人教版九年级上册数学22.1.2 二次函数的图象和性质
一、教学目标
1．会用描点法画二次函数y＝ax2的图象，理解抛物线 的有关概念． 2．掌握二次函数y＝ax2的性质，能确定二次函数y＝ ax2的解析式． 3．经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理．
二、教学重难点
重点 1．二次函数y＝ax2的图象的画法及性质． 2．能确定二次函数y＝ax2的解析式．
难点 1．用描点法画二次函数y＝ax2的图象，探索其性质． 2．能运用二次函数y＝ax2的有关性质解决问题．
三、教学设计
活动1 新课导入 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是_一__条__经__过__(_0_，__b_)的__ 直__线__．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是 过__原__点__的__直__线__． 2．描点法画出一次函数的步骤：分别为_列__表_、_描__点_、 _连__线_三个步骤． 3．我们把形如_y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_≠_0_)_的函数叫做二次函 数．
(3)你能总结归纳出当a＜0时，y＝ax2的图象和性质吗 ？ 一般地，当a ＜ 0时，抛物线 y＝ax2 的开口向下，对 称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小
活动3 知识归纳
1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛 物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛 物线y＝ax2＋bx＋c.
活动4 例题与练习
例1 已知函数y＝(m＋2)xm2＋2m－6是关于x的二次函数. (1)求m的值； (2)当m为何值时，此函数图象的顶点为最低点？ (3)当m为何值时，此函数图象的顶点为最高点？ 解：(1) m＋2≠0，m2＋2m－6＝2，解得m1＝2，m2＝－ 4，∴ m的值为2或－4； (2)若函数图象有最低点，则抛物线的开口向上，∴ m ＋2＞0，解得 m＞－2，∴ m＝2； (3)若函数图象有最高点，则抛物线的开口向下，∴ m ＋2＜0，解得 m＜－2，∴ m＝－4.
2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是_y_轴__，顶点是 _(0_，__0_)_．当a＞0时，抛物线的开口_向__上_，顶点是抛物 线的最_低_点，|a|越大，抛物线的开口_越__小_；在对称轴 的左侧，y随x的增大而_减__小_，在对称轴的右侧，y随x 的增大而_增__大_．当a＜0时，抛物线的开口向_下__，顶点 是抛物线的最_高__点，|a|越大，抛物线的开口越_小__； 在对称轴的左侧，y随x的增大而_增__大_，在对称轴的右 侧，y随x的增大而_减__小_．
练习
1．教材P32 练习． 2．抛物线y＝3x2的开口向_上_，对称轴是__y轴__，顶点坐
标是_(_0_，__0_)
；抛物线y＝－
1 4
x2的开口向_下_，对称轴是
_y_轴__，顶点坐标是_(0_，__0_)．
3．抛物线y＝－x2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜ x2＜0，则y1_＜___y2. 4．若点(x1，5)和点(x2，5)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上 ，则当y＝x1＋x2时，y的值是_0_．
2、例1
提出问题: (1)你能在同一直角坐标中画出函数
y＝12x2
与
y＝2x2的
图象吗？请完成下表并描点，进而画出各函数图象；
解：分别列表，再画出它们的图象
x
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y＝
1 2
x2
…
8 4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
活动2 探究新知
1．教材P29～30. 提出问题：
(1)同学们回想一下，一次函数的性质是怎样研究的？ 我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函
数的性质呢？如果可以，应先研究什么？
(2)对函数y＝x2，请完成下表：
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2 …
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
…
(3)请描绘出表中各点，画出y＝x2的图象； (4)你能说说二次函数y＝x2的图象有哪些特征吗？
例2 二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1 ，m)． (1)求a，m的值； (2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的 增大而增大？ 解：(1)将点P(1，m)代入y＝2x－1，得m＝2×1－1＝1 ，∴点P的坐标为(1，1)．将点P(1，1)代入y＝ax2，得 1＝a×12，解得a＝1； (2)二次函数的解析式为y＝x2，当x＞0时，y随x的增大 而增大．
y＝2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
y x2
y＝2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
(2)观察所画出的图象，它们有哪些共同点和不同点？ 共同点是开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点； 不同点是开口大小不同，x²的系数越大，抛物线的开 口越小。
(3)你能由此猜想并归纳出当a＞0时，y＝ax2的图象和 性质吗？ 一般地，当a＞0时，抛物线 y＝ax2 的开口向上，对称 轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小
3、探究
提出问题：
(1)你能在同一直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－
1 2
x2，y＝－2x2的图象吗？请同学们在草稿纸上尝试画出
它们的图象；
解：
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
(2)你画出的图象与图22.1－5中的图象相同吗？仔细观 察你所画出的图象，并思考这些抛物线有什么共同点 和不同点？ 共同点是开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点； 不同点是开口大小不同，x²的系数越小，抛物线的开 口越小。
人教版九年级上册数学 22.1.2 二次函数 y=ax2的图象和性质课件
a<0
1 -5-4-3-2-1 -1o1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 y x2
y
2
y 2 x 2
y x2
总结性质
1.形如二次函数 y=ax2 的图象都是顶点为
（ 0 ， 0） ______ 的抛物线，反之，顶点在（0,0）
2 y = ax 的抛物线的形式是_________.
