新人教版初中数学导学：二十八章第二节解直角三角形导学案(带答案)人教版
28.2.1解直角三角形回忆旧知：根据上节课所学内容，把下表填写完整：
30︒45︒60︒
sinα1
2
2
2
3
2
cosα
3
2
2
2
1
2
tanα
3
3
1 3
【知识点一】知道解直角三角形的定义，知道解直角三角形时的常用的关系式，会熟练解直角三角形.（用15分钟精读一遍教材P72至P73的内容，用蓝色笔进行勾画；用红色笔标注自己的疑惑，准备课上讨论质疑.）（1）三边之间的关系：222
a b c
+= .
（2）两锐角之间的关系：_∠A+∠B=90°______________________________.
（3）边角之间的关系:
sinA= cosA= tanA=
【激情探究】根据教材例题及所做练习，请归纳出解直角三角形的类型.
已知条件解法
一条边和一个锐
角
斜边c和锐角∠A ∠B= 90°-∠A ，a= c sinA ，b= c cosA .
直角边a和锐角∠A ∠B= 90°-∠A，c=
sin
a
A
，b=
tan
a
A
.
两条边两条直角边a和b c=22
a b
+，由tan
a
A
b
=求∠A，∠B= 90°-
∠A.
直角边a和斜边c b=22
c a
-，由sin
a
A
c
=求∠A，∠B=90°-∠
A.
【本节小测】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，sinB=
5
3
，则AB=（A ）
A．15 B．12 C．9 D．6
2.（2014浙江杭州）在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC
＝（ D ）
A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=
1
2
，若BC=1，则AC=（C ）
A．1 B．2 C．3D．2
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=
5
3
，则斜边上的高等于（B ）
A．
25
64
B．
25
48
C．
5
16
D．
5
12
5.如图，△ABC中，AC=5，cosB=
2
2
，sinC=
3
5
，则△ABC的面积是（A ）a
c
b
c
a
b
A.
21
2
B.12
C. 14
D.21 6.（2014贵州毕节）如图是以△ABC 的边为直径的半圆O ，点C 恰在半圆上，过C 作CD ⊥AB
交AB 与D ，已知cos ∠ACD =3
5
，BC =4，则AC 的长为（ D ）
A ．1
B ．203
C ．3
D ．16
3
O
C
A
B
D
7. 如图，已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ．若sinB=2
3
，AD=6，则菱形ABCD 的面积为（ C ）
A ．12
B ．125
C ．24
D ．54
8. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF =2，BC =5，CD =3，则tan C=4
3
_．
9.（2014山东济宁）如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，则AB 的长 为33+．
10.如图，在△ABC 中，AB=AC ，cos ∠ABC=4
5
，点D 在BC 边上，BD=6，CD=AB ，则AD 的长为210．
11.（2013辽宁锦州中考）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线DE 与AC 所在的直线相交于点E ，垂足为D ，连结BE ．已知AE ＝5，tan ∠AED ＝
3
4
，则BE ＋CE ＝6或16. 12.（2014黑龙江龙东）△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为 235
+或 235
-
． 13.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2，a=6，
解这个直角三角形.
解：c=2222a b += sinA=32
∠A=60°∠B=30°
14.（2014广西柳州）如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB=6，AC=53，∠A=30°． ①求BD 和AD
的长； ②求tan ∠C 的值．
解：①∵∠A=30°，AB=6
∴BD=3 AD=33
②由①知CD=23 tanC=
32。
人教版九年级数学下册导学案28.2.2解直角三角形的应用
No. 26 课题：28.2.2解直角三角形的应用（4）
主编：李霞审核：许爱农验收负责人：课型：新授课
学习目标：掌握解直角三角形中的各种边、角关系，能恰当地选择锐角三角函数解直角三角形解决实际问题．
学习重、难点：能利用解直角三角形解决实际问题。
学习研讨：
坡度：通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）简记用字母i表示，坡角为α，则坡度i= =
例：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3十字坡面的铅直高度
DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角α和β
（2）斜坡AB的长
巩固练习
1．为方便行人，打算修建一座高5米的过街天桥，已知天桥的斜面坡度
为1：1.5，计算斜坡的长度。
2．平行四边形中，已知AB、BC及其夹角，用AB、BC及其夹角表示平
行四边形ABCD的面积S的式子为。
3、如图,折叠梯形ABCD的一边AD，使点D 落在BC边的一点F处，已知折痕AE=,且.（1）有什么关系？说明理由。
（2）求矩形ABCD的周长.
