复变函数第一章学习指导
复变函数第一章
其中，r>0为复数的模， 为复数的一个辐 角，此即为复数的三角形式。 5. 指数表示法
再由Euler公式 : e i cos i sin得
z re
i
上式即为复数的指数表示式。 • 复数的各种形式之间可相互转化（主要是指代 数形式可化为三角形式和指数形式），以适应不 同问题的需要。
则
z1 z2 r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
即
z1 z2 z1 z2
Arg ( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 ,
先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 ,
n
相对应，每一 z
个这样的ω值都称为z 的n次方根，记为
wn z
设 z r (cos i sin ), w (cos i sin ),
根据棣莫佛公式,
w n n (cos n i sin n ) r (cos i sin ), 于是 n r , cos n cos , sin n sin , ( k 0, 1, 2,) 显然 n 2kπ, 1 2kπ n 故 r , ,
三 复数的运算 设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
1. 加（减）法
z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ).
• 由于复数可以用向量表示，故复数的加减法 满足平行四边形（或三角形）法则， y y z1 z2 z2 z2 z1 z2
z2 Arg z Argz 2 Argz1. 1
z2 z2 于是 , z1 z1
复变函数与积分变换学习指导（第一章）
复变函数与积分变换学习指导（第⼀章）第⼀章复数与复变函数本章⾸先引⼊复数域与复平⾯的概念，其次引⼊复平⾯上的点集、区域、Jordan曲线以及复变函数的极限与连续等概念。
第⼀节复数⼀.复数的表⽰1.2.欧拉公式3.虚数纯虚数且4.模辐⾓主辐⾓5. 与的关系当时，例1 求及解注意：⼀般有两种含义，⼀种是指⾮零复数⽆穷多辐⾓中的⼀⼆.复数的运算复数可以看作与复平⾯上的点对应,也可以看作是与平⾯上的向量相对应。
1.加法（遵循平⾏四边形法则）2.减法（遵循三⾓形法则）3.乘法设4.除法5.乘⽅注意：6.开⽅(即求的根)例2计算解故故例3 解⽅程解由有故三.共轭复数2.3.4.例P38.4证明并说明其⼏何意义。
证⼏何意义:平⾏四边形两条对⾓线长的平⽅和等于四条边长的平⽅和。
例P38.5设三点适合条件及试证是⼀个内接于单位圆周的正三⾓形的顶点。
证由知,位于单位圆周上,故只须证为正三⾓形的顶点即可。
由得⼜（由上题结论知），故即。
同理可得，故得证。
四.常⽤不等式1.2.1.过的直线的实⽅程为当时，表⽰之间的直线段，因此的直线段的复⽅程为过的直线的复⽅程为2. 三点共线3. 的中垂线⽅程为。
4.以为⼼，为半径的圆周⽅程为。
例P35.7证明：复平⾯上的直线⽅程可写成其中为⾮零复常数，为实常数。
证任给实直线⽅程令代⼊化简得令即得反之，设有⽅程令试证在负实轴上（包括原点）不连续，除此之外在复平⾯上处处连续。
证1）当时，⽆意义，故在原点不连续。
2）若为负实数，则，当由负实轴的下⽅趋于时,故在负实轴上任意⼀点上都不连续；3）对任意且不在负实轴上，，取中⼼在,不包含负实轴上的点，但整个包含在张⾓为的⾓形内的最⼤圆,半径当时,总有第⼆节复平⾯上的点集⼀.基本概念1.的的邻域。
2.的去⼼邻域——。
3.内点——若有⼀个邻域全含于，则为的内点。
4.外点——若且不是的聚点。
5.边界点——若的任意邻域内既有属于的点⼜有不属于的点，则为的边界点。
复变函数第一章第1讲
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
z1 z1 例4 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2
解
z1 5 5i (5 5i )( 3 4i ) z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
记为 z r x 2 y 2 .
