空间曲线的切线与空间曲面的切平面
空间曲线的切线与法平面
1. 曲线的参数方程可视为: xx y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x)) 2. 两方程可确定两个隐函数: y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x)) 而(x) (x)要通过解方程 组得到.
山东农业大学
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高等数学
主讲人： 苏本堂
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面和法线
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高等数学
主讲人： 苏本堂
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
平面.
M
T
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Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
法线方程 x x0
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
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主讲人： 苏本堂
2 2 2 例2. 求曲线 x y z 6 , x y z 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解. 方程组两边对 x 求导, 得
x z 1 1 z x dz dy , 解得 y z y z dx dx 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: dy dz 切向量 T , 1, dx M dx M
n (2,1,4) (2 x, 2 y, 1) (2,1,4) (4, 2, 1),
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 M的M方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
t ,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
•M
o
y
当M M ,即t 0时 ,
曲线在M处的切线方程
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面3x y 3z 16 0与椭球面 3 x2 y2 z 2 16相切，求 .
思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ),
依题意知切向量为
n {6 x0 , 2 y0 , 2z0 },
{3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3
y0 x0 , z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02
2 2
x0 x02
9 x0 9 x02
16 16
0 ,
0
2.
练习题
一、填空题:
1、曲线 x t , y 1 t , z t 2 再对应于t 1 的点
1 t
t
处切线方程为________________；
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为
4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线的切线方程和法平面方程是研究空间曲线上某一点处几何性质的重要工具。
本文将介绍关于求解空间曲线的切线方程和法平面方程的基本原理和方法。
1. 空间曲线的切线方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的切线方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。
在曲线上选取一点P(t0)，将参数t作适当的微小变化dt，得到曲线上另一点P(t0+dt)。
连接P(t0)和P(t0+dt)两点，得到曲线上的一小段切线段。
切向量是切线段的方向矢量，表示曲线在该点的切线的方向。
切向量的计算公式为：T = lim(dt→0) (P(t0+dt) - P(t0)) / dt（2）确定切线方向向量。
切线方向向量与切向量相同，方向与曲线的切线一致。
所以切线方向向量T即为切线向量。
（3）确定切线点坐标。
将参数t赋值为t0，得到切线过点P(t0)的坐标。
（4）写出切线方程。
以切线点为起点，以切线方向向量为方向，可得到切线方程的一般形式：(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c其中，(x0, y0, z0) 为切线点坐标，(a, b, c)为切线方向向量。
2. 空间曲线的法平面方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的法平面方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。
切向量T已在求解切线方程时计算过。
（2）确定法平面的法向量。
法向量是垂直于切线向量的向量，在二维平面上与切线方向向量一致，在三维空间中由切线向量和一般的纵轴方向共同确定。
可以通过叉乘计算得到法向量：N = T × (0, 0, 1) 或 N = (0, 0, 1) × T其中，×表示向量的叉乘运算。
空间曲线的切线与法平面公式
空间曲线的切线与法平面公式空间曲线的切线与法平面公式在几何学中，空间曲线是指在三维坐标系中的曲线。
对于空间曲线上的一点，我们可以通过求取该点处的切线和法平面来描述曲线的性质和特征。
切线是指与曲线相切且方向与曲线在该点处相切的线段。
切线的存在使得我们能够研究曲线在该点处的切向性质。
对于空间曲线上的点 P(x_0, y_0, z_0)，其切线可以通过求取曲线的导数来获得。
设曲线的参数方程为 x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)，其中 t是参数。
我们可以通过对 t 求导得到曲线在该点处的切向量 (dx/dt, dy/dt, dz/dt)。
切点 P 在曲线上的切线向量可以表示为 (dx/dt,dy/dt, dz/dt)|_(x=x_0, y=y_0, z=z_0)。
这个向量可以用来表示切线的方向和斜率。
根据切线向量的定义，我们可以计算出切线的一般方程。
设 M(x, y, z) 是曲线上的一点，并且切点 P(x_0, y_0, z_0) 在曲线上。
那么切线的一般方程可以表示为：(x - x_0) / (dx/dt) = (y - y_0) / (dy/dt) = (z - z_0) / (dz/dt)其中，dx/dt，dy/dt，dz/dt 分别表示曲线在 P 点处的方向导数。
这一表达式可以帮助我们找到曲线上任意一点处的切线。
除了切线，法平面是另一个重要的概念。
法平面是与切线垂直的平面，它与切线相交于曲线上的一点。
通过求取曲线的法向量，我们可以得到法平面的方程。
如果曲线是光滑且参数化的，我们可以通过求取切线向量的两个非零向量的叉乘来获得法向量。
设切线向量为 T，那么法向量可以表示为N = T × T'，其中 T' 是关于参数 t 的导数向量。
这样，法平面的一般方程可以表示为：N · (r - r_0) = 0其中 N 是法向量，r 是平面上一点的位置向量，r_0 是曲线上一点的位置向量。
一,空间曲线的切线与法平面
切向量为
T = (1, y′( x0 ), z′( x0 ))
其中 y′( x0 ), z′( x0 ) 由方程组确定的隐函数求导法求, 将切向量 T 代入基本情形即得切线方程和法线方程
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【例 2】 求曲线 x 2 + y 2 + z 2 = 6 ， x + y + z = 0 在 点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程.
