(完整word版)高等代数教案北大版第六章.doc

授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点

教学方法与

手段

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程

第六章线性空间第一讲集合映射

2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握集合映射的有关定义、运算, 求和号与乘积号的定义

集合映射的有关定义

集合映射的有关定义

讲授法启发式

1.集合的运算 , 集合的映射 ( 像与原像、单射、满射、双射 ) 的概念

定义 : ( 集合的交、并、差 ) 设S是集合 , A与B的公共元素所组成的集合

成为 A 与 B 的交集,记作A B ；把 A 和B中的元素合并在一起组成的集合成

为 A 与 B 的并集,记做 A B ；从集合 A中去掉属于 B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 A 与B的差集,记做A B .

定义 : ( 集合的映射 ) 设

A B

为集合 . 如果存在法则

f

, 使得

A

中任意元素

、

a 在法则f下对应B中唯一确定的元素( 记做f (a) ), 则称f是A到B的一个映射 , 记为

f : A B, a f (a).

如果 f (a) b B , 则 b 称为a在 f 下的像,a称为 b 在 f 下的原像. A 的所有元素在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像,记做 f ( A) ,即f ( A) f ( a) | a A .

若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射.若 b B, 都存在a A , 使得f (a) b ,则称 f 为满射 . 如果f既是单射又是满射, 则称f为双射 , 或称一一对应 .

2.求和号与求积号

(1)求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练

, 我们引进求和号和乘积号 .

设给定某个数域

K 上 n 个数 a 1, a 2 , , a n , 我们使用如下记号 :

n

n

a 1 a 2

a n

a i , a 1a 2 a n

a i .

i

1

i 1

当然也可以写成

a 1 a 2

a n a i , a 1 a 2 a n

a i .

1 i n

1 i n

(2) 求和号的性质

容易证明 ,

n

n

n

n

n

n

m

m n

a i

a i ,

(a i b i )

a i

b i ,

a

ij

a ij .

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1 j 1

j 1 i 1

事实上 , 最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状 :

a 11

a 12

a 1 m

a

21 a 22 a

2 m

a

n1 a

n2

a

nm

分别先按行和列求和 , 再求总和即可 .

讨论、练习与

作业

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第二讲线性空间的定义与简单性质

2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握线性空间的定义与简单性质

线性空间的定义与简单性质

线性空间的定义与简单性质

讲授法启发式

一 . 线性空间的定义

(1) 定义 1( 线性空间 )设V是一个非空集合, 且 V 上有一个二元运算“+”(V V V ) ,又设K为数域,V中的元素与K 中的元素有运算数量乘法“? ”(K V V ) ,且“+”与“?”满足如下性质:

1、加法交换律,V ,有；

2、加法结合律, ,V ,有 ()() ；

3、存在“零元” , 即存在0V ,使得V ,0；

4、存在负元 , 即V ,存在V ,使得0 ；

5、“ 1 律”1?；

6、数乘结合律k, l K ,V ,都有 ( kl )k(l ) l (k) ；

7、分配律k,l K ,V ,都有(k l )k l；

8、分配律k K , ,V ,都有k() k k,

则称 V为 K上的一个线性空间 , 我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“ +”和“?”的定义 , 不光与集合V 有关 .

(2)零向量和负向量的唯一性 , 向量减法的定义 , 线性空间的加法和数乘运算与

通常数的加、乘法类似的性质

命题 1 零元素唯一 , 任意元素的负元素唯一 .

证明 : 设 0 与 0' 均是零元素 , 则由零元素的性质 , 有 0 0' 0 0' ；

V , 设

, '都是 的负向量 , 则

( '

)

' (

) 0

,

于是命题得证 . 由于负向量唯一 , 我们用

代表

的负向量 .

定义 2( 减法 ) 我们定义二元运算减法“

- ”如下 :

定义为

( ) .

命题 2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质

:

1、 加法满足消去律

；

2、 可移项

；

3、 可以消因子k

且 k

1 ；

0, 则

k

4、 0 ? 0,

k ?0 0, ( 1)

.