显然下列各式成立
y y
r
o
2
Pz x iy
x z, z x y,
y z,
z z z z2 .
x
x
复变函数与积分变换
西安文理学院物电学院
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
计算共轭复数yi的积是一个实数两个共轭复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的形式将下列复数表示为iy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换20152015西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换称为为终边的角的弧度数的向量以表示说明0有有无穷有无穷多是其中一个辐角如果特殊地的全部辐角为那么西安文理学院物电学院复变函数与积分变换辐角主值的定义
复变函数一(第一章)
四边形或在同一侧
c
za ca 圆： Im( )0 z b cb
复数的乘幂：
利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：
z | z | (cos nArgz i sin nArgz)
n n
令z
n
z
n
| z | [cos( nArgz ) i sin( nArgz )]
则A'称为A在球面上的球极射影。
由于A(x,y,0), A' (x',y',u') ,N(0,0,1)三点共线，所以有
（x-0）:(y-0):(0-1)=( x'-0):( y'-0):( u'-1)从而有
( x' )2 ( y' )2 又 | z | zz (1 u' )2
2
x'iy' z x iy 1 u'
课程简介
课程名称 教 材 对 象 主要任务
主要内容
复变函数 《复变函数》(第四版)
复变函数（自变量为复数的函数）
研究复变数之间的相互依赖关系，具 体地就是复数域上的微积分。 复数与复变函数、解析函数、复变函 数级数、留数等。
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和方法 是实变函数在复数域内的推广和发展，它 们之间有许多相似之处。但又有不同之处， 在学习中要善于比较、区别、特别要注意 复数域上特有的那些性质与结果。
准备知识与参考书目
复数与多元函数知识
1、准备知识
微积分与级数知识
广义积分与曲线积分
2、参考书目
①《复变函数教程》 ②《复变函数》 ③ 《应用复分析》 方企勤 北京大学出版社 中国科学技术大学出版社 史济怀、刘太顺 任福尧 复旦大学
复变函数课程自学指导书
复变函数与积分变换课程自学辅导资料二○○八年四月《复变函数与积分变换》课程自学进度表教材：《复变函数与积分变换》教材编者：徐大申等出版社：中国电力出版社出版时间：2005年8月给任课教师。
总成绩中，作业占15分。
参考教材：1 《复变函数》（第四版），西安交通大学高等数学教研室编，北京，高等教育出版社，19962 《复变函数与积分变换》（第二版），华中科技大学数学系编，北京，高等教育出版社，2003《复变函数与积分变换》课程自学指导书第一章复数及复变函数一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心复数及运算，区域，复变函数及映射理解复数、复变函数、极限及连续的概念；掌握复数运算及几何表示法；了解区域及有关定义。
（二）本章重点复数及运算，区域，复变函数及映射（三）本章前后联系本章介绍了复数的概念、运算及其表示和复变函数的概念及其极限、连续两部分内容。
是后续各章的基础。
二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念复数及运算，区域，复变函数及映射（二）本章难点及学习方法指导1.复数的概念、运算及其表示方法是学习复变函数的基础，通过学习复数，做到熟练掌握，灵活应用。
学习时要注意下边几点：（1）正确理解辅角的多值性，见（1-5）式；（2）熟悉两个复数乘积和商的辅角公式，见（2-3）和（2-4）式；（3）由于复数可以用平面上的点与向量表示，因此能用复数形式的方程（或不等式）表示一些平面图形，解决有关的几何问题，见例1.3及相关习题；（4）了解无穷远点和扩充复平面的概念，它们是为了用球面上的点来表示复数而引入。
