导数在求曲线切线方程的应用
求切线方程的三种方法
求切线方程的三种方法宝子们，今天咱们来唠唠求切线方程的那些事儿。
这切线方程啊，就像是给曲线找到一个最亲密接触的直线小伙伴，可有意思啦。
一、利用导数求切线方程。
咱先说说这个用导数的方法。
导数这玩意儿啊，其实就是曲线在某一点的斜率。
比如说有个函数y = f(x)，咱们先求出它的导数f'(x)。
那在某一点x = a处的切线斜率k呢，就等于f'(a)。
这时候啊，我们已经知道了斜率，再知道这个点(a, f(a))在切线上，就可以用点斜式y - y₁ = k(x - x₁)来求出切线方程啦。
就像你知道一个朋友的走路速度（斜率），又知道他从哪个地方（点）出发，就能算出他走的路线（切线方程）啦。
二、设切点法。
再来说说设切点法。
有时候啊，题目没有直接告诉你切点是啥。
这时候咱就可以聪明点，设切点为(x₀, y₀)。
那这个点既在曲线上又在切线上哦。
如果曲线方程是y = f(x)，那y₀ = f(x₀)。
然后呢，求出函数在x₀处的导数f'(x₀)，这就是切线的斜率啦。
再根据点斜式写出切线方程y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)。
这就像是在玩一个猜谜游戏，我们先假设一个神秘的点（切点），然后通过各种线索（曲线方程和导数）来找出这个切线方程这个宝藏呢。
三、利用已知切线方程的形式来求。
还有一种方法呢，就是利用已知切线方程的形式。
比如说对于圆的方程(x - a)²+(y - b)² = r²，在点(x₁, y₁)处的切线方程是(x₁ - a)(x - a)+(y₁ - b)(y - b)= r²。
对于椭圆、双曲线等一些特殊的曲线也有类似的固定形式的切线方程哦。
这就像是有个小秘籍一样，直接套用这个形式就能求出切线方程啦。
就好比你有一把万能钥匙，遇到特定的锁（特殊曲线在某点的切线），直接一插就能打开（求出切线方程）啦。
宝子们，这三种求切线方程的方法是不是很有趣呀？只要多练练，你就能在求切线方程这个小天地里畅游无阻啦。
运用导数探究曲线的切线问题
运用导数探究曲线的切线问题山东 黄丽生导数与曲线的切线有缘，因为()0/x f的几何意义是曲线y=f (x)在点（x 0 ，f (x 0)）处的切线斜率，其物理意义通常指物体运动时的瞬时速度。
曲线的切线反映了曲线的变化情况，体现了微积分中重要的思想方法——以直代曲。
因此，利用导数求解曲线的问题，几乎是新课程高考每年必考的内容。
在这类问题中，导数所肩负的任务是求切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法和解析几何的基本思想方法，真正体现出函数、导数既是研究的对象又是研究的工具。
举例说明。
例1已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（1）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（2）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．分析：由题意点P 在曲线外，故求切线PM 、PN 的方程，须设出M 、N 两点的横坐标，目的是借助导数求直线的斜率；第二问属探索性问题，往往是先假设存在，看是否能求得符合条件的t 或导出矛盾。
解：（1）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ， 21)(x tx f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x tx t x y --=+-，又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x （ * ）22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=， 把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ．（2）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． 把（*）式代入，解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． 点评：本题以函数为载体，综合考查了函数与导数的有关问题。
导数的应用曲线的切线与法线
导数的应用曲线的切线与法线导数的应用：曲线的切线与法线在微积分学中，导数是一个十分重要的概念。
导数的计算和应用广泛应用于各个科学领域，特别是在物理学和工程学中。
其中一个应用就是研究曲线的切线和法线。
一. 切线的定义和计算我们首先来了解一下切线的概念。
在数学中，切线是指与给定曲线在某一点相切的直线。
为了计算曲线的切线，我们需要先计算该点的导数。
设曲线方程为y = f(x)，我们要求曲线上一点P(a, f(a))处的切线。
首先计算曲线在点P处的导数，即求得f'(a)。
然后，我们可以使用点斜式或者截距式来表示切线方程。