三、教（学）后反思：。
(人教版)九年级数学下册精品导学案：28.2.3 解直角三角形的应用(2)导学案
人教版九年级下册第28章《锐角三角函数》导学案[28.2.3 解直角三角形的应用（2）]1.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题. (重点)2.在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路. (难点)情境引入某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地，海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？通过这节课的学习，相信你也行.知识精讲解与仰俯角有关的问题如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.典例解析【例1】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.【针对练习】建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.【例2】如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?【针对练习】如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75）达标检测1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C 点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E 处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，则树高 (精确到0.1米）.4. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为m(结果用带根号的数的形式表示).5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）.6. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .。
人教版九年级下册《28.2解直角三角形》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用三角函数解直角三角形的基本原理。
以实际生活中的实例引入，激发学生学习兴趣，通过讲解、例题、练习等形式，使学生掌握解直角三角形的方法，并能够应用于解决实际问题。
二、核心素养目标
1.掌握锐角三角函数的定义和性质，培养数学抽象、逻辑推理的素养；
2.学会运用正弦、余弦、正切函数解直角三角形，提高数学建模、数学运算的能力；
3.能够将解直角三角形的方法应用于解决实际问题，培养数据分析、实际问题解决的能力；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了解直角三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对解直角三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.教学难点
a.锐角三角函数性质的理解与记忆；
b.在实际问题中，正确识别和应用解直角三角形的方法；
c.解决涉及直角三角形问题时，能够灵活运用各种三角函数。
举例解释：
-针对锐角三角函数性质的理解与记忆，教师可通过图表、口诀等方式，帮助学生记忆和掌握；
-在实际问题中，教师应引导学生分析问题，识别出关键信息，从而正确选择解直角三角形的方法；
九年级数学下册 28.2 解直角三角形(第2课时) 精品导学案 新人教版
解直角三角形 课题：28.2解直角三角形（第二课时） 序号学习目标：1、知识和技能：使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题.2、过程和方法：体会数学的实际应用。
3、情感、态度、价值观：逐步培养分析问题、解决问题的能力学习重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 学习难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 导学过程：一、课前导学：阅读课本P87页“例3”。
二、课堂导学：情境导入：回忆知识(1)．解直角三角形指什么？(2)．解直角三角形主要依据什么？勾股定理：a 2+b 2=c 2锐角之间的关系：∠A+∠B=90°边角之间的关系：2、出示任务，自主学习：使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题.3、合作探究：（1）仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．（2）例1如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)解：在Rt △ABC 中sinB=AB ACAB=B AC sin =2843.01200=4221(米)答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。
当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。
如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ）分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。
将问题放到直角三角形FOQ 中解决。
人教版九年级数学下册 28.2 解直角3角形(第1课时) 精品导学案 新人教版
