利用全等三角形测距离
5.7 利用三角形全等测距离
5.7利用三角形全等测距离57利用三角形全等测距离在我们的日常生活和实际工作中，常常会遇到需要测量距离但又难以直接测量的情况。
这时候，巧妙地利用三角形全等的知识，就能够帮助我们解决这些难题。
想象一下，有一条河流横在我们面前，我们想要知道河对岸某一点到我们所在位置的距离。
直接测量显然是不可能的，但是我们可以通过三角形全等的方法来间接得出这个距离。
首先，我们在河的这一边选定一个点 A，然后在与 A 点相对的河岸上选取一个容易到达的点 B。
接着，从 A 点出发，沿着与河岸垂直的方向走一段距离，到达点 C，并且测量出 AC 的长度。
然后，保持方向不变，继续往前走相同的长度，到达点 D。
此时，连接点 B 和点 D，并测量出 BD 的长度。
在三角形 ABC 和三角形 DBC 中，因为 BC 是公共边，AC ＝ DC （我们刚刚走的两段相同长度的距离），且角 ACB ＝角 DCB ＝ 90 度（我们是沿着与河岸垂直的方向走的），所以根据直角三角形全等的判定定理“斜边、直角边”（HL），可以得出三角形 ABC 全等于三角形 DBC。
由于三角形全等，所以 AB ＝ BD。
我们测量出了 BD 的长度，也就知道了河对岸点 B 到我们最初位置 A 的距离。
再比如，在一个空旷的场地上，有一个旗杆，我们想要知道旗杆的高度，但是直接测量旗杆顶部到地面的距离是很困难的。
这时候，我们可以利用三角形全等的原理来解决。
找一根长度已知的直杆，比如一根 2 米长的杆子。
将这根杆子竖直立在地面上，在杆子影子的顶端标记一个点 E。
同时，测量出此时杆子影子的长度 CE。
然后，让旗杆的影子和杆子的影子在同一直线上，并且在旗杆影子的顶端标记一个点 F。
测量出旗杆影子的长度 CF。
因为太阳光线是平行的，所以角 AEF ＝角 ABC ＝ 90 度，角 AFE ＝角 ACB（光线照射形成的角度相同）。
在三角形 AEF 和三角形 ABC 中，因为角 AEF ＝角 ABC，角 AFE ＝角 ACB，所以三角形 AEF 相似于三角形 ABC。
在生活中应用全等三角形测距离
在生活中应用全等三角形测距离在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决。
下面，我们举例谈谈怎样构造全等三角形，测量两地的距离，看看在实际生活中的应用。
例1：有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离。
（1）按题中要求画图。
（2）说明DE=AB的理由，并试着把说明的过程写出来。
解：（1）如图1。
（2）因为在△ABC和△DEC中，CA CDACB DCECB CE所以△ABC≌△DEC所以DE=AB例2、如图2，某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去。
析解：怎样做一个三角形与已知三角形全等，可以依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被摔成三块，其中①仅留一个角，仅凭一个角无法做出全等三角形；而②没边没角；③存在两角和夹边，于是根据“ASA”不难做出与原三角形全等的三角形。
故应选C。
例3、如图3、小红和小亮两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案。
分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离。
方案：如图3，在点B所在的河岸上取点C，连结BC并延长到D，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，A、C、E三点在同一直线上。
测量出DE的长，就是AB的长。
因为∠B=∠D，CD=CB，∠ACB=∠ECD，所以△ACB≌△ECD所以AB=DE。
例4、如图4，点C是路段AB的中点，两人从C点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到过D、E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E到路段AB 的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是以相同的速度从点C同时出发，且同时到达D、E两点，所以CD=CE。
利用全等三角形测距离的方法
利用全等三角形测距离的方法宝子们！今天咱们来唠唠一个超有趣的事儿——利用全等三角形测距离。
全等三角形啊，那可是一对长得一模一样的三角形呢。
它们的对应边相等，对应角也相等。
这特性可就被聪明的人儿用来测距离啦。
比如说吧，你站在一个地方，想知道河对岸某个点到你的距离。
但是呢，你又不能直接拿着尺子去量，这时候全等三角形就闪亮登场啦。
你可以在你这边的岸上，找一个点A，然后从这个点出发，沿着河岸走一段距离到点B，再找个合适的角度，比如说让∠ABC是个直角。
