导数之一：导数求导与切线方程
高考数学导数讲解：函数单调性
模块一：切线方程知识点一：导数的几何意义。
导数的几何意义：导数值等于原函数在该点处的切线斜率。
知识点二：直线的点斜式方程。
直线的点斜式方程：直线过点),(00y x ，直线的斜率为k ⇒直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-。
题型一：已知切点的横坐标，求解切线方程。
模型：已知：函数)(x f 的解析式。
求解：函数)(x f 在0x x =处的切线方程。
解法设计：第一步：求切点的纵坐标。
把0x x =代入函数)(x f 得到切点的纵坐标⇒)(0x f 切点))(,(00x f x 。
第二步：求导函数。
根据函数)(x f 的解析式计算导函数)('x f 。
第三步：求切线斜率。
根据导数的几何意义得到：把0x x =代入导函数)('x f 得到切线斜率)('0x f 。
第四步：求切线方程。
根据直线的点斜式方程得到：切点))(,(00x f x ，切线斜率为)('0x f ⇒切线方程：))((')(000x x x f x f y -=-。
例题：2020年高考理科数学新课标Ⅰ卷第6题：函数342)(x x x f -=的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为（）A、12--=x y B、12+-=x y C、32-=x y D、12+=x y 本题解析：第一步：求切点的纵坐标。
把1=x 代入函数342)(x x x f -=得到1121)1(34-=⨯-=f ⇒切点)1,1(-。
第二步：求导函数。
342)(x x x f -=2364)('x x x f -=⇒。
第三步：求切线斜率。
根据导数的几何意义得到切线斜率：21614)1('23-=⨯-⨯=f 。
第四步：求切线方程。
根据直线的点斜式方程得到：切点)1,1(-，切线斜率为2-⇒切线方程：12221)1(2)1(+-=⇒+-=+⇒--=--x y x y x y 。
跟踪训练一：2019年高考数学新课标Ⅰ卷理科第19题文科第19题：曲线xe x x y )(32+=在)0,0(处的切线方程为。
导数的应用曲线的切线与法线
导数的应用曲线的切线与法线导数的应用：曲线的切线与法线在微积分学中，导数是一个十分重要的概念。
导数的计算和应用广泛应用于各个科学领域，特别是在物理学和工程学中。
其中一个应用就是研究曲线的切线和法线。
一. 切线的定义和计算我们首先来了解一下切线的概念。
在数学中，切线是指与给定曲线在某一点相切的直线。
为了计算曲线的切线，我们需要先计算该点的导数。
设曲线方程为y = f(x)，我们要求曲线上一点P(a, f(a))处的切线。
首先计算曲线在点P处的导数，即求得f'(a)。
然后，我们可以使用点斜式或者截距式来表示切线方程。
点斜式表示的切线方程为：y - f(a) = f'(a)(x - a)截距式表示的切线方程为：y = f'(a)x + (f(a) - af'(a))有了切线方程，我们可以计算曲线在该点处的切线了。
二. 法线的定义和计算接下来，我们来了解一下法线的概念。
在数学中，法线是切线的垂直线。
要计算曲线在某一点的法线，我们首先需要计算切线的斜率，然后求其相反数，即得到法线的斜率。
设曲线方程为y = f(x)，切线斜率为k。
则法线的斜率为-1/k。
然后，我们可以使用与切线相同的方法来表示法线的方程。
点斜式表示的法线方程为：y - f(a) = (-1/k)(x - a)截距式表示的法线方程为：y = (-1/k)x + (f(a) + a/k)有了法线方程，我们可以计算曲线在该点处的法线了。
三. 实例分析现在，我们通过一个实例来理解切线和法线的应用。
假设有以下函数：y = 2x^2 - 3x + 1。
我们要求该函数在x = 2处的切线和法线。
首先，计算曲线在x = 2处的导数。
函数的导数为f'(x) = 4x - 3。
将x = 2代入导数公式，得到f'(2) = 5。
接下来，使用点斜式表示切线方程和法线方程。
切线方程为：y -f(2) = f'(2)(x - 2)，化简得到y = 5x - 5。
导数的应用曲线的切线和法线问题
导数的应用曲线的切线和法线问题在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
除了用来求函数的极值和变化趋势外，导数还可以应用于曲线的切线和法线问题。
本文将探讨导数在曲线切线和法线问题上的应用。
一、曲线的切线问题对于给定的曲线，我们可以通过求取该曲线上某一点的导数来确定该点处的切线。
具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。
2. 求取该点的导数dy/dx。
3. 使用点斜式或一般式求取与该点所在切线平行的直线方程。
4. 得到切线的方程。
举例来说，如果我们有一个曲线的方程为y = 2x² + 3x - 4，那么可以依次进行如下步骤来求取曲线在某一点上的切线：1. 确定点P(x₀, y₀)的坐标，假设为P(2, 7)。
2. 求取该点的导数dy/dx，对于曲线y = 2x² + 3x - 4，求导得到dy/dx = 4x + 3。
3. 使用点斜式求取切线的方程，将点P的坐标和导数dy/dx的值代入点斜式方程y - y₀ = m(x - x₀)，得到y - 7 = (4(2) + 3)(x - 2)。
4. 化简方程，得到切线的方程y = 8x - 9。
通过这个例子可以看出，求取曲线切线的关键是求取点的导数，然后利用切线方程将导数与点的坐标结合，得到切线的方程。
二、曲线的法线问题曲线的法线是与该曲线在某一点处相切，垂直于切线的直线。
求取曲线的法线同样可以通过求取该点的导数来完成。
具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。
2. 求取该点的导数dy/dx，并计算其倒数k。
3. 求取法线的斜率nk = -1/k。
4. 使用点斜式求取法线方程。
5. 得到法线的方程。
和曲线的切线问题类似，求取曲线的法线也需要先求取点的导数，然后计算导数的倒数作为法线的斜率。
三、综合案例考虑一个具体的综合案例，假设我们有一个函数f(x) = x³ + 2x²- 3x + 1，我们希望求取该函数在 x = 2 处的切线和法线。
高中数学公式大全导数与曲线的切线与法线的计算公式
高中数学公式大全导数与曲线的切线与法线的计算公式导数与曲线的切线与法线是高中数学中的重要内容，它们在解析几何、微积分等领域有着广泛的应用。
本文将为大家介绍导数的基本概念，并给出计算曲线切线与法线的相关公式。
一、导数的定义与计算导数是函数的重要属性之一，它可以描述函数在某一点附近的变化率。