解直角三角形课题：28.2解直角三角形（第一课时）序号学习目标：1、知识和技能：使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、过程和方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、情感、态度、价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．学习重点：直角三角形的解法．学习难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．导学过程:一、课前导学：阅读课本P85-86二、课堂导学：情境导入：在三角形中共有几个元素？这些元素之间有什么关系？2、出示任务，自主学习：使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．3、合作探究：（1）．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．（2）．例题评析：例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 2 a=6，解这个三角形．=350，例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 B解这个三角形（精确到0.1）．例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．三、展示与反馈：《导学案》P90页“自主测评”。
四、学习小结：1、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．2、解决问题要结合图形。
五、达标检测：的平分线AD=43，解此直角三角形。
1、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC2、《导学案》P91页“深化拓展”。
课后练习：p96 页第1，2题板书设计：1、直角三角形的边角关系：2、解直角三角形的类型：课后反思：教学反思在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形导学案 (新版)新人教版
解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形1.了解什么叫解直角三角形.2.掌握解直角三角形的根据.3.能由已知条件解直角三角形.阅读教材P72-73，自学“探究”、“例1”与“例2”，弄清楚直角三角形的元素，掌握解直角三角形的方法.自学反馈学生独立完成后集体订正①在直角三角形中，由求的过程叫做解直角三角形.②直角三角形中的边角关系:三边之间的关系；两锐角之间的关系；边与角之间的关系:sinA= ，cosA= ，tanA= ，sinB= ，cosB= ，tan B= .③在Rt△ABC中，∠C=90°，已知∠A与斜边c，用关系式，求出∠B，用关系式求出a.弄清楚直角三角形五元素之间的数量关系是解直角三角形的关键.活动1 小组讨论例1 Rt△ABC中，∠C=90°,c=0.832 8,b=0.295 4，解这个直角三角形.解:∵sinB=bc=0.29540.8328≈0.354 7，∴∠B≈20°46′，∠A=90°-∠B=90°-20°46′=69°14′，∵tanA=ab，∴a=b·tanA≈0.779.直角三角形除直角外的其它五个元素中，已知其中任何两个元素(必有一边)，即可求出其它三个元素.活动2 跟踪训练(独立完成后小组内交流并展示)1.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB=10，∠A=30°，则BC的长为 .2.如图，在△ABC中,∠B=45°,cosC=35,AC=5a,则△ABC的面积用含a式子表示是 .3.根据下列所给条件解直角三角形，结果不能确定的是( )①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.A.②③B.②④C.只有②D.②④⑤第2小题要过点A作BC的垂线，构造两个直角三角形，再解直角三角形；第3小题要注意解直角三角形中已知的两元素不包括直角.4.已知，如图:△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°,AB=10,D为△ABC外一点，连结AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.①若△ABD是等边三角形，求DE的长；②若BD=AB，且tan∠HDB=34，求DE的长.求出AB的长，根据等腰三角形“三线合一”可求出AH和BH等于AB的二分之一，然后在直角三角形AHD和AHE，可利用tan∠DAH和tan∠EAH求出DH和EH的长，从而求出DE的长；第②小题思路和方法同上. 活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识:解直角三角形.2.本节学习的数学方法:转化的数学思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①略②略③略【合作探究1】活动2 跟踪训练1.52.14a23.C4.①3-5 ②4。
新人教版数学九年级下册第28章28.2解直角三角形的简单应用(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题，如测量旗杆的高度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺子和角度计实地测量物体的高度，从而演示解直角三角形的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直角三角形及其解法的基本概念。直角三角形是一种有一个角为直角（90度）的三角形，它的边长关系遵循勾股定理。这些性质使直角三角形在工程测量、建筑设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量树的高度，我们展示了如何利用解直角三角形的方法来计算实际中无法直接测量的距离。
3.实践活动环节，学生们积极参与，分组讨论和实验操作进行得如火如荼。但在成果展示时，我发现有些小组对问题的分析不够深入，可能是因为讨论时间不够充分，今后可以考虑适当延长这一环节的时间。
4.学生小组讨论中，大家提出了很多有创意的想法，将解直角三角形的方法应用到各种实际问题中。但同时我也注意到，有些学生在讨论中较为沉默，可能需要我在组织讨论时更加关注每个学生的参与度，鼓励他们大胆表达自己的观点。