一元函数微分几何意义 dy = f ′( x0 )Δx
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因为曲面在M 处的切平面方程为
z − z0 = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 )
切平面 上点的 竖坐标 的增量
函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )的全微分
【分析】为隐式情形（待定常数法） 【解】 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点, 切平面方程为
2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 ⇒ 2 x = y = z . = = , 0 0 0 1 4 6
dz x − y = , dx y − z
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⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量 T
( 1 , − 2 ,1 )
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解 设 ( x0 , y0为,曲z0面)上的切点,
第六节 微分在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面方程 空间曲面的切平面和法线方程 小结 思考题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t)
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x x0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 条则曲线n，T它, 们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一， 故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在 同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
空间曲线与曲面的切平面与法线方程
空间曲线与曲面的切平面与法线方程在几何学中，空间曲线与曲面的切平面与法线方程是研究曲线与曲面性质的重要工具。
通过求解切平面与法线方程，我们可以揭示曲线曲面的性质，进而应用于实际问题的求解与分析。
本文将介绍空间曲线与曲面的切平面与法线方程的推导过程和应用案例。
一、空间曲线的切平面与法线方程1. 切线与切平面在空间几何中，曲线上的点处，切线是通过该点且与曲线相切的直线。
曲线上每一点都有唯一的切线。
通过求解切线，我们可以得到曲线的切平面与法线方程。
2. 切线方程的求解设曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)对曲线参数方程求导，得到切线向量T：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)切线方程可表示为：(x - x0) / (dx/dt) = (y - y0) / (dy/dt) = (z - z0) / (dz/dt)3. 切平面方程的求解切平面是通过曲线上一点与切线方向垂直的平面。
设切平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为切平面的法向量。
由于切线向量T与切平面法向量垂直，所以有：A(dx/dt) + B(dy/dt) + C(dz/dt) = 0根据切线方程求解得到的切线方程，将其代入上述方程中，即可得到切平面方程。
4. 法线方程的求解法线是切平面上与切线垂直的直线。
切平面方程的法向量为(A, B, C)，法线方程可表示为：(x - x0) / A = (y - y0) / B = (z - z0) / C二、曲面的切平面与法线方程1. 切平面方程的求解曲面的切平面与曲面上一点处的切向量垂直。
设曲面方程为F(x, y, z) = 0，求曲面某点的切平面方程，需要求解该点处的梯度向量∇F。
切平面方程可表示为：∇F · (x - x0, y - y0, z - z0) = 02. 法线方程的求解法线是曲面上与切平面垂直的直线。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以用参数方程或者向量函数的形式来表示。
在研究空间曲线的性质时，我们需要求出曲线在某一点处的切线方程和法平面方程。
切线方程切线是空间曲线在某一点处的切线，它是曲线在该点处的局部近似线性。
对于曲线上的一点P，它的切线方程可以用向量函数表示为：r = rP + t(T)其中，r表示曲线上任意一点的向量，rP表示曲线上的点P的向量，t是一个参数，T表示曲线在点P处的单位切向量。
单位切向量是曲线在该点处的切线方向上的单位向量。
切向量可以通过求导得到，即T = r'(t)这里，r'(t)是曲线在点P处的斜率向量，也可以写成曲线的导数。
法平面方程与切线相对应的是法平面，它是垂直于曲线的平面。
在曲线上任意一点P处，法平面垂直于该点处的切向量。
法平面方程可以用点法式表示为：n · (r - rP) = 0其中，n表示法平面的法向量，r表示曲线上任意一点的向量，rP表示曲线上的点P的向量。
点法式要求法向量n必须是单位向量，这意味着我们需要对它进行归一化处理。
法向量n可以通过求曲线在点P处的曲率向量得到，即K = r''(t) / ||r'(t)||^3曲率向量是曲线在该点处的曲率方向上的单位向量。
曲线的曲率 K 表示曲线在该点处的弯曲程度。
曲率越大，曲线在该点处的弯曲程度就越大。
然后，我们可以将曲率向量进行归一化处理得到法向量n，即n = K / ||K||综上所述，求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程的基本方法是：1. 求出曲线在该点处的切向量 T = r'(t)。
2. 构造切线方程 r = rP + t(T)。
3. 求出曲线在该点处的曲率向量 K = r''(t) / ||r'(t)||^3。
4. 构造法平面方程 n · (r - rP) = 0，其中 n = K / ||K||。
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§14-6 空间曲线的切线与空间曲面的切平面
一、空间曲线的切线和法平面
概念:曲线在某点切线及法平面. 光滑曲线.