一个函数f(x)在某一点x=a处的导数，记作f'(a)，可以通过以下定义和计算公式得到。
定义：设函数y=f(x)在点x=a处有定义，则函数在x=a处的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim（h→0）[f(a+h) - f(a)] / h这个公式的意义是，随着自变量x在点a处逐渐向左右两边靠拢，取极限可以得到函数在该点的导数。
对于常见的初等函数，我们可以通过一些基本的导数公式来计算导数。
下面是一些常用的导数计算公式：1. 常数函数的导数：f(x) = c, 其中c为常数，导数为f'(x) = 02. 幂函数的导数：f(x) = x^n, 其中n为正整数，导数为f'(x) = nx^(n-1)3. 指数函数的导数：f(x) = e^x, 导数为f'(x) = e^x4. 对数函数的导数：f(x) = loga(x), 导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a)), 其中a为底数以上只是一些常见函数的导数计算公式，复杂函数的导数计算可能需要利用多项式运算、链式法则、求导法则等方法。
我们在后续的内容中将会介绍一些更加复杂的导数计算方法。
二、曲线的切线公式曲线的切线是指曲线上一点处与曲线切于一点的直线。
切线的斜率等于曲线在该点处的导数，这个性质可以用以下公式表示：设曲线方程为y=f(x)，P(x0, y0)是曲线上一点，则曲线在点P处的切线方程为：y - y0 = f'(x0)(x - x0)其中f'(x0)表示曲线在点P处的导数。
这个公式的意义是，如果我们知道了曲线上一点的坐标以及该点处的导数值，就可以直接写出曲线在该点处的切线方程。
导数求切线方程的步骤
导数求切线方程的步骤求切线方程的步骤如下：第一步：求导数首先，我们需要求出给定函数的导数。
导数表示了函数在给定点上的斜率，也就是该点函数曲线的切线斜率。
求导数的过程根据函数的不同而有所差异，下面将以几种不同类型的函数为例进行解释。
1.1.常数函数:常数函数的导数为零，因为它的斜率在任何点都是零。
例如，函数f(x)=3的导数为f'(x)=0。
1.2.幂函数:幂函数的导数可以使用幂函数规则求导得到。
幂函数的一般形式是f(x)=x^n，其中n是一个实数。
根据幂函数的规则，导数f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，对于函数f(x)=x^2，它的导数为f'(x)=2*x^(2-1)=2x。
1.3.指数函数:指数函数的导数可以使用指数函数规则求导得到。
指数函数的一般形式是f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1、根据指数函数的规则，导数f'(x) = ln(a)*a^x。
例如，对于函数f(x) = e^x，它的导数为f'(x) = ln(e)*e^x = e^x。
1.4.对数函数:对数函数的导数可以使用对数函数规则求导得到。
对数函数的一般形式是f(x) = loga(x)，其中a是一个正实数且a≠1、根据对数函数的规则，导数f'(x) = 1/(x*ln(a))。
例如，对于函数f(x) = log3(x)，它的导数为f'(x) = 1/(x*ln(3))。
第二步：确定切点切线是曲线上其中一点上的切线，因此我们需要确定曲线上的切点。
根据题目给出的条件，我们可以确定切点的横纵坐标。
第三步：计算斜率在给定点上，切线的斜率等于该点的导数值。
所以我们将给定点的横坐标代入到导数函数中，得到该点的导数值。
第四步：确定切线方程切线方程的一般形式是y = mx + b，其中m为切线的斜率，b为切线在横轴上的截距。
在给定点上，我们已经确定了斜率m，并且通过给定点的坐标，可以将x和y代入切线方程。
求导证明抛物线切线方程
求导证明抛物线切线方程抛物线是我们学习数学时常见的曲线之一，它具有许多独特的性质和特点。
在本文中，我们将重点讨论抛物线的切线方程，并给出详细的导数证明，通过这个证明，我们可以进一步理解抛物线的形状和变化。
首先，让我们回顾一下抛物线的定义。
抛物线是一个平面曲线，其形状类似于一个弧形，由以下方程表示：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。
抛物线可以向上开口（a>0）或向下开口（a<0），它们在x轴上有一个特定的顶点。
现在我们来研究抛物线上的一个点P，它的坐标是(x,y)。
我们想要找到通过点P的一条直线，即切线。
切线的特点是与抛物线相切，且在切点的斜率等于曲线在该点的导数。
为了推导抛物线的切线方程，我们需要先求抛物线的导数。
对于抛物线的一般方程y = ax^2 + bx + c，我们可以使用导数定义来计算其导数。
根据导数的定义，导数是函数变化率的极限，表示为dy/dx。
在这种情况下，我们需要计算dy/dx。
使用求导法则，我们可以得出抛物线的导数。
首先，我们对方程中的每一项进行单独求导。
对于常数c，它的导数为0。
对于线性项bx，它的导数为b。
最后，对于二次项ax^2，我们将使用幂函数的导数公式，即将指数降低一个单位，并乘上原指数的系数。
因此，ax^2的导数为2ax。
将这些导数计算结果组合起来，我们得到了抛物线方程的导数。
即dy/dx = 2ax + b。
这个导数的值表示了曲线在任意一点上的斜率。
现在，我们来研究抛物线上的一个点P，并找到通过该点的切线方程。
假设P的坐标为(x,y)。
切线的斜率等于曲线方程的导数值，即切线的斜率为2ax + b。
因此，切线方程的斜率-intercept形式可以表示为y = (2ax + b)x + c'，其中c'是切线的截距。
为了确定c'的值，我们将切线通过点P并解出c'。
将点P的坐标(x,y)代入切线方程，我们得到y = (2ax + b)x + c'。
利用导数求曲线的切线和公切线知识讲解
利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2X12+1.(1) 求在点P( 1,0 )处的切线l i的方程；⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【解答】解：(I)由 f (x) =2x3- 3x 得f'( x) =6x2- 3,令f，( x) =0 得, x= - ■-或x= ■-,2 2•- f (-2) =- 10, f (-二)=",f ( = ) =- ", f (1) =- 1,••• f (x)在区间［-2, 1］上的最大值为二.(n)设过点P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(X0, y°),则y o=2・” -3x。
