第四章分层随机抽样(抽样理论与方法河南财政学院)
Sh2
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例3.２ 调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民 户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户分为４ 层，每层按简单随机抽样抽取１０户，调查数据如下， 估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。
样本户奶制品年消费支出
层 居民
户总 数
1
样本户奶制品年消费支出 2345678
9 10
L h1
Wh 2
1 fh nh
Nh Nh
1
PhQh
L h1
Wh 2
1 fh nh
PhQh (当Nh很大时）
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(3)
(4) P的置信度为1 的置信区间为：
1 200 10 40 0 110 15 10 40 80 90 0 2 400 50 130 60 80 100 55 160 85 160 170 3 750 180 260 110 0 140 60 200 180 300 220 4 1500 50 35 15 0 20 30 25 10 30 25
i1
1 Nh
Yh
Nh
Yhi
i1
Sh2
1 Nh 1
Nh
（Yhi
i1
Yh）2
第h层样本
nh
yh yhi
i1
1 nh
yh nh i1 yhi
s
2 h
1 nh 1
nh
（y hi
i1
y
）2
h
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例4.1 总体由1000人组成，按以往的收入情况将总体分成
两层：第一层（高收入层），20人；第二层（低收入
h1
h1
L
L
方差V（Yˆ ） V（Yˆ h） Nh2V（Yˆ h）
h1
h1
L
(2)Yˆ st
Yˆ h
h1
N
L Nh h1 N
Yˆ h
L
WhYˆ h
h1
L
方差V（Yˆ st） Wh2V(Yˆ h ) h1
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^
分层随机抽样 ,则 Yh 的简单估计为yh
^
L
^
L
^
1.Y的无偏简单估计 Yst 为：yst Wh Yh Wh yh , Yst 记为yst
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解：
y1 39.5
各层样本均值及方差为 ：y2 105 y3 165
y4 24
s12 1624.722
s22 2166.667
s
2 3
8205.556
s
2 4
193.333
L
(1)Yˆ Nh yh h1
200 39.5 400105 750165 1500 24
209650 (2)Yˆ 的方差V(Yˆ )的估计：
v(Yˆ )
v(Nyst )
L h1
Nh2
1
fh nh
sh
2
5.39 108
s(Yˆ ) v(Yˆ ) 23208
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（3）该地区居民奶制品年消费总支出的置信度为95%的 置信区间为
Yˆ
u 1
s(Yˆ ),
2
Yˆ
u 1
2
s(
第四章 分层随机抽样
4.1 概述
一、分层抽样（stratified sampling)、分层随机抽样 (stratified random sampling)
分层抽样：将容量为N的总体分成L个不相重叠的子总 体，子总体的大小分别为N1、 N2、… NL，皆已知，且
L
Nh N
i1
则每个子总体就称为层。从每层中独立地进行抽样， 这样的抽样方法称为分层抽样。 分层随机抽样：在分层抽样中，如果每层中的抽样都 是简单随机抽样，则这样的分层抽样称为分层随机抽 样。
h1
h1
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Y的置信度为1 的置信区间为：
y st
u 1
s(y
st
2
), yst
u 1
s(
y
st
2
)
2.总体总和Y的估计：
L
L
^
L
Yˆ Yˆ h Nh Yh Nh yh
h1
h1
h1
方差V（Yˆ ）
L h1
V（Yˆ h）
L
N h 2 V（y h）
h1
L
Nh2
h1
1 fh nh
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二、分层抽样的适用场合 不仅需要估计总体参数，也需要估计各层参数。 便于管理，按现成的地理分布或行政划分来分层。 希望样本中能包含各个部分，以增加代表性。 把一个内部差异很大的总体分成几个内部比较相似的