推导:已知:曲线Γ(光滑):⎪⎩
⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x βα≤≤t
),,(000z y x P 0t t = 取),,(000z z y y x x Q ∆+∆+∆+
则割线 z
z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 切线: )
()()(0'00'00'0t z z z t y y y t x x x -=-=- 曲线Γ在P 处的切线向量:{}ρ)(),(),('''t z t y t x T =→
法平面: 0))(())(())((00'00'0'=-+-+-z z t z y y t y x x t x
例1:求曲线 t x 2=, 23-=t y , 22t t z -=在点(1)1=t (2))0,6,4(M 处的切
线及法平面方程.
(1) )1,1,2(1-↔=P t {}{}0,3,222,3,212=-==→
t P t t T
切线: 013122-=+=-z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0
13122z y x (严格表示) (2) 2)0,6,4(=↔t M {}{}{}1,6,122,12,222,3,222-=-=-==→t m t t T 切线:
1
6614-=-=-z y x 法平面:0)6(6)4(=--+-z y x 即0406=--+z y x
例2:求曲线Γ⎩⎨⎧=++=++0
6222z y x z y x 在点)1,2,1(-M 处切线及法平面方程.
解: Γ的常数方程⎪⎩⎪⎨⎧===)()(x z z x y y x x {}
)
(),(,1''x z x y T =→
将⎩⎨⎧=++=++0
6222z y x z y x 两边对x 求导
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+1dx
dz dx dy x dx dz z dx dy y 代入法成代数法
z y x z dx dy --= z y y x dx dz --= {}1,0,1,,1)
1,2,1(-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-→dx dz dx dy T M 切线: 1
10211--=+=-z z x <说明> 法平面: 0)1()1(=---z x 即 0=-z x
解二:见例3后
二、空间曲面的切平面与法线
概念：曲面在P 处的切平面及法线
推导：（思路） 具连续偏导
曲面∑ 0),,(=z y x F
点P ),,(000z y x P 0t t =↔
∑上过P 任一曲线Γ：)(t x x = )(t y y = )(t z z = 0t t P =↔
Γ⇒过P 的切线向量{})(),(),(0'0'0't z t y t x T =→
“-”
另Γ代入∑ []0)(),(),(≡t z t y t x F
对t 求导，0t t = 0)(),,()(),,()(),,(0'000'0'000'0'000'=++t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y t
于是，若记{}),,(),,,(),,,(000'000'000'z y x F z y x F z y x F n z y x =→存在且不全为0 →n 与→
T 垂直
2，Γ的任意性；→n 与Γ无关 仅与∑及P 有关
故，→n 与∑上过P 的任意曲线的切线垂直⇒→n 是切平面法向量
切平面：0))(,,())(,,())(,,(0000'0000'0000'=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x （曲面法向量： →n ）
法线： )
,,(),,(),,(000'0000'0000'0z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 例3：求旋转抛物面122-+=y x z 在点P （2，1，4）的切平面，法线方程，关
键法向量.
设z y x z y x F --+=1),,(22 (隐←显)
{}{}{}1,2,41,2,2,,)4,1,2()4,1,2('''-=-==→y x F F F n z y x
切平面: 0)4()1(2)2(4=---+-z y x 即0624=--+z y x 法线: 1
42142--=-=-z y x 说明: 例2的解法二 思路 ～65P 例4
作业: 79P 44 45(1) 46 47
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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