，且切线斜率为k=6 ：匚-3,•••切线方程为y-y o= (6：,二-3)(x -x o),••• t - y°= (6 ：,二-3)( 1 - x o),即卩4- 6 . F +t+3=0，设g (x) =4x? - 6x?+t+3 , 则“过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”，等价于“ g (x)有3 个不同的零点”.T g'(x) =12x2- 12x=12x (x- 1),•g (0) =t+3是g (x)的极大值，g (1) =t+1是g (x)的极小值.•g (0)> 0 且g (1)v 0,即-3v t v- 1,•当过点过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x)相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.【作业1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3- 3x+1, g (x) =kx+1 - Inx .(fM y<1(1)设函数hW二’、，当k v 0时，讨论h (x)零点的个数；g lx)』x^l(2)若过点P (a,- 4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.三. 切线与切线之间的关系【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, c€ R,且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+/HW：c 的取值范围是.解：f '(x) = a + b cos x—c sin x = a +c' cos(x + ^?) = a +cos(x + p)令H + e = 则码 + 0 =环巧+e = g. f\x) ~+dtj题意’存在x r x2E R使得厂(xj厂(兀)= T* 0p(a+cos^X fl + cos^)=_l»即关于。
方法技巧专题-导数与切线方程问题
的图象上 总存在一点，使得在该点
21．曲线 y ln x ax 在 x 2 处的切线与直线 ax y 1 0 平行，则实数 a _______．
22．若函数 f (x) a1nx, (a R) 与函数 g(x) x ，在公共点处有共同的切线，则 实数 a 的值为______．
23．已知函数 f ( x) ax2 1的图像在点 A(1, f (1)) 处的切线与直线 x 8 y 0 垂直，若数列{ f 1(n)}的前 n 项和为 Sn ，
1.例题
【例 1】曲线 f x e4x x 2 在点 0, f 0 处的切线方程是（ ）
A． 3x y 1 0 B． 3x y 1 0 C． 3x y 1 0 D． 3x y 1 0
【例 2】函数 f (x) 2x ln x 的图象在 x 1 处的切线方程为（ ）
A． x y 1 0 B． x y 1 0 C． 2x y 1 0 D． 2x y 1 0
A． 30
B． 45
C． 60
D．135
4．已知定义在 R 上的奇函数 f（x），当 x 0 时， （f x） x3 2x m ，则曲线 y （f x）在点 P（2，f（2））处的切线斜率
为（ ）
A．10
B．-10
C．4
D．与 m 的取值有关
5．过抛物线 x2 2 py p 0 上两点 A, B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点 P 1， 2 ，则直线 AB 的方程
A．0
B．1
C．2
2. 曲线 f x ln x x2 x 1在点 1,1 处的切线方程是（
D．3 ）
A． 2x y 1 0 B． 2x y 1 0 C． 2x y 1 0 D． 2x y 1 0
导数第一讲：求导、切线、单调性、极值、最值(解析版)
导数第一讲：求导、切线、单调性、极值、最值例1．（1）求曲线21xy x =-，在点()1,1处的切线方程；（2）求过点()2,3的抛物线2y x =的切线方程．解:（1）()2121y x '=--，可知所求切线的斜率1k =-故所求切线的方程为()11y x -=--，即20x y +-=．（2）设切点坐标为()200,x x ，2y x '=，可知所求切线的斜率022k x =∵切线过点()2,3和点()200,x x ，∴2000322x x x -=-，解得01x =或03x =，∴切线的斜率为2或6故所求切线的方程为()322y x -=-或()362y x -=-，即210x y --=或690x y --=．练习1．已知函数()3233f x x x bx c =-++在=0x 处取得极大值1.(1)求函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程；(2)求过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线方程.解:（1）()3233f x x x bx c =-++，则()2363f x x x b '=-+，由题意可得()()03001f b f c ⎧'==⎪⎨==⎪⎩，解得01b c =⎧⎨=⎩，即()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，令()0f x ¢>，解得2x >或0x <，故()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，则()f x 在=0x 处取得极大值1，即0,1b c ==符合题意.∵()()13,19f f '-=--=，则切点坐标为()1,3--，切线斜率9k =，∴函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程为()391y x +=+，即960x y -+=.（2）由（1）可得：()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，设切点坐标为()32000,31x x x -+，切线斜率20036k x x =-，则切线方程为()()()322000003136y x x x x x x --+=--，∵切线过点()1,1-，则()()()32200000131361x x x x x ---+=--，整理得()3010x -=，即01x =，∴切线方程为()131y x +=--，即320x y +-=.例2．函数32()(1)31f x x a x x =+--+．