空间曲线的切线与法平面切线方程切线的方向向量
空间曲线的切线与法平面
空间曲线的切线与法平面空间曲线是指在三维空间中具有一定形状的曲线。
研究空间曲线的性质和特点，尤其是切线和法平面的关系，对于数学、物理等学科具有重要意义。
本文将探讨空间曲线的切线与法平面的相关概念与定理，以及它们在实际问题中的应用。
一、切线的定义与性质在平面曲线研究中，我们已经熟悉了切线的概念和性质。
在空间曲线的研究中，切线的定义与平面曲线类似。
设有空间曲线C，过曲线上一点P，可以做出唯一的切线l。
与平面曲线不同的是，在空间中，切线除了具有方向性和位置性外，还具有一个关键的性质：与曲线C相切的平面即为切线平面。
根据切线的定义和性质，我们可以得出切线的一些重要结论。
首先，切线过曲线上一点与该点的切线向量相同。
其次，切线上的所有点都在切线平面上。
最后，两个相交曲线的切线平面是同一个平面。
这些结论为我们研究空间曲线的切线与法平面提供了基础。
二、曲线的切线方程与法平面定义对于给定的空间曲线C，经过曲线上任意一点P的切线方程是研究曲线性质和计算切线的重要工具。
在二维平面中，我们使用斜率来表示切线的方程。
在三维空间中，切线的方程由曲线上的一点和切线的方向向量确定。
设曲线C的参数方程为：x = x(t),y = y(t),z = z(t),其中t为参数。
过曲线上参数为t的点P，切线的方向向量为V，则切线的参数方程为：x = x(t) + V1t,y = y(t) + V2t,z = z(t) + V3t。
法平面与曲线的切线密切相关。
在平面几何中，我们已经熟悉了平面的法线向量与法线方程。
对于空间中的曲线C，过切点P的法线向量与切线V垂直，并与曲线C相切于切点P。
法平面的法线向量即为曲线C在切点P处的切线向量V。
三、切线与法平面的求解如何求解空间曲线的切线与法平面呢？一般情况下，我们先求出曲线C的参数方程，然后根据切线的特性，求出切线的参数方程。
接下来，找到切线上的一点，并求出该点的切线向量。
这样，我们就得到了切线的方程与切线的方向向量。
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 M的M方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
t ,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
•M
o
y
当M M ,即t 0时 ,
曲线在M处的切线方程
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面3x y 3z 16 0与椭球面 3 x2 y2 z 2 16相切，求 .
思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ),
依题意知切向量为
n {6 x0 , 2 y0 , 2z0 },
{3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3
y0 x0 , z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02
2 2
x0 x02
9 x0 9 x02
16 16
0 ,
0
2.
练习题
一、填空题:
1、曲线 x t , y 1 t , z t 2 再对应于t 1 的点
1 t
t
处切线方程为________________；
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为
4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线的切线方程和法平面方程是研究空间曲线上某一点处几何性质的重要工具。
本文将介绍关于求解空间曲线的切线方程和法平面方程的基本原理和方法。
1. 空间曲线的切线方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的切线方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。
在曲线上选取一点P(t0)，将参数t作适当的微小变化dt，得到曲线上另一点P(t0+dt)。
连接P(t0)和P(t0+dt)两点，得到曲线上的一小段切线段。
切向量是切线段的方向矢量，表示曲线在该点的切线的方向。
切向量的计算公式为：T = lim(dt→0) (P(t0+dt) - P(t0)) / dt（2）确定切线方向向量。
切线方向向量与切向量相同，方向与曲线的切线一致。
所以切线方向向量T即为切线向量。
（3）确定切线点坐标。
将参数t赋值为t0，得到切线过点P(t0)的坐标。
（4）写出切线方程。
以切线点为起点，以切线方向向量为方向，可得到切线方程的一般形式：(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c其中，(x0, y0, z0) 为切线点坐标，(a, b, c)为切线方向向量。
2. 空间曲线的法平面方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的法平面方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。