体验画图
抛物线的定义：
实际上,二次函数的图象是抛物线，
它们开口向上或向下，一般地，二次
函数 y ax bx c 的图象叫做抛
2 2
物线 y ax bx c .
体验画图
3. 拓展与延伸： 3 个点， （1）画二次函数的图象一般需要___
哪些点比较关键？ 抛物线
yx
2
轴 对称图形，对称 是__
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 x
a>0
体验画图
（3）以上都是当a >0时，二次函数 y ax 的图象，
2
那么当 a<0时，试在同一直角坐标系画出二次函数：
1 2 y x ，y x ，y 2 x 2 的图象. 2
2
关于 y 轴对称 原点（0，0）
对称性
顶点
总结提高
2. 二次项系数 a 对形如 y=ax2 的函数值 y 又有
何影响？对图象又有何影响？
y＝ax2
开口
a>0 开口向上
a<0 开口向下
增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
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人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。
通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。
但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。
2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。
2.二次函数的增减性和对称性。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.二次函数图象和性质的相关教学素材。
3.学生分组合作学习的材料。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。
呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。
学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。
操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。
学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章22.1.2 二次函数的图象和性质教案
22.1二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质一、教学目标【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.【过程与方法】通过画出简单的二次函数探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.【情感态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课1.你们喜欢打篮球吗？（出示课件2）2.你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？学生自主思考.（二）探索新知探究一：二次函数y=ax2的图象的画法出示课件4：画出二次函数y=x2的图象.学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.⑴列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：⑵描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）（出示课件5）⑶连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．当取更多个点时，函数y=x 2的图象如下：（出示课件6）教师归纳：二次函数y=x 2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y 轴对称,y 轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.出示课件7：画出二次函数y=-x 2的图象.学生分组画y=-x 2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.⑴列表：⑵描点：⑶连线：x …-3-2-10123…y =-x 2……探究二：二次函数y=ax2的图象性质出示课件8：教师问：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.学生交流后，师生共同总结如下：1.y＝x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点．出示课件9：教师问：说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.学生交流后，师生共同总结如下：1.y＝-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点．教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2的图象性质：1.顶点都在原点（0,0）;2.图像关于y轴对称;3.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．师生共同探究：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？（出示课件11）教师强调：二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.探究三：二次函数y=ax2的性质出示课件12：观察图形，y随x的变化如何变化？教师归纳：（出示课件13）对于抛物线y=ax2（a＞0），当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.师生共同探究：观察图形，y随x的变化如何变化？（出示课件14）教师归纳：（出示课件15）对于抛物线y =ax 2（a＜0）当x＞0时，y 随x 取值的增大而减小；当x<0时，y 随x 取值的增大而增大.出示课件16：在同一直角坐标系中，画出函数221,22y x y x ==的图象．将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x ...－4－3－2－101234 (212)y x =······x ···－2－1.5－1－0.500.51 1.52···22y x =······出示课件17：师生共同探究：二次函数2221,,22y x y x y x ===的图象开口大小与a 的大小有什么关系？教师归纳：当a>0时，a 越大，开口越小.出示课件18：在同一直角坐标系中，画出函数221,22y x y x =-=-的图象．将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x ···－4－3－2－101234···212y x =-······x ···－2－1.5－1－0.500.51 1.52···22y x =-······出示课件19：师生共同探究：二次函数2221,,22y x y x y x =-=-=-的图象开口大小与a 的大小有什么关系？