(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若过原点O 可作三条直线与()f x 的图像相切，求实数a 的取值范围．解:（1）当1a =时，3()31,R f x x x x =-+∈．由2()33f x x '=-，令()0f x '>，解得1x <-或1x >；令()0f x '<，解得11x -<<．所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-．（2）易知原点O 不在函数()f x 的图像上，设切点为(,())(0)t f t t ≠．求导得2()32(1)3f x x a x =+--'，则()()f t f t t ='，即322(1)3132(1)3t a t t t a t t +--+=+--，整理得322(1)10t a t +--=，所以2112a t t -=-，令21()2(0)g t t t t =-≠，则32()2g t t =+'，令()0g t '>，解得0t >或1t ≤-；令()0g t '<，解得10t -<<，所以函数()g t 在区间(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上递增，故当0t <时，max ()(1)3g t g =-=-；当t →-∞时，()g t →-∞；0t →时，()g t →-∞，当0t >时，()g t 的取值范围为R ．而过原点O 可作三条直线与()f x 的图像相切，则()()f t f t t='有三个不相等的实数根，也就是直线1y a =-与函数()y g t =的图象有三个交点，则有13a -<-，即4a >．练习2．已知函数()f x =e x ，()ln g x x =．()f x 的图象与()g x 的图象是否存在公切线？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论．解:曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与g （x ）＝lnx ，f （x ）＝ex 的切点分别为（m ，lnm ），（n ，en ），m ≠n ，∵g ′（x ）1x =，f ′（x ）＝ex ，可得11nne mlnm e m n m ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，化简得（m ﹣1）lnm ＝m +1，当m ＝1时，（m ﹣1）lnm ＝m +1不成立；当m ≠1时，（m ﹣1）lnm ＝m +1化为lnm 11m m +=-，由lnx 11x x +==-121x +-，即lnx ﹣121x =-．分别作出y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象，由图象可知：y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象有两个交点，可得方程lnm 11m m +=-有两个实根，则曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2条．例3．已知函数()()()21ln 1R 2f x x ax a x a =+-+∈．(1)当2a =时，求函数()y f x =的极值；(2)求当0a >时，函数()y f x =在区间[1,e]上的最小值()Q a .解:（1）当2a =时，函数2()ln 3(0)f x x x x x =+->．1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=，令()0f x '=，得1x =或12x =,当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)2上单调递增，当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，()f x 在1(,1)2上单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增，则()f x 在12x =处取得极大值，在1x =处取得极小值．极大值为15()ln 224f =--，极小值为(1)2f =-．（2）函数()f x 的定义域是[1,e]，1()(1)1()(1)(0)a x x a f x ax a a x x--'=+-+=>．当0a >时，令()0f x '=有两个解，1x =或1x a=．当10ea <≤，即1e a ≥时，()0f x '≤，()f x ∴在[1,e]上单调递减，()f x ∴在[1,e]上的最小值是(e)f 211e (1)e 2a a =+-+，当11ea <<，即11e a <<时，当1(1,)x a ∈时，()0f x '<，()f x ∴在1(1,)a上单调递减，当1(,e)x a ∈时，()0f x '>，()f x ∴在1(,e)a 上单调递增，()f x ∴在[1,e]上的最小值是11()ln 12f a a a=---，当1a ≥，即101a<≤时，[1,e]x ∈，()0f x '≥，()f x ∴在[1,e]上单调递增，()f x ∴在[1,e]上的最小值是(1)f 112a =--．综上，2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩．练习3．已知()()2,R f x x x c c =-∈.(1)若()f x 在2x =处有极大值，求c 的值；(2)若03c <<，求()f x 在区间[1]2，上的最小值.解:（1）由题知，()()()3f x x c x c =--'，由题意，()()()2260f c c '=--=，得2c =或6c =，当2c =时，在()2,,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，在2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '<，此时，()f x 在2x =处有极小值，不符题意；当6c =时，在()(),2,6,-∞+∞上()0f x ¢>，在()2,6上()0f x '<，此时，()f x 在2x =处有极大值，符合题意.综上，6c =.（2）令()0f x '=，得3cx =或x c =，由03c <<，则在(),,,3c c ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，在,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，即()f x 在(),,,3c c ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.