子总体（层）进行分层抽样，可以提高估计量的精度。 如果有极端值，也可以把它们分离出来形成一层。即 “层间方差大，层内方差小”。
Yˆ )
164162，255138
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例3.3：某市进行家庭收入调查，分城镇居民及农村居
民两部分抽样，在全部城镇居民23560户中随机抽取
300户，在全部农村居民148420户中随机抽取250户，
调查结果是城镇年平均户收入为15180元，标准差为
2972元；农村年平均户收入为9856元，标准差为
W2 y 2
20 1400 980 291.25 313.43
1000
1000
对比： y 1200 1600 220 360 513 10
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一、分层抽样中，
若对任一层，假设为第 h层，都有 Yh N Yh，
L
Y Yh
h1
L
L
(1)Yˆ Yˆ h NhYˆ h
层），980人。从第一层随机抽取2人，调查上月收入，
得数据（单位：元）1200及1600；从第二层随机抽取8人，
调查上月收入，得数据（单位：元）220、230、180、
320、400、340、280、360。估计这1000人上月平均收入。
解：
Yˆ
Yˆ 1 Yˆ 2 N
N1 y1
N2y2 N
W1 y1
Wh 2
1 fh nh
Sh2
L h1
Wh 2
1 fh nh
Nh Nh
1
PhQh
L h1
Wh 2
1 fh nh
PhQh (当Nh很大时）
估计的性质
（1）pst的性质：
L
P的简单估计为pst Whph
h1
且是p
的无偏估计。
st
（2）
L
pst的方差V（pst）
Wh
2
V（p
）
h
h1
三、进行分层抽样时，应注意的方面 层内抽样设计的选择。 分层变量的选择。 各层样本量的分配，样本总量的确定。 层数。 层的分界。
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4.2 简单估计量及其性质
对总体均值或总值的估计： 设总体分为L层，以h表示层的编号， h 1，2，，L
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总体第h层
Nh
Yh Yhi
2546元。求全市年平均户收入的置信度为90%的置信
区间。Βιβλιοθήκη 解： yst W1 y1 W2 y 2
23560 15180 148420 9856 10585.39
171980
171980
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3、分层随机抽样中，总体比例P的简单估计 设Ph的简单估计为 ph，则
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L h1
9.1.2分层随机抽样课件(人教版)
新知探索
在实际抽样调查中，由于实际问题的复杂性，除了要考虑获得的样本的代表性
，还要考虑调查实施中人力、物力、时间等因素，因此通常会把多种抽样方法组合
起来使用.例如，在分层抽样中，不同的层内除了用简单随机抽样外，还可以用其他
的抽样方法，有时层内还需要再进行分层，等等.
思考2：如果想要了解某电视节目在你所在的地区(城市、乡镇或村庄)的收视率，
例3.随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层
的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为_____.
答案：6.
20
30
ഥ=
×3+
× 8 = 6.
20 + 30
20 + 30
练习
方法技巧：
进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的3个关系
(1)
样本容量
该层抽取的个体数
答案：×，×，×.
)
新知探索
辨析2：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层随机抽样的
方法从两个班抽取16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是(
A.9,7
答案：A.
B.10,6
C.8,8
D.12,4
).
练习
题型一：分层随机抽样的概念
例1.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(
可以计算出男生、女生中分别应抽取的人数为：
326
386
男 =
× 50 ≈ 23，女 =
× 50 ≈ 27.