切向量T已在求解切线方程时计算过。
（2）确定法平面的法向量。
法向量是垂直于切线向量的向量，在二维平面上与切线方向向量一致，在三维空间中由切线向量和一般的纵轴方向共同确定。
可以通过叉乘计算得到法向量：N = T × (0, 0, 1) 或 N = (0, 0, 1) × T其中，×表示向量的叉乘运算。
空间曲线的切线与法平面公式
空间曲线的切线与法平面公式空间曲线的切线与法平面公式在几何学中，空间曲线是指在三维坐标系中的曲线。
对于空间曲线上的一点，我们可以通过求取该点处的切线和法平面来描述曲线的性质和特征。
切线是指与曲线相切且方向与曲线在该点处相切的线段。
切线的存在使得我们能够研究曲线在该点处的切向性质。
对于空间曲线上的点 P(x_0, y_0, z_0)，其切线可以通过求取曲线的导数来获得。
设曲线的参数方程为 x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)，其中 t是参数。
我们可以通过对 t 求导得到曲线在该点处的切向量 (dx/dt, dy/dt, dz/dt)。
切点 P 在曲线上的切线向量可以表示为 (dx/dt,dy/dt, dz/dt)|_(x=x_0, y=y_0, z=z_0)。
这个向量可以用来表示切线的方向和斜率。
根据切线向量的定义，我们可以计算出切线的一般方程。
设 M(x, y, z) 是曲线上的一点，并且切点 P(x_0, y_0, z_0) 在曲线上。
那么切线的一般方程可以表示为：(x - x_0) / (dx/dt) = (y - y_0) / (dy/dt) = (z - z_0) / (dz/dt)其中，dx/dt，dy/dt，dz/dt 分别表示曲线在 P 点处的方向导数。
这一表达式可以帮助我们找到曲线上任意一点处的切线。
除了切线，法平面是另一个重要的概念。
法平面是与切线垂直的平面，它与切线相交于曲线上的一点。
通过求取曲线的法向量，我们可以得到法平面的方程。
如果曲线是光滑且参数化的，我们可以通过求取切线向量的两个非零向量的叉乘来获得法向量。
设切线向量为 T，那么法向量可以表示为N = T × T'，其中 T' 是关于参数 t 的导数向量。
这样，法平面的一般方程可以表示为：N · (r - r_0) = 0其中 N 是法向量，r 是平面上一点的位置向量，r_0 是曲线上一点的位置向量。
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解 设 ( x0 , y0为,曲z0面)上的切点,
第六节 微分在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面方程 空间曲面的切平面和法线方程 小结 思考题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t)
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x x0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 条则曲线n，T它, 们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一， 故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在 同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
空间曲线与曲面的切线与法线
空间曲线与曲面的切线与法线空间曲线和曲面是三维几何中重要的概念，它们的性质和特点对于理解和应用空间几何学非常重要。
在本文中，我们将讨论空间曲线和曲面的切线与法线的概念及其相关性质。
一、空间曲线的切线与法线空间曲线是由一个或多个参数方程所确定的三维图形。
在空间曲线上的任意一点，都存在一个切线和一个法线。
切线是曲线在该点处的切线方向，而法线则垂直于切线，并指向该点的曲线内侧。
切线的表示方法有两种：一是使用曲线的参数方程，确定曲线上该点的切向量；二是使用曲线上两点之间的斜率来确定切线的方向。
如果曲线的参数方程为x=f(t), y=g(t), z=h(t)，则曲线上点P(t)处的切向量为：T = （dx/dt, dy/dt, dz/dt）其中dx/dt, dy/dt, dz/dt分别表示函数f(t), g(t), h(t)对t的导数。
这个向量就是曲线在点P(t)处的切线方向。
对于曲线上的任意一点P(x0, y0, z0)，可以通过计算切线的斜率来确定切线的方向。
假设P处的切线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b 为截距。
可以使用以下公式计算切线斜率：k = dy/dx = dy/dt / dx/dt其中dy/dt和dx/dt可以通过曲线的参数方程计算得到。
通过计算切线的斜率和已知的点P(x0, y0, z0)，我们可以得到曲线在该点处的切线方向。
同样地，可以根据切线斜率求得切线的截距。
除了切线，每个点处还有一个法线。
空间曲线的法线垂直于曲线平面。
法线的计算方法和切向量类似，可以使用曲线的参数方程计算得到。
二、空间曲面的切线与法线空间曲面是由一个或多个方程所确定的三维图形。