由题意，13c <，当23c ≤<时，()f x 在区间[]1,2上单调递减，则()2min ()22(2)f x f c ==-，当12c <<时，()f x 在区间()1,c 上单调递减，在(),2c 上单调递增，则()min ()0f x f c ==，当01c <≤时，()f x 在区间[]1,2上单调递增，则()2min ()1(1)f x f c ==-，综上，()()()2min21,010,1222,23c c f x c c c ⎧-<≤⎪⎪=<<⎨⎪-≤<⎪⎩.例4．已知函数()()22ln f x x x a x a =-+∈R ．(1)若()f x 的单调递减区间为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的值；(2)若0x 是()f x 的极大值点，且()2002f x x a <-恒成立，求a 的取值范围．解:（1）由题可知()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a x x af x x x x-+'=-+=．()f x 的单调递减区间为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦等价于()0f x '≤的解集为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2220x x a -+≤的解集为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以方程2220x x a -+=的两个根分别为14，34，由根与系数的关系可得13244a =⨯，所以38a =．（2）若0x 是()f x 的极大值点，定义域为()0+∞，，则()0f x '=至少有一正根，即方程2220x x a -+=至少有一正根．若0a =，则方程2220x x a -+=的正根为1x =，因为当01x <<时()0f x '<，当1x >时()0f x ¢>，所以此时()f x 只有极小值点1，不符合题意．若0<a ，则方程2220x x a -+=有一正根和一负根，设为α，β，且0α>，0β<，则()()2222x x a x x αβ-+=--．因为当0x α<<时，()0f x '<，当x α>时，()0f x ¢>，所以此时()f x 只有极小值点α，不符合题意．若0a >，由题可知方程2220x x a -+=应有两个不等的正根，设为1x ，2x ，其中12x x <，则Δ48002a a =->⎧⎪⎨>⎪⎩解得102a <<．所以()()()212222x x x x x x a f x x x ---+'==．列表如下：x()10,x 1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()f x '+-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以1x 是极大值点，2x 是极小值点，则01x x =．由120x x <<，且121x x =+，得110x 2<<．由题可知()22000002ln 2f x x x a x x a =-+<-，即00ln 220a x x a -+<当0102x <<时恒成立．令()ln 22h x a x x a =-+，102x <<，则()222a x a x h x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==．因为102a <<，所以1024a <<．所以当02a x <<时，()0h x '>，当2ax >时，()0h x '<，所以()max ln 022a a h x h a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，解得20e a <<，又102a <<，所以此时a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．综上，实数a 的取值范围是102⎛⎫⎪⎝⎭，．练习4．设函数21()3ln ,2af x x x a R x=+-∈．(1)若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得1x =是()f x 的极值点？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由．解:（1）23()a f x x x x=--'，∵()f x 是增函数，∴23()0a f x x x x=--≥'对0x ∀>恒成立，∴()3min3a x x ≤-,令32()3,()33g x x x g x x '=-=-,令()01g x x '=⇒=且当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.∴min ()(1)2g x g ==-，∴2a ≤-，即a 的取值范围为(,2]-∞-．（2）若1x =是()f x 的极值点，则必有(1)1302f a a =--=⇒=-'（必要性）当2a =-时，322222332(1)(2)()0x x x x f x x x x x x -+-+=+-='=≥∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 无极值点，故假设不成立，即不存在这样的a ．练习5．已知函数()()=ln 3R f x a x ax a --∈(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 的图像在点()()2,2f 处的切线斜率为12，设()()m g x f x x=-，若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数m 的取值范围.解:（1）(1)()(0)a a x f x a x x x-=-=>'当0a >时，()f x 的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为()0,1；当=0a 时，()f x 不是单调函数.（2）∵1(2)2f '=，∴12122a -⋅=，解得1a =-，∴()ln 3f x x x =-+-()()()ln 30m m g x f x x x x x x =-=-+-->,又()221()10m x g x x x x x x m-+'=-++=>()g x 要在区间[1,2]上单调递增，只需()0g x '≥在[]1,2上恒成立，即20x x m -+≥在[]1,2上恒成立，即()2maxm x x≥-，又在[1,2]上()2maxx x-=∴0m ≥.