712
712
我们按上述方法抽取了一个容量为50的样本，其观测数据(单位：)如下：
男生
173.0
第四章分层随机抽样
第四章分层随机抽样第一节分层随机抽样概述分层抽样也叫做类型抽样，它是实际工作中最常用的抽样技术之一。
分层抽样是在抽样之前，先将总体按一定标志划分为若干个层（组），后在各层内分别独立地进行抽样。
由此所抽得的样本称之为分层样本。
各层所抽的样本也是互相独立的。
如果每层中的抽样都是简单随机的，则这种抽样就叫做分层随机抽样。
由此所得到的样本称做分层随机样本。
从以上概念可以看出，分层抽样的实质是在各层间作全面调查，而在各层内作抽样调查。
因此，分层抽样的误差只与各层内的差异有关，而同各层间的差异无关。
所以，为了能有效地降低抽样误差，提高抽样效果，在分层时应遵循“尽可能使层内差异小，而使层间差异大”的原则，同时要使分层的结果既无重复又无遗漏。
进行分层抽样时应注意：①层内抽样设计的选择；②分层变量的选择；③各层样本量的分配；④层数；⑤层的分界。
以前只重视③，近年来，④和⑤引起了越来越多的关注。
同简单随机抽样相比，分层抽样具有以下特点：①分层抽样能够充分地利用关于总体的各种已知信息进行分层，因此抽样的效果一般比简单随机抽样要好。
但当对总体缺乏较多的了解时，则无法分层或不能保证分层的效果。
②在分层抽样中，总体的方差一般可以分解为层间方差和层内方差两部分。
由于分层抽样的误差只与层内差异有关，而与层间差异无关，因此，分层抽样可以提高估计量的精度。
③由于分层抽样是在每层内独立地进行抽样，因此，使得分层样本能够比简单随机样本更加均匀地分布于总体之内，所以其代表性也更好些。
④分层抽样的随机性具体体现在层内各单元的抽取过程之中，也即在各层内部的每一个单元都有相同的机会被抽中，而在层与层之间则是相互独立的。
⑤分层抽样适合于调查标志在各单元的数量分布差异较大的总体。
因为对这样的总体进行合理的分层后可将其差异较多地转化为层间差异，从而使层内差异大大减弱。
⑥分层抽样中除了可以推断总体参数外，还可以推断各不同层的数量特征，并进一步作对比分析，从而满足不同方面的需要，也能帮助人们对总体作更全面、更深入的了解。
04-第四章_分层随机抽样
L
下面讨论估计量的期望与方差。 （1）对于一般分层抽样
ˆ ）也 对于一般的分层抽样，若 Y h 是 Y h 的无偏估计量，则 Y st （或 Y st
是 Y （或 Y ）的无偏估计：
Ù
Ù
E (Y st ) = å Wh E (Y h ) = Y
h =1
Ù
L
Ù
ˆst ) = NE (Y st ) = N Y = Y E (Y
L
2 L Sh S2 - å Wh2 h nh h =1 Nh
=å
简便公式
2 L Wh2 Sh W S2 -å h h nh N h =1 h =1
V ( y st ) = V (å Wh y h )
h =1
L
= å Wh2V ( y h )
h =1 L
L
= å Wh2
h =1
Sh2 (1 - f h ) nh
åN
h =1
L
h
=N。
Wh =
Nh 称为层权，它也是已知的。 N
以 Yhi 表示第 h 层总体的第 i 个单元的指标值，以 yhi 表示第 h 层样本的 第 i 个单元的指标值。
Yh =
1 Nh 1 nh
åY
i =1 nh i =1
Nh
hi
表示第 h 层的总体均值，
yh =
åy
hi
表示第 h 层的样本均值（其中 nh 是第 h 层的样本量） ，
h =1 h =1 h =1 L L Ù L Ù Ù
Ù
3
（2）对于分层随机抽样
Ù
特别对于分层随机抽样，Y h 一般均取为简单估计：层样本均值 y h ，因 此 Y 的简单估计为：
【抽样调查】分层随机抽样
【抽样调查】分层随机抽样第2部分：分层随机抽样⽬录概述分层随机抽样的思路：当N ,n 都较⼤，总体单元之间的差异也较⼤时，简单随机抽样会出现⾼成本、低精度情形，解决⽅法是将总体划分为若⼲个⼦总体、减少总体单元之间的差异。
假设在各个⼦总体内已经满⾜实施简单随机抽样的条件，则可以在各个⼦总体内独⽴地进⾏简单随机抽样，再将各个⼦总体参数的估计值进⾏加权，得到总体参数的估计。
分层抽样的概念：层：如果⼀个包含N 个单位的总体可以分成不重不漏的L 个⼦总体，即每个单元必定属于且仅属于⼀个⼦总体，则这样的⼦总体称为层。
有N 1+⋯+N L =N 。
分层抽样：在每⼀层中独⽴进⾏抽样，总的样本由各层样本组成，总体参数⼜按照各层样本参数的汇总作出估计。
有n 1+⋯+n L =n 。
分层随机抽样：每层的样本，都独⽴地按照简单随机抽样进⾏，这样的分层抽样称为分层随机抽样。