(3) 线性空间的例子

例 1 令 V 表示在

(a,b) 上可微的函数所构成的集合

, 令 K

?

,V 中加法的定

义就是函数的加法

, 关于

K 的数乘就是实数遇函数的乘法

,V

构成

K 上的线性空

间.

二 线性空间中线性组合和线性表出的定义

, 向量组的线性相关与线性无关

的定义以及等价表述 , 向量组的秩 , 向量组的线性等价；极大线性无关组.

定义 3( 线性组合 ) 给定 V 内一个向量组 1 , 2 ,L , s , 又给定数域 K 内 s 个

数 k 1, k 2 ,L , k s , 称 k 1 1

k 2 2 L

k s

s 为向量组

1

, 2 ,L ,

s 的一个 线性组

合 .

定义 4( 线性表出 ) 给定 V 内一个向量组

1 ,

2 ,L , s , 设

是 V 内的一个向

量, 如果存在 K 内 s 个数 k 1, k 2 ,L ,k s , 使得 k

1 1

k

2 2

L

k s s , 则称向

量 可以被向量组

1

,

2 ,L , s 线性表出 .

定义 5( 向量组的线性相关与线性无关 ) 给定 V 内一个向量组

1

,

2 ,L , s ,

如果对 V 内某一个向量

, 存在数域 K 内不全为零的数 k 1 , k 2 ,L , k s , 使得

k 1 1

k 2 2

L k s s

0 , 则称向量组 1, 2 ,L , s 线性相关 ；若由方程

k 1

1 k 2

2

L

k

s s

0 必 定 推 出 k 1 k 2 L

k s 0 , 则 称 向 量 组

1

, 2 ,L , s 线性无关 .

命题 3

设 1, 2 ,L

s V , 则下述两条等价 :

1)

1

,

2 ,L

s 线性相关；

2) 某个i 可被其余向量线性表示. 证明同向量空间 .

定义 6( 线性等价 )

给定 V 内两个向量组

1

,

2 ,L ,

r

(

Ⅰ ),

1

,

2

,L ,

s

(

Ⅱ ),

如果 ( Ⅰ ) 中任一向量都能被

( Ⅱ ) 线性表示

, 反过来

,(

Ⅱ ) 中任一向量都能被

( Ⅰ) 线性表示

, 则称两向量组 线性等价 .

定义

7( 极大线性无关部分组

)

给定 V 内一个向量组

1

,

2

,L ,

s , 如果它有

一个部分组

i 1 ,

i 2

,L ,

i r

满足如下条件

:

(i) 、

i 1

,

i 2

,L ,

i r

线性无关；

(ii) 、原向量组中任一向量都能被

i 1

,

i 2

,L ,

i r

线性表示

,

则称此部分组为原向量组的一个

极大线性无关部分组 .

由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没

有用到 K n 的一些特有的性质 , 于是那些命题在线性空间中依然成立

.

定义 8( 向量组的秩 ) 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同

数目的向量 , 其向量数目成为该向量组的 秩 .

例 2 求证 : 向量组 e 1 x ,e 2 x 的秩等于 2( 其中 1

2 ).

证明 : 方法一 : 设 k 1, k 2 ∈ R, 满足 k 1e 1 x k 2e 2 x

0 , 则 k 1e 1x k 2e 2 x , 假若

k1, k2不全为零,不妨设 k1 0 ,则有 e( 12 )x k

2 , 而由于

1 2 , 等号左边k1

为严格单调函数 , 矛盾于等号右边为常数. 于是k1 k2 0.

所以 e 1x , e 2x线性无关,向量组的秩等于 2. 证毕 .

方法二 : 若在( a, b)上k1e1x k2e 2x 0 ,

两端求导数 , 得k1 1e 1x k2 2e 2x 0,

以 x c (a,b) 代入,有

k1e 1c k2 e 2c 0, k1 1e 1c k2 2 e 2c 0.

而 e 1c e 2c e( 1 2) c( 2 1) 0 ,

1e 2c 2e 2c

于是 k1 k2 0 .证毕.