练习6．已知函数()(ln 1),R f x x x k k =--∈．(1)当1x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若对于任意2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数k 的取值范围；解:（1）由题知，()()ln 1,R f x x x k k =--∈，所以1()ln 1ln ,0f x x k x x k x x'=--+⋅=->，当0k ≤时，因为1x >，所以()ln 0f x x k '=->，所以()f x 的单调增区间是(1,)+∞，无单调减区间，无极值，当0k >时，令ln 0x k -=，解得e k x =，当1e k x <<时，()0f x '<，当e k x >时，()0f x '>，所以()f x 的单调减区间是()1,e k ，单调增区间是()e ,k ∞+，极小值为()()e e 1e k k kf k k =⋅--=-，无极大值.（2）因为对于任意2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，所以()4ln 0f x x -<，即问题转化为(4)ln (1)0x x k x --+<，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，即(4)ln 1x x k x -+>，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令(4)ln ()x x g x x -=，所以24ln 4()x x g x x +-'=，令()24ln 4,e,e t x x x x ⎡⎤=+-∈⎣⎦，所以4()10t x x'=+>，所以()t x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以()()min e e 44e 0t x t ==-+=>，所以()0g x '>，所以()g x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以函数()()22max 8e 2eg x g ==-，要使(4)ln 1x x k x -+>，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，只要max 1()k g x +>，所以2812e k +>-，即281e k >-，所以实数k 的取值范围为281,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；备选1．设a 为实数，已知函数()()32211932f x x a x =-++(1)讨论()f x 的单调性(2)若过点()0,10有且只有两条直线与曲线()32111132y x a x ax =-+++相切，求a 的值.解:（1）因为()()32211932f x x a x =-++，则()()221f x x a x '=-+，由()0f x '=可得10x =，212a x +=，①当102a +=时，即当1a =-时，对任意的x ∈R ，()0f x '≥且()f x '不恒为零，此时，函数()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；②当102a +<时，即当1a <-时，由()0f x '<可得102a x +<<，由()0f x ¢>可得12a x +<或0x >，此时，函数()f x 的减区间为1,02a +⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、()0,∞+；③当102a +>时，即当1a >-时，由()0f x '<可得102a x +<<，由()0f x ¢>可得0x <或12a x +>，此时，函数()f x 的减区间为10,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为(),0∞-、1,2a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭.综上所述，当1a =-时，函数()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；当1a <-时，函数()f x 的减区间为1,02a +⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、()0,∞+；当1a >-时，函数()f x 的减区间为10,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为(),0∞-、1,2a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭.（2）解：设切点为()3211,1132t t a t at ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭，对函数()32111132y x a x ax =-+++求导得()21y x a x a '=-++，所以，切线方程为()()()3221111132y t a t at t a t a x t ⎡⎤⎡⎤--+++=-++-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，将点()0,10的坐标代入切线方程整理可得()322119032t a t -++=，即()0f t =，故关于t 的方程()0f t =有两个不等的实根，①当1a =-时，函数()f t 在R 上单调递增，则方程()0f t =至多一个实根，不合乎题意；②当1a <-时，则()()090f t f ==>极小值，故当12a t +>时，()0f t >，此时方程()0f t =至多一个实根，不合乎题意；③当1a >-时，则()()090f t f ==>极大值，则()()311910224a f t f a +⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭极大值，解得5a =，合乎题意.综上所述，5a =.备选2．已知函数()22ln 2x af x x x-=-．(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若1a =，试问过点()0,1向曲线()y f x =可作几条切线？