符号规定：h ：层。
从⽽N h 代表第h 层的单位总数，n h 代表第h 层的样本数。
i ：层内单位号。
从⽽Y hi 代表第h 层第i 个总体单元，y hi 代表第h 层第i 个样本单元。
W h ：层权，即W h =N h N 。
f h ：层内抽样⽐，即f h =n hN h 。
¯Yh,Y h,S 2h：层内总体参数（均值、总值与⽅差）。
¯y h ,y h ,s 2h：层内样本参数（样本均值、样本总值与样本⽅差）。
简单估计量分层抽样⾸先根据各层的样本，计算出各层均值¯Y h的适当估计值ˆ¯Y h ，然后再使⽤总体层权加权平均，得到总体均值¯Y 的估计，即ˆ¯Y st =L∑h =1W h ˆ¯Y h =1N L∑h =1N h ^¯Y h .对于分层随机抽样，每⼀层的ˆ¯Y h就是h 层的样本均值¯y h ，即ˆ¯Y st =L∑h =1W h ¯y h =1N L∑h =1N h ¯y h .注意这⾥的线性形式。
应用抽样技术课后习题答案
第二章 抽样技术基本概念
2.7（1）抽样分布： 3 3.67 4.33 5 5.67 6.33 7
1/10 1/10 2/10 2/10 2/10 1/10 1/10 （2）期望为5，方差为4/3 （3）抽样标准误1.155 （4）抽样极限误差2.263 （5）置信区间（3.407，7.933）
29、5、28，则客户打入电话的总数： YHH=(35/4)[8/2+29/8+5/1+28/7]=145.46875
(3) 估计量的方差估计 v(YHH)=[n(n—1)]-1Σi=1n(yi/zi—YHH)2 =[352/(4*3)][(8/2—4.15625)2+(29/8—4.15625)2 +(5/1—4.15625)2+(28/7—4.15625)2] =106.4697
(2)易知，N=1750，n=30， n1 8 t=1.96
p n1 8 0.267 n 30
1 f N n 1750 30 0.03389 n 1 (n 1)N 29 1750
pq p(1 p) 0.267 0.733 0.1957
(1 f ) pq 0.03389 0.1957 0.08144 n 1
P2= 0.05, Q2 = 1– P2 = 0.95;
V(p) = 0.05*0.05
PQ
(1) 由
n0
V ( p)
得：
，
n01
0.08 0.92 0.052
30
n02
0.05 0.95 0.052
19
(2 )
Q 由 n0 Cv2 ( p)P 得：
n01
0.92 0.052 0.08
抽样技术分层随机抽样
抽样技术：分层随机抽样引言在数据分析中，抽样是一种常见的技术，用于从总体中选择一部分样本进行研究和分析。
抽样的目的是获得对总体的准确、可靠的估计，同时降低研究成本和时间。
然而，在实际应用中，总体往往是复杂多样的，包含不同属性或特征的子群体。
这时，分层随机抽样就是一种有效的抽样技术，可以提高抽样的精确性和代表性。
本文将介绍分层随机抽样的概念、步骤和应用。
什么是分层随机抽样?分层随机抽样是一种按照总体的分层结构进行抽样的方法。
总体根据某种特征或属性被划分为若干层，然后从每一层中随机选择一部分样本，构成最终的样本集。
这种抽样方法能够充分考虑总体内部的差异，保证样本对总体的代表性和准确性。
分层随机抽样的步骤分层随机抽样一般包括以下几个步骤：步骤1：总体划分层首先，需要根据某种特征或属性将总体划分为若干层。
层与层之间应具有较大的差异，而层内部的差异应尽可能小。
步骤2：确定每层的样本量和抽样比例根据抽样的目标和总体的特点，可以确定每一层的样本量。
通常情况下，样本量应当足够大，以获得准确的统计结果。
同时，需要确定每一层的抽样比例，比例应考虑到层内部的差异和样本数量。
步骤3：随机抽样在每一层内，根据抽样比例，从层内随机选择样本。
随机抽样可以保证样本的无偏性和代表性。
步骤4：组成样本集将每一层内抽取的样本进行组合，形成最终的样本集。
样本集应能够反映总体的属性和特征。
分层随机抽样的优点相比于简单随机抽样和系统抽样，分层随机抽样具有以下优点：提高估计的精确性分层随机抽样可以将总体划分为若干个层，然后分别从每一层抽取样本。
这样做有助于充分考虑总体内部的差异，提高估计的精确性。
降低误差由于分层随机抽样将样本分布在不同层中，可以降低抽样误差和估计误差，从而提高研究结论的可靠性。
保证样本的代表性分层随机抽样能够从每一层中抽取样本，使样本更具代表性。
这样可以在不损失总体属性和特征的情况下，降低样本的偏差。
分层随机抽样的应用分层随机抽样在社会调查、市场研究、医学研究等领域有着广泛的应用。
分层随机抽样.