无穷远点和无穷大∞这个复数相对应。
这里的无穷大∞是指模为正无穷大（辅角无意义）的唯一的一个复数；2.复变函数及其极限、连续等概念是《高等数学》中相应概念的推广，它们有相似之处，又有不同之点，在学习中要善于比较，深刻理解。
（1）平面曲线（特别是简单闭曲线、光滑或按段光滑曲线）和平面区域（包括单连通域与多连通域）是复变函数理论的几何基础，要求熟悉这些概念，会用复数表达式表示一些常见平面曲线与区域，或者根据给定的表达式画出它所表示的平面曲线或区域；（2） 认真体会复变函数的定义与一元实变函数的定义的异同；复变函数极限的定义与一元实变函数极限定义形式上相似，但实质却有很大差异，注意进行比较；复变函数有极限的等价条件是其实部和虚部同时极限存在；复变函数连续等价于其实部和虚部同时连续。
复变函数第一章学习指导.docx
复变函数第一章学习指导一知识结构复数的定义有序实数对向量复数的模、辐角、共辆复数棣莫夫公式 复数的n 次方根'平面点集预备知识区域曲线2.复变函数数复变函数的概念及其集合意义复变函数的极限与连续概念与性质二学习要求1 •了解复数定义及其几何意义； 2•熟练掌握复数的运算； 3 •知道无穷远点邻域；4 •了解单连通区域与复连通区域； 5.理解复变函数；6•理解复变函数的极限与连续。
三内容提要复数是用有序数对（兀刃定义的，其中为实数。
要注意，因为复数是“有 序数对”，所以一般地讲，（兀,刃工（儿兀）。
止如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示，即C = {z = （a ,h ）:a,he R}复数的四则运算定义为（a ，b ） + （c ，d ） = （ci + c,b + d ） (a, h) - (c, d) = (a -c, h-d) (a, b) • (c, d ) = (ac - bd, be + ad )1.复数复数的五种表示代数式三角式 指数式/ 八/ 八 ‘ac + bd be — ad 、-> ,2 八（d”）+ （c,d ） = （ ―，—―）,L +d_ HOc +d 「c +d~复数的四则运算满足以下运算律 ① 加法交换律知+ 5 = 5 +◎ ② 加法结合律 Z] +（Z 2 + Z3） =（Z] + Z2）+ Z3 ③ 乘法交换律H=S 、知④ 乘法结合律Z1 •（◎辽3）=（石弋2）辽3⑤ 乘法对加法的分配律Z] -（z 2 +Z3）= Z]暇2 +Z]暇3（x, - y ）称为z = （%,y ）的共轨复数，记为Z 。
k +）‘，2称为z = O,y ）的模,记为Z O 共轨复数满足Zi ± Z 2 = Z]±z 2（互）=鱼，5工0复数的三角式 z =厂（cos& + isin&） 复数的三角式z 二卅& 由此得如下关系式$ • Z2 =厂占⑹• r 2e [02=斤•厂2』®+如S~7A-Imz（其屮厂=側）z"=Arg(° • 0) = ArgGi) + Arg(z 2) Arg(—) = Arg(z,) 一 Arg(z 2)S0+2kn对丁复数乙=,它的川次方根为V? = Vre "伙=0丄-1)。
《复变函数》学习指南
(6)对考试方法改革作了一些探索，增加单元测验，把考试分为开卷和闭卷.把考查目标融入相应的实际问题，让学生利用图书馆的资料寻求解决方法，可以分组讨论，然后对学生的解题方法进行答辩，最后以小论文的形式递交;
2．解决办法
(1)改革旧的复变函数的知识构架，要站在更高的角度组织教学活动，如通过和其它数学学科的比较（类比），引入新的数学思想，又如通过对物理背景、几何思想的阐述，加深学生对具体概念、定理的理解深度;
（2）在教学过程中，大量使用近几十年才发展起来的证明方法，特别是恰到好处地多次使用非齐次Cauchy-Riemann方程解的存在性，简洁而优美地处理了传统教学讲法难以讲述的教学难点;
学习指南
1．课程的重点、难点
(1)复数的定义和几何表示，扩充复平面和复数的球面表示，复变函数的连续性;
(2) Cauchy-Riemann方程和初等全纯函数;
(3) Cauchy积分定理和一维 问题的解;
(4)全纯函数的Taylor展开，最大模原理和Schwarz引理;
(5)全纯函数的Laurent展开，利用留数定理计算定积分，Mittag-Leffler定理、Weierstrass因子分解定理和插值定理的证明.