在空间曲面上的任意一点，都存在一个切平面和一个法线。
切平面与切线类似，是曲面在该点处的切平面，法线则垂直于切平面。
切平面的计算方法与切线类似。
首先，我们需要求得曲面方程的偏导数，然后使用这些偏导数构成一个向量。
以曲面方程F(x, y, z) = 0为例，该曲面上点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为：dF/dx(x0, y0, z0)(x-x0) + dF/dy(x0, y0, z0)(y-y0) + dF/dz(x0, y0, z0)(z-z0) = 0其中dF/dx, dF/dy, dF/dz为曲面方程F(x, y, z)对应的偏导数。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以由参数方程或者一般方程表示。
在某一点处，我们可以求出该点处的切线方程和法平面方程。
我们来看一下切线方程的求解。
对于空间曲线来说，切线方程可以通过求曲线在该点处的切向量来获得。
切向量是曲线上一点的切线方向的向量表示。
设空间曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别是曲线上一点的坐标，而f(t)、g(t)、h(t)是曲线的参数方程。
现在我们要求曲线在某一点P(t0)处的切向量。
我们可以求出曲线在点P(t0)处的切线方向的向量表示：r'(t0) = (f'(t0), g'(t0), h'(t0))其中，f'(t0)、g'(t0)、h'(t0)分别是f(t)、g(t)、h(t)对t求导后在t0处的值。
然后，我们可以得到曲线在点P(t0)处的切线方程的向量表示：r(t) = (x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))切线方程的向量表示为：r(t) = r(t0) + (t - t0) * r'(t0)切线方程的参数方程为：x = f(t0) + (t - t0) * f'(t0)y = g(t0) + (t - t0) * g'(t0)z = h(t0) + (t - t0) * h'(t0)这就是空间曲线在一点处的切线方程。
接下来，我们来看一下法平面方程的求解。
对于空间曲线来说，法平面是垂直于曲线切线的平面。
设曲线在点P(t0)处的切线方程为：x = f(t0) + (t - t0) * f'(t0)y = g(t0) + (t - t0) * g'(t0)z = h(t0) + (t - t0) * h'(t0)其中，f(t0)、g(t0)、h(t0)是曲线在点P(t0)处的坐标，f'(t0)、g'(t0)、h'(t0)是曲线在点P(t0)处的切向量。
空间曲线与曲面的切平面与法线方程
空间曲线与曲面的切平面与法线方程在几何学中，空间曲线与曲面的切平面与法线方程是研究曲线与曲面性质的重要工具。
通过求解切平面与法线方程，我们可以揭示曲线曲面的性质，进而应用于实际问题的求解与分析。
本文将介绍空间曲线与曲面的切平面与法线方程的推导过程和应用案例。
一、空间曲线的切平面与法线方程1. 切线与切平面在空间几何中，曲线上的点处，切线是通过该点且与曲线相切的直线。
曲线上每一点都有唯一的切线。
通过求解切线，我们可以得到曲线的切平面与法线方程。
2. 切线方程的求解设曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)对曲线参数方程求导，得到切线向量T：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)切线方程可表示为：(x - x0) / (dx/dt) = (y - y0) / (dy/dt) = (z - z0) / (dz/dt)3. 切平面方程的求解切平面是通过曲线上一点与切线方向垂直的平面。
设切平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为切平面的法向量。
由于切线向量T与切平面法向量垂直，所以有：A(dx/dt) + B(dy/dt) + C(dz/dt) = 0根据切线方程求解得到的切线方程，将其代入上述方程中，即可得到切平面方程。
4. 法线方程的求解法线是切平面上与切线垂直的直线。
切平面方程的法向量为(A, B, C)，法线方程可表示为：(x - x0) / A = (y - y0) / B = (z - z0) / C二、曲面的切平面与法线方程1. 切平面方程的求解曲面的切平面与曲面上一点处的切向量垂直。
设曲面方程为F(x, y, z) = 0，求曲面某点的切平面方程，需要求解该点处的梯度向量∇F。
切平面方程可表示为：∇F · (x - x0, y - y0, z - z0) = 02. 法线方程的求解法线是曲面上与切平面垂直的直线。
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1 1 yz
zx, yz
dz dx
1 1 yz
xy yz
11
11
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
切向量
T 1 ,
dy dx
,
M
dz dx
M
(1, 0, 1)
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0, 1)