解:（1）依题意，因为()22ln 2x af x x x-=-，所以()f x 的定义域为()0,∞+，()()()22222222112142x x x a x a f x x x x ⨯----+-'=-=，若()f x 在()0,∞+上单调递减，则有()0f x '≤在()0,∞+上恒成立，即()21120x a --+-≤恒成立，所以()22111a x ≥--+≥，解得12a ≥，所以实数a 的取值范围为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）当1a =时，()22ln 2x f x x x -=-且点()0,1不在()f x 上，所以()()22112x f x x---'=，设切线方程的斜率为k ，切点为()00,P x y ，根据导数的几何意义，则有()2020112x k x---=，又切线过点()0,1，所以切线方程可设为1y kx =+，则有001y kx =+，200002ln 2x y x x -=-，所以()2002020002112ln 21x x x x x x --=---⨯+，整理得000ln 220x x x -+=，令()ln 22g x x x x =-+()0x >，则()ln 1g x x '=-，所以在x ∈()0,e 时，()0g x '<，()g x 单调递减；在()e,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在e x =处取得最小值，又()10g =，所以()g x 在()0,e 有一零点，又因为()0e e 2g =-<，()2222eeln e 2e 220g =-+=>，由零点存在性定理可知，在()2e,e x ∈必有一个根0x ，使得000ln 220x x x -+=成立，综上，方程000ln 220x x x -+=有两个解，所以过点()0,1向曲线()y f x =可作2条切线.备选3．已知函数1()2ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中a R ∈.（1）若()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，判断()f x 与()2g x x =的图象在其公共点处是否存在公切线？若存在，求满足条件的a 值的个数；若不存在，请说明理由.解:（1）222122()1ax x a f x a x x x -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭.当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减，满足题意；当0a >时，要使得()f x 在(0,)+∞上单调，则恒有()0f x '≥.∴2440a ∆=-≤，解得：1a ≥.综上，1a ≥或0a ≤（2）假设()f x ，()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线，则()()()()2000200000200002212ln ax x ax x f x g x f x g x a x x x x ⎧-+=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎛⎫⎪⎩⎪--= '⎪'⎪⎝⎭⎩①②由①可得：()()32200000220120x ax x a x x a -+-=⇔+-=，∴002x a=>.将02a x =代入②，则222ln 2224a a a --=，即：28ln 82a a-=.令28()182x xh x n -=-，则11()4h x x x '=-，故()h x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.又1(2)02h =-<，且当0x →，()h x →+∞；当x →+∞，()h x →+∞∴()h x 在(0,)+∞有两个零点，即方程28ln 82a a-=在(0,)+∞有两个不同的解.所以，()f x 与2()g x x =的图象在其公共点处存在公切线，满足条件的a 值有2个。
导函数切线方程的求法
导函数切线方程的求法1. 什么是导函数？导函数是由一个函数的斜率所组成的函数。
也叫做一阶导数，常用符号为f’(x)。
导函数可以用来刻画函数的变化率和曲线在每一点的切线斜率。
2. 导函数的定义对于一个函数f(x)，其导函数定义为：f’(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示x的增量。
导函数的定义可以简化为求函数f(x)的变化率。
3. 导函数的求法导函数的求法有一些常用的方法，以下是几个常见的方法：3.1 使用定义求导根据导函数的定义，可以通过对函数进行变化求极限的方法来求解导函数。
这种方法通常适用于比较简单的函数。
步骤： 1. 写出函数f(x)。
2. 根据导函数的定义，计算lim(h→0) [f(x+h) -f(x)] / h。
3. 化简得到导函数的表达式。
3.2 利用基本导数公式求导对于一些基本的函数，存在一些常用的导数公式，可以直接利用这些公式来求解导函数。
常见的导数公式： - 常数函数：f(x) = C，导函数为f’(x) = 0。
- 变量函数：f(x) = x，导函数为f’(x) = 1。
- 幂函数：f(x) = x^n，导函数为f’(x) =nx^(n-1)。
- 指数函数：f(x) = e^x，导函数为f’(x) = e^x。
- 对数函数：f(x) = ln(x)，导函数为f’(x) = 1/x。
- 三角函数： - 正弦函数：f(x) =sin(x)，导函数为f’(x) = cos(x)。
- 余弦函数：f(x) = cos(x)，导函数为f’(x) = -sin(x)。
- 正切函数：f(x) = tan(x)，导函数为f’(x) = sec^2(x)。
通过利用这些导数公式，可以将复杂的函数简化为基本的函数求导，再进行计算。
3.3 利用导数的基本性质求导导数具有一些基本的性质，可以通过利用这些性质来求解导函数。
常见的导数性质： - 和的导数性质：(f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x)。
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本章节知识提要
考试要求1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何
意义.