（3）在授课过程中，打破以教师讲授为主的模式，教师围绕教学内容，提的能力;
(4)结合复变函数教学与计算机技术，融入现代化的教学手段.随着计算机和软件技术的进步，在教学中将课堂黑板讲授和网络多媒体教学相结合，充分利用一些优秀的数学软件（如Mathematica, Matlab）的辅助优势;
(7)有针对性的进行习题课教学，及时发现和纠正学生的错误，以延伸、补充和巩固复变函数的教学内容;
最新复变函数第一章答案
第一章 复数与复变函数1.1计算下列各式:(1) (1)(32);i i +--解: (1)(32)(1)322 3.i i i i i +--=+-+=-+(2) ;(1)(2)i i i -- 解:2(13)3.(1)(2)2213101010i i i i i i i i i i i i +-====+----+- (3) 1(1);1z z x iy z -=+≠-+ 解: 2222222211(1)(1)12.11(1)(1)(1)z x iy x iy x iy x y y i z x iy x y x y x y-+--++-+-===++++++++++ 1.2 将直线方程220(0)ax by c a b ++=+≠写成复数形式.[提示: 记.x iy z +=] 解: 由,22z z z z x y i+-== 代入直线方程,得 ()()0,22()20,()()20,0,,2.a b z z z z c iaz az bi z z c a bi z a bi z c Az Az B A a ib B c ++-+=+--+=-+++=++==+=故其中1.3 将圆周方程22()0(0)a x y bx cy d a ++++=≠写成复数形式(即可z 与z 表示,其中z x iy =+).解: 把22,,22z z z z x y x y z z i+-==+=⋅代入圆周方程得: ()()0,222()()20,0.b c az z z z z z d iaz z b ic z b ic z d Az z Bz Bz C ⋅+++-+=⋅+-+++=⋅+++=故其中2,,2.A a B b ic C d ==+=1.4 求下列复数的模与辐角主值.(1) 2;i -解: 2i -== 11arg(2)arctan arctan .22i --==- (2) 13;i -+解: 13i -+== 3arg(13)arctanarctan 3.1i ππ-+=+=-- 1.5 将下列各复数写成三角形式.(1) sin cos ;i αα+解: sin cos 1,i αα+=故sin cos cos()sin().22i i ππαααα+=-+- (2) sin cos .66i ππ-- 解: 2arg(sincos )arctan(cot ),666263i ππππππππ--=-=--=- sin cos 66i ππ--=2222cos()sin()cos()sin .3333i i ππππ-+-=- 1.6 利用复数的三角表示计算下列各式:(1) 31();2解: 由乘幂公式知3cos3()sin 3() 1.33i ππ⎡⎤=⋅-+-=-⎢⎥⎣⎦(2)解: 因32222),4i i π-+=-+=所以由开方公式知3838sin ),0,1,2,3.1616k k i k ππ++=+= 1.7 指出满足下列各式的点z 的轨迹是什么曲线? (1) 1;z i +=解: 以(0,1)-为圆心,1为半径的圆周. (2) 0,zz az az b +++=其中a 为复数,为b 实常数;解: 由题设可知 2()()||0,z a z a b a +++-=即22||||,z a a b +=-若2||,a b =则z 的轨迹为一点;a -若2||,a b >则z 的轨迹为圆,圆心在a -,若2||,a b <无意义.1.8 用参数方程表示下列各曲线.(1) 连接1i +与14i --的直线段;解: 法一：由直线段的复参数方程直接得 211()()[14(1)](1)1(25),01z t z z t z i i t i i i t t =-+=---+++=++--≤≤法二：由直线段的实参数方程间接得平面上连接点(1,1)与(1,4)--的直线段,其参数方程可写为: 1(11),011(41),x t t y t =+--⎧≤≤⎨=+--⎩故其复数形式的参数方程为: 12(15)1(25),01z t i t i i t t =-+-=++--≤≤ (2) 试证0Re limz z z →不存在. 证: 000Re limlim ,z x y z x z x iy →→→=+令,y kx =则上述极限为1,1ki +随k 变化而变化,因而极限不存在.全国2009年4月高等教育自学考试英语语法试题课程代码：00831一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）Choose the best answer from the choices given and put the letters A, B, C or D in the brackets.1.——Did you hear what she said? （ ）——Well, I heard her say something, but I ______．So I don ’t know exactly what she said.A ．would not listenB ．were not listeningC ．had not listenedD ．shouldn ’t listen2．When I got to the top of the mountain, the sun ______．（）A．shoneB．shinesC．has shoneD．was shining3．The building suddenly collapsed while it ______ down．（）A．pulledB．had been pulledC．was being pulledD．was pulled4．Most of my saving ______ in stocks．（）A．has been investedB．is being investedC．have investedD．have been invested5．The manager insisted that the chief engineer ______ testing the new model immediately．（）A．startB．startsC．startedD．will start6．Great as Newton was, many of his principles ______ and modified by contemporary scientists。
