几何与代数-二次型二次曲面
二次型与二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例5. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 解: f = x123x222x1x26x2x3+2x1x3 = [x12 2x1(x2 x3) + (x2 x3)2] (x2 x3)2 3x22 6x2x3 = (x1 x2 + x3)2 (2x2 + x3)2 = y12 y22
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形 1. 矩阵的合同 A与B相合或合同 (记为 A B): 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. ETAE = A
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形 1. 矩阵的合同 A与B相合或合同 (记为 A B): 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. (3) 对称性: A B B A. PTAP = B (P 1)TBP 1 = A
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
回忆
定理5.7. AT = A Mn(R) 正交矩阵Q使得 Q1AQ = QTAQ是对角矩阵.
|EA| = 0 特征值 正交化 (EA)x = 特征向量
Q
单位化
定理6.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
最大值为4, 最小值为2.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
3. 用配方法化二次型为标准形
第六章 二次型与二次曲面(2)
代 入 f 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3 ,
得 f 2y122y224y1y38y2y3
2y124y1y32y322y322y228y2y3
2(y1y3)22(y224y2y34y32)6y32
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32.
证:
f X T AX 为负定的
f 为 正 定 的 X T ( A)X 为 正 定 的 A的 各 阶 顺 序 主 子 式
a11 a12 a21 a22
a1k
a2k ( 1) k k 0 (1 k n )
ak1 ak2
akk
判 断 二 次 型 为 正 定 (负 定 )的 方 法 ： 1 . 通 过 A的 特 征 值 2 . 通 过 A的 顺 序 主 子 式 3 . 定 义
p1 p1
d
pq
y
2 pq
其中： p q R( A) r， d j 0 ( j 1, 2, , p q)
再令
yj
1 dj zj
( j 1, 2, , p q)
得二次型 f 惟一的的规范形 ：
f z1 z p z p1 z pq
定义2.1 二次型 f (x1, x2, , xn ) X T AX，
x2 ( a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn ( an1 x1 an 2 x2 ann xn )
( x1, x2 ,
a11x1 a12 x2
,
xn
)
a 21x1
a 22 x2
a n1x1 a n2 x2
a1n xn
a 2n xn
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
二次型与二次曲面
第七章 二次型与二次曲面二次型的定义定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式()ji ij n i nj j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==1121称为n 元二次型或二次形式。
当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。
例：()3221213213x x x x x ,x ,x x Q +-=例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-=()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n nnn n n n n nn n n ji ij n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 212122221112112122211222222122111211221111121令()()TijTn A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q Tn = 21，称A 为二次型的矩阵。
()x x x x x x x ,x ,x x Q T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=02302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且r (A )=n .()∑∑===n i nj j i ij n x x |A|A ,x ,,x x Q 1121矩阵的相合设n n ,β,,ββ,,α,,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即()()P ,α,,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为()()Tn Tn ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121==则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）：x P y Py x 1-==或。
几何与代数二次型(微改2)
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
命题1 命题1.二次型 f =d1y12+d2y22+…+dnyn2是正定的 +…+d 全大于零. 当且仅当 d1, d2, …, dn全大于零. 命题1’. diag{d 命题1’. diag{d1, …, dn}正定⇔ ∀ i, di > 0. 正定⇔ 0 d1
1 3 2
1 2 9 3 8 2 3 3
8 3
2 3
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
y1 = x1 y2 = x2 + 1 x3 3 y = x 3 3
1 0 0 y = 0 1 1/3 x. 0 0 1
P
1 x= 0 0
0 0 1 -1/3 y. 0 1
第六章 二次型与二次曲面
B= PTAP
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
定理6.1. 定理6.1. 设n阶实对称矩阵A与对角阵合同. 阶实对称矩阵A与对角阵合同.