然后从点B向对岸的那个目标点C看过去，在这条视线和河岸的交点处标记为点D。
这时候呢，你就构造出了两个三角形啦，一个是△ABC，还有一个是△ABD。
你看啊，∠ABC = ∠ABD = 90°，而且∠BAC和∠BAD是你看同一个方向形成的角，所以这两个角相等，再加上AB是公共边。
这么一来，根据角边角的判定定理，这两个三角形就是全等三角形啦。
那既然全等了，AC和AD的长度就相等喽。
你只要量出AD的长度，就知道河对岸的点C到你的距离啦。
是不是很神奇呢？再比如在野外探险的时候，你想知道两座山之间的距离。
你可以在平地上找一个合适的位置，同样构造出这样的全等三角形。
找个基准点，然后通过测量一些角度和距离，利用全等三角形的性质，就可以算出两座山之间的距离啦。
这种方法就像是我们和数学玩的一个小把戏。
它不需要那些特别高大上的仪器，就靠着我们对全等三角形的了解，就能解决那些看起来很难测量距离的问题。
而且啊，当你通过自己的智慧，用这种方法算出距离的时候，那种成就感简直不要太爽哦。
就像是你和数学之间有了一个小秘密，然后你用这个小秘密解决了实际的大问题呢。
宝子们，是不是也想找个机会去试试这个超酷的测量距离的方法呀 。
利用三角形全等测距离_数学
D
所以AB=DE(全等三角形的对应边相等).
典例精讲
方案二：
如图，先作三角形ABC，再找一点D，使 A
BD∥AC，并使BD=AC，连接CD，CD的
B
长即为AB的长.
理由：由BD∥AC，可得∠DBC=∠ACB.
在△ACB与△DBC中，
因为AC=BD，∠DBC=∠ACB，BC=CB， C
D
所以△ACB≌△DBC(SAS).
O
Q
岸的点O处，调整好自己的帽子，使视
线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营
Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他
刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站的位置B与O点间的距离，
并下令按这个距离炮轰敌营.试问法军能命中目标吗？
合作探究
讨论并解决“新知引入”中的问题：
A
P
解：在△ABO与△POQ中，
A
E
B
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，
M
所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF. C 故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
D F
课堂小结
1.利用三角形全等测距离的目的： 变不可测距离为可测距离. 依据： 全等三角形的性质； 关键： 构造全等三角形.
2.方法：（1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形.
4.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，
在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，石凳
M恰好在BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路
上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，
你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.
4.5利用三角形全等测距离(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解全等三角形的定义及其判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
-学会运用全等三角形的性质解决实际问题，特别是利用全等三角形测距离的方法。
-掌握在实际测量中，如何根据已知条件和全等三角形的性质，构建全等关系，从而求解未知距离。
4.5利用三角形全等测距离（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级下册《几何》第四章“全等三角形”的4.5节“利用三角形全等测距离”。教学内容主要包括：了解全等三角形的性质和判定方法，掌握利用全等三角形测距离的方法。具体内容包括：
1.熟悉全等三角形的定义和性质，如SSS、SAS、ASA、AAS等全等判定方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法和在实际测量中的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形测距离相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用全等三角形的基本原理进行距离测量。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了通过实际问题引入全等三角形的概念，让学生们感受到几何学的实际应用。我发现，当学生们能够将新知识与现实生活联系起来时，他们对学习内容更感兴趣，也更愿意主动参与课堂讨论。
