第十四章 偏导数 全微分 第四节 空间曲线的切线和法平面
偏导数与全微分课件
dz
A
.
dz
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y fx z z 0 =AB
0 P y
dz=AB : 切面竖坐标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
y
当x , y 很小时
z dz
x
Q
3、可微性的几何意义与应用
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义：
z x
= tan
M
( x , y )
y
x
. .
同理，
z y
?
M
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y
M
Tx
偏导数与全微分 的几何意义
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) z lim x x M x 0
M
Tx
L
z= f (x,y)
固定 y =y0
得曲线
z f ( x, y) L： y y 0
z =AN ：曲面竖坐标的增量
用切面竖坐标的增量近似曲面竖坐标的增量 N
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B
过点M的切平面：
( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) fx ( z z0 ) 0 即：
z z0
得曲线
z f ( x , y) x x
空间曲线的切线与法平面公式
空间曲线的切线与法平面公式空间曲线的切线与法平面公式在几何学中，空间曲线是指在三维坐标系中的曲线。
对于空间曲线上的一点，我们可以通过求取该点处的切线和法平面来描述曲线的性质和特征。
切线是指与曲线相切且方向与曲线在该点处相切的线段。
切线的存在使得我们能够研究曲线在该点处的切向性质。
对于空间曲线上的点 P(x_0, y_0, z_0)，其切线可以通过求取曲线的导数来获得。
设曲线的参数方程为 x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)，其中 t是参数。
我们可以通过对 t 求导得到曲线在该点处的切向量 (dx/dt, dy/dt, dz/dt)。
切点 P 在曲线上的切线向量可以表示为 (dx/dt,dy/dt, dz/dt)|_(x=x_0, y=y_0, z=z_0)。
这个向量可以用来表示切线的方向和斜率。
根据切线向量的定义，我们可以计算出切线的一般方程。
设 M(x, y, z) 是曲线上的一点，并且切点 P(x_0, y_0, z_0) 在曲线上。
那么切线的一般方程可以表示为：(x - x_0) / (dx/dt) = (y - y_0) / (dy/dt) = (z - z_0) / (dz/dt)其中，dx/dt，dy/dt，dz/dt 分别表示曲线在 P 点处的方向导数。
这一表达式可以帮助我们找到曲线上任意一点处的切线。
除了切线，法平面是另一个重要的概念。
法平面是与切线垂直的平面，它与切线相交于曲线上的一点。
通过求取曲线的法向量，我们可以得到法平面的方程。
如果曲线是光滑且参数化的，我们可以通过求取切线向量的两个非零向量的叉乘来获得法向量。
设切线向量为 T，那么法向量可以表示为N = T × T'，其中 T' 是关于参数 t 的导数向量。
这样，法平面的一般方程可以表示为：N · (r - r_0) = 0其中 N 是法向量，r 是平面上一点的位置向量，r_0 是曲线上一点的位置向量。
向量微积分的偏导数和全微分
向量微积分的偏导数和全微分向量微积分是数学中的一个重要分支，它涉及到向量、曲线、曲面和多元函数等概念，广泛应用于自然科学、工程学和经济学等领域。
其中偏导数和全微分是向量微积分中最为基础和常见的概念，本文将从它们的定义、性质和应用等方面进行讨论。
一、偏导数偏导数是多元函数在某一点上沿着某一坐标轴的导数，它可以用来衡量函数在该点上在该自变量方向上的变化率。
偏导数的定义如下：$$\dfrac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x_1,\dots,x_i+h,\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)}{h} $$其中$f(x_1,\dots,x_i+h,\dots,x_n)$表示将第$i$个自变量增加$h$后的函数值，$f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)$表示原始函数值，$h$表示增量，$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示函数$f$在第$i$个自变量上的偏导数。
具有偏导数的函数称为可偏导函数。
偏导数具有以下性质：1. 对于可偏导函数$f(x_1,\dots,x_n)$，其各个偏导数存在时，它们的顺序可以交换，即偏导数的次序不影响结果。
2. 对于可偏导函数$f(x_1,\dots,x_n)$，如果它在某一点上各个偏导数都存在且连续，则它在该点上可微。
3. 对于可偏导函数$f(x_1,\dots,x_n)$，其全微分可以表示为：$$df = \dfrac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \dfrac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \dots + \dfrac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$其中$dx_1,dx_2,\dots,dx_n$表示自变量的增量。
《偏导数和全微分》PPT课件
.