讨论、练习与

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教学方法与

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第三讲维数、基与坐标

2授课类型授通本的学, 掌握性空的基与数, 向量的坐的有关定及性

基与数、向量坐的有关定

基与数、向量坐的有关定

授法启式

一、基和数

V 是数域 F 上一个向量空, α 1，α 2，?，α n∈ V．令 L( α 1,

n

α2，?，α n)= k i i k1，k2，， k n F ， L( α1，α 2，?，

i 1

αn) 是 V 的一个子空，叫做由α 1, α 2, ? , α n 生成的子空，其中向量α1，α2，? , α n 叫做个子空的一生成元．

例 1在F[x]中，由多式1， x，?， xn-1 所生成的子空

L(1 ， x，?， xn-1)={a0+a1x+?+an-1xn-1| ai∈ F}，

就是 F 上一切次数小于n 的多式同零多式所成的子空F[x]n ．i1

，

i2

，，

i r是向量{α1,α2,?,αn}的一个极大无关．由命

3，子空 L( α 1，α 2，?，α n) 的每一个向量都可以由i1

，

i2

，，

i r性

表示．另一方面i1

，

i2

，，

i r的任意一个性合自然是L( α 1，α 2, ? , αn)中的向量．因此我有

命 1{ α 1，α 2，?，α n} 是向量空V 的一不全零的向量，而

{ i1

,

i2

, ,

i r } 是它的一个极大无关．

L( α1，α 2，?，α n)=L(i1

,

i2

,,

i r)．

根据个命，若子空L( α 1，α 2，?，α n) 不等于零空，它可

以由一 性无关的生成元生成．

一个向量空

V 本身也可能由其中某 n 个向量生成，因此引入以下的

定 1 { α 1，α 2，?，α n} 是数域 F 上向量空 V 的向量 ， 足以下条件：

1) α 1，α 2，?，α n 性无关；

2)V 中每一个向量都可以由α 1，α 2，?，α n 性表示， 称 { α 1，α 2，?，α n } 是 V 的一个基．

例 2 在空 V2 里，由原点出 的任意两个不共 的向量α 1，α2 都构成 一个基；在 V3 里，由原点出 的任意三个不共面的向量β

1，β 2，β 3 都构成

一个基．

例 3

在数域 F 上的 m ×n 矩 空 Fm ×n 里， A=(aij)mn ∈ Fm ×n ，都可

以表成

m n

a ij

E ij

；

A=i

1 j 1

m n

且若

a E ij

0，

是零矩 ，

aij=0 ， i=1 ，?， m ， j=1 ，?，

ij

即(aij)mn

i 1 j 1

， ，

m ； ， ，

n} 是 Fm ×n 的一个基． n ．因此 , { E ij i 1 j 1

数域 F 上的一个向量空 若有基，

当然不只有一个基．

然而根据基的定 ，

一个向量空 的任意两个基是彼此等价的．于是由推

1，一个向量空 的任

意两个基所含向量的个数是相等的．因此引入

定

2

一个向量空 V 的一个基所含向量的个数叫做

V 的 数， 作

dimV ．

零空 的 数定

0．

，空 V2 的 数是 2，V3 的 数是

3；Fn 的 数是

的 数是

mn ．

例 4

求数域 F 上所有 n 反 称矩 成的向量空

n ；向量空

Fm ×n

V 的一个基及其

数．

解 任一

n 反 称矩

A 具有形式

0 a 12 a 1n a 12

a 2n

A

a 1n

a 2 n

．

因此

A a 12

E 12

E

21

a 13

E

13

E

31

a 1n

E

1n

E

n 1

a n 1n

E n 1n

E

nn 1

．

①

由于

E

ij

E

ji

E ji

E

ij

E ij

E

ji

，

所以 E 12 E 21， E 13

E 31， ，E n 1n E nn 1 都是反 称矩 ．假

k 12 E 12

E 21

k 13 E 13 E 31

