生活中的二次曲面
合集下载
几种二次曲面及其标准方程
第九节几种二次曲面及其标准方程
我们把三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面，平面叫一次曲面。
怎样了解三元二次方程所表示的曲面的形状呢？方法之一是用坐标面和平行
于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
利用截痕法我们讨论了几种特殊的二次曲面。
一、椭球面
当时，表示球心在原点的球面。
二、抛物面
，（椭圆抛物面）
当时，开口朝上；时，开口朝下。
当时，方程表示面上的抛物线绕轴旋转而成的旋转抛物面。
，（双曲抛物面，又称马鞍面）
三、双曲面
单叶双曲面
双叶双曲面
四、锥面
椭圆锥面
当时，方程表示圆锥面. 例1 指出下列方程在空间表示什么曲面？
（1）
（2）
（3）
（4）
解（1）椭球面，半轴分别为。
（2）顶点在，开口朝下的抛物面。
（3）顶点在原点，开口朝上的上半个圆锥。
（4）顶点在，开口朝下的下半个圆锥。
二次曲面双曲面反射
二次曲面双曲面反射1. 引言在光学中，反射是指光线从一个介质到另一个介质的界面上发生改变方向的现象。
而二次曲面双曲面反射则是指光线在经过二次曲面双曲面后发生反射的现象。
本文将详细介绍二次曲面、双曲面以及二次曲面双曲面反射的相关概念和原理。
2. 二次曲面二次曲面是指由二次方程定义的平滑的几何体。
一般来说，它可以分为四类：椭圆、抛物线、双曲线和退化情况。
2.1 椭圆椭圆是由一个平行于坐标轴的平截头圆锥与一个垂直于坐标轴的平截头圆锥相交得到的。
其数学表达式为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半径。
2.2 抛物线抛物线是由一个垂直于坐标轴的平截头圆锥与一个与之相切于顶点的平截头圆锥相交得到的。
其数学表达式为：y = ax^2 + bx + c其中a、b和c为常数，a不等于零。
2.3 双曲线双曲线是由一个垂直于坐标轴的平截头圆锥与一个与之不相交的平截头圆锥相交得到的。
其数学表达式为：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1其中a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的半径。
2.4 退化情况退化情况指二次曲面在某些特殊条件下所呈现出来的形状。
例如，当椭圆或双曲线在一个方向上的半径趋近于无穷大时，它们会退化成一条直线。
3. 反射定律反射定律是描述入射光线和反射光线之间关系的基本规律。
根据反射定律，入射光线、法线和反射光线三者共面，并且入射角等于反射角。
这意味着入射光线从一个介质到另一个介质发生反射时，其传播方向发生改变但仍在同一平面内。
4. 双曲面反射双曲面反射是指光线在经过双曲面后发生反射的现象。
与其他曲面不同的是，双曲面具有特殊的几何形状，导致光线在其上发生反射时产生一些独特的现象。
4.1 焦点和直径对于双曲线而言，它有两个焦点和两条直径。
焦点是指离开双曲线两个端点等距离的点，而直径则是通过焦点并且垂直于主轴的直线。
4.2 反射特性当光线从一个介质到达双曲面时，根据反射定律会发生反射。
常用的二次曲面方程及其图形
双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
图形
标准方程
x2 y 2 1a 0，b 0 a2 b2
y2 x2 1a 0，b 0 a2 b2
F1 c， 0
焦点坐标
a, b, c
F2 c， 0
F1 0， c
F2 0，c
c 2 a 2 b 2 c a 0，c b 0
x 2 y 2 x1 x 2 y 2 2 pz1
2
3)
z1 =z 时，得到：
x2 y2 z 2 p 2 p
3、 双曲抛物面（鞍型曲面）
方程为：
x2 y2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
1、 椭圆球
x 方程为： a
曲线为：
2 2
y2 z2 2 2 1 b c
-------------------（1）
1） 2）
由方程（1）可知
x2 y2 z2 1 ， 1 ， 1， b2 c2 a2
其与三个坐标平面的交线为：
x2 y2 2 1 a2 b
z=0
x2 z2 1 a2 c2
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 2 1 a2 b
2）
当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
Z= z1
z1 2 x2 y2 1 a2 b2 c2
-------------椭圆
3）
当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
几种常见的二次曲面共36页文档
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
几种常见的ห้องสมุดไป่ตู้次曲面
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
常见的二次曲面
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
x y 当h=±c时，截痕为 2 2 0，即截痕缩为一 a b 点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为
y2 z2 2 2 1, b c x 0.
无图形.
用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为
y 2 z 2 h2 2 2 2 1, b c a x h.
b 2 当|h|>a时，其图形为椭圆，半轴分别为 h a2 a c 2 2 和 h a ； a
方程
x2 y2 z ( p, q同号) 2 p 2q
(5)
所确定的曲面为椭圆抛物面. 若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
六、双曲抛物面
x2 y2 z ( p, q同号) 方程 2 p 2q
确定的曲面为双曲抛物面.
(6)
设p>0，q>0.
用Oxy坐标面截所给曲面，截痕为两条直线
由方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
(3)
所确定的曲面称为双叶双曲面.
用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 Βιβλιοθήκη 2 2 2 1 2 , a b c z h.
几种常见的二次曲面
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.