4
3 层的划分原则
1
• 层内单元具有相同性质，通常按调查对象的不同类型进行划 分。这时，分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。
2
• 尽可能使层内单元的标志值相近，层间单元的差异尽可能大， 从而达到提高抽样估计精度的目的。
3
• 既按类型又按层内单元标志值相近的原则进行多重分层，同 时达到实现估计类值以及提高估计精度的目的。
18
19
4
• 为了抽样组织实施的方便，通常按现有的设置进行分层。
5
4 基本函数及表达式
6
4 基本函数及表达式
7
5 估计量的性质
8
5 估计量的性质
9
6 文献阅读——分层抽样中样本量的分配方法研究
10
6.1 本文的研究内容
本文立足于分层随机抽样的重要性以及样本容量分 配的重要意义,从分析影响样本容量的因素入手,讨论 实践中分层抽样样本量分配的方法体系并进行比较评 价,得出各种方法的适用性,期望对调查实践具有一定 的借鉴价值。
分层随机抽样
1
报告内容
1. 定义 2. 优缺点 3. 层的划分原则 4. 基本函数及表达式 5. 估计量的性质
6. 文献阅读—分层抽样中样本量的分配方法研究
2
1 定义
分层随机抽样（Stratified sampling）是随机抽样中的一种抽样方 法。 在抽样前先对母群体依某些特征分成若干层,再利用简单随机抽样,自 各层中抽取样本. 类型随机抽样，又称分层随机抽样，它是先将总体各单位按一定标准 分成各种类型（或层）；然后根据各类型单位数与总体单位数的比例，确 定从各类型中抽取样本单位的数量；最后，按照随机原则从各类型中抽取 样本。
14
6.3.2 最优分配（optimum allocation）
初级1 -第四章分层随机抽样
抽样调查
原理与方法
第四章
分层随机抽样
二、特点 1. 提高估计精度
分层抽样如果实施的好，将可以提高整体估计的精度，即抽 样效率较高。这是因为分层抽样估计量的方差只和层内方差 有关，和层间方差无关。因此，人们可以通过对总体分层， 尽可能地降低层内差异，使层间差异尽可能大，从而提高估 计的精度。比如，不同年龄的人血压值通常存在很大差异， 因此在研究血压的时候，按照不同的年龄分类是很有意义的 。在研究地区农作物产量的时候，按照地形的不同分类也是 很有意义的，沼泽地里的农作物和森林里的农作物就有很大
抽样调查
原理与方法
3. 便于组织
分层抽样实施起来灵活方便，也便于组织。一方面，由于抽样在各层 独立进行，因而允许我们视层内的具体情况采用不同的抽样方 法。例如，在一个商业调查中，规模较大的公司可能采取邮寄 的方式调查，而小的公司可能采用入户调查或者电话调查的方 式。再比如，对于某些调查，针对城市和农村可能要采用不同 的调查方法。另一方面，分层抽样的数据处理比较简单，各层 的数据处理可以单独进行，而层间汇总方式又非常简单，对估 计量而言仅是对均值估计的加权平均或是对总量估计的简单相 加，相应的精度估计也不复杂。
如果得到的是分层随机样本，则总体总量 的简单估计为：
Y Nyst
抽样调查
原理与方法
2.估计量的性质
性质4：对于一般的分层抽样，如果 Y st ˆ 是 Y 的无偏估 是 Y 的无偏估计，则 Y ˆ 的方差为： 计。 Y
2 ˆ ˆ ˆ V Y N V Yst V Y h
2 L 2 h
抽样调查
原理与方法
第二节 估 计 量
一、对总体均值的估计 分层样本，总体均值 Y 的估计
分层随机抽样 PPT
[例 1] 一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人．为了调查职工的健康状况，用分层抽 样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工________人．
[思路点拨] 由分层抽样的概念，按比例抽取．
[解析] 抽样比为 25∶200＝1∶8，而超过 45 岁的职工有 80 人，则从中应抽取的个体数为 80×18＝10.