教师归纳：当a<0时，a 越小（即a 的绝对值越大），开口越小.对于抛物线y=ax 2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．师生共同完善认知：（出示课件20）出示课件21：填一填：（1）函数y=4x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;（2）函数y=－3x2的图象的开口,对称轴是,顶点是，顶点是抛物线的最点;⑶函数32的图象的开口,对称轴是,顶点是，顶点是抛物线的最点;⑷函数y=－0.2x2的图象的开口,对称轴是,顶点是.学生独立思考后，口答如下：⑴向上；y轴；(0,0)⑵向下；y轴；(0,0)；高⑶向上；y轴；(0,0)；低⑷向下；y轴；(0,0)出示课件22：例已知y=(m+1)x m2+m是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.学生自主思考后，师生共同解答如下：解:依题意有:解②,得m 1=－2,m 2=1.由①,得m>－1.因此m=1.此时,二次函数为y=2x 2.出示课件23：已知24(2)kk y k x +-=+是二次函数，且当x＞0时，y 随x 增大而增大，则k=.学生独立思考后，自主解答如下：解：24(2)k k y k x+-=+是二次函数，即二次项的系数不为0，x 的指数等于2.又因当x＞0时，y 随x 增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，24220k k k ⎧+-=⎨+⎩＞，解得k=2.探究四：二次函数y =ax 2的实际应用出示课件24：师生共同认知：二次函数y=ax 2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.出示课件25：例已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm 2，（1）求S 与C 之间的二次函数关系式；（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm 2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C 取何值时，S≥4cm 2.学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件26）解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为4Ccm，∴S 与C 之间的关系式为S=216C ；（2）作图如图：（3）当S=1cm 2时，C 2=16，即C=4cm；（4）若S≥4cm 2，即216C ≥4，解得C≥8，或c≤-8(舍去），因此C ≥8cm.出示课件27：已知二次函数y＝2x 2.(1)若点(－2，y 1)与(3，y 2)在此二次函数的图象上，则y 1_____y 2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD 的顶点A、B 在x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．学生独立思考后，自主解答：（出示课件28）(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB,∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.教师总结如下：（出示课件29）二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．（三）课堂练习（出示课件30-34）1.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）,B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A.y1＞0＞y2B.y2＞0＞y1C.y1＞y2＞0D.y2＞y1＞02.函数y=2x2的图象的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧，y随x的增大而,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而.3.函数y=-3x 2的图象的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧，y 随x 的增大而,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而.4.如图，观察函数y=（k-1）x 2的图象,则k 的取值范围是.5.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：6.已知二次函数y=x 2，若x≥m 时，y 最小值为0，求实数m 的取值范围．开口方向对称轴顶点坐标23x y =23x y -=231x y =231x y -=7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x 2交于A、B 两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．参考答案：1.C2.向上；y 轴；(0,0)；减小；增大3.向下；y 轴；(0,0)；增大；减小4.k>15.6.解：在二次函数y=x 2中，a=1＞0因此当x=0时，y 有最小值.∵当x≥m 时，y 最小值=0，∴m≤0．7.解：由题意得234,,y x y x =+⎧⎨=⎩开口方向对称轴顶点坐标23x y =向上y 轴（0,0）23x y -=向下y 轴（0,0）231x y =向上y 轴（0,0）231x y -=向下y 轴（0,0）解得4,1,16,1,x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y 轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S △ABO ＝S △ACO ＋S △BOC .在△BOC 中，OC 边上的高就是B 点的横坐标值的绝对值1；在△ACO 中，OC 边上的高就是A 点的横坐标值的绝对值4.因此S △ABO ＝S △ACO ＋S △BOC ＝12×4×1+12×4×4＝10.（四）课堂小结1.画二次函数y=ax 2的图象时，有哪些地方是你需关注的？2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax 2的性质的？3.本节课你还存在哪些疑问？.（五）课前预习预习下节课（22.1.3第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材41页习题22.1第3,4题2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.。
人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图像与性质 课件(21张PPT)