点斜式表示的切线方程为：y - f(a) = f'(a)(x - a)截距式表示的切线方程为：y = f'(a)x + (f(a) - af'(a))有了切线方程，我们可以计算曲线在该点处的切线了。
二. 法线的定义和计算接下来，我们来了解一下法线的概念。
在数学中，法线是切线的垂直线。
要计算曲线在某一点的法线，我们首先需要计算切线的斜率，然后求其相反数，即得到法线的斜率。
设曲线方程为y = f(x)，切线斜率为k。
则法线的斜率为-1/k。
然后，我们可以使用与切线相同的方法来表示法线的方程。
点斜式表示的法线方程为：y - f(a) = (-1/k)(x - a)截距式表示的法线方程为：y = (-1/k)x + (f(a) + a/k)有了法线方程，我们可以计算曲线在该点处的法线了。
三. 实例分析现在，我们通过一个实例来理解切线和法线的应用。
假设有以下函数：y = 2x^2 - 3x + 1。
我们要求该函数在x = 2处的切线和法线。
首先，计算曲线在x = 2处的导数。
函数的导数为f'(x) = 4x - 3。
将x = 2代入导数公式，得到f'(2) = 5。
接下来，使用点斜式表示切线方程和法线方程。
切线方程为：y -f(2) = f'(2)(x - 2)，化简得到y = 5x - 5。
导数的应用曲线的切线和法线问题
导数的应用曲线的切线和法线问题在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
除了用来求函数的极值和变化趋势外，导数还可以应用于曲线的切线和法线问题。
本文将探讨导数在曲线切线和法线问题上的应用。
一、曲线的切线问题对于给定的曲线，我们可以通过求取该曲线上某一点的导数来确定该点处的切线。
具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。
2. 求取该点的导数dy/dx。
3. 使用点斜式或一般式求取与该点所在切线平行的直线方程。
4. 得到切线的方程。
举例来说，如果我们有一个曲线的方程为y = 2x² + 3x - 4，那么可以依次进行如下步骤来求取曲线在某一点上的切线：1. 确定点P(x₀, y₀)的坐标，假设为P(2, 7)。
2. 求取该点的导数dy/dx，对于曲线y = 2x² + 3x - 4，求导得到dy/dx = 4x + 3。
3. 使用点斜式求取切线的方程，将点P的坐标和导数dy/dx的值代入点斜式方程y - y₀ = m(x - x₀)，得到y - 7 = (4(2) + 3)(x - 2)。
4. 化简方程，得到切线的方程y = 8x - 9。
通过这个例子可以看出，求取曲线切线的关键是求取点的导数，然后利用切线方程将导数与点的坐标结合，得到切线的方程。
二、曲线的法线问题曲线的法线是与该曲线在某一点处相切，垂直于切线的直线。
求取曲线的法线同样可以通过求取该点的导数来完成。
具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。
2. 求取该点的导数dy/dx，并计算其倒数k。
3. 求取法线的斜率nk = -1/k。
4. 使用点斜式求取法线方程。
5. 得到法线的方程。
和曲线的切线问题类似，求取曲线的法线也需要先求取点的导数，然后计算导数的倒数作为法线的斜率。
三、综合案例考虑一个具体的综合案例，假设我们有一个函数f(x) = x³ + 2x²- 3x + 1，我们希望求取该函数在 x = 2 处的切线和法线。
导数的几何意义及应用
1
2
3
4
5
6
变式2：若曲线上一点P处的 切线恰好平行于直
线y=11x－1，则P点坐标为 ____________,
切线方程为 _____________________．
y=11x－14或 y=11x+18
变式4:若曲线C： y=x3－ax+2求在点 x=3处的切线方程为 y=11x－b ，求切点 坐标及a、b。
解：f/(x)=3x2－1， ∴所求的切线方程为： 即 y=2x 处的切线方程？
∴k= f/(1)=2
y－2=2(x－1),
同样题：已知曲线C：y=x3 －x+2，求在点x=1
变式1：求过 点A的切线方
程？
例1．曲线y=x3－x+2，求在点A(1,2) 处的切线方程？
解：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
一．求切线方程的步骤： 1. 设切点P（x0,y0） 2. 求k=f/(x0) 3. 写出切线方程 y－y0= f/(x0)(x－x0)
求曲线上点到－1，2）且与y=x2+ 2在点M（1，3）
处的切线垂直的直线方程是__________．
在曲线y=x3+x2+x－1的切线斜率中斜率最小的
例2：已知曲线C:y=x2－x+3,直线L:x－ y－4=0,在曲线C上求一点P,使P到直线L 的距离最短，并求出最短距离。
|134| 3 2 2
解：设P（x0，y0）,
∵f/(x)=2x－1, ∴2 x0－1=1, 解得x0= 1, ∴ y0=3,得 P（1，3）
∴P到直线的最短距离 d=
小结
切线方程是 __________ .