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复变函数第一章学习指导一 知识结构1. n ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩复数的定义有序实数对代数式复数的五种表示三角式复数指数式向量复数的模、辐角、共轭复数棣莫夫公式复数的次方根 2. ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩平面点集预备知识区域曲线复变函数数复变函数的概念及其集合意义复变函数的极限与连续概念与性质学习要求:⒈了解复数定义及其几何意义； ⒉熟练掌握复数的运算； ⒊知道无穷远点邻域；⒋了解单连通区域与复连通区域； ⒌理解复变函数；⒍理解复变函数的极限与连续。
内容提要:复数是用有序数对),(y x 定义的，其中y x ,为实数。
要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，),(),(x y y x ≠。
正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示，即},:),({R b a b a z C ∈==复数的四则运算定义为),(),(),(d b c a d c b a ++=+ ),(),(),(d b c a d c b a --=-),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⋅0,),(),(),(222222≠++-++=÷d c dc ad bc d c bd ac d c b a 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅),(y x -称为),(y x z =的共轭复数，记为z 。
22y x +称为),(y x z =的模，记为z 。
共轭复数满足 z zz z zz z z z Im i2,Re 2,2=-=+=⋅ 2121z z z z ±=± 2121z z z z ⋅=⋅ 0,)(22121≠=z z zz z 复数的三角式 )sin i (cos θθ+=r z （其中z r =） 复数的三角式 θi e r z = 由此得如下关系式)(i 21i 2i 1212121e e e θθθθ+⋅=⋅=⋅r r r r z z0,e e e 2)(i 21i 2i 1212121≠==-z r r r r z z θθθθ θn n n r z i e = 2121z z z z ⋅=⋅0,22121≠=z z z z z )Arg()Arg()Arg(2121z z z z +=⋅ )Arg()Arg()Arg(2121z z z z -= 对于复数θi e r z =，它的n 次方根为)1,,1,0(e π2i-==+n k r z nk nnθ。
0z 点的ρ邻域为复数集合}:{0ρ<-z z z ，记为),(0ρz N .0z 点的去心ρ邻域为复数集合}0:{0ρ<-<z z z ，记为),(0*ρz N 。
无穷远点的ρ邻域为复数集合}:{ρ>z z ，记为),(ρ∞N .开集：所有点为内点的集合；开集的余集我们称为闭集. 区域：1、D 是开集；2、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D 。
对于区域D ，若D 中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D ，则称D 为单连通区域。
不是单连通区域的区域称为复连通区域。
复变函数的定义： 设C G ⊂，如果对于G 中任意以点z ，有确定的复数w 同它对应，则称在G 上定义了一个复变函数，记为)(z f w =.复变函数)(z f w =的定义类似于数学分析中实函数)(x f y =的定义，不同的是前者)(z f w =是复平面到复平面的映射，所以无法给出它的图形。
注1、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w 和z 对应； 注2、同样可以定义函数的定义域与值域；注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数。
复变函数的极限：设函数)(z f w =在集合E 上确定，0z 是E 的一个聚点，a 是一个复常数。
如果任给0>ε，可以找到一个与ε有关的正数0)(>=εδδ，使得当E z ∈，并且δ<-<||00z z 时，ε<-|)(|a z f ，则称a 为函数)(z f 当z 趋于0z 时的极限，记作：)()()(lim 0,0z z A z f A z f Ez z z →→=∈→当或复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即A z f A z f z z z z z z Re )(Re lim )(lim 000Im Im Re Re =⇔=→→→且A z f z z z z Im )(Im lim 00Im Im Re Re =→→复变函数连续性的定义：如果)()(lim 00z f z f z z =→成立，则称)(z f 在0z 处连续；如果)(z f 在E 中每一点连续，则称)(z f 在E 上连续。
如果),(),()(y x iv y x u z f +=，000iy x z +=，)(z f 在0z 处连续的充要条件为：，，),(),(lim),(),(lim00,,00,,0000y x v y x v y x u y x u y y x x y y x x ==→→→→四.典型例题例1 设i 3,i 5221+=-=z z ，求21z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。