二二次次函函数数y的=图x2象的都图是象抛是物一线条，曲线它，们它的的开形口状或类者似向于上投或篮者球向 时下球．在一空般中地所，经二过次的函路数线y，=只ax是2 +这b条x +曲c线（开a≠口0）向的上图，象这叫条做曲抛 线物叫线做y =抛a物x2线+ byx=+xc2 ，
9 6 3
－3
3
实y轴际是上抛，物每线条y抛= 物x 2线的都对有称对轴称，轴抛，物抛线物y 线= x与2 对与称它轴的的对交称点轴 叫的做交抛点物（线0，的0顶）点叫．做顶抛点物是线抛y =物x线2 的的顶最点低，点它或是最抛高物点线．y = x 2 的最低点．
交点坐标
y
求抛物线与直线的 交点坐标的方法： 两解析式联列方程
组
y=4x2 y=3x+1
O
x
1.若抛物线y=ax²与y=4x²的形状及开口方向 均相同，则a= 4
2.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中，错误 的是（ C ） A.它的图像的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图象的位置；
在x轴的下方
解: (1)依题意，得 (2)2 a 3
解得
a=
3 4
∴ 该函数的解析式为 y
3 4
x2
例3、y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中， 可能是（ B ）
A
B
C
D
例4、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
描点法
列表、描点、连线
以0为中心 选取7个x值
画最简单的二次函数 y = x2 的图象列表
数学人教版九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图象与性质
y=-x2
1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点; |a|越大,抛物线的开口越小 ;
y
a>0
o
x
a<0
跑的越快，遇到风的阻力越大。阻 力与成就相伴随。
没有斗狼的胆量，就不要牧羊。
望远镜---可以望见远的目标，却不 能代替你走半步。
只有脚踏实地的人，才能够说：路 ，就在我的脚下。
站在巨人的肩上是为了超过巨人。
成绩和劳动是成正比例的，有一分 劳动就有一分成绩。
你既然认准一条道路，何必去打听 要走多久。
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y
y x
2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
例1.画出函数y=x2、y=2x2、y= 2 x2的图象：
1
探究
顶点坐标
请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
(0,0) 最低点 y轴 向上
增 减 增增 大 小 大大
(0,0) 最高点
y轴
向下
增 增 增减 大 大 大小
老师寄语：
• 老师能给你们的唯有这无形的知识，但老 师希望你们用这些无形的知识创造出有形 的世界，实现你们的中国梦，老师就是你 们的筑梦人！
一帆风顺，并不等于行驶的是一条 平坦的航线。
y=2x2
பைடு நூலகம்
人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质》说课稿1
人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax^2 的图象和性质》这一节，是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数的图象和性质的基础上，进一步引导学生学习二次函数的图象和性质。
通过这一节的学习，使学生能够掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，以及掌握二次函数的性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的图象和性质有了初步的了解。
但是，二次函数相对于一次函数来说，图象和性质更加复杂，需要学生有一定的抽象思维能力。
此外，学生可能对二次函数的图象和性质在实际问题中的应用还不够清晰，需要教师在教学中进行引导和启发。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次函数的图象和性质。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的一般形式，二次函数的图象特征，二次函数的性质。
2.教学难点：二次函数的图象和性质在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究，提高学生的参与度和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示二次函数的图象和性质，使抽象的知识更加直观形象。
同时，利用练习题和案例，帮助学生巩固所学知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数的图象和性质，引出二次函数的一般形式，激发学生的学习兴趣。
2.探究二次函数的图象特征：让学生观察二次函数的图象，引导学生发现二次函数的顶点、开口方向等特征。
3.探究二次函数的性质：通过小组讨论，让学生归纳出二次函数的增减性、对称性等性质。
九年级数学上册22二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
4．函数y＝ax2与y＝－ax＋b图象可能是(
)
B
第8页
5．下列函数中，当 x>0 时，y 随着 x 的增大而增大的是( D )
A．y＝－x＋1
B．y＝－x－1
C．y＝－x2
D．y＝x2
*6.已知 m 为实数，下列各点中：A(m，－am2)，B(m，－m)，C(m2，
－m)，D(－m，am2)，抛物线 y＝－ax2 一定不经过的点是____D_______．
22.1 二次函数图象和性质
22.1.2 二次函数y＝ax2图象和性质
第1页
1．二次函数y＝ax2图象 二次函数y＝ax2图象是一条抛物线，它含有以下特点： (1)顶点在__原__点___、对称轴为__y_轴____； (2)当a＞0时，抛物线开口____向__上_，a越大，抛物线开口越______小； 当a＜0时，抛物线开口____向__下_，a越小，抛物线开口越_______小_． 2．二次函数y＝ax2性质 (1)假如a＞0，则： 当x＜0时，y随x增大而_____减__小_； 当x＞0时，y随x增大而_____增__大_； 当x＝0时，y取最___小___值0，即y最小＝__0____． (2)假如a＜0，则： 当x＜0时，y随x增大而_____增__大_； 当x＞0时，y随x增大而_____减__小_； 当x＝0时，y取最___大___值0，即y最大＝__0__．
*7.如图，正方形的边长为 4，以正方形中心为原点建立平面直角 坐标系，作出函数 y＝13x2 与 y＝－13x2 的图象，则阴影部分的面积是
__8____．
*8.已知 a<－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数 y
＝x2 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是_y_1_1＞__y_2_＞__y__3__.