k n 1 n E n 1n

E nn 1 0 ，②

由 于 { E ij i 1 , , n ； j 1，

， n } 是 Mn(F) 的 一 个 基 ， 所 以 E ， E

， E ， E 31， ，E n 1 n ， E nn 1

性 无 关 ， 从 而 由 ② 可 推 出 k 12

12

21

13

k 13

k n 1n

0 ．故 E 12 E 21 ， ，E n 1n E nn 1 性无关．又由①便可得出，

E 12

E 21， ，E n 1 n

E nn 1 是 V 的一个基，且

dim V

n 1

n 2 n n 1

1

2 ．

若一个向量空 不能由有限个向量生成， 它自然也不能由有限个 性无

关的向量生成． 一情形，就 个向量空 是无限 的．

例 5 F[x] 作 F 上向量空 是无限 的．

事 上，假

F[x] 由有限个多 式

f1(x) ， f2(x) ，?， ft(x) 生成．自然

可以 些多 式都不 零．令 n 是 t

个多 式的次数中最大的，

F[x] 中 次数大于 n 的多 式不可能由 t 个多 式 性表示． 就 致矛盾，故

F[x]

是无限 的．

由此易 § 1 中向量空 C[a ， b] 也是无限 的．

命 2 在 n 向量空 V 中，任意 n 个 性无关的向量都是

V 的一个基．

α 1，?α n 是 V 中 n 个 性无关的向量．任取

γ∈

V ，只要 γ可 由α 1，?α n 性表示， α 1，?α n 便是 V 的一个基．因

dimV=n ，所以 V

有一个基

1

，

2

， ，

n ．于是向量 α 1, ?α n ，γ可由β 1，?β n 性表出．因

n+1>n, 所以由定理 2 推得，α 1，?α n ，γ 性相关．由于α 1，?，α n

性无关，所以由命

4 知道，γ可由α 1，?α n 性表示．

由命 2 的 明易

命 3 n 向量空 中个数多于 n 的任意向量 一定 性相关．

定理 1 在 n 向量空 V 中，任意一个 性无关的向量 { α 1，?，α

r} 都可以 充成

V 的一个基．

若 r=n ， α 1，?α n 是 V 的一个基．下 r

V 有 一 个 基

1

， 2

， ，

n

． 于 是 , 由 定 理 6.2.2 ， 不 妨向 量

1， ,

r

，

r

1

， ，

n }

与

1

， 2

， ，

n

等价．此 ，{ 1

， ， r

，

r 1

， ，

n

}

性无关，因此，由命

2 知道它是由 { α 1，?α r } 充的 V 的一个基．

二、 坐

基的重要意 主要在于以下的

定理 2

{

1

，

2， ， n } 是向量空 V 的一个基． V 的每一个向量可

以唯一地表成基向量

1，

2， ， n 的 性 合．

因

1， 2， ， n 是 V 的 生 成 元 ， 所 以

V 都 可 以 表 成

1， 2， ， n 的 性 合

k

1 1

k

2 2

k n

n

．

种表示法是唯一的．若α 可以表成

k 1 1

k

2 2

k n

n ．

k 1 k 1 1 k 2 k 2

2

k n k n n

．

但 1，

2， ， n 性无关，故 k i k i 0 ，即 k i k i ， i=1 ，?， n ．

V 是数域 F 上一个 n 向量空 ， { α 1，α 2，?，α n} 是 V 的一个基． 于 是 V 的每一向量 可以唯一地表成

x 1 1 x 2 2

x n

n

．

因此，取定 V 的基 { α 1，α 2，?，α n} 之后， V 的每一个向量 ，有唯一的

n 元数 (x1 ，x2，? ,xn) 与它 ． 此 ， xi 叫做向量

关于基 { α 1，α 2，?，

α n} 的第i个坐；(x1,x2,?,xn)叫做向量在基{α1,α2,?,αn}下的坐．

例 6取定V3 中三个不共面的向量α1，α 2，α 3．V3 的每一向量可以唯一地表成

x1 1 x2 2 x3 3

的形式．向量在基 { α1，α 2，α 3} 下的坐就是(x1 ， x2， x3) ．例7 Fn 的向量α = ( a1 , a2 , , a n ) 在准位基 e1, e2 , , e n下的坐就是