(先求后代)
z x
(1,
2)
ln 5
2. 5
5
例4
设
z
arctan
(x 2) y y2 xy (x 2)2 y3
求
z y
|( 2, 0 )
.
解
z
|x2
z(2,
y)
arctan
y 2
,
z y
|( 2 , 0 )
dz(2, dy
y)
|y0
d
arctan dy
y 2
|y0
1
1
2 y
2
|y0
1. 2
程，显然，上述拉普拉斯方程是一个偏微分方程.
15
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构
层图：
按
PCB
键
A
开关 键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的 按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键 设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键 死键。 3.要考虑成型工艺，合 理计算累积公差，以防
x0
x
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 x 的偏导数，记作
z x
x0 , y0
,
f
x0,
x
y0 ,
zx 或 x0 , y0
fx x0, y0
若 lim f x0 , y0 y f x0 , y0 存在，则称此极限为
y 0
y
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 y 的偏导数，记作
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解 设 ( x0 , y0为,曲z0面)上的切点,
第六节 微分在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面方程 空间曲面的切平面和法线方程 小结 思考题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t)
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x x0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 条则曲线n，T它, 们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一， 故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在 同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
一,空间曲线的切线与法平面
基本情形
⎧ x = x ⎪ 对此类空间曲线Г可看成以x为参数的方程：⎨ y = ϕ ( x ) , ⎪z = ψ (x) ⎩ 故在 M ( x , y , z )处,
0 0 0
切向量：
T = (1,ϕ ( x0 ),ψ ′( x0 ) )
切线方程为
法平面方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = , ϕ ′( x 0 ) ψ ′ ( x 0 ) 1
T
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
n⊥T d 事实上,由 F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] ≡ 0 ⇒ F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] = 0 dt 即 Fx ⋅ ϕ ′( t0 ) + Fy ⋅ψ ′( t0 ) + Fz ⋅ ω ′( t0 ) = 0
dz x − y = , dx y − z
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⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量 T
( 1 , − 2 ,1 )
= (1, 0,−1),
所求切线方程为 x − 1 = y + 2 = z − 1 , −1 1 0 法平面方程为 ( x − 1) + 0 ⋅ ( y + 2) − ( z − 1) = 0,
【分析】 为隐式情形 【解】 令 F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3,
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4,
【自制】数学分析 重点概念整理 保研考研面试必备
数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。
定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。
基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。
定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。
2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。
(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。
定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。
定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。
定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。
由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。
实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。
《偏导数和全微分》课件
光学：描述光场、折射率场等物理量
量子力学：描述波函数、概率密度等物理量
相对论：描述时空弯曲、引力场等物理量
全微分在几何中的应用
计算曲面的切平面
计算曲面的法线
计算曲面的曲率
计算曲面的旋转曲面
全微分在物理中的应用
力学：计算力、力矩、能量等物理量
热力学：计算温度、压力、体积等物理量
电磁学：计算电场、磁场、电磁波等物理量
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全微分的几何意义
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全微分描述了函数在某点处的变化趋势
全微分是函数在某点处的线性近似
全微分是函数在某点处的切线斜率
全微分是函数在某点处的切线方程
全微分的物理意义
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全微分表示函数在某点处的变化率
全微分是函数在某点处所有偏导数的线性组合
全微分可以用来计算函数在某点处的变化量
全微分是微积分中的重要概念，用于解决实际问题
偏导数和全微分的应用
偏导数在几何中的应用
求曲线的切线斜率
求曲面的切平面参数方程
求曲面的切平面法线
求曲面的切平面方程
偏导数在物理中的应用
力学：描述力场、速度场、加速度场等物理量
热力学：描述温度场、压力场等物理量电磁学：描述电场、磁来自等物理量偏导数的物理意义
偏导数可以用于求解多元函数的极值和条件极值
偏导数是函数在某一点处沿某一方向的变化率
偏导数可以描述函数在某一点处的局部性质
偏导数可以用于求解多元函数的梯度和方向导数
全微分的概念
全微分的定义
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§14.4. 空间曲线的切线与法平面
D( F , G ) 0 ，设上述方程组在点 M 0 确定了一对函数 设 D( y , z ) M
0
一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线： F ( x, y, z ) 0 G( x , y , z ) 0
在上式各端的分母都除以 t t0
X x( t0 ) Y y( t 0 ) Z z(t0 ) x ( t ) x ( t 0 ) y( t ) y( t 0 ) z ( t ) z ( t 0 ) t t0 t t0 t t0
2009年7月26日 星期日 武夷学院数学与计算机系 2
X 1 0 Y Z Z 1 0
即 XZ 0
2009年7月26日 星期日
M0
和法平面方程
D( F , G ) D( F , G ) D( F , G ) ( X x0 ) (Y y0 ) ( Z z0 ) 0 D( y , z ) M D( z , x ) M D( x , y ) M
0 0 0
2009年7月26日 星期日
武夷学院数学与计算机系
7
2 2 2
x2 y2 z2 6 0 解：方程组转化为 x y z 0
方程组两端关于x求导, 得
dy dz 2x 2 y 2z 0 dx dx 1 dy dz 0 dx dx
2009年7月26日 星期日
dy z x dx ＝ y z dz x y dx y z
(切向量) x(t0 ),源自2009年7月26日 星期日
y(t0 ), z(t0 ) .