课堂上，我注意到在讲解全等三角形的判定方法时，有些学生对于SSS、SAS等判定条件的理解还存在困难。于是，我及时调整了教学方法，通过举例和画图，让学生更直观地感受全等三角形的性质。在接下来的时间里，我会继续关注这部分学生的学习情况，适时给予个别辅导，帮助他们突破这个难点。
《利用全等三角形测距离》教学设计
《利用全等三角形测距离》教学设计教学设计：利用全等三角形测距离一、教学目标：1.知识与技能目标：理解全等三角形的定义和性质，掌握利用全等三角形测距离的方法。
2.过程与方法目标：通过实际问题的解决，培养学生观察、分析和推理的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生认真思考问题、合作探究和创新解决问题的学习态度。
二、教学内容：1.全等三角形的定义和性质。
2.利用全等三角形测距离的方法。
三、教学过程：步骤一：导入（15分钟）1.引出直角三角形的定义和勾股定理，复习相似三角形的知识。
2.引出全等三角形的定义，通过举例说明全等三角形的性质。
步骤二：讲解（20分钟）1.通过教师讲解和板书，复习全等三角形的判定条件。
2.理论说明如何利用全等三角形测距离：a.同样条件下的两个全等三角形的对应边长成比例。
b.利用等边三角形和等腰三角形的全等性质测距离。
步骤三：示范演练（30分钟）1.选择一个实际问题：从一个点到河边测量距离。
2.分组合作，通过测量方法和全等三角形的性质，推导出测量距离的方法。
a.学生观察问题，提出解决方案。
b.分析问题的关键点。
c.列出解决问题的步骤。
步骤四：小组探究（30分钟）1.将学生分成小组，提供不同的实际问题，要求利用全等三角形测量距离。
2.学生分析问题、解决问题过程中的关键点。
3.各小组交流分享解决问题的方法和答案。
步骤五：归纳总结（20分钟）1.小组汇报解决问题的方法和答案。
2.整理和归纳全等三角形测距离的方法。
3.分享优秀解决方法和解答。
四、教学资源：1.教师准备：黑板、彩色粉笔、演示材料。
2.学生准备：教材、笔、纸。
五、教学评价与反思：1.教师通过听讲和课堂练习，评价学生对全等三角形和测距离的理解和掌握程度。
2.教师针对学生的表现进行及时的反馈和指导，帮助学生克服困难，提高学习效果。
3.教师通过课后作业的批改和讲评，总结学生在全等三角形测距离中的常见错误和不足，调整教学策略。
六、拓展延伸：1.引导学生思考如何利用全等三角形解决其他实际问题。
利用全等三角形测距离的道理
利用全等三角形测距离的道理1. 引言大家好呀！今天我们来聊聊一个听起来有点儿“高大上”的话题：利用全等三角形测距离。
这听起来是不是有点儿像数学课上那种让人打瞌睡的内容？其实，这可是一个超有趣的技巧，搞不好你下次和朋友在户外的时候就能用上哦！所以，放松心情，咱们一起深入这个“几何的奇妙世界”吧！2. 全等三角形的神奇之处2.1 什么是全等三角形？好吧，先来解释一下什么是全等三角形。
简单来说，就是两组三角形的边长和角度都完全一样，换句话说，像两颗双胞胎，长得一模一样，连脸上的小痣都不带差的。
你可能会问，这和测距离有什么关系？别急，听我慢慢说。
2.2 生活中的例子想象一下，你和朋友在公园里闲逛，突然发现一棵特别高大的树，你心里一动：“这树到底有多高啊？”如果你有个测量工具那就简单了，但如果没有呢？这时候，利用全等三角形的知识就可以派上用场了！你可以用一根直尺测量从某个地方到树底的水平距离，然后再找个地方，测量到树顶的角度。
借助简单的三角形原理，你就能计算出树的高度，绝对让人佩服得五体投地！3. 如何测量？3.1 设定目标首先，你得找一个合适的测量点，记住，站的位置可不能太近，要不然你就会像个“短见”的小老鼠，无法测量到树的真实高度。
理想的情况是，距离树大约十米左右。
这样，你的测量会更加精准。
3.2 使用简单的工具接着，准备好你的测量工具——可以是一个直尺，甚至用手机量角器都行。
然后，在树底下，眼睛对准树的顶端，想象一下把这棵树的高度和你站立的位置连成一条直线，这就是我们想要的直角三角形的一个边。
此时，你要注意的就是你与树的水平距离（就是你站的地方到树底的直线距离）和你看到树顶的角度。
4. 实际操作4.1 记录数据好啦，具体操作开始了！比如，你站在距离树底10米的地方，眼睛平视树顶，测得的角度是45度。
这时候你就可以开始计算了。
利用三角函数的基本知识，45度的三角形，其实就是一个等腰三角形。
也就是说，树的高度也是10米，真是好玩儿吧！4.2 不同的角度如果角度不是45度怎么办？比如你测得是30度，那么根据全等三角形的性质，我们可以通过三角函数的关系，继续算出树的高度。
利用三角形全等公理(一)测距离课件
利用三角形全等公理(一)计算距离的方法：根据已知的 测量点和目标点的坐标信息，利用三角形全等公理(一) 计算出测量点和目标点之间的距离。具体步骤如下
2. 在直线段上取一点作为第三个点，与测量点和目标 点构成两个三角形。