(a1, a2 , , a n ) ．

n 向量空 V 的向量，β在基 { 1，2，，n } 下的坐分是(x1 ，x2，?， xn) 和 (y1 ， y 2 ，?， yn) ：

x 1 1x

2 2 x n n，

y

1 1

y

2 2

y

n n ．x1 y1 1 x2 y2 x n y n n．

若 k∈ F，

k kx11kx22kx n n ．于是得到．

定理3V 是数域 F 上一个n向量空， { 1 , 2 , ,

n

}

是 V 的一个

基．若，β∈ V，它在基{

1

,

2 , , n } 下的坐分是

( x1, x2 , , x n ) 和

( y1 , y2 , , y

n

)

，+β在个基下的坐就是(x1+y1 ， x2+y2 ，?， xn+yn) ；

又若 k∈ F． k 在个基下的坐就是(kx1 , kx2 , , kx n ) ．

三、子空的数

由定理 2 和定理 1 得到

命 4V 是 F 上 n 向量空， W是 V 的一个子空，dimW ≤ dimV ；并且 W的一个基可以充V 的一个基．

命 5同命4所，W=V，当且当dimW

=

dimV

．

必要性是 然的．反之，即 dimW =dimV =n ， { α 1, α 2, ? , α n} 是 W

的一个基， 它是 V 的一个 性无关向量 ．于是，由命 6.3.2 知道它也是

V 的一个基．因此，

W=L(α 1，?，α n)=V ．

定理 4 V 中向量 { α 1，α 2，?，αs} 生成的 性子空

L( α 1，α 2，?，

αs) 的 数等于向量

{ α 1，α 2，?，α s} 的秩；向量

{ α1，α 2，?，α

s} 的一个极大 性无关 就是

L( α 1，α 2，?，α s) 的一个基．

向 量 { α 1 ， α 2 ， ? ， α s} 的 一 个 极 大 性 无 关 是

j ，

j

， ，

j ，由 性表示的 性，

{ α 1，?，α s} 中每一个向量可以由

1

2

r

j 1 , j 2 , j r 性表出，从而 j 1 , j 2 ,

j r 是 L( α 1，α 2，?，α s) 的一个基．由

此得出 L( α1，α 2，?，α s) 的 数等于向量

{ α 1，α 2，?，αs} 的秩．

命 6 向量空

V 中两个向量 { α1，α 2，?，α s} 与{

1 ,

2 ,

，

m }

生成的子空 相同的充分且必要条件是 两个向量 等价．

必要性 若 L( α 1，α 2，?，α s)=L(

1 ,

2 ,

， m ) ， 易 两个

向量 等价．

充分性

若

α 1，α 2，?，α s 与 1 ,

2 ,

， m 等价， 由 性表出的

性， L( α 1, α 2, ?，α s) 中任一向量可由 1 , 2

,

, m 性表出，因此 L( α

1, α 2, ?，α s)

L( 1, 2, ， m ) ．同理，有 L(

1 ,

2 , ， m ) L( α 1，α

2, ?，α s) ．所以 L( α 1，?，α s)= L(

1

,

， m ) ．

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第四讲基变换与坐标变换

2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式

基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式

坐标变换公式的应用

讲授法启发式

一、线性空间的基变换, 基的过渡矩阵

设 V/K 是 n 维线性空间 , 设1, 2 ,L , n

和

1

,

2 ,L , n是两组基 , 且

1

t

11 1

t

21 2 L

t

n1 n

,

2

t

12 1

t

22 2 L

t

n 2 n

,

L L L L L L L L L L L

n

t

1n 1

t

2n 2 L

t

nn n

.

将其写成矩阵形式

t

11

t

12 L

t

1n

( 1 , 2 ,L , n )

t 21 t22 L t2 n

.

( 1, 2 ,L , n ) M M M

t

n1

t

n 2 L

t

nn

定义 11 我们称矩阵

t

11

t

12 L

t

1n

T

t

21

t

22 L

t

2n

M M M

t

n1

t

n 2 L

t

nn

为从1,2,L ,n到1,2,L ,n的过渡矩阵.

命题 6设在n维线性空间V/K 中给定一组基 1 ,2,L ,n.T是K上一个n 阶方阵 . 命

( 1 , 2 ,L , n ) ( 1, 2 ,L , n )T.