人教版九年级数学上册第22章：二次函数y=ax2的图象和性质
第二十二章 二次函数
22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线. 2．会画二次函数y=ax2的图象.（难点） 3．掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用．（重点）
复习引入
1.一次函数的图象是一条 直线 . 2.通常怎样画一个函数的图象？
1.函数y=2x2的图象的开口 向上 ,
对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ;
在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
随堂即练
y
O
x
2.函数y=－3x2的图象的开口 向下, 对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 增大 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 减小 .
新课讲解
(2)解：∵点B的坐标为（2,0）, ∴当x＝2时,y＝2×22＝8. ∴点C的坐标为（2,8）,BC=8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形,且y轴为它
们的对称轴, ∴OA＝OB, ∴在长方形ABCD内,左边阴影部分面积等于右边
空白部分面积,∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
方法归纳
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称,因此左右两部 分折叠可以重合,在二次函数比较大小中,我们根据图象 中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或 全部为降),根据图象中函数值高低去比较；对于求不规 则的图形面积,采用等面积割补法,将不规则图形转化为 规则图形以方便求解．
Байду номын сангаас
观察思考
新课讲解
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
人教版初中数学九年级上册第二十二章22.1.2二次函数的图象与性质
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数的图象．
y x2, y 1 x2, y 2x2 2
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物线y=2x2在x轴
的 上 方（除顶点外）。
（2）抛物线
y
2 3
x2
在x轴的
下 方（除顶点外），
当 x〈 0 时，y随着x的 增大而增大 ；
当 x 〉0 时，y随着x的 增大而减小 ，
当 x = 0 时，函数y的值最大，最大值是 0 ，
当 x
0 时，y<0.
6、若抛物线 y 6x2上点P的坐标为
当x>0时，
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
耐心填一填
1、函数y=4x2的图象的开口向上,对称轴是 y轴 ,顶点是 (0; ,0) 2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴 是 y轴 ,顶点是 _(_0_,0)
y x2
y x2
在同一坐标系内,抛物线 y ax2与抛物线 y ax2 是关 于x轴对称的.
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0
人教版九年级上册数学 22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质 教案
《二次函数y=ax2的图象与性质》教案一、学情分析学生已掌握了二次函数的概念，以及初二年所学的函数图象的作法：描点法。
作出二次函数的图象难度不会很大，但二次函数y=ax2图象的性质探索过程会有较大的难度，本课通过探索活动和课件演示使学生直观的发现函数的性质，大大的降低了学生理解的难度。
二、教材分析《二次函数y=ax2 的图象与性质》是初中数学九年级（上）二次函数的一节内容。
本课是在学生掌握了二次函数的概念下对二次函数y=ax2的图象与性质进一步的研究，通过作出二次函数的图象来研究它的开口方向，对称轴，顶点坐标等性质。
通过这节的学习，学生将掌握函数y=ax2 的图象与性质，它是进一步学习二次函数的基础。
二次函数的图象与性质是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。
三、教学目标根据上述学情分析和教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：（1）知识目标：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，能根据图象观察、分析出二次函数y=ax2的开口方向，对称轴，顶点坐标等有关性质。
（2）能力目标：通过函数图象进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并且能应用到实际问题中；提高学生对比、发现、概括的能力；培养观察能力和分析问题的能力。
（3）情感目标：通过作函数图象，认识数形结合的数学思想方法；培养学生动手能力、勇于探索创新及实事求是的科学精神。
四、教学重点、难点1．重点（1）二次函数y=ax2的图象画法；（2）了解抛物线的相关定义；（3）根据图象观察、分析出二次函数y=ax2 的性质；2．难点二次函数y=ax2的性质的应用，渗透数形结合的数学思想方法，了解从特殊到一般的探索方法，培养观察能力和分析问题的能力。
五、教学过程教学流程教师活动学生活动设计意图复习旧知导入新课1、通过提问，复习函数图象的画法（列表、描点、连线）。
2、范例：画出y=x2的函数图象，结合图象介绍下列名称定义：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.学生回顾、口答学生通过课件学习y=x2的函数图象的画法，并学习新知：二次函数的相关的名称定义回顾原有知识，明确画图的方法与步骤，为本节课的学习奠定基础在复习图象画法的同时，引入二次函数的图像时抛物线，以及二次函数顶点、对称轴、开口及开口方向等定义探究活动1探究活动：指导学生，在同一坐标系中，画出y=x2、y=12x2，y=2x2的函数图象。