的层，然后按照所占比例，从各层独立地抽取 一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起
作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。
【说明】分层抽样应遵循以下要求： （1）分层：将相似的个体归为一类，即分为一层，分
层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗 漏的原则。
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在 各层中进行简单随机抽样或系统抽样，每层样本数量与 每层个体数量的比与样本容量与总体容量的 比相等。
[练习 1] 某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产品 数量之比依次为 2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件，那么此样本的容量 n＝ ______.
答案：80 解析：因为 A 种产品在总体中占了2＋23＋5＝15， 又因为每个个体被抽到的可能性都相等，故样本容量为 16÷15＝ 80.
思考：（4）三个年级同学有较大差别，应如何提 高样本的代表性？ 应考虑他们在样本中所占的比例。
（5）如何确定各年级所要抽取的人数？ 计算每一部分占总体个体数的比例，
在各年级中按比例分配样本，得各年级所
要抽取的个体数。
某校小学六年级、初中三年级和高中三年级分别
有1000，800和700名同学，为了了解全校毕业班学生 的视力情况，从以上三个年级中抽取容量为100的样本， 你认为应当怎样抽取样本较为合理？
抽样方案的类型分为哪些类别
抽样方案的类型分为哪些类别抽样方案的类型分为哪些类别摘要：抽样是研究和调查中常用的一种方法，而抽样方案的类型可以根据不同的特征和目的进行分类。
本文将根据抽样方案的特征，分为随机抽样、非随机抽样和混合抽样三个类别进行详细叙述，并分别介绍各类别的具体方法和适用场景。
1. 随机抽样随机抽样是指每个个体被选中的概率相等、独立且随机的抽样方法。
随机抽样可以确保样本的代表性，并且避免了主观偏差的引入。
随机抽样又可以分为简单随机抽样、整群随机抽样和分层随机抽样三种类型。
1.1 简单随机抽样简单随机抽样是最基本的一种抽样方法，每个个体有相等的机会被选入样本。
这种方法适用于总体分布均匀、个体之间相互独立的情况，例如投票调查等。
1.2 整群随机抽样整群随机抽样是将总体分为若干个群体，然后从这些群体中随机选择若干个群体作为样本。
这种方法适用于总体有一定的层次结构，且群体内个体相似的情况，例如地域调查、社区调查等。
1.3 分层随机抽样分层随机抽样是将总体分为若干个层次，然后从每个层次中随机抽取一部分个体作为样本。
这种方法适用于总体有多个特征指标，而且这些指标在不同层次上有较大差异的情况，例如教育调查、收入调查等。
2. 非随机抽样非随机抽样是根据研究者主观判断选择样本的抽样方法。
这种方法的优点在于可以根据研究目的和特点进行灵活选择，但容易引入主观偏差。
非随机抽样又可以分为方便抽样、判断抽样和配额抽样三种类型。
2.1 方便抽样方便抽样是指研究者根据自身方便和便捷性选择样本的方法。
这种方法适用于研究者对样本的选择没有明确的规则或约束，例如街头访谈、问卷发放等。
2.2 判断抽样判断抽样是研究者根据自己的判断和经验选择样本的方法。
这种方法适用于研究者对样本的选择有一定的理论依据和经验积累，例如专家访谈、案例研究等。
2.3 配额抽样配额抽样是将总体分为若干个类别，然后根据每个类别的重要性和数量确定样本的选择比例。
这种方法适用于总体的特征指标比较明确，但没有完整的名单和框架的情况，例如市场调查、消费者调查等。