梯形中位线的证明
梯形中位线定理
②一个梯形的上底长10 cm，中位线长16 cm， 则其下底长为 22 cm； ③已知梯形的中位线长为6 cm，高为8 cm， 48 则该梯形的面积为________ cm2 ； ④已知等腰梯形的周长为80 cm，中位线与腰 长相等，则它的中位线长 20 cm；
如图所示的梯形梯子， AA/∥EE/， AB＝BC＝CD＝DE， A/B/＝B/C/＝C/D/＝D/E/ ， /＝0.5 m,EE/＝0.8 m． (第 3 题) AA 求BB/、CC/、DD/的长．
举例应用4
如图梯形ABCD中，AB∥CD，且 AB>CD,EF分别是AC和BD的中点， 1 求证：EF= 2 (AB – CD)
A 如图，点E、F分 别是AB、CD的中 点，则线段EF是 E 梯形ABCD的中位 线 B
D F C
三、议一议
E B
A
D
F C
如图，EF是梯形ABCD的中位线，连接 AF并延长，与BC的延长线相交于点G.
G
⑶通过刚才的探究你能得 ⑴∆ADF与∆GCF全等吗？为什么？ ⑵梯形的中位线EF与两底AD,BC有怎样 出怎样的结论？ 的位置关系？有怎样的数量关系？
六、举例应用1
如图,在梯形ABCD中，AD∥BC， CD⊥BC, ∠B=45 °,AD=CD=a。 求梯形ABCD的中位线EF长.
A E B
G
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D F C
举例应用2 如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC， AB=AD+BC，E为CD的中点. 求证：AE⊥BE.
A
D
F
B
E
C
举例应用3
梯形中位线的三种证明方法
梯形中位线的三种证明方法对于初学者来说，学习几何知识可能是一件让人望而生畏的事情。
但是，梯形中位线的三种证明方法是一个很好的开始，这是因为这些证明方法相对简单而且既有趣味性又有启发性。
梯形中位线是指梯形的两条非平行边中的中心线段。
也就是说，梯形中位线从一个梯形的顶点开始，到位于这个梯形另一端的中心点，这两个中心点将这个梯形的一条侧面平分。
因此，我们可以将梯形中位线简单地定义为连接梯形的两条非平行边的中心点的线段。
下面我们来看看有哪些证明方法：第一种证明方法：重心法这是一种最简单的证明方法之一。
它利用梯形的重心的概念，以及梯形中位线与重心之间的几何关系。
梯形的重心是指梯形部分的所有质心的平均值。
这个点总是在梯形中位线上。
将梯形划分成两个三角形，它们的重心到它们所在的梯形中位线的距离相等。
通过简单的计算可以证明这一点。
第二种证明方法：向量法这是一种基于向量概念的证明方法。
通过向量和向量的和，我们可以证明梯形中位线的两个端点与中位线的中心点组成一个三角形。
当然，这个三角形是等腰的，因为向量的大小相等。
我们可以使用如下的向量算法：- 声明梯形的四个顶点坐标（A、B、C和D）。
- 计算相邻顶点之间的向量（AB、BC、CD和DA）。
- 计算梯形的对角线向量（AC和BD）。
- 计算梯形中位线向量（M1和M2）。
- 判断中位线向量是否相等。
第三种证明方法：相似三角形法这是一种利用相似三角形的证明方法，在初学者中非常流行。
我们考虑用两种方法构造相似三角形。
第一种方法：从较小的梯形构建相似三角形。
假设我们有一个梯形ABCD，其中AB || DC，BC ⊥ CD，AC ⊥ BD，M是连接梯形的两条非平行边的中心点。
我们考虑将这个梯形从M处分成两个三角形。
然后我们可以构建一个新的中位线MP，将三角形AMP与三角形DMP进行比较。
因为AM = MD，所以MP是DMP的中位线。
此外，我们可以证明三角形AMP与三角形DMP是相似的。
梯形中位线的证明
.