Q为正交阵， 为正交阵，
λ1
QT = Q-1
Q-1AQ=
λn
进一步， 推论 可得 阶实对称矩阵A 可得n 进一步，由推论6.2可得n阶实对称矩阵A与 下列对角阵合同 Ep ( p,q分别为 的 分别为A的 分别为 −Eq 正负惯性指数 ) O
2 2 2 =4x1 +3( x2 + 2 x2 x3 + x3 ) 3
=4x +3[( x + x2 x3 + x )− x ]+3x
2 1 2 2 2 3 1 9 2 3 1 9 2 3
2 3
=4x +3( x + x2 x3 + x )+ x
第六章 二次型与二次曲面
从而得特征值： 1 9, 2 3 18. 2．求特征向量 将1 9代入 E A X 0, 得基础解系
X1 (1, 2, 2) .
T
将2 3 18代入 E A X 0, 得基础解系
X 2 (2,1,0) ,
T
X 3 (2,0,1) .
i 1 j 1
n
n
矩阵表示： f ( x1 , x2 , , xn ) x1 (a11 x1 a12 x2
a1n xn ) a2 n xn ) ann xn )
a1n xn a2 n xn ann xn
x2 (a21 x1 a22 x2 xn (an1 x1 an 2 x2
X T AX
a11 a12 a a22 21 , xn ) an1 an 2
a1n x1 a2 n x2 ann xn
对称矩阵A : 二次型 f 的矩阵 二次型 f : 对称矩阵 A 的二次型
例 写出二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 3x3 4 x1 x2 6 x2 x3
证：
f ( x1 , x2 , , xn )的矩阵A为实对称矩阵， 由第五章的定理3.6知，存在正交矩阵C , 使得 C 1 AC C T AC diag (1 , 2 , , n )
其中，1 , 2 ,
, n 为实对称矩阵 A的 n个特征值； ,n
C的 n个列向量是A 的对应于特征值 1 , 2 , 的 n个单位正交特征向量。
2 a22 x2 +2a23 x2 x3
2a1n x1xn 2a2 n x2 xn
二次型与二次曲面的关系
二次型与二次曲面的关系1. 引言1.1 概述二次型与二次曲面是数学中重要的概念，它们在代数和几何中发挥着重要的作用。
二次型是一类与二次多项式相关的函数形式，而二次曲面则是由二次方程定义的特定类型的曲线。
本文将探讨二次型与二次曲面之间的关系，并研究它们的特征和性质。
1.2 研究背景随着代数学和几何学的发展，人们对于函数和曲线的研究越来越深入。
而对于二次型和二次曲面的分析更是成为了这个领域中不可忽视的一部分。
通过研究二次型与二次曲面之间的联系，我们可以深入理解它们各自所具有的特征，并且可以推广到更为复杂和抽象的情况。
1.3 目的与意义本文旨在介绍并探讨二次型和二次曲面之间存在的联系，以及它们各自所具有的特征和性质。
通过对这两个概念进行详细阐述和比较分析，读者将能够更加全面地理解它们在数学中的重要性和实际应用。
此外，文章还将对可能未涉及到的研究方向进行简要展望，以期激发更多的学者和研究者对该领域问题的兴趣和探索。
2. 二次型的基本概念:2.1 二次型的定义:在线性代数中，二次型是指包含平方项和交叉乘积项的多元变量的多项式。
具体而言，对于$n$个变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$，一个二次型可以表示为如下形式的多项式：$$Q(x)=a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3+\ldots+ 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$a_{ij}$是实数系数$(i,j=1, 2, ..., n)$。
二次型可以看作是一个与欧几里得空间中的点对应的实值函数。
它在数学和工程领域中具有广泛的应用，在统计学、物理学、经济学等学科中也有重要意义。
2.2 二次型矩阵表示:每个二次型都可以通过一个对称矩阵来表示。
对于给定的$n$维向量$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，可以将其与一个对称矩阵$\mathbf{A}$相乘得到相应的二次型：$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} $$其中，$\mathbf{A}$的元素$a_{ij}$表示二次型中$x_i$和$x_j$的系数。
线性代数二次型与二次曲面4
若二次曲面的方程不是标准方程，要通过 正交变换和平移变换把一般二次方程化为 标准方程，从而知道其图形。
第六章 二次型与二次曲面
一般三元二次方程的化简
§6.4 二次曲面
a1114x
244a224y
2
4
4a343
z43 422a412
z2 c2
=
1
z = 0,
x2 a2
+
y2 b2
=
1
双曲线 椭圆
b x aO y
z = h,
x2 a2
+
y2 b2 =
1+
h2 c2
第六章 二次型与二次曲面
双叶双曲面
§6.4 二次曲面
x2 a2
+
y2 b2
z2 c2
= 1 (a>0, b>0, c>0)
z
x = 0,
y2 b2
z2 c2
21 0 解: f(x, y, z)的矩阵A = 1 1 k/2 ,
0 k/2 1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
上述方程表示一个椭球面A正定,
而P1 = 2 > 0,
P2 =
2 1
1 1
=
1
>
0,
P3 = |A| = 1k2/2.
