高等代数北大版课程教案-第5章二次型
高等代数北大版教案-第5章二次型
高等代数北大版教案-第5章二次型-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN４８第五章 二次型§1 二次型的矩阵表示一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三 教学重点：矩阵表示二次型四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程：定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(+++n n x x a x a 2222222 (2)n nn x a + (3)称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型.例如：2332223121213423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型.定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4)称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：４９令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(++++n n x x a x a x x a 2222221221 …+22211n nn n n n n x a x x a x x a +++∑∑===n i nj j i ij x x a 11(5)把(5)的系数排成一个n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以A A ='.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，()n x x x AX X 21='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 22112222121121211121∑∑===ni nj j i ij x x a 11.５０故 AX X x x x f n '=),,,(21 .显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且 B B A A ='=',，则，B A = 线性替换的矩阵表示令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c cc c c C 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n y y y Y 21,那么，线性替换(4)可以写成， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c c c c c212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y y 21 或者CY X =.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设 AX X x x x f n '=),,,(21 ，A A ='， (7) 是一个二次型，作非退化的线性替换CY X = (8) 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y '.现在来看矩阵B 与矩阵A 的关系 把(8)代入(7)有AX X x x x f n '=),,,(21 ACY C Y CY A CY ''='=)()(BY Y Y AC C Y '=''=)(.５１容易看出，矩阵AC C '也是对称的，事实上，AC C C A C AC C '=''''='')(.由此，即得AC C B '=.定义2 数域P 上n n ⨯矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵C ，使AC C B '=.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 (1)反身性 AE E A '=.(2)对称性 由 AC C B '=，即得)()(11--'=C B C A .(3)传递性 由111AC C A '=，2122C A C A '=，即得)()(21212C C A C C A '=.因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§2 标准形一 授课内容：§2 标准形二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法. 三 教学重点：化普通的二次型为标准形.四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.５２五 教学过程：I 导入可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型2222211n n x d x d x d +++ (1)II 讲授新课定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式. 不难看出，二次型(1)的.2222211n n x d x d x d +++ =()n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d00000021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21. 反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和称为),,,(21n x x x f 的一个标准形.例 化二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=为标准形.解：作非退化的线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x５３则3213212121321)(2)(6))((2),,(y y y y y y y y y y x x x f ++---+=323122218422y y y y y y +--=322223231822)(2y y y y y y +---=再令 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322311y z y z y y z 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3322311zy z y z z y则),,(321x x x f 233222212822z z z z z -+-=23232216)2(22z z z z +--=.最后令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==33322112z w z z w z w 或⎪⎩⎪⎨⎧=+==33322112wz w w z w z则 ),,(321x x x f 232221622w w w +-=是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011011321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321100210001100010101w w w ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321w w w . 用矩阵的方法来解 例 化二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=为标准形.解：),,(321x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=031301110A .取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1000110111C ,则111AC C A '=５４⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--031301110⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=042420202. 再取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000101012C ，则2122C A C A '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---042420202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=240420002. 再取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002100013C ，则3233C A C A '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--240420002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210001 3A 是对角矩阵，因此令321C C C C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100111311，就有AC C '⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=600020002.