.
.
.
三角形中位线定理
A
三角形的中位线平行于第三边，
并且等于它的一半
E
即EF//BC ，EF= ½BC
B
F
C
.
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
已知：梯形ABCD中，
A
AD//BC，AE=EB，DF=FC
E
求证：EF//BC，EF=½ （BC+AD）
B
证明：连结AF并延长，交BC的延长线于点M
.
例：一个等腰梯形的高是2，它的中位线长5，一个底角为 45º，求这个梯形的上底，下底的长？
A
D
M
N
45º
B
E
F
C
解：如图在梯形ABCD中，∵AB=CD，∠ B=∠C=45º， ∴ BE=AE=2cm，CF=DF=2cm，EF=AD ∴ BC=BE+EF+FC=AD+4 ∵ MN=½（AD+BC） 即 5=½（AD+AD+4） ∴ AD=3cm， BC=AD+4=7cm
D
M
F
C N
.
G
A E B
.
D F C
A E B
D GF
C
A E B
D
M
F
C N
.
A E B
D GF
C
A E B
D
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F
C N
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A E B
D GF
C
G
A E B
.
D F C
A E B
三角形,梯形的中位线
2、叙述一下三角形中位线定理。 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一 半. C
D E
A
AB 2
1、什么叫做梯形的中位线？ 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 2、叙述一下梯形中位线定理。 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和 的一半.
3、三角形，梯形中位线性质的应用.
驶向胜利的彼岸
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, 4 A E,F分别是AB,CD的中点。AD=3， 4 D 2 2 2 4 P3 3 F BC=5. E 1 P G 3 1 B C拓展1：若EF与对角线BD相 交于 G, 求 EG 的长度。 方案一 方案二 方案三
P EG是三角形ABD的中位线吗？ 怎样证明G是BD的中点呢？你有什么好的想法？
A D F E
E , F分别为AB, DC的中点， 1 EF // AD // BC, 且EF ( AD BC). 2
B
C
A E B
1
3
D F
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, E,F分别是AB,CD的中点。AD=3， BC=5. 拓展 1：若 EF与对角线BD相交于 （ 1）求 EF的长度。 C G,求EG的长度。 （2）连结BD，若BD平分∠ABC, 则AB的长度是多少？
1 1 所 以 ： EH BC, EG AD, 2 2 1 1 1 所 以 ： GH EH EG BC AD (BC AD). 2 2 2
所 以 ： EH为 Δ ABC 的 中 位 线 ， EG为 Δ BD的 A 中位线。
A E G 2
4 1
B
方案一
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, D E,F 3 G,H分别是 分别为AB,CD BD,AC的中点。 的中点 AC,BD 连结 AG交 BC于 点 , P 解： 分别交 EF于 H,G. 为 ： AD//BC, 所以： 3 AB,CD 4. H F 因 思考：把上题中 E,F 为 中 因 为 ： G是 BD中 点 ， 所 以 ： DG BG. 点改为G,H为BD,AC的中点，则 1 3 4， GH ( BC C 在结论 P AD ) 还成立吗？ Δ AGD和 Δ PGB DG BG, 2中，
15 1.6中位线定理(第二课时梯形中位线)
（3）沿AN将梯形剪成两部分，并将△ADN绕点N按顺时针方向旋转180°到△ECN的位置，得△ABE，如右图。
思考并讨论：在上图中，MN与BE有怎样的位置关系和数量关系？为什么？
师生总结
1.梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段
2.梯形中位线的性质：梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半。
【定理的证明师生分析后由学生自己写出】
定理符号语言表达：
在梯形ABCD中，AD∥BC
∵；
∴。
巩固提升：
1、一个梯形的上底长4 cm，下底长6 cm，则其中位线长为cm；
2、一个梯形的上底长10 cm，中位线长16 cm，则其下底长为cm；
3、已知梯形的中位线长为6 cm，高为8 cm，则该梯形的面积为________ cm2；
3．若梯形的周长为80cm,中位线长于腰长相等，高为12cm,则它的面积为。