利用导数求切线方程
利用导数求切线方程1. 引言在微积分中，导数是一个重要的概念。
它描述了函数在给定点的变化率，可以用来解决许多实际问题。
其中一个应用就是求解切线方程。
切线是曲线上的一条直线，与曲线在给定点处相切。
求解切线方程可以帮助我们更好地理解曲线的性质和行为。
本文将介绍如何利用导数求解切线方程。
首先，我们将回顾导数的定义和性质。
然后，我们将详细介绍如何利用导数求解切线方程，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
2. 导数的定义和性质回顾在微积分中，导数描述了函数在给定点的变化率。
对于一个函数f(x)，它在x处的导数可以通过以下极限定义得到：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ其中，f′(x)表示函数f(x)在x处的导数。
导数具有一些重要的性质，这些性质在求解切线方程时非常有用。
下面是一些常见的导数性质：•常数函数的导数为0：f′(x)=0•幂函数的导数：(x n)′=nx n−1•和差法则：(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)•乘法法则：(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)•除法法则：(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)•复合函数的导数：(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)这些性质将在后面的内容中被广泛应用。
3. 求解切线方程的步骤为了求解切线方程，我们需要知道曲线上的一个点以及该点处的斜率。
导数提供了一个方法来计算曲线在给定点处的斜率，因此我们可以利用导数来求解切线方程。
以下是求解切线方程的步骤：步骤 1：确定曲线上的一个点首先，我们需要确定曲线上的一个点。
这个点将成为切线方程的起点。
可以通过给定的问题或者观察曲线的图像来确定这个点。
步骤 2：计算导数在确定了起点之后，我们需要计算曲线在该点处的导数。
根据导数的定义和性质，我们可以得到导数的计算公式。
步骤 3：计算斜率利用导数求得的斜率可以用来确定切线的斜率。
利用导数求曲线的切线和公切线知识讲解
利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2X12+1.(1) 求在点P( 1,0 )处的切线l i的方程；⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【解答】解：(I)由 f (x) =2x3- 3x 得f'( x) =6x2- 3,令f，( x) =0 得, x= - ■-或x= ■-,2 2•- f (-2) =- 10, f (-二)=",f ( = ) =- ", f (1) =- 1,••• f (x)在区间［-2, 1］上的最大值为二.(n)设过点P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(X0, y°),则y o=2・” -3x。
，且切线斜率为k=6 ：匚-3,•••切线方程为y-y o= (6：,二-3)(x -x o),••• t - y°= (6 ：,二-3)( 1 - x o),即卩4- 6 . F +t+3=0，设g (x) =4x? - 6x?+t+3 , 则“过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”，等价于“ g (x)有3 个不同的零点”.T g'(x) =12x2- 12x=12x (x- 1),•g (0) =t+3是g (x)的极大值，g (1) =t+1是g (x)的极小值.•g (0)> 0 且g (1)v 0,即-3v t v- 1,•当过点过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x)相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.【作业1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3- 3x+1, g (x) =kx+1 - Inx .(fM y<1(1)设函数hW二’、，当k v 0时，讨论h (x)零点的个数；g lx)』x^l(2)若过点P (a,- 4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.三. 切线与切线之间的关系【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, c€ R,且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+/HW：c 的取值范围是.解：f '(x) = a + b cos x—c sin x = a +c' cos(x + ^?) = a +cos(x + p)令H + e = 则码 + 0 =环巧+e = g. f\x) ~+dtj题意’存在x r x2E R使得厂(xj厂(兀)= T* 0p(a+cos^X fl + cos^)=_l»即关于。