由此可得, 2 < k < 2 时, 原方程表示一
个椭球面.
二次型
x4y4
24a143
x4z
4
24a2343yz
二次型与二次曲面
f = 4y12 +4y22 2y32.
x12+x22+x32 = 1 可化为y12+y22+y32 = 1, 此时 f = 4y12 +4y22 2y32
= 4(y12 +y22 +y32) 6y32 = 4 6y32 = 6(y12 +y22) 2(y12 +y22 +y32) = 6(y12 +y22) 2 最大值为4, 最小值为2.
§6.1 二次型
f(x1, x2, …, xn) = xTAx
x = Qy (Qy)TA(Qy) = yT(QTAQ)y
1 0 … 0 y1
= (y1, y2, …, yn)
0 …
2
…
…0 ……
y2 …
0 0 … n yn
= 1y12 + 2y22 + … + nyn2
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
]
3
x32
4
x12
3(
x22
2 3
x2
x3
1 9
x32
)
8 3
x32
4
x12
3(
x2
1 3
x3
)2
8 3
x32
令
y1 y2
x1 x2
1 3
x3
则 f =4y12+3y22+(8/3)y32.
y3 x3
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例4. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3
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003
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00
第 一
-4 0 0 三
列
300 000
0 0 -4
300 0 -4 0
000
300 P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3) = 0 -4 0
000
1/ 3 0 0
1/ 3 0 0
0 1/2 0 P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3) 0 1/2 0
二次型与二次曲面
第1节 二次型
第六章 二次型与二次曲面
四. 惯性定理与规范形 对于实二次型f(x) = xTAx
§6.1 二次型
主轴定理: 存在正交变换将其化为标准型
f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2；
配方法: 存在可逆线性变换(可以非正交) 将其化为标准型
f = k1y12 + k2y22 +…+ kmym2
问：1 , 2 , … , n与 k1 , k2 , … , km有何
关系？
第六章 二次型与二次曲面
1. 惯性定理
§6.1 二次型
定理6.2. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn 中的可逆线性变换将其化为标准形
f = k1y12 + …+ knyn2 其中k1, …, kn中非零的个数r =秩(f), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在可逆线性变换下的不变量.
A与单位矩阵E合同 可逆阵P使得A = PTP A正定
§6.1 二次型
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
定理6.4. 设A为n阶实对称阵, 则下列条件等价:
(1) Ann正定 (即x xTAx > 0)
(2) A的正惯性指数 = n
(3) A的特征值1, …, n > 0
(4) A与单位矩阵E合同 (5) 可逆阵P使得A = PTP
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
命题2. 可逆线性变换不改变二次型的正定性.