4．一个等腰梯形的对角线互相垂直，梯形的高为2cm,，则梯形的面积为。
5．有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横木共200cm，其中最上端的横木长20cm，求其他四根横木的长度（每两根横木的距离相等）。
课
后
延
伸
（分析辅助线的添加）已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＋BC，P为CD的中点，求证：AP⊥BP
教（学）后反思
4、已知等腰梯形的周长为80 cm，中位线与腰长相等，则它的中位线长cm；
课堂小结：
通过今天的学习你有哪些收获？
还存在哪些困惑和疑虑？
达标检测：
1.已知梯形的中位线长为24厘米,上、下底的比为1:3,则梯形的上、下底之差是( )
A.24厘米B.12厘米; C.36厘米D.48厘米
梯形中位线的推广及应用
梯形中位线的推广及应用一、梯形中位线的性质定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。
二、梯形中位线性质定理的推广公式：如图在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=a,CD=b(a ＞b).若EF ∥AB,EF 到CD 与AB 的距离之比为m ∶n ，则可证明出：ma nbEF m n+=+三、推广公式的证明过程：证明：过O 作OH ⊥AB 于H ，分别交CD 、EF 于M 、N 点。
设OM=x ，由已知MN mNH n=,设MN=my ， NH=ny ∵在△OAB 中：AB ∥CD, AB=a,CD=b,∴DC OMAB OH=, ∴b xa x my ny=++ ①，又∵EF ∥AB ，∴EF ON AB OH =， ∴EF x mya x my ny+=++ ② 由①得：bmy bny x a b +=-，代入②式化简得：ma nbEF m n+=+由此可以看出，梯形中位线的性质定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。
它是m ∶n=1∶1时，代入ma nb EF m n +=+=2a b +的情况。
四、推广公式的应用：例1、如上图所示，设△OAB 、△OCD 的面积分别S 1、S 2，EF ∥AB 且EF 到CD 与AB 的距离之比为m ∶n ，求△OEF 的面积S 0与S 1、S 2的关系式。
解析：由三的证明过程知道了梯形中位线定理的推广公式，利用此公式来寻找三面积之间所蕴含的关系式。
由CD ∥EF ∥AB ，易知：01EFS a S =，02EF S b S =，∴10EF S a S = ，2EF S b S = 代入ma nb EF m n +=+中，可得120m S n S S m n+=+ 例2、如图，在梯形ABCD 中,AB ∥CD ，AB=3,CD=1,则梯形的中位线长为___________，若EF ∥AB ，且13DE EA =，则EF 的长为___________.简答：由AB∥CD，EF∥AB，易知13DEEA=时，EF到CD与AB的距离之比为m∶n = 13，代入ma nbEFm n+=+，得13313132EF⨯+⨯==+，故答案为2，32。
【初中数学】初中数学知识点：梯形,梯形的中位线
【初中数学】初中数学知识点：梯形，梯形的中位线梯形的定义：一组相对边平行的四边形和另一组相对边不平行的四边形称为梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。
梯形中线：连结梯形两腰的中点的线段。
梯形特性：①梯形的上下两底平行；② 梯形的中线（连接两腰部中点的线称为中线）平行于两个底部，等于上下底部之和的一半。
③等腰梯形对角线相等。
梯形判断：一.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
2.一组平行且不相等的四边形为梯形。
梯形中位线定理：梯形中线平行于两个基底，等于两个基底之和的一半。
梯形中位线×高=（上底+下底）×高度=梯形面积梯形中位线到上下底的距离相等中线长度=（上底+下底）梯形的周长和面积：梯形的周长公式为：上底+下底+腰+腰，用字母a+B+C+D表示。
等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。
梯形面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h 变形1：h=2s÷（a+b）；变形2:a=2S÷H-B；变形3：b=2s÷h-a。
计算梯形面积的另一个公式：中线×高度，用字母表示：l？H对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。
梯形分类：等腰梯形：腰围相等的梯形。
直角梯形：有一个角是直角的梯形。
等腰梯形的特性：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。
（2）等腰梯形的对角线相等。
（3）等腰梯形是轴对称图形。