针对以上反思，我认为在今后的教学中需要做出以下改进：
1.加强对学生的个别辅导，特别是针对那些在课堂上表现出困惑的学生，及时解答他们的疑问。
2.在讲解锐角三角函数时，可以结合更多实际案例，让学生更好地理解函数值的含义和计算方法。
3.调整实践活动的时间分配，确保学生们有足够的时间进行深入讨论和分析。
人教版-数学-九年级下册---28.2解直角三角形(二) 导学案
28.2解直角三角形(二)学习目标、重点、难点【学习目标】1.了解什么是仰角和俯角，学会解决观测问题．2.了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角,学会解决方位角问题．3.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．4.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．【重点难点】1.用三角函数有关知识解决观测问题.2.用三角函数有关知识解决方位角问题.3.理解坡度的有关术语, 解决有关坡度的实际问题．4.学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.知识概览图仰角、俯角坡角、坡度方向角、方位角新课导引【生活链接】如右图所示，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高?(精确到0.1 m)【问题探究】我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，α＝30°，β＝60°，那么如何才能求出这栋高楼的高度呢?【点拨】如右图所示，α＝30°，β＝60°，AD＝120．∵tan α＝BDAD，tanβ＝CDAD，∴BD＝AD·tan α＝120×tan 30°＝1203＝3CD＝AD·tanβ＝120×tan 60°＝12033∴BC＝BD＋CD＝333277．1．答：这栋楼高约为277．1 m．教材精华知识点1 仰角、俯角如图28－65所示，OC为水平线，OD为铅垂线，OA，OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的∠AOC称为仰角；把视线OB与水平线OC所形成的∠BOC称为俯角．在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角．例如：如图28－66所示，从地面上C，D两处望山顶A，仰角分→解决实际问题别是30°，45°，若C，D两处相距200 m，那么山高AB为多少?解：由题意可知BC⊥BA，且∠C＝30 °，∠ADB＝45 °．在Rt△ACB中，tan C＝ABBC，∴BC＝tanABC＝tan30AB＝3AB.在Rt△ADB中，∵∠BDA＝45°，∠B＝90°，∴BD＝BA，∴CD＝CB－DB＝3AB－AB＝(3－1)AB．∵CD＝200，∴200＝(3－1)AB，∴AB＝100(3＋1)，即山高AB约为100(3＋1)m．拓展仰角与俯角都是视线与水平线的夹角．知识点2 坡角、坡度如图28－67所示，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC 与坡面AB所形成的∠ABC称为坡角．一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的水平宽度，线段AC的长度称为斜坡AB的铅垂高度．如图28－67所示，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，用i表示，记作i＝h：l，坡度通常写成h：l的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．于是i＝hl＝tanα，显然，坡度越大，α越大，坡面就越陡．例如：如图28－68所示，有一山坡，在水平方向上每前进100 m就升高50 m，那么山坡的坡度(即tanα)就是tan α＝50100＝12.拓展 (1)坡度也叫做坡比，即i＝hl，一般写成1：m的形式(比的前项是1，后项可以是整数，也可以是小数或根式)．(2)坡度i和坡角α的关系为i＝tan α．(3)坡角越大，坡度越大，坡面越陡.知识点3 方位角、方向角方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．如图28－69所示，∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角．方向角；从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角．如图28－70所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方向角．如图28－69所示，目标方向OA表示的方位角为50°；目标方向OB表示的方位角为110°；目标方向OC表示的方位角为250°．如图28－70所示，目标方向OA表示的方向角为北偏东35°；目标方向OB表示的方向角为南偏东75°；目标方向OC表示的方向角为南偏西45°，也称西南方向；目标方向OD表示的方向角为北偏西40°．拓展解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解．规律方法小结在学习本节内容时，要注意运用转化思想将所求的线段转化到直角三角形中，利用三角函数建立已知线段与未知线段的联系．另外，在测量某参照物的仰角、俯角或方向角的度数时，对在两个不同位置观测到的度数要分类讨论，即有时要运用分类讨论思想来解决问题．课堂检测基础知识应用题1、如图28－71所示，某电信部门计划修建一条连接B，C两地的电缆，测量人员在山脚A测得B，C两地的仰角分别为30°，45°，在B地测得C地的仰角为60°，已知C地比A地高200m，则电缆BC至少需要 m(结果保留整数)2、如图28－72所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果保留小数点后两位)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进了10m，则他所在的位置比原来的位置升高了m．