BB6_5几种常用的二次曲面与空间曲线PPT课件

x2 a2
z2 c2
1
分别绕
x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
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二、柱面
z
引例. 分析方程 x2 y2 R2
表示怎样的曲面 .
开口向下的旋转抛物面. 例3. 旋转椭球面
0
y
特点:母线C为椭圆,轴为椭圆的
x
对称轴. 例如:yoz面上的椭圆:
y2 a2
z2 b2
1
z
绕z轴旋转得旋转曲面方程:
x2 y2 a2
z2 b2
1
绕y轴旋转得旋转曲面方程:
x
y2 a2
x2 z2 b2
1
y
注:旋转曲面的重要特征是其两个变量的平方项系数相等. 19
例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z y cot
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z x2 y2 cot
令 a cot
两边平方
x
M (0, y, z)
y
z2 a2( x2 y2 )
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例5.
求坐标面
xoz
上的双曲线
M
解:在 xoy 面上， x2 y2 R2 表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0) , 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为
圆柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
称它为空间曲线的 参数方程.
z
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M
o
x a cos t y a sin t
令 t , b v
z vt
x x a cos y a sin
y
z b
当 2 时, 上升高度 h 2 b, 称为螺距 .
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例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2
y2
za
1 2
1 2
cos
t
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2、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为 求其在 xoy 平面上的投影.
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
(1)
消去 z 得投影柱面 H (x, y) 0, (2)
满足（1）的数 x, y, z 中的 x, y 必满足（2）式。
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z)
C
M1 (0, y1, z1 )
M (x, y, z) , 则有
o y
z z1, x2 y2 y1
x
故旋转曲面方程为
x2 y2 R2 表示圆柱面
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定义2. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
• y2 2x表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
yl
z
• x y 0 表示母线平行于
表示为：
F(x, y) z 0
0
而 F (x, y) 0 在空间坐标系中表示柱面。
例如：抛物柱面 z 1 x2
z
(0,0,1)
在xoz平面上的准线L3
L3
L3 :
z 1 x2
y
0
x
y
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三、几种常用的空间曲线
三元二次方程
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
高等数学
第二十一讲
1
第五节
第六章
几种常用的二次曲面与空间曲线
一、旋转曲面 二、柱面 三、几种常用的空间曲线
2
一、旋转曲面
定义1. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
3
下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的 旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
z a(x2 y2)
问:此曲线若绕x轴旋转所得的是何图形?
0
y
18
例2: S : z 1 x2 y2
z
(0,0,1)
其图形顶点在z轴上(0,0,1)处,
1
2x 3z 6
(2)
z
x2
a2 x2 y2 y2 ax 0
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
x cost y sin t0 t 2z源自1 3(62
cos
t)
(2)
将第二方程变形为
(x
a 2
)2
y2
a2 4
, 故所求为
x
a 2
a 2
cos
t
y
a 2
sin
t
0 t 2
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2. 方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
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注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆, 在不同的坐标系中应该注意。
一般在xoy面上的曲线，在空间直角坐标系中应该
o
z 轴的平面.
(且 z 轴在平面上) x
y x
o y
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一般地,在三维空间曲面图形的方程中缺少一个变量,
此方程表示柱面方程.其图形平行于所缺变量对应的数轴. 方程 F (x, y) 0 表示柱面, z
母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1. 方程 G( y, z) 0 表示柱面,
f ( x2 y2 , z) 0
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同理：当曲线 C : f ( y, z) 0
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程: f ( y , x 2 z 2 ) 0
例1. 旋转抛物面
特点:母线C为抛物线,轴L为抛物线的对称轴。 z
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
x x(t) y y(t) z z(t)