作非退化的线性替换CY X =即得),,(321x x x f 232221622y y y +-=.５５§3 唯一性一 授课内容：§3 唯一性二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正(负)惯性指数，符号差.三 教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别. 四 教学难点：实二次型的唯一性 五 教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.例 二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=经过非退化的线性替换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100110311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321w w w 得到标准形232221622w w w +-.而经过非退化的线性替换５６⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3100312111211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 就得到另一个标准形23222132212y y y +-. 这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 对于复数域的情形设),,,(21n x x x f 是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，),,,(21n x x x f 变为标准形，不妨设标准形为2222211r r y d y d y d +++ ，0≠i d ，r i ,,2,1 = (1)易知，r 就是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++nn r r rrr z y z y z d y z d y 1111111 (2) (1)就变为22221r z z z +++ (3) (3)称为复二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.对于实数域的情形设),,,(21n x x x f 是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使),,,(21n x x x f 变为标准形，2211p p y d y d ++ 2211r r p p y d y d ---++ (4)0>i d r i ,,2,1 = ，r 就是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++n n r r rrr z y z y z d y z d y 1111111 (5) (4)就变为221p z z ++ 221r p z z ---+ (6)(6)称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然，规范形完全被p r ,这两个数所决定.定理4(惯性定理) 任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3 在实二次型),,,(21n x x x f 的规范形中，正平方项的个数p 称为),,,(21n x x x f 的正惯性指数，负平方项的个数p r -称为),,,(21n x x x f 的负惯性指数，它们的差r p p r p -=--2)(称为),,,(21n x x x f 的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.§4 正定二次型一 授课内容：§4 正定二次型二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三 教学重点：正定二次型. 四 教学难点：判别方法 五 教学过程：定义4 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f .显然，二次型),,,(21n x x x f 221n x x ++=是正定的，因为只有在021====n c c c 时，221n c c ++ 才为零.一般的，实二次型),,,(21n x x x f 2222211n n x d x d x d +++=是正定的，当且仅当0>i d n i ,,2,1 =.可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.定理5 n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .定理5说明，正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为221n y y ++ (5)定义5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X '正定. 因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零. 定义6 子式iii i iii a a a a a a a a a P 212222111211=),,2,1(n i =称为矩阵nn ij a A )(=的顺序主子式.定理6 实二次型),,,(21n x x x f ∑∑===ni nj j i ij x x a 11AX X '=是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零.例 判断二次型3231212322213214845),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=是否正定.解：),,(321x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----524212425它的顺序主子式05> ，01225> ， 0524212425>---- 因之，),,(321x x x f 正定. 与正定性平行，还有下面的概念.定义7 设),,,(21n x x x f 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，如果都有0),,,(21<n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为负定的；如果都有0),,,(21≥n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半正定的；如果都有0),,,(21≤n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么),,,(21n x x x f 就称为不定的.对于半正定，我们有定理7 对于实二次型),,,(21n x x x f AX X '=，其中A 是实对称的，下面条件等价：(1)),,,(21n x x x f 是半正定的. (2)它的正惯性指数与秩相等. (3)有可逆实矩阵C ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n d d d AC C21，其中，0≥i d n i ,,2,1 =. (4)有实矩阵C 使C C A '=.(5)A 的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如，()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=212122211000),(x x x x x x x f 就是一个反例.。
北京大学出版社-5
用正交变换化二次型为原则形旳详细环节
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1 ,2 ,,n; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 ,2 ,,n;
4. 将特征向量1 , 2 ,,n正交化,单位化,得
记C=PK，即知可逆变换x=Cz,把二次型变成规范二次型。
f (Cz)
1 1
z12
r r
zr2
将二次型化为规范形旳环节
（1）先经过正交变换P将二次型化为原则形。
（2）再取可逆阵K，即可求得将二次型化为规范二次型旳可逆变换 阵C=PK
k1
k
0
0
,
ki
1
i ,
ir
k
n
1,i>r
例3 将二次型
第五章 相同矩阵及二次型
§5 二次型及其原则型
二次型及其原则形旳概念:矩阵对角化应用
定义 1 具有 n个变量 x1 , x2 , , xn旳二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
x1(a11x1 a12 x2
x2 (a21x1 a22 x2
a1n xn )
a2n xn )
a11
a21
a12 a22
a1n
a2n
xn (an1x1 an2 x2
ann xn )
an1
an2
ann
x1, x2,
a11x1 a12 x2
, xn
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4
从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2
第五章二次型--精品PPT课件
定义:复数域C上的n元二次齐次函数
f ( x1, x2 , , xn )
n j1
n i 1
aij
xi
x
j
其中 aij a ji ,称为C上n元Hermite型.
注: Hermite型是二次型的推广.