综合应用题4、如图28－74所示，河对岸有一座铁塔AB，在河边C，D处用测角仪器测得塔顶B的仰角分别为30°，60°，已知测角仪器的高为1．5米，CD＝20米，求铁塔的高．(结果保留小数点后一位)5、如图28－75所示，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度为1：2(AR：BR)，现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长为50米的大坝，需要多少立方米土石料?6、如图28－76所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°方向上，已知以小岛C为中心，周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的危险区，则这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能?7、某种吊车的车身高EF＝2m，吊车臂AB＝24m，现要把如图28－77所示的圆柱形装饰物吊到14 m高的屋顶上安装．吊车在起吊的过程中，圆柱形装饰物始终保持水平，如图28－78所示，若吊车臂与水平方向的夹角为59°，则能否吊装成功?(sin 59°≈0.8572，cos 59°≈0.5150，tan 59°≈1.6643)8、如图28－80所示，在一个高为10m的建筑物顶部c处测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°．(1)求建筑物与旗杆的水平距离BD；(结果可保留根号)(2)计算旗杆的高度．(结果保留小数点后一位，供选用的数据：sin 20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，tan 20°≈0.36403 1.732)9、如图28－81所示，两个建筑物的水平距离BC为27米，从点A测得点D的俯角α＝30°，测得点C的俯角β＝60°，求AB和CD两个建筑物的高．10、如图28－82所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝1，D是AB边上的一点，且DE⊥BC，垂足为E，ED的延长线交CA的延长线于F，则当点D在AB边上的何处时，△ADF 与△BDE的面积之和最小?并求出最小值．探索与创新题11、如图28－83(1)所示，一个长为4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的夹角α为60°．(1)求AO与BO的长；(2)若梯子的顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图28－83(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD＝2：3，求梯子的顶端A沿NO下滑了多少米；②如图28－83(3)所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．12、如图28－84(1)所示，在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，图中虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ越小，楼梯的安全程度越高，但占地面积较大．如图28－84(2)所示，设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4 m,θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(结果保留小数点后两位)13、如图28－85所示，在小山的东侧A处有一热气球，它以每分钟28米的速度沿着与铅直方向的夹角为30°的方向飞行，半小时后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正西方向有一着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的俯角是15°，求热气球的升空点A与着火点B的距离．(结果保留根号，参考数据：sin1562-cos1562+，tan15°＝2314、如图28－86所示的是某立式家具(角书橱)的横断面，请你设计一个方案(角书橱高2米，房间高2.6米，所以不必从高度方面考虑设计方案)，按此方案可使该家具通过如图28－87所示的长廊搬入房间，在图中把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由．(注：搬迁过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁)15、某学校为了改善教职工的居住条件，准备在教学楼(正楼)的正南方建筑一栋住宅楼(正楼)，要求教学楼与住宅楼等高，且均为15.6 m．已知该地区冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为30°，教学楼与住宅楼相距19.2 m，如图28－90所示．(1)冬至正午时分住宅楼的影子落在教学楼上有多高?(结果保留小数点后一位)(2)要使冬至正午时分的太阳能够照到教学楼的墙角，则两楼间的距离至少应为多少?(结果保留小数点后一位)16、飞机在高空中的A处测得地面C的俯角为45°，水平飞行2 km到达B处，再测得其俯角为30°，求飞机飞行的高度．(3 1.73)体验中考腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图，28－96(1)所示)，为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°(如图28－96(2)所示)．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据：3≈1.73)学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析过点C作CD⊥AD于D，过点B分别作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，由题意可知CD＝200 m．