几种常用的二次曲面与空间曲线(1)
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
的交线 三个坐标面的投影。
解：1. x 2 y2 的母线 L//z轴，则它就是交线在
xoy平面的投影柱面，因此交线在xoy面的投影曲线：
C :
x 2y2
它是xoy面上的一条抛物线。
双曲抛物面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方程
x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
几种常用的二次曲面与空间曲线
一、旋转曲面 二、柱面 三、几种常用的空间曲线
一、旋转曲面
定义1. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的
旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0) , 过此点作 x
D7.5几种常见的二次曲面
高等数学
目录 上页 下页 返回 结束
25
( p, q同 ) 号
思考与练习
1. 指出下列方程的图形: 方 程
x =5
x +Biblioteka y =92 2平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
x2 y2 + =1 , a2 b2 z =0
高等数学
目录 上页 下页 返回
结束
17
x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 ( a, b, c为正数) 2 a b c
(3) 截痕:与 z = z1 ( z1 < c)的交线为椭圆:
x
2
2
a (c2 z 2 ) 1 c2
+
y
2
2
z
b (c2 z 2 ) 1 c2
z
f ( y1, z1) = 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M(x, y, z) , 则有
M(x, y, z)
C
M1 (0, y1, z1 )
z = z1,
x + y = y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( ± x2 + y2 , z) = 0
高等数学
目录 上页 下页 返回 结束
12
思考: 思考:当曲线 C 绕 y 轴旋转时,方程如何?
2
2
2
x
y
1) y1 < b 时, 截痕为双曲线:
a c y = y1
高等数学
2 y1 x z 2 =1 2 2 2 2
目录 上页 下页 返回 结束
25
( p, q同 ) 号
思考与练习
1. 指出下列方程的图形: 方 程
x =5
x +Biblioteka y =92 2平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
x2 y2 + =1 , a2 b2 z =0
高等数学
目录 上页 下页 返回
结束
17
x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 ( a, b, c为正数) 2 a b c
(3) 截痕:与 z = z1 ( z1 < c)的交线为椭圆:
x
2
2
a (c2 z 2 ) 1 c2
+
y
2
2
z
b (c2 z 2 ) 1 c2
z
f ( y1, z1) = 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M(x, y, z) , 则有
M(x, y, z)
C
M1 (0, y1, z1 )
z = z1,
x + y = y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( ± x2 + y2 , z) = 0
高等数学
目录 上页 下页 返回 结束
12
思考: 思考:当曲线 C 绕 y 轴旋转时,方程如何?
2
2
2
x
y
1) y1 < b 时, 截痕为双曲线:
a c y = y1
高等数学
2 y1 x z 2 =1 2 2 2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
一点或椭圆 一点或椭圆 一点或椭圆
二、抛物面 1、椭圆抛物面
方程
x2 y2 2 z 2 a b
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
一点或椭圆 抛物线 抛物线
•
你知道吗？
• 在数学史上，除公认的笛 卡尔以外，和笛卡尔同时 代的法国业余数学家费马 也是解析几何的创建者之 一。 • 费尔马是一个业余从事数 学研究的学者，对数论、 解析几何、概率论三个方 面都有重要贡献。
• 费马(Pierre de Fermat， 1601～1665）法国著 名数学家
名师大贡献
2、双曲抛物面 2 2 x y 2 z 方程 2 a b
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
两条直线或双曲线 抛物线 抛物线
三、双曲面 1、单叶双曲面
x2 y2 z2 方程 2 2 1 2 a b c
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
• 2、双曲抛物面：
x2 y 2 2 z 2 a b
• 以下两个建筑你能说 出它们所包含的曲面 类型吗？
生活中的双曲面
• 1、单叶双曲面：
x2 y2 z2 1 a 2 b2 c2
• 2、双叶双曲面：
x2 y 2 z 2 2 2 2 1 a b c
• 看到这两个图形你能 想到什么？
• 2、椭圆锥面：
x2 y 2 z 2 0 a 2 b2 c 2
• 吃过吧！
生活中的球面
• 1、球面：
x2 y 2 z 2 a 2
• 2、椭球面：
x2 y 2 z 2 1 a 2 b2 c2
• 玩过吗？:-）
生活中的抛物面
• 1、椭圆抛物面：
x2 y 2 2 z 2 a b
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
椭圆 双曲线 双曲线
2、双叶双曲面
x2 y2 z2 方程 2 2 2 1 a b c
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
一点或椭圆 双曲线 双曲线
你有没有发现？
世一 事 的 行 一 个 次 生 界直 物 世 色 架 茶 曲 活 里生 ， 界 色 飞 杯 面 中 。活 你 ， 的 机 ； ， 还 在会留曲、大小有 奇发心面一到到各 幻现身构座一一式 的原边成建辆支各 曲来的了筑轿笔项 面我每多。车、的 的们个彩行、一二 •
生活中的二次曲面
组员：
大知识小背景
• 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对 几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿 着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略 发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这 些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几 何的出现。 在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、 旋转曲面。椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。 比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门 在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电 望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。
截痕法研究二次曲面
截痕法：通过研究坐标面或其平行平面与二次曲面
相截，考察其交线（即截痕）的形状，然
后加以综合，得出曲面全ห้องสมุดไป่ตู้的方法。
下面看一下几种特殊二次曲面与坐标平面相截所得截 痕。
一、椭球面
方程
x2 y 2 z 2 2 2 1 (a 0, b 0, c 0) 2 a b c
•
•
•
•
生活中的柱面
• 1、圆柱面：
x2 y 2 a2
• 2、椭圆柱面：
x2 2 py 0
• 3、双曲柱面：
x2 y2 1 a 2 b2
• 4、抛物柱面：
x2 y2 2 1 a2 b
生活中的锥面
• 1、圆锥面：
x2 y 2 z 2 2 2 0 2 a a c
• 1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼 奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一 些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论 进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有 八页的论文《平面与立体轨迹引论》。 费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的 数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年 以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费 马的工作却是开创性的。 《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。他指出：“两个未知 量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费 马的发现比勒奈· 笛卡儿发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对 一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。 笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研 究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相对的方面。 在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱 面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示 一个曲面，并对此做了进一步地研究