3. 根据已知的测量角度和距离信息，计算出第三个点的 坐标。
4. 利用三角形全等公理(一)判断两个三角形是否全等， 如果全等则说明计算出的距离是正确的。
利用三角形全等公理(一)测距 离ppt课件
CONTENTS
• 引言 • 三角形全等公理(一)的原理 • 利用三角形全等公理(一)测距离
的方法 • 实例分析 • 结论
01
引言
主题介绍
主题背景
介绍利用三角形全等公理(一)测距 离的背景和应用场景，说明其在 实际生活和工程中的重要性。
主题目的
阐述本课件的主题目的，即通过 学习三角形全等公理(一)来掌握测 量距离的方法。
实例三：测量点到平面的距离
总结词
利用三角形全等公理测量点到平面的最短距离
详细描述
选取一点A，作AB垂直于平面M于点B。在平面M上作线段BC平行于AB，并取一点D使 得AD=CD。然后，过B作线段BE垂直于平面M于点E。此时，三角形ABC全等于三角形 BDE，因此，AB=BE，即点A到平面M的最短距离就是BE，也就是我们测量的结果。
三角形全等公理(一)简介
三角形全等定义
简要介绍三角形全等的定义，为后续 课件内容做铺垫。
三角形全等公理(一)
详细解释三角形全等公理(一)的内容， 包括其表述、应用条件和推导过程等 。
02
三角形全等公理(一)的原理
三角形全等公理(一)的定义
总结词
三角形全等公理(一)是几何学中的基本定理，它定义了两个三角形在满足一定 条件下可以被认为是全等的。
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第四章三角形
5利用三角形全等测距离
永济市逸夫中学张婷
一、学情分析
学生的知识技能基础：学生在本章的前几节内容中已经学习了“三角形”，“全等三角形”以及“探索三角形全等的条件”。
尤其是通过探索三角形全等，得到了“边边边”，“角边角”，“角角边”，“边角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等,掌握了这些知识，学生就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础。
学生的活动经验基础：学生在前几节内容中已经经历过解决实际问题的过程，具备了一定的分析问题和解决问题的活动经验。
二、教学目标
1、知识与技能：能利用三角形的全等解决实际问题。
2、过程与方法：通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联系。
3、情感与态度：通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达。
三、教学重点、难点
构造三角形全等测距离
四、教学设计
本节课设计了六个教学环节：复习提问，情境引入，探究新知，练习提高，回顾思考，布置作业
第一环节复习提问
活动内容：①复习全等三角形的性质及判定条件
②在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC 全等，比比看谁快！（以小组为单位抢答或个人抢答或根据不同情况而定）题如
下：
活动目的：通过第1个问题的提问可以温习与本节有关的知识，帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础；第2个问题是为学习新内容作铺垫，向学生进一步渗透理论联系实际。
实际教学效果：第1题是学生独立思考后回答，由于问题较简单，学生回答踊跃；第2题是第1题的继续，学生的回答的方法较多，小组间的竞争提高了学习热情，使学生产生自信和竞争意识，开始在不知不觉中集中精力，走入数学殿堂。
第二环节情境引入
情景设置
活动内容：引入一位经历过战争的老人讲述的一个故事，（图片显示）；
敌军碉堡的距离。
由于没有任何测量工具，我军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。
配合简图如下:
教师提出问题：你知道聪明的战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？
活动目的: 用真实的故事引入新课，体现了三角形全等在生活中的广泛应用,适时的提问,激发了学生的学习积极性和好胜心。
学生独立思考后，小组间相互交流看法。
教师要注意帮助学生审题，引发学生思考,并有主动尝试利用三角形全等来解决实际问题的欲望，从而引出课题---利用三角形全等测距离。
实际教学效果：由故事所引发的问题使学生产生了好奇心，并激发了他们的求知欲，有了学习的积极性，使问题变的生动有趣。
但是有些同学对此问题不是很理解，也有一些同学意见不同，针对此，教师可做如下安排：
①先让学生体会这个情境，明白战士的具体做法,对战士的测量有直观的理解;如:找出教室中与你距离相等的两个点,小组成员合作通过测量来验证战士的做法的合理性。
条件允许的情况下,可以安排时间把学生拉到操场或野外选择一定目标亲自做一做。
②在上述条件下,学生总结并解释战士采用的方法的数学道理。