在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝200 m，设DE＝x m，由图可知BF＝DE＝x m．在Rt△CBF中，tan∠CBF＝CFBF，∴CF＝BF·tan 603．在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BEAE，AE＝AD－DE＝200－x，∴BE＝AE·tan 303(200－x)，∴DF＝BE＝3(200－x)．由CF＋FD＝CD33(200－x)＝200，∴x＝31)．在Rt△CBF 中，cos 60°＝BFBC，∴BC＝)10011cos602BF =︒＝1)，即BC ＝1)≈146．故埴146．【解题策略】 解此类问题时，应弄清题中的仰角、俯角的定义，把握题意画出正确的几何图形，再将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．2、分析 在Rt △APC 中，由cos ∠APC ＝PCPA ，得PC ＝PA ·cos ∠APC ，在Rt △PBC 中，由cos ∠CPB ＝PC PB，得PB ＝cos PCCPB ∠，从而求出PB ．解：由已知可得AB ⊥PC ，∠APC ＝90°－65°＝25°，∠BPC ＝90°－34°＝56°，且PA ＝80海里．在Rt △APC 中，∵cos ∠APC ＝PCPA，∴PC ＝PA ·cos ∠APC ＝80 cos 25°．在Rt ∠BPC 中，∵cos ∠BPC ＝PCBP ，∴BP ＝cos PC BPC ∠＝80cos25cos56︒︒≈800.90630.5592⨯≈129.66(海里)，因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向的B 处时，它距离灯塔P 大约129．66海里．【解题策略】 解答本题的关键是抓住实际问题的本质，并将实际问题转化为数学问题，通过本题的解答，培养运用所学知识解决实际问题的能力．3、分析 如图28－73所示，由坡度的定义可知i ＝tan α＝BC AC ＝34，设BC ＝3 k ，则AC＝4 k ，由勾股定理可知AB5k ．∵AB ＝10，∴5k ＝10，即k ＝2，∴BC ＝3×2＝6(m)，即他所在的位置比原来的位置升高了6 m ．故填6．【解题策略】 将坡度看成铅直高度与水平宽度的份数比，利用勾股定理求出斜边的份数，从而求出每份的数据，此题还可以由BC AC＝34和BC 2＋AC 2＝AB 2＝100构造方程组来求解． 4、分析 塔高等于BG ＋AG ，AG 是1．5米，关键是求BG ，设BG ＝x ，用x 表示EG ，FG ，列出关于x 的方程来求解． 解：设BG ＝x ，在Rt △F BG 中，∠BG F ＝90°，∠BFG ＝60°， ∵tan ∠BFG ＝BGFG ，∴FG＝tan tan 60BG x BFG =︒∠x ，在Rt △BEG 中，∠BEG ＝30°，∵tan ∠BEG ＝BGEG， ∴EG＝tan tan30BG x BEG ==︒∠，∵EG －FG ＝EF ，EF ＝CD ＝20，x＝20，∴x＝∴AB＝AG＋BG＝1．5＋18.8(米)．答:铁塔的高约18．8米．【解题策略】解决此类含有两个直角三角形的问题耐，应设在两个直角三角形中起桥梁作用的线段为x，其他的边用x表示，列出方程，从而求得x，此法在解题中经常用到，应注意掌握．5、分析欲求加固大坝所需的土石料，已知坝长为50米，关键是求加高后的等腰梯形面积与原来的等腰梯形面积之差．解：过点E作EH⊥BC于H，∵梯形EPCF为等腰梯形，∴PC＝2PH＋EF．∵梯形ABCD为等腰梯形，∴BC＝2BR＋AD．∵斜坡EP，AB的坡度都为1：2，∴12EHPH=，12ARBR=．∵AR＝10，∴EH＝10＋2＝12，∴PH＝24，BR＝20，∴PC＝2PH＋EF＝2×24＋6＝54，BC＝2BR＋AD＝2×20＋6＝46，∴S梯形EPCF＝12(EF＋PC)·EH＝12(6＋54)×12＝360，S梯形ABCD＝12(AD＋BC)·AR＝12(6＋46)×10＝260，∴V＝50(S梯形E PCF－S梯形ABCD)＝50×(360－260)＝5000(立方米)．答：需要5000立方米土石料．【解题策略】 (1)有关大坝加固的问题在近几年的中考中均有出现，这些题往往图形较复杂，计算步骤较多，有一定的难度，且与实际生活关系密切，因此是中考的热点题型之一，要熟练掌握．(2)建立数学模型，找出变量(如坝高增加2米)和不变量(如斜坡的坡度，四边形的形状仍为等腰梯形)是解决此类问题的关键．6、分析过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，此时CD在Rt△BCD和Rt△ACD中，利用AB＝AD－BD列方程求解．解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，在Rt△BDC中，设CD＝x，则BD＝CD·tan 30x，在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝CDAD，∴AD＝tan tan30CD xCAD==︒∠．又∵AD－BD＝AB，AB=30×4060＝20，∴AD－BD＝20x＝20，∴x＝∵10，∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，不会进入危险区．7、解：过点B作BK⊥AH，垂足为K，如图28－79所示．在Rt △ADC 中，DC ＝3m ，∠ADC ＝59°，∵tan ∠ADC ＝AC DC， ∴AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝3×tan 59°≈3×1.6643＝4.9929(m)．在Rt △ABK 中，AB ＝24m ，∠ABK ＝59°，∵sin ∠ABK ＝AK AB， ∴AK ＝AB ·sin ∠ABK ＝24×sin 59°≈24×0.8572＝20.5728(m)．∴G H ＝(AK ＋KH )－(AC ＋OG )≈(20.5728＋2)－(4.9929＋3)＝14.5799＞14，∴能吊装成功．