命题2’. A正定, P可逆 PTAP正定.
x Px (Px)TA(Px) > 0
xT(PTAP)x > 0
第六章 二次型与二次曲面
3. 判定 Ann正定
A的正惯性指数 = n
A的特征值1, …, n > 0
-4 0 0
100
例6. 设A= 0 0 0 ，N= 0 -1 0 ，
003
000
证明：存在可逆矩阵P使得 PT A P = N.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
-4 0 0
100
例6. 设A= 0 0 0 ，N= 0 -1 0 ，
003
000
证明：存在可逆矩阵P使得 PT A P = N.
a,b 满足条件
。
第六章 二次型与二次曲面
§6.1二次型
五. 二次型的正定性
1. 定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何
非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二
次型, 称A为正定矩阵.
若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
的可逆线性变换将其化为规范形
f
y12
y2p
y
2 p1
yr2
0 yr21 0 yn2
且规范形是唯一的(按正项,负项,零项排列).
推论6.2. 设n阶实对称矩阵A的秩为r, 则存在可 逆阵P, 使
Ep PTAP = Eq , 其中p+q = r.
O
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
注：如果从矩阵角度证明推论6.2时， 将A进行正交相似对角化后，对角阵的 对角元没有按照正、负、零的次序排列， 那么下述例题隐含着一些思路.
2. 性质
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
命题1.二次型 f =d1y12+d2y22+…+dnyn2是正定的 当且仅当 d1, d2, …, dn全大于零.
命题1’. diag{d1, …, dn}正定 di > 0 , i
…
(x1, …, xn) d1
x1 dn xn
= d1x12 + …+ dnxn2
可见 3=秩( f ), f 的正惯性指数p = 2, f的负惯性指数q = 1.
第六章 二次型与二次曲面
从矩阵角度来理解定理6.2 ：
§6.1 二次型
对于实对称阵A，存在可逆阵(正交阵)Q使得
1
QTAQ=
,
n
如果还存在某个可逆矩阵P使得
k1
PTAP =
.
kn
那么k1 kn与1 n 的非零元个数及正负数
001
100
001
= 0 -1 0
PT (此处不等于P-1 )
000
P
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
推论6.2说的是，n阶实对称矩阵A与下列对 角阵合同( 或者叫相合)
Ip Iq ( p,q分别为A的 O 正负惯性指数 )
思考： n阶实对称矩阵A还会与什么样的 对角阵合同？
k1
kn
第六章 二次型与二次曲面
f(或A)的正惯性指数 f(或A)的负惯性指数
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例如 f = 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3 在不同的可 逆线性变换下可分别化为:
f
=3y12ຫໍສະໝຸດ 1 2(3+
17
)y22+
1 2
(
17
3)y32
f = 2z12 – 2z22 +6z32
f = z12 – z22 +z32
f(或A)的正惯性指数 f(或A)的负惯性指数
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
实对称阵A或二次型xTAx的正负惯性指数 = A的正负特征值的个数
正负惯性指数之和 = 正负特征值的个数之和 =秩
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
推论6.1. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn中
§6.1 二次型
推论6.3 两个n阶实对称矩阵A和B合同 <=>它们具有相同的秩和正惯性指数.
注：由上述推论可得
n阶实对称矩阵A和B合同
A与B具有相同的秩和负惯性指数
A与B具有相同的正负惯性指数
注：一个实矩阵A与对角阵Λ合同，则A 一定是对称阵.
例.若矩阵
1 2
a b
,
2 0
0 1
合同，则参数
推论 6.4. 设 A 是正定矩阵, 则 |A|>0 .
个数是一样的,都等于A的秩和正负惯性指数.
第六章 二次型与二次曲面
所以惯性定理又可表述为
§6.1 二次型
定理6.2’. 对于实对称阵A, 总可以找到可逆阵 P使得
PTAP = diag{k1 ,…, kn} 其中k1, …, kn中非零的个数r =秩(f), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在合同变换下的不变量.