切线方程
即
法平面方程 1 (x 1) 0 ( y 2) (1) (z 1) 0 即 xz0
复习: 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线
在点 (x0 , y0 )有
切线方程 y y0 f (x0 )(x x0 )
法线方程
y
y0
f
1 (x0 )
(x
x0 )
若平面光滑曲线方程为
故在点
有
因 d y Fx (x, y) dx Fy (x, y)
切线方程 Fx (x0 , y0 ) (x x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0
若在法平面上任取一点P( x, y, z),则向量( x x0, y y0, z z0)
与切向量((t0 ), (t0 ),(t0 ))垂直，即
((t0 ), (t0 ),(t0 )) ( x x0, y y0, z z0 ) 0
由向量的内积公式，可得法平面方程
( y y0 )
M
(F,G) (x , y)
(z z0) 0
M
法平面方程
(F , G) ( y, z)
M
(
x
x0
)
(F (z
, ,
G) x)
M ( y y0 )
也可表为
(F,G) (x , y)
M (z z0) 0
x x0 y y0 z z0
则在点 M (x0 , y0 , z0 )有
切线方程
x x0 y y0
(F , G)
(F , G)
z z0 (F , G)
( y, z) M (z , x) M (x , y) M
法平面方程
(F , G) ( y, z)
(
M
x
x0
)
(F (z
, ,
G) x)
法线方程 Fy (x0 , y0 )(x x0 ) Fx (x0 , y0 ) ( y y0 ) 0
一、空间曲线的切线与法平面
1. 曲线方程为参数方程的情况
T
M
设 t t0 对应 M ( x0 , y0 , z0 )
t t0 t 对应 M (x0 x, y0 y, z0 z)
Fx (M ) Fy (M ) Fz (M ) 0
Gx (M ) Gy (M ) Gz (M )
例2. 求曲线 x2 y2 z2 6, x y z 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解法1 令
则
(F ,G)
2y 2z
(y, z)
M
1
1
2）设曲面由方程 F( x, y, z) 0
(5)
给出. 它在点P0( x0 , y0, z0 )的某邻域内满足隐函数定理条件 （这里不妨设 Fz ( x0, y0, z0) 0），于是方程（5）在点 P0 附
近确定惟一连续可微的隐函数z = f ( x , y )使得 z0 f ( x0 , y0 )， 且
k
R 2
k
法平面方程
3 R( x R ) R ( y 3 R)+k(z k) 0
2
22 2
3
2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线
:
F(x, y, z) G(x, y, z)
0 0
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
(t0 )(x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程. 解: 由于
对应的切向量为
T ( 3 R, R , k) 22
,
故
切线方程
x
R 2
3 2
R
y
3 2
R
z
3
z
Fx ( x, y, z) , z
Fy( x,
y, z) .
x Fz ( x, y, z) y Fz ( x, y, z)
该曲面在P0 处有切平面与法线，它们的方程分别是
二、曲面的切平面与法线
1）曲面 z = f ( x , y ) 在点 P0( x0 , y0, z0 )处的切平面方程为 z z0 f x ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ).
法线方程是 ( x x0 ) ( y y0 ) z z0 . f x ( x0, y0 ) f y ( x0, y0 ) 1
割线 MM的方程:
切线方程
x x0
(t0 )
y
y0 (t0 )
z z0
(t0 )
切线的方向向量: T ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
称为曲线的切向量 .
T
M
一个平面通过空间曲线 C 上一点 M ( x0, y0, z0 ),且与 过点M的切线垂直，称此平面是空间曲线C在点M的 法平面
2(y z)
M
6;
M
切向量 T ( 6, 0, 6)
切线方程
即
x
y
z
2
2
0
0
法平面方程 6 (x 1) 0 ( y 2) 6 (z 1) 0
即
xz 0
解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
x z
y x
解得 dy dx
T 1, (x0 ), (x0 )
Hale Waihona Puke 1,
1 J
(F (z
, G) , x)
,
M
1 (F,G) J (x, y)
M
或
T
(F,G) ( y, z)
, (F,G) M (z , x)
M
, (F,G) (x, y)
M