则有 1, 2 ,L , n 是 V/K 的一组基 , 当且仅当 T 可逆 .

证明 : 若

1 ,

2 ,L ,

n 是线性空间 V/K 的一组基 , 则 1 , 2 ,L , n 线性无关 .

考察同构映射

:V

K n ,

在 1 ,

2

,

, n 下的坐标 , 构造方程

k 1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) L k n

( n ) 0 , 其中 k i K ,( i 1,2,L , n) ,

(k 1 1

k

2 2

L k n n ) 0

k 1

1

k 2 2 L

k

n n

0 ,

k 1 k 2 L k n

( 1), ( 2 ),L , ( n ) 线性无关 .

( 1 ), ( 2 ),L , ( n ) 构成了过渡矩阵的列向量 , 所以过渡矩阵可逆；

反过来 , 若过渡矩阵可逆 , 则构造方程

k 1 1 k 2 2 L k n

n

0 , 其中 k i K ,( i 1,2,L , n) ,

两边用

作用 , 得到 k 1 ( 1) k 2

( 2

)

L k n ( n ) 0 ,

k 1 k 2 L k n 0 . 证毕 .

二、向量的坐标变换公式；

K n 中的两组基的过渡矩阵

(1) 向量的坐标变换公式

设 V/K 有两组基为 1, 2,L , n 和 1 , 2 ,L , n , 又设 在 1 , 2 ,L , n 下的

坐标为

a 1,a 2 ,L , a n , 即

a 1

( 1 , 2,L , n )

a

2

,

M

a n

在 1 , 2 ,L , n 下的坐标为 (b 1 , b 2 ,L ,b n ) , 即

b 1

( 1

, ,

,

n ) b

2 .

2

L

M

b n

现在设两组基之间的过渡矩阵为

T, 即 (

1

,

2 ,L , n ) ( 1, 2 ,L , n )T.

记

a1 b1

a2

, Y b2

,

X

M

M

a n

b n

于是

( 1 , 2 ,L , n ) X ( 1 , 2 ,L , n )Y [( 1, 2 ,L ,n)T ]Y( 1 , 2, L , n )(TY )

.

于是 , 由坐标的唯一性, 可以知道X TY ,这就是坐标变换公式.

(2)K n中两组基的过渡矩阵的求

法我们设 K n中两组基分别为

1

2 L L

n (a11, a12 ,L , a1 n ), 1 (b11,b12 ,L , b1n ), (a21, a22 ,L , a2n ),

和

2

(b21,b22 ,L , b2 n ), L L L L L L L L L L L L L L (a n1 , a n 2 ,L , a nn ). n (b n1 ,b n2 ,L , b nn ).

而( 1, 2 ,L , n )( 1 , 2 ,L , n )T.

按定义 ,T 的第 i 个列向量分别是i 在基1,2,L ,n下的坐标. 将1, 2 ,L , n和1 , 2 ,L , n看作列向量分别排成矩阵

a

11 a

12 L

a

1n

b

11

b

12 L

b

1n

A a

21

a

22 L a2n ； B

b

21

b

22

L b

2 n, M M M M M M a

n1

a

n2 L

a

nn

b

n1

b

n2 L

b

nn

则有 B AT ,将A和B拼成 n 2n 分块矩阵 A | B ,利用初等行变换将左边矩

阵 A 化为单位矩阵E, 则右边出来的就是过渡矩阵T, 示意如下 :

( A | B) 行初等变换( E | T ) .

讨论、练习与

作业

课后反思

授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点

教学方法与

手段

教

学

过

程

第五讲线性子空间，子空间的交与和

2授课类型讲授

通过本节的学习 , 掌握线性子空间的定义、判别定理，掌握子空间的交与和的定

义、性质及维数公式

线性子空间的定义、判别定理，子空间的交与和的定义及维数公式

线性子空间的判别定理，子空间的交与和的定义及维数公式

讲授法启发式

一、线性空间的子空间的定义

定义 12( 子空间 ) 设 V 是数域 K 上的一个线性空间,M 时 V的一个非空子集. 如果 M关于 V内的加法与数乘运算也组成数域K 上的一个线性空间, 则称为 V 的一个子空间 .

