空间曲线的切线与法平面
空间曲线的切线与法平面切线方程切线的方向向量
1 1 yz
zx, yz
dz dx
1 1 yz
xy yz
11
11
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
切向量
T 1 ,
dy dx
,
M
dz dx
M
(1, 0, 1)
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0, 1)
切线方程
即
法平面方程 1 (x 1) 0 ( y 2) (1) (z 1) 0 即 xz0
复习: 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线
在点 (x0 , y0 )有
切线方程 y y0 f (x0 )(x x0 )
法线方程
y
y0
f
1 (x0 )
(x
x0 )
若平面光滑曲线方程为
故在点
有
因 d y Fx (x, y) dx Fy (x, y)
切线方程 Fx (x0 , y0 ) (x x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0
若在法平面上任取一点P( x, y, z),则向量( x x0, y y0, z z0)
与切向量((t0 ), (t0 ),(t0 ))垂直，即
((t0 ), (t0 ),(t0 )) ( x x0, y y0, z z0 ) 0
由向量的内积公式，可得法平面方程
( y y0 )
M
(F,G) (x , y)
(z z0) 0
M
法平面方程
(F , G) ( y, z)
M
(
x
x0
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程假设有一条空间曲线C，其中包含一点P。
现在需要求出这条曲线在点P处的切线方程和法平面方程。
首先，我们需要求出曲线在点P处的切向量。
根据向量微积分的知识，曲线在点P处的切向量可以表示为曲线的导数向量。
因此，我们需要对曲线C进行求导。
假设曲线C的参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中t 是曲线上的参数。
则曲线在点P处的切向量可以表示为：r'(t)|t=t0其中，t0是曲线上通过点P的参数值。
我们可以通过求曲线的导数向量来计算r'(t)|t=t0。
具体来说，我们可以分别对x(t)，y(t)，z(t)求导，并在t=t0处求值，即：r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))r'(t)|t=t0 = (x'(t0), y'(t0), z'(t0))然后，我们需要将该向量归一化，得到曲线在点P处的单位切向量T：T = r'(t)|t=t0 / |r'(t)|t=t0|其中，|r'(t)|t=t0|表示曲线在点P处的切向量的模长。
现在，我们已经得到了曲线在点P处的单位切向量T。
下一步是求出曲线在点P处的法平面。
法平面可以由两个向量来确定，其中一个是切向量T，另一个是曲线在点P处的法向量N。
曲线在点P处的法向量N可以通过计算曲线的二阶导数向量来得到。
具体来说，我们可以对切向量T进行求导，得到：T'(t)|t=t0 = (x''(t0), y''(t0), z''(t0))然后，我们需要将该向量与切向量T叉乘，得到曲线在点P处的法向量N：N = T × T'(t)|t=t0最后，我们将切向量T和法向量N归一化，得到曲线在点P处的单位法向量B：B = N / |N|现在，我们已经得到了曲线在点P处的切向量T和单位法向量B。
一,空间曲线的切线与法平面
切向量为
T = (1, y′( x0 ), z′( x0 ))
其中 y′( x0 ), z′( x0 ) 由方程组确定的隐函数求导法求, 将切向量 T 代入基本情形即得切线方程和法线方程
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【例 2】 求曲线 x 2 + y 2 + z 2 = 6 ， x + y + z = 0 在 点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程.