解 为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z 例2 求复数)i 21)(i 34()i 21)(i 34(+--+=A 的模．解 令i 21,i 3421-=+=z z ，有2121z z z z A ⋅⋅=由共轭复数的运算结果得1212121212121=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=z z z z z z z z z z z z A例3 求8)i 1(+． 解 4πi e 2i 1=+，故有16e 16e)2()e 2()i 1(2πi 4π8i 884πi8====+⋅例4 设i z +=1，求4z ．解 因4πi e 2=z ，故4arg ,2π==z z ．于是，z 的四个四次方根为 16πi80e 2=w 169πi81e2=w 16π17i82e 2=w 16π25i83e2=w例5 试确定不等式i π0argi 4z z -<<+所确定的点集是什么图形？ 解法1 （按复数几何意义和辐角定义分析）先考虑满足等式i πarg i 4z z -=+的点的集合. 因为i arg arg(i)arg(i)i z z z z -=--++又arg(i)z -和arg(i)z +分别是始点在i 和i -而终点在z 的向量与正实轴的夹角（根据本书规定：主辐角的范围为0arg 2πz ≤<，故上述描述成立）.因此等式i πargi 4z z -=+表示到两定点i,i -的张角之差等于定数π4的点z 的集合.由平面几何的定理知，这是缺了点i 和i -的两个圆弧.见图1.10所示，图中两个圆弧实际上只有实线圆弧才是i πarg i 4z z -=+所确定的点集；虚线圆弧是i πarg i 4z z +=-所确定的点集.再考虑等式 i arg 0i z z -=+确定的点集.实际上，此点集是虚轴上点i 以上，点i-以下的点的全体。
从图中看出可见，该点集和图1.10中实线圆弧将整个平面分为两半. 容易验证，左边的部分除去圆域（即图中淡灰色）为不等式i π0arg i 4z z -<<+所确定的点集.图 1.10解法2 根据辐角定义得出，由i z x y =+22222222i i i 12i i i i (1)(1)i 2arg()arctan i 1z x y x y xz x y x y x y z x z x y -+-+--==++++++++--∴=++-由题意得到222π0arctan()14x x y -<<+- 注意到，在(0,π/4)的角度区域，正切函数是单增的，对上述不等式两边均取正切得到222011x x y -<<+-由此得到220(1)2x x y <⎧⎨++>⎩ 或 220(1)2x x y >⎧⎨++<⎩ 注意到 22(1)2x y ++=是以（－1，0为半径的圆周，所以满足题给条件的是图1.10中灰色的部分. 根据题给辐角不等式，对于0x >，其辐角不满足要求.例 6研究下列函数在0z =点的连续性.（1）Im()()1z f z zz =+ （2）Re(), 0()0, 0z z z f z zz ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 解（1）i i 2000sin sin lim ()lim lim 011z r r r r f z re re r θθθθ-→→→===++，又因为(0)0f =，故函数()f z 连续.（2）i 2i i 000cos lim ()lim lim cos 0z r r re r f z re re θθθθθ-→→→===，又因为(0)0f =，故函数()f z 连续.1. 证明不等式（1）z z R t ≤， z z I m ≤ （2）2121z z z z +≤+证明：（1）设设ｚ＝ｘ＋iy ，则 z ＝22y x +故 zy x x z R t =+≤=22同理:zy x y z I m =+≤=2(2).由221z z +＝（1z ＋2z ）（1z ＋2z ）＝1z ·2z ＋1z ·2z ＋1z ·2z ＋1z ·2z ＝21212221z z z z z z ⋅+⋅++ ＝t R z z 22221++（1z ·2z ） 由（1）≤2122212z z z z ++＝221)z z +（∴ 2121z z zz +≤+2、证明： （1）、321321)()(z z z z z z++=++，并作图。
（2）、3121321)(z z z z z z z+=+。
证明：设333222111,,iy x z iy x z iy x z +=+=+=，则(1))()(323232y y i x x z z +++=+，)()(212121y y i x x z z +++=+，所以)]()[()(323211321y y i x x iy x z z z +++++=++)()(321321y y y i x x x +++++=332121321)]()[()(iy x y y i x x z z z +++++=++)()(321321y y y i x x x +++++=).(321z z z ++=(2))()(323232y y i x x z z +++=+)]())[(()(323211321y y i x x iy x z z z ++++=+ )]()([)]()([321321321321x x y y y x i y y y x x x +++++-+=)()(3121312131213121x y x y y x y x i y y y y x x x x ++++--+= )()())((21212121221121x y y x i y y x x iy x iy x z z ++-=++=)()())((31313131331131x y y x i y y x x iy x iy x z z ++-=++=所以，3121321)(z z z z z z z+=+3、证明：设1z 、2z 是两复数。