命题 7设V是K上的线性空间,又设一个非空集合W V ,则 W 是子空间当且仅当下述两条成立:

i) W对减法封闭；ii)W 对于K中元素作数乘封闭.

证明 : 必要性由定义直接得出；

充分性 : 各运算律在V 中已有 , 所以 W满足运算律的条件.

只需要证明 0 W 且对于任意W ,W ,且对加法封闭即可.

事实上 , 由于W关于数乘封闭, 则0 ?0 W ；( 1) ?W ,于是对于,W ,() W ,W关于加法封闭.于是W是V的一

个子空间 .证毕.

事实上 ,W 关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.

命题 8设W是V的一个有限维子空间, 则 W的任一组基可以扩充为V 的一组基 .

证明 : 设dimV n , dimW r ,(r n) ,若 r n ,则命题为真；

若 r n ,对 n r 作归纳:设1,2,L ,r为W的一组基,取r 1V W ,则

1, 2 ,L , r , r 1 线性无关 . 于是令 W '

{

k r 1 |

W , k K } , 易见 ,W ’

是 V 的一个子空间

, 且 dim W '

r

1 , 此时

n

dim W '

n r

1 , 对其用归纳

假设即可

.

二、子空间的交与和

, 生成元集

定义

13

设

1

,

2

,L

,

t

V

, 则

k

1

1

k 2 2

L

k t

t | k i

K ,i

1,2, L , t

是 V 的一个子空间

, 称为由

1

,

2

,L , t 生成的子空间

, 记为

L(

1 ,

2

,L ,

t ) .

易见 , 生成的子空间的维数等于

1

,

2

,L ,

t 的秩 .

定义

14( 子空间的交与和

)

设 V 1 ,V 2 为线性空间

V/K 的子空间

, 定义

V 1 I V 2

{ v

V 1且

v

V 2 } , 称为子空间的 交；

V 1

V 2

{ v 1

v 2

|v 1

V 1, v 2

V 2}

, 称为子空间的 和.

命题

9

V 1 I V 2 和 V 1

V 2 都是

V 的子空间

.

证明 : 由命题

4.7, 只需要证明

V 1 I

V 2 和 V 1

V 2 关于加法与数乘封闭即可

.

事实上

, ,

V 1 I V 2 , 则

,

V 1 ,

,

V 2 . 由于 V 1,V 2 均是

V 的子空

间 ,

则

V 1,

V 2 ,

于是

V 1 I

V 2

, V 1 I V 2

关于加法封闭；

V 1 I V 2 ,

k

K ,

kv

V 1, kv

V 2 ,

于是

kv

V 1 I V 2 ,

V 1 I V 2 关于数乘封

闭.

,

V 1 V 2 ,

则 由

V 1 V 2 的 定 义 , 1

,

1

V 1 ,

2

, 2

V 2

, 使 得

1

2

,

1

2 , 而

1 1

V 1,

2

2

V 2 , 则

(

1

2 )

(

1

2 )

(

1

1

)

(

2

2 ) V 1 V 2 ,

V 1

V 2

关 于 加 法 封 闭 ；

V 1

V 2 , k

K

,

1

V 1 ,

2

V 2 ,

使 得

1 2

,

由

于

k

1

V 1 , k

2

V 2

,

则

k

k(

1

2

)

k 1

k

2

V 1

V 2 ,

V 1

V 2 关于数乘封闭

. 证毕 .

命 题 10 设 V 1 ,V 2 ,L ,V m 是 V 的 子 空 间 ,

则 V 1 I V 2 I L

I V m 和

V 1 V 2 L V m 均为 V 的子空间 .

三 . 维数公式 .

定理 1

设 V 为有限维线性空间 , V 1 ,V 2 为子空间 , 则

dim(V 1 V 2 ) dim V 1 dim V 2 dim( V 1 I V 2 ) .

这个定理中的公式被称为 维数公式 .