Hermite型矩阵_2
n元Hermite型 f ( x1, x2, , xn ) X ' AX
定理: A=A, B=B∈Cn×n，则A合同于B
r(A) = r(B)
定理: A=A, B=B∈Rn×n ，则A合同于B
A与B有相同的秩与符号差 A与B有相同的正惯性指数和负惯性指数 A与B有相同的正惯性指数和秩 A与B有相同的符号差和秩
注 1 : C上n阶对称阵，按合同关系分类共有n+1类
Hermite型矩阵_4
定理:设A是一个Hermite阵,则必存在一个可 逆阵C∈Cn×n,使 CAC为对角阵且主对角线元 素是实数.
定理:设 f (x1, …, xn) 是Hermite型, 则存在非 退化线性替换X=CY,使
f ( x1, x2 , , xn ) d1 y1 y1 d2 y2 y2 dn yn yn
二次型的标准型
引理:设0≠A’=A∈Kn×n,则必存在可逆阵C, 使C’AC的第(1,1)元素不等于0.
定理:设A’=A∈Kn×n,则存在可逆阵C∈Kn×n, 使C’AC为对角阵.
定理:设 f (x1…xn) 是K上n元二次型, 则存在 非退化线性替换X=CY,使
f ( x1, x2 , , xn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
定理中称r为f (x1…xn)的秩, p为f (x1…xn)的 正惯性指数, q = r－p称为f (x1…xn)的负惯性 指数, s = p－q称为f (x1…xn)的符号差.
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.2
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院再令Fra bibliotekz1 z2
y1 y2
y3
或
y1 y2
z1 z2
z3
z3 y3
y3 z3
即,
y1 1
y2 y3
0 0
0 1 0
1 z1
0 1
z2 z3
则 f ( x1, x2 , , xn ) 2z12 2z22 2z32 8z2z3
1 0
1 0
0 1
2 0 2 情形1)
2020/9/20§5.2
0 2 标2准形4
04 数学与计算科学学院
1 0 1
令
C2
0 0
1 0
0 1
,
1 0 0 2 0 2 1 0 1
A2
C2 A1C2
0 1
1 0
0 1
0 2
2 4
4 0
0 0
1 0
0 1
2 0 0
0 0
2 4
4 2
情形1)
1 0 0
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
二、合同的变换法
1. 定义：合同变换是指下列三种变换
（1）互换矩阵的 i, j 两行，再互 换矩阵的 i, j 两列; i （2）以数 k（k 0 ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘
z3
c32
y2
c33
y3
zn
cn2 y2
cn3 y3
c2n yn c3n yn cnn yn
使它变成平方和 d2z22 d3z32
dnzn2
于是，非退化线性替换
z1 y1
教案--第五章二次型
则
(1) 负定的充分必要条件是 且 (即负定二次型,其规范形为 )
(2) 半正定的充分必要条件是 (即半正定二次型的规范形为 )
(3) 半负定的充分必要条件是 (即 )
(4) 不定的充分必要条件是 (即 )
定义2 阶矩阵 的 个行标和列标相同的子式
称为 的一个 阶主子式.而子式
作业与
课外训练
P1423
课外阅读
资料或自主学习体系安排
1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，1995
2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
3./special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线性代数
提问：实二次型f(x1,x2,…,xn)为正定的定义是什么？
作业与
课外训练
1.设二次型 试确定当 取何值时, 为正定二次型.
2.判别二次型 是否正定.
课外阅读资料或自主学习体系安排
1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，1995
2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
把方程化为标准形式
.
这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论 个变量的二次多项式的化简问题.
内容要点
一、二次型的概念
定义1含有 个变量 的二次齐次函数
称为二次型.当 为复数时， 称为复二次型；当 为实数时， 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.