事实表明，学生们主动参与，积极思考,在操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度。
在鼓励学生的过程中，锻炼了他们的数学思考能力和语言表达能力，形成了良好的数学氛围。
第三环节探究新知
活动内容:①教师引导学生可以用全等的方法测距离，来解决生活中的许多解决相关问题。
给出例题:(见教科书174页,教师可适当加入情境,合理安排问题),个人思考后,小组讨论。
小明在上周末游览风景区时，看到了一个美的池塘，他想知道最远两点A、B 之间的距离，但是他没有船，不能直接去测。
手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A、B之间的距离呢？把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴交流你的方案，看看谁是方案更便捷。
B
②,但却ACD ≌CAB(SAS)
AB ＝CD B C
A D
1
2
解:连结AC ，由AD ∥CB ，可得∠1＝∠2在
ACD 与CAB 中:
如图，先作三角形ABC,再找一点D ，使
AD ∥BC ，并使AD=BC ，连结CD ，量CD 的长即
得AB 的长返回方案二
方法3：
如图，找一点D ，使
AD ⊥BD ，延长AD
至C ，使CD=AD ，
连结BC ，量BC 的长
即得AB 的长。
B A D
C ADB ≌CDB(SAS)
BA = BC
返回方案三
第四环节练习提高
活动内容：巩固所学知识学生完成以下练习：
练习1 如图：①要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径，由于瓶颈较小，无法直接测量，你能想出一种测量方案吗？
②在一座楼相邻两面墙的外部有两点A，C，如图所示，请设计方案测量A，C两点间的距离。
练习2
如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。
判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A、SSS
B、ASA
C、AAS
D、SAS
练习3
如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（）
A、AO=CO
B、BO=DO
C、AC=BD
D、AO=CO且BO=DO
练习4。
如图是挂在墙上的一面大镜子，上面有两点A、B。
小明想知道A、B两点之间的距离，但镜子挂得太高，无法直接测量。
小明做了如下操作：在他够的着的圆上找到一点 C ，接下去小明却忘了应该怎么做？你能帮助他完成吗？
活动目的：对本节课的知识进一步的理解、巩固、提高。
实际教学效果：学生基本掌握了利用三角形全等知识解决生活中的实际问题，达到较好的学习效果。
锻炼了学生思维的逻辑性和发散性。
在学生合作交流解决问题的过程中，培养学生的合作精神，提高了学生的口头表达能力。
第五环节回顾与思考
活动内容：师生互相交流利用全等三角形测量距离的合理性，在解决问题的过程中，采用了那些方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离。
（着重思考如何把距离的测量转化为三角形全等的问题）学生回忆、交流，尝试着对所学知识进行归纳、梳理。
教师引导学生回忆所学内容，与学生一起进行补充完善，使学生更加明确所学知识。
活动目的：使学生知道数学与利用所学的数学知识，把生活中的实际问题转化为几何问题，知道运用数学建模的方法解决身边的实际问题，并体会其中的转化思想。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的感受与实际收获，体验成功的喜悦。
（图片显示）：
第六环节布置作业
活动内容：1.请你找两个被建筑物或河流等隔开的物体，然后想办法测量这两个物体之间的距离，并说明利用什么数学知识或数学原理。
2.找些相关习题（略）
活动目的：学生通过户外活动，进一步增强应用意识与运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学与实际生活的密切联系。
第七环节教学反思
1. 本节课的教学重点是能利用三角形全等的条件解释生活中的实际问题。
教学中先让学生充分发表意见，并给予激励性的评价，培养学生主动运用所学知识寻求发现问题和解决问题的能力。
同时适当地把教育激励策略运用于教学活动中，是一种较好的育人艺术。
2. 在本节课里，首先创设了一个“现实情境”，使学生的练习具有“真实”地解决问题的意味，然后用角色模拟的方法进行自由而舒畅的交流活动。
通过这样的交流，可以激发学生的好奇心和求知欲，刺激他们思维的多向性与逻辑性，同时也培养了学生倾听别人思路、拓展自己思维、修正自己不足的良好习惯，使他
们在积极的互动中掌握知识，发展分析问题、解决问题的能力。
注重教学中师生间的对话、教师对学生的引导，以及及时的反馈与评价。
3. 注意时间的把握，应给学生充分的思考时间，题的难易程度不同，使用时间应不同，交流中及时发现问题并解决，力争课堂更具效果。