【解题策略】 本题是一道实际应用问题，应转化为数学问题来解决，即利用直角三角形的知识来求解．8、分析 (1)在Rt △BCD 中，由∠CDB ＝90°，∠CBD ＝60°，CD ＝10 m ，可求得建筑物与旗杆的水平距离．(2)由图可知，求旗杆AB 的高，可以过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB 可化为AE ＋EB ，其中EB ＝CD 是已知的，在Rt △AEC 中可以求出AE 的长，从而可求出旗杆的高． 解法1：(1)在Rt △CBD 中，由题意可知∠CBD ＝60°，CD ＝10m ，tan ∠CBD ＝CD BD，∴BD ＝1010tan tan 60CD CBD ===︒∠．答：建筑物与旗杆的水平距离BD m ． 解法2：(1)在Rt △CBD 中，∠BCD ＝90°－∠CBD ＝30°，CD ＝10 m ，则BD ＝12BC ，设BD ＝x ,则BC ＝2x ，由勾股定理得(2x )2＝x 2＋102，∴x答：建筑物与旗杆的水平距离BD m. 解：(2)过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．在Rt △ACE 中，∠ACE ＝20°，CE ＝BD ， ∵tan ∠ACE ＝AE CE，∴AE ＝CE ·tan ∠ACE ×tan 20°≈103×1．732×0.3640≈2.1， ∴AB ＝AE ＋BE ≈2.1＋10＝12．1(m)．答：旗杆的高度约为12．1 m ．【解题策略】 解此题时要注意结果按要求取近似值．9、分析 在Rt △ABC 中，∠BCA ＝β＝60°，BC ＝27，从而可求得AB ，而求CD 需要过点D 作DE ⊥AB 于E ，先求AE ，再求BE ，从而求出CD ．解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，则DE ＝BC ＝27，∠ADE ＝α＝30°，∠ACB ＝β＝60°，在Rt △ADE 中，tan 30°＝AE DE，∴AE ＝tan 30°·DE ×27＝在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC，∴AB ＝tan 60°·BC ＝∴BE ＝AB －AE ＝CD ＝，答：AB 和CD 两个建筑物的高分别为【解题策略】 在此类问题中，如果所给的图形不是直角三角形，就应作适当的辅助线，把原图形转化为直角三角形或矩形，作辅助线时要注意观察原图形，如果有特殊角要保留，以便于进一步的计算．10、分析 本题中涉及到最值问题，往往使我们联想到与函数有关，结合已知条件可以发现，所求面积之和由点D 的位置所决定，若设AD ＝x ，则面积之和可以看作是关于x 的函数，求出函数关系式，再求最小值．解：设所求面积之和为y ，AD ＝x ，则DF ，∴BD ＝1－x ，DE (1－x )， ∴y ＝S △ADF ＋S △DEB ＝12AD ·DF ·sin 45°＋12BD ·DE ·sin 45°＝12x ＋2＋12(1－x )·2(1－x )·2＝23143x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋16. 当x ＝13时，y 取得最小值16， ∴当AD ＝13AB 时，△ADF 与△BDE 的面积之和最小，最小值为16. 【解题策略】 本题把解直角三角形与函数知识结合起来，运用函数思想建立了面积与相关线段之间的函数关系，再利用函数的增减性求其最值．11、分析 (1)AO 与BO 的长可直接根据直角三角形中的边角关系求出；(2)①由AC ：BD＝2：3，不妨设AC ＝2x ，则BD ＝3x ，再根据OC 2＋OD 2＝CD 2这个等量关系列方程求得x ，从而确定AC 的长；②根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得到两个等腰三角形，从而求得∠P ′A ′O ＝45°，解Rt △A ′OB ′，求得A ′O 的长度，则AA ′可求．解：(1)在Rt △AOB 中，∠O ＝90°，α＝60°，∴∠OAB ＝30°．又∵AB ＝4，∴OB ＝12AB ＝12×4＝2．OA ＝AB ·sin 60°＝4＝ (2)①∵AC ：BD ＝2：3，∴设AC ＝2x ，则BD ＝3x ，在Rt △COD 中，OC ＝2x ，OD ＝2＋3x ，CD ＝4，根据勾股定理得OC 2＋OD 2＝CD 2，∴2x )2＋(2＋3x )2＝42，即13x 2＋(12－x ＝0．∵x ≠0，∴13x ＋12－0，∴x ，AC ＝2x ，即梯子的顶端A 沿NO 米． ②∵点P 和P ′分别是Rt △AOB 的斜边AB 与Rt △A ′OB ′的斜边A ′B ′的中点， ∴PA ＝PO ，P ′A ′＝P ′O ，∴∠PAO ＝∠AOP ，∠P ′A ′O ＝∠A ′OP ′，∴∠P ′A ′O －∠PAO ＝∠A ′OP ′－∠AOP ，即∠P ′A ′O －∠PAO ＝∠POP ′＝15°．∵∠PAO ＝30°，∴∠P ′A ′O ＝45°，∴A ′O ＝A ′B ′·cos 45°＝4＝，∴AA ′＝OA －A ′O ＝米．【解题策略】 解决此题的关键是要认识到梯子在移动的过程中长度不变．12、解：在Rt △ABC 中，BC ＝d 1，∠ACB ＝θ1，∵tan ∠ACB ＝CAB B ，∴AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝d 1tan θ1＝4tan40°． 在Rt △ABD 中，BD ＝d 2，∠ADB ＝θ2，∵tan ∠ADB ＝AB BD，∴AB ＝BD ·tan ∠ADB ＝d 2tan θ2＝d 2tan 36°， ∴4tan 40°＝d 2tan 36°，d 2＝4tan 40tan36︒︒≈40.83910.7265⨯≈4.62， ∴d 2－d 1≈4.62－4＝0.62．答：楼梯占用地板的长度增加了约0．62 m ．【解题策略】 本题是解直角三角形的实际应用问题，解此题的关键是将其转化为数学问题，本题求楼梯占用地板的长度增加了多少，实际上是求d 2－d 1，d 2的长可在Rt △ABD 中利用边角关系求得。
(人教版)九年级数学下册精品导学案：28.2.4 解直角三角形的应用(3)导学案