证明 : 设 dim V 1 s , dim V 2 t , dim(V 1 V 2 ) n , dim( V 1 I V 2 ) r , 取

V 1 I V 2 的一组基

1

,

2 ,L , r ( 若 V 1 I V 2 =0, 则 r

0 , 基为空集 ), 将此基分别扩

充为 V 1,V 2 的基

1, 2 ,L , r , 1 , 2 ,L , s r ,

1, 2 ,L , r , 1 , 2 ,L , t r ,

只需要证明

1

,

2 ,L , r , 1 , 2,L

, s r , 1,

2 ,L , t r 是 V 1

V 2 的一组基

即可 .

首 先 , 易 见

V 1 V 2 中 的 任 一 向 量 都 可 以 被

1

,

2 ,L , r , 1

,

2 ,L ,

s r , 1

,

2,L , t r 线性表出 . 事实上 , V 1 V 2 , 则

1

2 , 其中 1

V 1 , 2 V 2 , 而

1 k

1 1

k

2 2

L

k r r

k

r 1

1

k

r 2 2

L k

s s r

,

2

l 1 1

l 2 2 L l r r l r 1 1 l r 2 2 L

l t

t r . k i ,l j K

于 是

1

2 可 被 1 , 2 ,L , r , 1, 2 ,L , l r , 1 , 2 ,L , t r 线 性 表

出 . 只要再证明向量组

1

, 2

,

L

, r ,

1 , 2

,

L , l r ,

1

, L

,

t r

线性无关即

2

,

可.

设

k

1 1

k

2 2

L k

r r

a 1 1

a

2 2

L a

s r s r

b 1 1

b

2 2

L b

t r t r

0,

其中 k i , a j ,b h K .则

k

1 1k

2 2

L k

r r

a

1 1

a

2 2

L a

s r s r

b

1 1

b

2 2

L b

t r t r

(

*)

于是

k

1 1

k

2 2

Lk

r r

a

1 1

a

2 2

La

s r s r

V

1

,

b1 1 b2 2 L b t r t r V2,

于是 k1 1 k2 2 L k r r

a

1 1

a

2 2 L a s r s r V1 I V2,记为.

则可被1 , 2,L , r线性表示 , 设

h

1 1

h

2 2 L h r r,

代入 (*), 有

h

1 1

h

2 2 L h r r

b

1 1

b

2 2 L b t r t r 0 ,

由于1 , 2 ,L , r

,

1

,

2 ,L , t r是 V2的一组基,所以线性无关,则

h1 h2 L h r b1 b2 L b t r 0 ,

代回 (*), 又有k1 k2 L k r a1 a2 L

a

s r 0 ,

于是向量组1 , 2 ,L , r

,

1

,

2 ,L , s r

,

1

,

2 ,L , t r线性无关 . 证毕 .

推论 1 设 V1 ,V2 ,L ,V t 都是有限为线性空间V 的子空间 , 则 :

dim(V1 V2 L V t ) dim V1 dim V2 L dim V t.

证明 : 对 t 作归纳 .

讨论、练习与

作业

课后反思

授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点

教学方法与

手段

教

学

过

程

第六讲子空间的直和

2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握子空间的直和与补空间的定义及性质

子空间的直和的四个等价定义

子空间的直和的四个等价定义

讲授法启发式

一、子空间的直和与直和的四个等价定义

定义设V是数域K上的线性空间,V1, V2,L,V m是V 的有限为子空间. 若对

m

于V i中任一向量,表达式

i 1

12 L m

,

i V i ,i 1,2,L , m .

m

是唯一的 , 则称V i 为直和 , 记为

i 1

m

V

V1 V L V m或.

2 i 1 i

定理设 V1,V2 ,L ,V m为数域K上的线性空间V上的有限为子空间, 则下述四

条等价 :

1) V1V2L V m是直和；

2)零向量表示法唯一；

3) V I (V L ? L V ) {0}, i 1,2, L , m ；

V

i 1 i m

4) dim( V1 V2 L V m ) dim V1 dim V2 L dim V m.

证明 : 1) 2) 显然 .

2)1) 设12L

m12

L

m

,则