二、二次型的矩阵
与难点
正定二次型的判断方法
教学方式、方法与手段
讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基Βιβλιοθήκη 内容及过程内容要点
高等代数讲义ppt第五章二次型
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
扬大高等代数北大三版--第五章二次型
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课件
7
定义2
数高 等 代
将变量 x1, x2, …, xn 用 y1, y2, …, yn 线性表示的变换
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn
x2
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 y1 c22 y2 L LLLLLLL
c2n yn L
xn cn1 y1 cn2 y2 L cnn yn
数高 等 代
5
二 次
第五章 二次型
学时：10学时。 教学手段：
讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。
基本内容和教学目的：
基本内容： 二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。 教学目的： 1、了解二次型的概念，二次型的矩阵表示。 2、会化二次型为标准型，规范性。 3、掌握二次型的惯性定理，正定二次型。
xn
称A为 f (x1,
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x2 ,
L
,
xn
)的矩阵，A的秩r(A)称为 课件
f
(
x1
,
x2 ,
L
,
xn )的秩. 5
*3 性质：
数 高 1) 在二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX中，矩阵A为对称矩阵；
等 2）把一阶矩阵A = (a)看成数a, 则一元二次型
变换化成为 au2 + buv + cv2 = d → 经旋转变换化成为 a/x/2 + b/y/2 = d/ (二次齐次多项式) → 可根据二次项系数 确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）； ➢ 空间解析
一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面)； 二次曲面： （平移后不含一次项）→ Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表 示方法) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简 为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲 面的分类
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第五章 二次型§1 二次型的矩阵表示一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三 教学重点：矩阵表示二次型四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程：定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(n n x x a x a 2222222 (2)n nn x a (3)称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型.例如：2332223121213423x x x x x x x x x 就是有理数域上的一个3元二次型.定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式n nn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4)称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0 ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：令 ji ij a a ，j i 由于 i j j i x x x x ,那么二次型(3)就可以写为n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(n n x x a x a x x a 2222221221 …+22211n nn n n n n x a x x a x x an i nj j i ij x x a 11(5)把(5)的系数排成一个n n 矩阵nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a ，n j i ,,2,1, ，所以A A .我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.令n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，n x x x AX X21nn n n n n a a a a a a a a a212222111211n x x x 21n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x22112222121121211121ni nj j i ij x x a 11.故 AX X x x x f n ),,,(21 .显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型BX X AX X x x x f n ),,,(21且 B B A A ,，则，B A 线性替换的矩阵表示令nn n n n n c c c c c c c c c C212222111211,n y y y Y 21,那么，线性替换(4)可以写成， n x x x 21 nn n n n n c c c c c c c c c212222111211n y y y 21或者CY X .显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设 AX X x x x f n ),,,(21 ，A A ， (7) 是一个二次型，作非退化的线性替换CY X (8) 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y .现在来看矩阵B 与矩阵A 的关系 把(8)代入(7)有AX X x x x f n ),,,(21 ACY C Y CY A CY )()(BY Y Y AC C Y )(.容易看出，矩阵AC C 也是对称的，事实上，AC C C A C AC C )(.由此，即得AC C B .定义2 数域P 上n n 矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n 矩阵C ，使AC C B .合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有(1)反身性 AE E A .(2)对称性 由 AC C B ，即得)()(11 C B C A .(3)传递性 由111AC C A ，2122C A C A，即得)()(21212C C A C C A . 因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§2 标准形一 授课内容：§2 标准形二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法. 三 教学重点：化普通的二次型为标准形.四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示. 五 教学过程：I 导入可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型2222211n n x d x d x d (1)II 讲授新课定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式. 不难看出，二次型(1)的.2222211n n x d x d x d = n x x x 21n d d d00000021n x x x 21. 反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和称为),,,(21n x x x f 的一个标准形.例 化二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f为标准形.