人教版九年级下册第28章《锐角三角函数》导学案[28.2.4 解直角三角形的应用（3）]1.正确理解方向角、坡度的概念. (重点)2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力. (难点)知识精讲解与方位角有关的问题以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示：典例解析【例1】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？【例2】如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？【针对练习】如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732,2≈1.414)．知识精讲解与坡度有关的问题1. 坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .2. 坡度 (或坡比)如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i，即 i = h : l .坡度通常写成 1∶m 的形式，如i=1∶6.3. 坡度与坡角的关系tan h i lα==即坡度等于坡角的正切值. 【针对练习】1. 斜坡的坡度是1:3，则坡角α =___度.2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. 典例解析【例3】如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A 出发， 沿山坡向上走了240m 到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m ）？【例4】水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD 的坡角α (精确到 1°)；(2)坝底AD 与斜坡AB 的长度 (精确到0.1m).【针对练习】如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B 点出发时，测得坡面AB 的坡度为1 : 2，走205米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．达标检测1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 ，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是 ( )A. 9mB. 6mC.2. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是 ( )A. 10分钟B. 15分钟C. 20分钟D. 25分钟3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于．4. 如图，海上B 、C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向，一艘船从A 岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛，此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°方向，则A 、B 两岛之间的距离为 ．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，tan43°=0.93)5. 如图有一个古镇建筑A ，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B 点处测得古建筑A 在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D 点，这时 测得古建筑A 在D 点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？6.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 (精确到0.1 1.732= 1.414= ).。
人教版数学九年级下册28.2解直角三角形及其应用教案
-理解并记忆特殊角度的正弦、余弦、正切值；
-在解决实际问题时，选择合适的三角函数进行计算。
举例：在解决实际问题时，学生可能会难以理解如何选择合适的三角函数。此时，教师应通过具体案例分析，如测量旗杆高度问题，引导学生观察直角三角形的形成，明确哪条边是斜边，哪两条边是对边和邻边，进而选择正确的三角函数进行计算。
人教版数学九年级下册28.2解直角三角形及其应用教案
一、教学内容
人教版数学九年级下册第28章第2节：解直角三角形及其应用。本节课主要内容包括：
1.了解直角三角形的定义及特点；
2.掌握直角三角形的六个元素：斜边、两个直角边、锐角、对边、邻边；
3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义，并能够运用这些函数解决实际问题；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
其次，实践活动环节，学生们的参与度很高，但我也注意到，部分小组在讨论问题时，讨论的方向有些偏离主题。这说明我在引导讨论时，还需要更明确地给出讨论的范围和方向，以免学生走弯路。
另外，小组讨论环节，我发现有些学生在讨论中不够积极，可能是因为他们对问题不够了解，或者是对自己的观点不够自信。针对这个问题，我打算在以后的课堂中，多鼓励学生表达自己的想法，同时加强个别辅导，帮助他们建立自信。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了解直角三角形及其应用，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。首先，学生在理解正弦、余弦、正切函数的定义时，普遍感到有些吃力。我在讲授这部分内容时，可能过于注重理论，没有足够的实际例证来说明。今后，我需要在这个环节加入更多的具体例子，让学生通过观察和操作，更直观地感受这些函数的含义。