一元函数微分几何意义 dy = f ′( x0 )Δx
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因为曲面在M 处的切平面方程为
z − z0 = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 )
切平面 上点的 竖坐标 的增量
函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )的全微分
【分析】为隐式情形（待定常数法） 【解】 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点, 切平面方程为
2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 ⇒ 2 x = y = z . = = , 0 0 0 1 4 6
dz x − y = , dx y − z
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⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量 T
( 1 , − 2 ,1 )
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解 设 ( x0 , y0为,曲z0面)上的切点,
第六节 微分在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面方程 空间曲面的切平面和法线方程 小结 思考题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t)
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x x0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 条则曲线n，T它, 们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一， 故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在 同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
空间曲线与曲面的切平面与法线方程
空间曲线与曲面的切平面与法线方程在几何学中，空间曲线与曲面的切平面与法线方程是研究曲线与曲面性质的重要工具。
通过求解切平面与法线方程，我们可以揭示曲线曲面的性质，进而应用于实际问题的求解与分析。
本文将介绍空间曲线与曲面的切平面与法线方程的推导过程和应用案例。
一、空间曲线的切平面与法线方程1. 切线与切平面在空间几何中，曲线上的点处，切线是通过该点且与曲线相切的直线。
曲线上每一点都有唯一的切线。
通过求解切线，我们可以得到曲线的切平面与法线方程。
2. 切线方程的求解设曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)对曲线参数方程求导，得到切线向量T：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)切线方程可表示为：(x - x0) / (dx/dt) = (y - y0) / (dy/dt) = (z - z0) / (dz/dt)3. 切平面方程的求解切平面是通过曲线上一点与切线方向垂直的平面。
设切平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为切平面的法向量。
由于切线向量T与切平面法向量垂直，所以有：A(dx/dt) + B(dy/dt) + C(dz/dt) = 0根据切线方程求解得到的切线方程，将其代入上述方程中，即可得到切平面方程。
4. 法线方程的求解法线是切平面上与切线垂直的直线。
切平面方程的法向量为(A, B, C)，法线方程可表示为：(x - x0) / A = (y - y0) / B = (z - z0) / C二、曲面的切平面与法线方程1. 切平面方程的求解曲面的切平面与曲面上一点处的切向量垂直。
设曲面方程为F(x, y, z) = 0，求曲面某点的切平面方程，需要求解该点处的梯度向量∇F。
切平面方程可表示为：∇F · (x - x0, y - y0, z - z0) = 02. 法线方程的求解法线是曲面上与切平面垂直的直线。
7曲线的切线与法平面
1 + y′2dx, x ∈ [a, b]
∫ ∫ ⇒ 弧= 长：s
b
d= s(x )
a
b 1 + y′2dx
a
工科数学分析（网课）
2、设L:
x = x(t) y = y(t)
,t ∈ [α,
β]
.
则
ds = (x ′(t) ⋅dt)2 + (y′(t) ⋅= dt)2 x′2(t) + y′2(t) dt
工科数学分析（网课） 2
2
2
例 5 求星形线 x 3 + y 3 = a 3 (a > 0) 的全长.
z = ω(t)
工科数学分析（网课）
F (ϕ(t),ψ (t),ω(t)) = 0两边求t的导数：
即 Fx (M ) ⋅ ϕ′(t0) + Fy (M ) ⋅ψ ′(t0) + Fz (M ) ⋅ ω′(t0) = 0
令T = (ϕ′(t0),ψ ′(t0), ω′(t0))， n = (Fx (M ), Fy (M ), Fz (M ))，
2 −
=0 y−1
=
0
,
法平面方程 x + 2( y + 1) = 0 ,即 x + 2 y + 2 = 0 。
工科数学分析（网课）
例 5：求曲线
x x
2 + y2 + y+
+ z
z2 = =0
6
，
在 (1,−2, 1) 处的切线及法平面方程。
解：设=x x= ,y y (x )、=z z (x ),
将方程的两边对x求导,
2x + 1 + y
一,空间曲线的切线与法平面
基本情形
⎧ x = x ⎪ 对此类空间曲线Г可看成以x为参数的方程：⎨ y = ϕ ( x ) , ⎪z = ψ (x) ⎩ 故在 M ( x , y , z )处,
0 0 0
切向量：
T = (1,ϕ ( x0 ),ψ ′( x0 ) )
切线方程为
法平面方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = , ϕ ′( x 0 ) ψ ′ ( x 0 ) 1
T
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
n⊥T d 事实上,由 F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] ≡ 0 ⇒ F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] = 0 dt 即 Fx ⋅ ϕ ′( t0 ) + Fy ⋅ψ ′( t0 ) + Fz ⋅ ω ′( t0 ) = 0
dz x − y = , dx y − z