等腰梯形的测定：（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一基底上有两个相等角度的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
梯形中位线定理ppt课件
一、复习 A
∵AD=DB ,AE=EC
D
E
∴ DE//BC
1
DE= BC
B
C
2
1、什么是三角形的中位线？
三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
2、什么是三角形中位线定理？
三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。
2
思考：
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？
（2）顺次连结矩形各边中点 所得的四边形是什么？
22 cm；
③已知梯形的中位线长为6 cm，高为8 cm， 则该梯形的面积为___4_8____ cm2 ；
④已知等腰梯形的周长为80 cm，中位线与腰
长相等，则它的中位线长 20
cm；
13
六、举例应用1
如图,在梯形ABCD中，AD∥BC， CD⊥BC, ∠B=45 °,AD=CD=a。
求梯形ABCD的中位线EF长.
（8）顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（9）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
菱形
5
梯形的中位线
A
D
E
F
连结梯B 形两腰中点C 的线段叫做梯形的中位线
已知：如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC，点E、F分别是各对应边
上的中点，其中，EF是梯形中位线的有哪几个？B
AC＝MN
A
D
o
M
N
??
1
B
C
11
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂
直相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求
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G A E B
D
5 梯形的中位线长9cm，一条对角线把中位线分成1:2两部 分，则该梯形的下底长＿12＿＿cm
例：一个等腰梯形的高是2，它的中位线长5，一个底角为 45º，求这个梯形的上底，下底的长？
A
D
M
N
45º
B
E
F
C
解：如图在梯形ABCD中，∵AB=CD，∠ B=∠C=45º， ∴ BE=AE=2cm，CF=DF=2cm，EF=AD ∴ BC=BE+EF+FC=AD+4 ∵ MN=½（AD+BC） 即 5=½（AD+AD+4） ∴ AD=3cm， BC=AD+4=7cm
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小结
知识应用
梯形ABCD的中位线长为a，高为h，则图中阴影部分的
面积是多少？
A
C
E
F
B
D
有一木匠想制作 一个木梯，共需5根横木，其中最长端 的横木长20cm， 5根横木共长200cm，问其余四根分 别多长？
小结
梯形中位线的 定义
连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且 等于两底和的一半
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D 1F
23
C
M
∵ DF=FC，∠1=∠2，∠D=∠3，
∴ ∆ ADF≌ ∆ MCF
∴ AF=MF，AD=CM 又 AE=EB
∴ EF是∆ABM的中位线
∴ EF//BC，EF=½BM
∵ BM=BC+CM=BC+AD
∴ EF=½（BC+AD）
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本节课我们应用了“转化”的数学思想 方法，及“同一法”的证明方法
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知识巩固
1 梯形的上底长8，下底长10，则这个梯形的中位线长＿9＿
2 梯形的上底长8，中位线长10，则下底长是＿1＿2
3 已知等腰梯形中位线长6cm，它的腰长5cm，则这个梯形 的周长为＿22＿＿cm
4 一个等腰梯形周长80，如果它的中位线与腰长相等，它的 中位线长＿20＿
三角形中位线定理
A
三角形的中位线平行于第三边，
并且等于它的一半
E
即EF//BC ，EF= ½BC
B
Hale Waihona Puke FC梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
已知：梯形ABCD中，
A
AD//BC，AE=EB，DF=FC
E
求证：EF//BC，EF=½ （BC+AD）
B
证明：连结AF并延长，交BC的延长线于点M