柱面锥面旋转曲面和平面

l

S
旋转曲面方程的表示： 一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的 一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只 需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余 两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标
例 1 将双曲线
y2 z2 2 2 1 :b c x 0
绕
z
z 轴旋转
x, y, z 0 叫 次齐次方程.
f x, y,叫做 z
锥面的判定定理
定理 一个关于 x, y, z 的（正数次）齐次方程 总表示顶点在坐标原点的锥面。（反之亦然） 推论 关于 x x0 , y y0 , z z0 的（正数次）
齐次方程表示顶点 在 x0 , y0 , z0 的锥面（反之 亦然）
双曲柱面
x2 z2 2 2 1 a b
z
o
y
x
抛物柱面
y 2 2 px
z y
o
x
在空间直角坐标系里，因为这些柱面与 xOy 坐标面的交线分别是椭圆，双曲线与抛物线， 所以它们依次叫做椭圆柱面，双曲柱面，抛物 柱面，统称为二次柱面.
z z z y
O
o
y
x
o
x
y x
锥 面
锥面的概念
o b
y
将双曲线
z
y2 z2 2 2 1 :b c x 0 绕 轴旋转
z
o b
y
.
x2 y2 z2 2 2 1 2 b b c
单叶旋转双曲面
x
y
例 2 将双曲线 y2 z2 2 2 1 :b c x 0
b
绕
y
轴旋转
0
z
将双曲线
y2 z2 2 2 1 :b c x 0
x y z 2 2 1 2 a b b
长形旋转椭球面
2 2 2
z
例6 （2）
将椭圆
x2 y2 2 2 1 :a a b b z 0
y
绕短轴（即 y 轴）旋转
扁形旋转椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b a
o a
x
b
z
练习
作出曲面 z x y 和 x y z 所围立体图形
z 1
0
1
y
x
–1
平面的一般方程
定理 空间中任一平面的方程都可以表示成一 个关于变量 x,y,z 的一次方程；反过来，每一 个关于变量 x,y,z 的一次方程都表示一个平面， Ax+By+Cz+D=0 叫做平面的一般方程。
几种特殊情形讨论：
ⅰ）当且仅当 D＝0 ， Ax+By+Cz=0 平面通过原点。
z
.
.
y
o
旋转抛物面
x
x2 y 2 2 pz
z
o
a
b
y
2 2 2 例5 将圆 y b z a : b a 0 x 0 绕 z 轴旋转
z
o
y
.
x
例5 将圆 旋转
2 2 2 y b z a : b a 0 x 0
ⅲ）当A，B，C 中有两个为 0 时 当且仅当 B=C=0，① D≠0, 平面Ax+D=0平行于 yOz 平面； ② D＝0，平面Ax=0 即为 yOz 平面 。 A=C=0，① D≠0, 平面By+D=0平行于 xOz 平面； ② D＝0，平面By=0即为 xOz 平面。 A=B=0，① D≠0, 平面Cz+D=0平行于 xOy平面； ② D＝0，平面Cz=0即为xOy平面。
绕z轴
z
环面
o
y
.
x
2 2 2 y b z a . .0 : b a 例5 将圆 绕 z 轴旋转 x 0
例6 （1）将椭圆
x2 y2 2 2 1 :a a b b z 0
y
o b
a
x
绕长轴（即 x 轴）旋转
定义 在空间通过一定点且与定曲线相交的一族
直线所生成的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥
面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫
做锥面的准线。
准线 母线
顶点
定义 设
f tx, ty, tz t f x, y,，那么 z

为 实数，对于函数 f x, y, z ，如果有

次齐次函数， f
ⅱ）当A,B,C 中有一为0 当且仅当 C=0, ①D≠0时, 平面Ax+By+D=0 平行于z 轴； ②D＝0时，平面Ax+By=0 通过z 轴。 A=0, ①D≠0时,平面By+Cz＋D=0 平行于x 轴； ②D＝0时，平面By＋Cz=0 通过x 轴。 B=0，①D≠0时,平面Ax+Cz＋D=0 平行于y轴； ②D＝0时，平面Ax＋Cz=0 通过y 轴。
2 2 ( x y ) dv , 例 计算三重积分
面z
解
x 2 y 2 与平面 z H ( H 0) 所围成。
z

其中 是由曲
H H
o
x
y
旋转曲面
l

定义
在空间，一条曲线 Γ 绕着定直线 l 旋转一周所生成的曲
面 S称为旋转曲面
Γ 称为旋转曲面的母线
.
l 称为旋转曲面的旋转轴
y
b
x
绕
.
y
轴旋转
0 z
y2 x2 z2 2 2 1 2 b c c
双叶旋转双曲面
例3 将抛物线
y 2 pz : x 0 绕它的对称轴旋转
2
z
o
y
例3 将抛物线
y 2 pz : x 0
2
z
绕它的对称轴旋转
.
o
y
x
例4 将抛物线 2 y 2 pz : x 0 绕它的对称轴旋转
线都相交的曲线都可以作为柱面的准线.
z母线Βιβλιοθήκη v准线0
y
准线
x
柱面举例：
z
平面
o
y
x
y x
平面方程：
y x
圆柱面
x2 y 2 a2
z
o
x
y
椭圆柱面（直角坐标系）
x2 y2 2 1 2 a b
z
o
x
y
柱面的判定定理
定理 在空间直角坐标系中，只含有两个元 （坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱 面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名 坐标轴。
柱面
cylinder
一、柱面的概念
定义 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平 定曲线叫做柱面的准线（directrix）， 每一条直线，都叫做柱面的母线. 那族平行直线中的
定方向叫做柱面的方向， 行直线所生成的曲面叫做柱面（cylinder），
v
准线
母线
说明：柱面的准线不是惟一的，每一条与柱面的母