武夷学院数学与计算机系 3
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
曲线在点 M 0 的法平面就是过 M 0点且与该点 的切线垂直的平面，于是切线的(切向量)方向数就 是法平面的(法向量)法方向数，从而过 M 0 点的法 平面方程是
1
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点 M 0 和点 M ( x, y, z )的割线方程
X x( t 0 ) Y y( t 0 ) Z z( t0 ) x ( t ) x ( t 0 ) y( t ) y( t 0 ) z ( t ) z ( t 0 )
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
例1 求曲线 处的切线及法平面方程。
x t , y t 2 , z t 3 在点 (1, 2,1)
xt' 1 , yt' 2t , zt' 3t 2
解：
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
切线方向数为 T 1 , 2 , 3
x 1 y2 z 1 1 2 3
切线方程：
法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 2 )+3( z - 1 )=0 即：
2009年7月26日 星期日
x+2y+3z= 8
武夷学院数学与计算机系 8
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
例2. 求曲线 x y z 6 , x y z 0 在 点 （ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。
x(t0 )( X x0 ) y(t0 )(Y y0 ) z(t0 )( Z z0 ) 0
2009年7月26日 星期日
武夷学院数学与计算机系
4
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
如果曲线的方程表示为
y y( x ), z z( x )
可以把它写成如下的以 x 为参数的参数方程
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
设空间曲线用参数方程表示为:
x x( t ),
y y(t ),
z z(t )
求曲线上过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的切线方程，这里
x0 x(t0 ),
y0 y(t0 ), z0 z(t0 )
2009年7月26日 星期日
武夷学院数学与计算机系
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
由于切线是割线的极限位置，在上式中令 t t0 取极限，就得到曲线在点 M 0 的切线方程：
X x ( t 0 ) Y y( t 0 ) Z z ( t 0 ) x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
由此可见，曲线在点 M 0 的切线的一组方向数是
y y( x ), z z( x )
这时容易把它化成刚才讨论过的情形： 由这两个方程可解出
dy D( F , G ) dx D( z , x )
D( F , G ) dz D( F , G ) , D( y, z ) dx D( x, y )
武夷学院数学与计算机系
D( F , G ) D( y, z )
dy ＝0 dx 1 1，－2， dz 1 dx 1,2,1
9
武夷学院数学与计算机系
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
所以过点 1, 2,1的切线方程为 X 1 Y 2 Z 1 1 0 1
所以过点 1, 2,1的法平面方程为
x x, y y( x ), z z( x )
于是可得曲线在点 M 0 的切线方程和法平面方程如下：
X x0 Y y( x0 ) Z z( x0 ) 1 y( x0 ) z( x0 )
( X x0 ) y( x0 )(Y y0 ) z( x0 )( Z z0 ) 0
6
2009年7月26日 星期日
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
从而可得曲线在点 M 0 的切线方程：
X x0 Y y0 Z z0 D( F , G ) D( F , G ) D( F , G ) D( y , z ) M D( z , x ) M D( x , y )
0 0