2.导数的运算
(1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝
x
1，y ＝x 的导数；
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.
3.导数在研究函数中的应用
(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；
(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题.
5.定积分与微积分基本定理
(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；
(2)了解微积分基本定理的含义
导数（1）：求导与切线
〘知识点梳理〙
1. 求导公式与求导法则：
0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x sin )'(cos -=
x
x 1)'(ln = ； x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2. 法则1 )(.))'(('=x f c x cf
法则2 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．
法则3 [()()]'()()()f x g x f x g x f x g x '=
+, [()]'(cf x cf x '= 法则4：'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭
3．利用导数求曲线的切线方程：函数()y f x =在点0x 的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是0()f x '，切线的方程为000()()y y f x x x '-=-
曲线f (x )在A （m,n ）处的切线方程求法：
①求函数f (x )的导数f ′(x ).
②求值：f ′(m )得过A 点的切线的斜率
③由点斜式写出切线方程：y –n = f ′(m )(x-m)
〘精选例题〙
例1．求下列函数的导函数
1. x x f =)(
2.2)(e x f =
3.y=2x+3
4.x x f =
)( 5.y=x 2+3x-3 6. 1y x =
7. x x x f ln 2)(= 8. 32)sin()(x x x f += 9. x x
x x f 2ln )(+=
例2：.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。
例3：已知曲线313y x =上一点P （2，38
），求点P 处的切线的斜率及切线方程？
例4：已知曲线31433
y x =+. (1) 求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)P 的切线方程。
分析：“该曲线过点(2,4)P 的切线”与“该曲线在点(2,4)P 处的切线方程”是有区别的：过点(2,4)P 的切线中，点(2,4)P 不一定是切点；在点(2,4)P 处的切线中，点(2,4)P 是切点。
例5：曲线y =24y x =-平行的切线方程
分析：首先对y =2，再根据斜率等于2求出切点，再用直线的点斜式方程写出就得，
1．已知函数x x x f ln )(=，则=')(x f （ ）
A 、12+x
B 、x ln x +1
C 、ln x + 1
D 、x +1
2．y=ln x
1, 则y ’ 等于（ ） Ａ.
x 1 B.-x C. 1
12-x D. －x 1 3．.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切，则a 等于（ ） A. 81 B. 41 C. 2
1 D. 1 4. 曲线122+=x y 在P(-1,3)处的切线方程为( )
A.14--=x y
B. 74--=x y
C. 14-=x y
D. 74-=x y
5．已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1，3）则b 的值为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．5
D ．-5 6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
7．若函数n m mx
y -=2的导数为3
4x y =',则m=__________,n=__________ 8．若曲线y=2
4
x +x 过点P 的切线垂直于直线y=34-x ，求这条切线的方程
9．已知曲线313y x =
上一点P （2，38），求点P 处的切线的斜率及切线方程？
10．曲线22
3x y =上哪一点的切线与直线13-=x y 平行
11．已知曲线Ｃ：y=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 过点Ａ（０，－1）且关于y 轴对称，若C 在x=1处的
切线方程2x+y －2=0，求曲线C 的方程。
12．若函数y ＝x 3－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程.
【解析】设切点为P (x 0，y 0)，则由
y ′＝3x 2－3得切线的斜率为k ＝3x 20－3.
所以函数y ＝x 3－3x ＋4在P (x 0，y 0)处的切线方程为
y －y 0＝(3x 20－3)(x －x 0).
又切线经过点(－2,2)，得
2－y 0＝(3x 20－3)(－2－x 0)，①
而切点在曲线上，得y 0＝x 30－3x 0＋4， ②
由①②解得x 0＝1或x 0＝－2.
则切线方程为y ＝2 或 9x －y ＋20＝0
13．设曲线y=x 3－3x 在点P 处的切线l 过点（0，16），试求l 的方程.。