解析几何_柱面、旋转曲面与二次曲面

母线L与x 轴平行.
例如抛物柱面
y - x2 = 0 0
x
z
C: xOy 平面上的抛物线
yz
x2 =
o
y
L:平行于z 轴
o
y x
圆柱面 x2 +z2= 1 C: xOz 平面上的圆 x2 +z2= 1
L:平行于y 轴
空间曲线在坐标面上的投影
1、概念
C：空间曲线 投影柱面S：以C为准线， 母线平行于坐标轴的柱面。
z 轴的柱
面，其准线为xoy 面上曲线C . （其他类推）
实 例
y z 2 1 2 b c x2 y2 2 1 2 a b 2 x 2 pz
2
2
椭圆柱面 母线// x 轴 双曲柱面母线// z 轴 抛物柱面母线// y 轴
1. 椭圆柱面
x y 2 1 2 a b
z
2 2
2. 双曲柱面
这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。
例1、求直线 x y z 1
2 1 0
绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。 解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴 通过原点，所以过M1的纬圆方程是：
H x, y 0 R y, z 0 T x, z 0 或 或 z0 x0 y0
例 已知两球面的方程为
x y z 1 及 x y 1 z 1 1
2 2 2 2 2 2
求它们的交线C在xOy面上的投影方程．
曲线C称为放置曲面的母线
C
o
纬线
经线
二、旋转曲面的方程 在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：
F1 ( x, y, z ) 0 C : (1) F2 ( x, y, z ) 0 旋转直线为： x x0 y y0 z z0 L: (2) X Y Z 其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴 L的方向数。 设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总 可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中 心，|P0M1|为半径的球面的交线。
（2）母线平行于坐标轴的柱面方程 І、 F(x , y ) = 0
准线C: xOy 平面上的曲线F(x, y) = 0
母线L与z 轴平行；
Ⅱ、G(x , z) = 0
准线C: xOz 平面上的曲线G(x, z) = 0
母线L与y 轴平行；
Ⅲ、H( y , z) = 0
准线C: yOz 平面上的曲线H(y, z) = 0
解 消去变量z，得投影柱面方程
x 2y 2y 0
2 2
于是投影方程为 x 2 y 2 y 0
2 2

z0
例 设一个立体由上半球面 与锥面 z 3( x y ) 面上的投影．
2 2
z 4 x y
2
2
所围成，求它在xOy
解 半球面与锥面的交线 C:
2 2 z 4 x y 2 2 z 3( x y )
所以过M1的纬圆的方程为：
(3) X ( x x0 ) Y ( y y0 ) Z ( z z0 ) 0 2 2 2 2 2 2 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) ( x1 x0 ) ( y1 y0 ) ( z1 z0 ) 当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆， 这些纬圆就生成旋转曲面。 又由于M1在母线上，所以又有： F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 C: (4) F2 ( x1 , y1 , z1 ) 0 从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一 个三元方程： F(x,y,z)=0
消去变量，得投影柱面方程
x y 1
2 2
x y 1 投影曲线方程 z 0
2 2
Baidu Nhomakorabea
所求立体在xOy面上的投影就是该圆在xOy 面上
2 2 所围成的区域 x y 1 z0
旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 转曲面 , 这条定直线叫旋转曲面的 轴.
x z C S o y
C
投影C’：投影柱面与投影坐标面的交线。
2、求解步骤
空间曲线C的一般方程
(1) 投影柱面方程
F x, y , z 0 G x, y, z 0
H x, y 0 或 R ( y , z ) 0 或 T ( x, z ) 0
(2) 投影曲线方程
柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线叫 柱面的准线， 动直线叫柱面 的母线. 观察柱面的形 成过程:
母线
准 线
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
且有
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0
从（2）（3）中消去x1,y1,z1得 F(x,y,z)=0
(3)
这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。
柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于
x2 y2 2 2 1 a b
z
o
O
y
y
x
x
例1、柱面的准线方程为
2 2 2 x y z 1 2 2 2 2 x 2 y z 2
而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。 例2、已知圆柱面的轴为
x y 1 z 1 1 2 2
点（1,-2,1)在此圆柱面上，求这个柱面的方程。