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⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量 T
( 1 , − 2 ,1 )
= (1, 0,−1),
所求切线方程为 x − 1 = y + 2 = z − 1 , −1 1 0 法平面方程为 ( x − 1) + 0 ⋅ ( y + 2) − ( z − 1) = 0,
【分析】 为隐式情形 【解】 令 F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3,
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4,
空间曲线的切线与空间曲面的切平面
第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面X = %(/)设空间的曲线C由参数方程的形式给出：{)，=)，(/),居(久0).Z = ?(/)设G，”e(a,0), A(x(fo),y(G),z(fo)、J,y(/]),z(f[))为曲线上两点,A, B的连线称为曲线Q的割线，当B T A时，若AB趋于一条宜线，则此直线称为曲线Q 在点A的切线.如果x = x(r), y = y(t), z = z⑴对于/的导数都连续且不全为零(即空间的曲线C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的.因为割线的方程为x-x(g) _ y-y(G)_ z-z(G)x(“)- A(r0) Wi) 一y(t0) z(f ]) - )也可以写为X-X(『o)_ y-Wo) _ Z-Z^o)x(/])-x(/o)y(/J-y(/o)z(“)-z(fo)当B T A时，割线的方向向長的极限为&'仇),)(0),疋仇)},此即为切线的方向向長，所以切线方程为x-x(r0) _ y-y(r0) _ z-z(r0)%) z仇)'过点A(F°), W°),z(G)且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点A(X(G ),y(t0), z(r«)的法平面，法平面方程为V (/())(x-心)+ y (G)(y - 儿)+ z Go)(z-Zo) = O如果空间的曲线C由方程为y = y(x)9z = z(x)且y aj,z'(Xo)存在，则曲线在点A(x Qi y(x0\zM的切线是1 丫(心) 才(心)法平面方程为(X-心)+ y (x 0)(y-y(x ())) + z (“))(z-z(x°)) = 0如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交，由方程组jF(x,y, z) = 0,C z) = 0确定时，假设在AgjdZo)有丿=竺0 HO,在某邻域内满足隐函教 6(y,z)八F(x.y.z) = 0,组存在定理条件，则由方程组、c 在点4(")，儿，5)附近能确定隐函数 G(x,y,z) = Oy = yM.z = z(x)有Vo = yUo)^o = ^U o )字警1竿半=一占竽*。
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考察割线趋近于极限位置一一切线的过程
上式分母同除以At,
- 。_ _ _ x
x
y
yo _z
zo
Ax Ay Az
At At At
当M' T M，即& T 0时，
曲线在M 处的切线方程
X _ 乂0 = y ~ yo _ 乙 _ Zo 欢 (t o) y'( t
o) z'( ").
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
特殊地:
1.空间曲线方程为
[y = y (x) = z (x)
I
z
在归(xo,yo,zo)处'切向量 P = (1,y (xo),z (xo))
切线方程为
_ _ x
xo = y
yo
_ 法平面方程为=(x X_ xo)+yz'o(xo)(y _ yo)+z'(xo)(z _ z°) = o.
1 y'(xo)z'(xo)'
dx y 一 z
dy
n
=0,
dx (1,-2,1)
dz dx (1,-2,1)
由此得切向量 T = (1, 0,-1},
所求切线方程为 x — 1 y + 2 z — 1 = o =n
法平面方程为(x — 1) + 0 - (y + 2) — (z — 1) = 0,
nx 一 z=0
空间曲线的切线与法平面
一、空间曲线的切线与法平面
x — x (t)
设空间曲线的方1程y = y(t)
g = Z(t)
(1)式中的三个函数均可导. 设 M (Xo, y0, Zo),对应于 t —
10； M'(Xo + Ax, yo + Ay, Z°+
AZ ) 对应于t = t° + At.
⑴
—>
割线MM9的方程为
Ax Ay Az
，在M（xo,y。，z°）处，切向量 G （x，yF，x z）Fz= 0 F Fx
了
=
(1，y
， ( )xo
z (xo)) =
(1，—Gx
F
G
， Gs
Fz ， F
G )x (乂0,7o，Zo)
Fz
F =K ( y
Gv y
F
z
z
G ，G
z
z
F F Gy
xx
G ，Gx
xx
F Gz
Gy
KGz= - 1
y （乂0,，0必0）
程. 解当 t = 0 时，x = 0, y = 1, z = 2,
X = e cos t, y = 2cos t 一 sin t, Z = 3e33, n x'(0)
= 1, y'(0) = 2, z'(0) = 3,
切线方程日=上1 =
123
法平面方程 x + 2( y -1) + 3( z - 2) = 0, 即 x + 2 y + 3 z 一 8 = 0.
特殊地: Jx=x(y)
2.空间曲线方程为 1 七=z ( y)
在M(x°,y°,z°)处，切向量釈=(x'(yo)丄z'(yo))
特殊地:
3.空间曲线方程为
Jx=x(z) 1 y = y(z)
在M(x°,y°,Zo)处，切向量 f = (X(Zo),y'(Zo),1)
4.空间曲线方程为
F （x，y，z） = 0
F
Gv 丿
y
y
Gy
F
z
Gz （x。，yo，z。）
例
2 求曲线乂2 +
y2
+
2
z
=
6,
x
+
y+
z
=
0
在
点(1,-2,1)处的切线及法平面方程.
解1直接利用公式；
解2将所给方程的两边对x求导并移项，得
=-xdyy—dz+ z — —
dx dx
n
=d-y1ddzx/d—x + ——
d^ _z 一 x dx y 一 zdz x — y
（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）
-T
p =(x'((o)，y'((o)，Z ((o))
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x'((o)( x - xo)+y ((o)( y - y°)+Z ((o)( Z - Zo) = o
I 例 1 求曲线「:x = eu cos udu, y = 2sint
JO
+ cos t必=1 + e 33在t = 0处的切线和法平面方