分）计算：2sin60°+2﹣1﹣20150﹣|1﹣|．【解答】解：原式=2×+﹣1﹣+1=．20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：，解不等式2x+3＜9，得：x＜3，解不等式﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为：﹣2≤x＜3，将不等式解集表示在数轴上如图：21．（8分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球B．乒乓球C．羽毛球D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有200人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）【解答】解：（1）根据题意得：20÷=200（人），则这次被调查的学生共有200人；（2）补全图形，如图所示：（3）列表如下：所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，则P==．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF；（2）解：如图，连接OB，∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∴∠BAC=∠ABO，又∵∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90°，解得∠BAC=30°，∵BC=2，∴AC=2BC=4，∴AB===6．23．（9分）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？【解答】解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，根据题意得化简得，解之得．答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．（2）由于第二次A商品购进400件，获利为（1380﹣1200）×400=72000（元）从而B商品售完获利应不少于81600﹣72000=9600（元）设B商品每件售价为z元，则120（z﹣1000）≥9600解之得z≥1080所以B种商品最低售价为每件1080元．24．（9分）已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP 于点G，E在CD的延长线上，EP=EG．（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO，⊙O的半径为3，sinB=，求弦CD的长．【解答】（1）证明：连接OP，如下图所示：∵OP=OB，∴∠OPB=∠B，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP又∵∠EGP=∠BGF，∠BGF+∠B=90°∴∠OPB+∠EPG=90°，又∵OP经过圆心，∴直线EP为⊙O的切线；（2）解：∵BG2=BF•BO∴又∵∠GBF=∠OBG∴△BGF∽△OBG∴∠GFB=∠OGB=90°在Rt△OGB中．sinB===∴OG=由勾股定理得BG==由题意可知：BG2=BF•BO∴BF==2，∴OF=1连接OD，在Rt△OFD中，FD=2∵OF⊥CD，FO经过圆心，∴FD=FC∴CD=2FD=425．（10分）甲乙两车从A市去往B市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返回，乙到达B市后立即返回．甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，下图是两车距A市的路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题：（1）A、B两市的距离是120千米，甲到B市后，5小时乙到达B市；（2）求甲车返回时的路程S（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）请直接写出甲车从B市往回返后再经过几小时两车相距15千米．【解答】解：（1）由题意，得40×3=120km．120÷20﹣3+2=5小时，故答案为：120，5；（2）∵AB两地的距离是120km，∴A（3，120），B（10，120），D（13，0）．设线段BD的解析式为S1=k1t+b1，由题意，得．，解得：，∴S1=﹣40t+520．t的取值范围为：10≤t≤13；（3）设EF的解析式为s2=k2t+b2，由题意，得，解得：，S2=﹣20t+280．当﹣20t+280﹣（﹣40t+520）=15时，t=；∴﹣10=（小时），当﹣40t+520﹣（﹣20t+280）=15时，t=，∴﹣10=（小时），当120﹣20（t﹣8）=15时，t=，∴﹣10=（小时），答：甲车从B市往回返后再经过小时或小时或两车相距15千米．26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，P点坐标为（2，﹣3），在反比例函数y=的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点E、F均是反比例函数y=上的点，四边形AOBC是矩形，∴AE⊥y轴，BC⊥x轴，=S△BOF=；∴S△AOE（2）∵C坐标为（4，3），∴设E（，3），F（4，），如图1，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的G点，作EH⊥OB，垂足为H，∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，∴∠HEG=∠FGB，又∵∠EHG=∠GBF=90°，∴△EGH∽△GFB，∴=，∴GB==，在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2，即（3﹣）2=（）2+（）2，解得k=，∴反比例函数的解析式为：y=；（3）存在．当OP是平行四边形的边时，如图2所示：平行四边形OPMN，可以看成线段PN沿PO的方向平移至OM处所得．设N（a，），∵P（2，﹣3）的对应点O（0，0），∴M（a﹣2，+3），代入反比例解析式得：（a﹣2）（+3）=，整理得4a2﹣8a﹣7=0，解得a=，当a=时，==，﹣2=，+3=，∴N（，），M（，）（舍去）或N（，），M（，）．当OP为对角线时，如图3所示：设M（a，），N（b，），∵P（2，﹣3），∴，解得，，∴M（，），N（，）（舍去）或M（，），N（，），综上所述：M（，）N（，）；或M（，），N（，）．。