解：作非退化的线性替换33212211yx y y x y y x 则3213212121321)(2)(6))((2),,(y y y y y y y y y y x x x f323122218422y y y y y y 322223231822)(2y y y y y y再令 3322311y z y z y y z 或3322311zy z y z z y则),,(321x x x f 233222212822z z z z z 23232216)2(22z z z z .最后令 33322112z w z z w z w 或33322112wz w w z w z则 ),,(321x x x f 232221622w w w是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，100011011321x x x 321100210001100010101w w w 100110311321w w w . 用矩阵的方法来解 例 化二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f为标准形.解：),,(321x x x f 的矩阵为031301110A .取1000110111C ,则111AC C A100011011 031301110 100011011042420202. 再取1000101012C ，则2122C A C A101010001 042420202 100010101240420002. 再取1002100013C ，则3233C A C A120010001 240420002100210001 3A 是对角矩阵，因此令321C C C C 100011011 100010101 100210001100111311，就有AC C600020002.作非退化的线性替换CY X即得),,(321x x x f 232221622y y y .§3 唯一性一 授课内容：§3 唯一性二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正(负)惯性指数，符号差.三 教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别. 四 教学难点：实二次型的唯一性 五 教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.例 二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f 经过非退化的线性替换321x x x 100110311321w w w 得到标准形232221622w w w .而经过非退化的线性替换321x x x3100312111211 321y y y 就得到另一个标准形23222132212y y y. 这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 对于复数域的情形设),,,(21n x x x f 是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，),,,(21n x x x f 变为标准形，不妨设标准形为2222211r r y d y d y d ，0 i d ，r i ,,2,1 (1)易知，r 就是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换nn r r rrr z y z y z d y z d y 1111111 (2) (1)就变为22221r z z z (3) (3)称为复二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为0011的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.对于实数域的情形设),,,(21n x x x f 是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使),,,(21n x x x f 变为标准形，2211p p y d y d 2211r r p p y d y d (4)0 i d r i ,,2,1 ，r 就是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换n n r r rrr z y z y z d y z d y 1111111 (5) (4)就变为221p z z 221r p z z (6)(6)称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然，规范形完全被p r ,这两个数所决定.定理4(惯性定理) 任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3 在实二次型),,,(21n x x x f 的规范形中，正平方项的个数p 称为),,,(21n x x x f 的正惯性指数，负平方项的个数p r 称为),,,(21n x x x f 的负惯性指数，它们的差r p p r p 2)(称为),,,(21n x x x f 的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.§4 正定二次型一 授课内容：§4 正定二次型二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三 教学重点：正定二次型. 四 教学难点：判别方法 五 教学过程：定义4 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21 n c c c f .显然，二次型),,,(21n x x x f 221n x x是正定的，因为只有在021 n c c c 时，221n c c 才为零.一般的，实二次型),,,(21n x x x f 2222211n n x d x d x d是正定的，当且仅当0 i d n i ,,2,1 .可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.定理5 n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .定理5说明，正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为221n y y (5)定义5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X 正定. 因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零.定义6 子式iii i i i i a a a a a a a a a P212222111211),,2,1(n i 称为矩阵nn ij a A )( 的顺序主子式.定理6 实二次型),,,(21n x x x f n i nj j i ij x x a 11AX X是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零.例 判断二次型3231212322213214845),,(x x x x x x x x x x x x f是否正定.解：),,(321x x x f 的矩阵为524212425 它的顺序主子式05 ， 01225 ， 0524212425 因之，),,(321x x x f 正定.与正定性平行，还有下面的概念.定义7 设),,,(21n x x x f 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，如果都有0),,,(21 n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为负定的；如果都有0),,,(21 n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半正定的；如果都有0),,,(21 n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么),,,(21n x x x f 就称为不定的.对于半正定，我们有定理7 对于实二次型),,,(21n x x x f AX X ，其中A 是实对称的，下面条件等价：(1)),,,(21n x x x f 是半正定的.(2)它的正惯性指数与秩相等.(3)有可逆实矩阵C ，使n d d d AC C 21，其中，0 i d n i ,,2,1 . (4)有实矩阵C 使C C A .(5)A 的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如， 212122211000),(x x x x x x x f 就是一个反例.。