使用函数的导数求解曲线的切线方程
使用函数的导数求解曲线的切线方程函数的导数是解析几何和微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
通过使用导数，我们可以求解曲线的切线方程，从而研究曲线在不同点上的性质和特征。
在解决曲线切线问题时，我们需要使用函数的导数。
函数的导数可以通过极限的方式定义，也可以通过函数图像上的切线斜率来表示。
设函数f(x)在点(x0, f(x0))处可导，那么曲线在该点的切线方程可以通过函数的导数来求解。
首先，我们需要求解函数f(x)的导数，记为f'(x)或者dy/dx。
导数表示了函数在不同x值上的变化率。
导数的计算方法因函数而异，下面以几个例子说明：1. 对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，其导数f'(x) = 0。
因为常数函数在任意点上的斜率都为0。
2. 对于一次函数f(x) = ax + b，其中a和b为常数，其导数f'(x) = a。
一次函数的导数恒为斜率a。
3. 对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，其导数f'(x) = 2ax + b。
二次函数的导数是一次函数。
4. 对于正弦函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。
正弦函数的导数是余弦函数。
有了函数的导数，我们就可以求解曲线在特定点上的切线方程。
设曲线上一点为(x0, f(x0))，切线的斜率则为导数f'(x0)。
由于切线过点(x0, f(x0))，我们可以使用点斜式或者一般式来求解切线方程。
1. 点斜式：设切线方程为y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)，其中f'(x0)为导数在点(x0, f(x0))处的值。
2. 一般式：设切线方程为y = mx + c，其中m为切线的斜率，c为切线和y轴的交点。
通过上述方法，我们可以使用函数的导数求解曲线在某点上的切线方程。
下面通过一个具体的例子来说明：例：求解曲线y = x^2在点(2, 4)处的切线方程。
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思考:求曲线
y x 上斜率为3的切线方程
3
问题１：
解:∵曲线方程为 ∴
' 2
y x x2
3
y 3x 1
k y |x1 4
'
即
∴切线方程为
4x y 0
归纳 （１）一类题型为对于求曲线上某切点的 切线方程 可直接利用导数的几何意义求切 线斜率，再利用点斜式求解. （2）另一类题型为求过曲线外一点的切线方程 可利用设切点坐标构造切线方程再联立曲线方 程求切点坐标，再求切线方程.
又点P在曲线S上，故 y 0 3x 0 x 0 ②代①入上式得
3
3
②
2
3x 0 x 0 (3 3x 0 )(2 x 0 ) 2 3 2 整理得 x 0 3x 0 4 0 (x 0 2) 2 (x 0 1) 0 ，所以 x 0 2 或 x 0 1 即
问题1：在曲线 y x x 2 上以（－1, －4） 为切点的切线方程是
3
问题2：过（0，－4）与曲线 y
的直线方程是 问题3：过（1，0）与曲线 程是
x x 2 相切
3
y x 相切的直线方
3
1 3
问题4:过（0，2）与曲线 y x 相切的直线方
程是 3 y 问题5：求曲线S： x 3x 通过点A（2，－2） 的切线方程.
曲线上某定点切线定义
yx
1 3
y x3
y
l1 N
M
x
小结：
过定点求函数曲线切线方程，具体步骤和方法: 步骤：1.判断是否给出切点 2．若未给出，求出切点，求出斜率 3．根据点斜式求出直线方程 方法：确定切点求出切线方程
思考：（2004，重庆，文，15）
1 3 4 已知曲线 y x ，则过P（2，4）的 3 3 切线方程为 y 4x 4 0 和 x y 2 0
2 解：设切点P (x 0 , y 0 ) ，则 k y ' | x x 0 3 3x 0
2 ∵过（2，－2），P处的切线方程为l： y 2 (3 3x 0 )(x 2) 2 (x 0 , y 0 ) 在切线上∴ y0 (3 3x 0 )(x 0 2) 2 ① 又∵切点
当 x 0 2 时，P为（2，－2），切线方程为 y 9x 16 当 x 0 1 时，P为（－1，－2），切线方程为
y 2
综上所述，过点A的切线方程为 9x y 16 0 或 y 2 0
解:对于曲线
yx
3
设切点为
'
( x 0 , y0 )
2
由斜率为3得知 ∴ x0
2
k y |x x 0 3x 0 3
1 , 即 x 0 1
∴切点坐标为 (1,1) 和 (1,1) ∴切线方程为 3x y 2 0 和 3x y 2 0
y
y x3
o
xyx3源自