高等代数(张禾瑞版)教案-第5章矩阵
《高等代数》矩阵
A和B加法定义为:
a +b ⋯ a n +bn a +b 11 11 12 12 1 1 a +b a22 +b ⋯ a2n +b n 22 2 A+B= 21 21 ⋮ ⋮ ⋮ am1 +b 1 am2 +b 2 ⋯ amn +b n m m m
5.2.1 可逆矩阵的定义
定义1 为 上 阶方阵，若存在n阶方阵 阶方阵B， 定义 A为F上n 阶方阵，若存在 阶方阵 ，使 AB = BA = I 为可逆矩阵（ ），B 的逆矩阵. 称A为可逆矩阵（非奇异矩阵）， 称为A的逆矩阵 为可逆矩阵 非奇异矩阵）， 的逆矩阵 例：
2 5 3 −5 3 −52 5 1 0 1 3−1 2 = −1 2 1 3 = 0 1 A B
A= (aij )m×n或 = (aij ) A
矩阵的产生有丰富的背景: 矩阵的产生有丰富的背景 线形方程组的系数矩 矩阵的应用非常广泛. 阵….., 矩阵的应用非常广泛
5.1.2 矩阵的运算
定义1 (矩阵的数乘) 给定数域F中的一个数k与矩阵A的 定义 乘积定义为
a ⋯ a n ka ka ⋯ ka n a 11 12 1 11 12 1 a21 a22 ⋯ a2n ka21 ka22 ⋯ ka2n kA= k = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a a ⋯ a ka ka ⋯ ka m n m 1 m2 m n m1 m2
5.2.3 初等矩阵的定义、性质 初等矩阵的定义、
定义2 定义 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为 初等矩阵. 初等矩阵 n=4
高等代数教案张禾瑞版
（5）掌握齐次线性方程组解空间的理论，并能运用这些理论于论证和计算。
能力目标：（1）训练学生能熟练应用基、维数、维数公式理论解决问题。
（2）能应用矩、坐标变换公式、线性空间同构、齐次线性方程组解空间的理论论证和计算。
教学重点
向量空间的定义和性质，子空间的定义及充要条件、线性相关性及其理论、替换定理、基、维数、维数公式及相关的理论，子空间的运算和等价命题、坐标的定义、坐标变换公式、线性空间同构、齐次线性方程组解空间的理论。
（4）掌握矩阵相似于对角阵的条件及特征向量是线性无关的，用其证明问题。
（5）掌握不变子空间的概念和性质。
（6）利用线性变换进行相关论证。
能力目标：（1）会求线性变换在基下的矩阵、矩阵的特征值和特征向量、能应用线性变换与矩阵相似理论论证问题。
（2）会判断一个子空间是否为线性变换的不变子空间。
教学重点
线性映射，线性变换的定义与运算规则；线性变换在基下的矩阵、线性变换与矩阵对应关系。矩阵特征值和特征向量的概念及求法；矩阵相似于对角阵的条件，不变子空间的概念和性质。
（2）掌握多项式的基本理论中的公理化定义、性质，并且能应用这些理论进行推理论证、计算和解决问题。
教学重点
一元多项式的定义和运算、整除性、最大公因式、分解、重因式、
多项多函数、根，复数域、实数域和有理数域上多项式。
教学难点
整除性、最大公因式的存在、重因式、多项多函数、根，复数域、实数域和有理数域上的不可约多项式、算术基本定理。
教学重点
集合、映射、数学归纳法、 整数的一些整除性质、数环和数域。
教学难点
数学归纳法原理的证明和应用、数环和数域的抽象概念的理解。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《高等代数》是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一。
它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。
该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时144学时，开设时间为一年。
通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。
本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
（二）教学目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。
为今后的学习打下扎实的基础。
１．熟练掌握：集合、映射、单射、满射、双射的概念，第一、第二数学归纳法，带余除法，不可约多项式，线性方程组的消元法，矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵，二次型的概念及与其矩阵的对应关系。
２．掌握：整数的整除性、素数的性质，集合的表示与运算，辗转相除法，综合除法，多项式的互素，根与系数的关系，重因式及其判定，行列式的性质，行列式的展开，矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，二次型的矩阵的合同及其求法，对称矩阵合同于对角矩阵，复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类，正定二次型的判定。
高等代数CAI课件张禾瑞 郝炳新 编 (第四版)(1)
一、集合
1、概念
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 集合 组成集合的这些事物称为集合的元素． 组成集合的这些事物称为集合的元素． 元素 等表示集合； ☆ 常用大写字母A、B、C 等表示集合； 等表示集合的元素． 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素． 的元素时， 当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记 a ∈ A 作: ； 的元素时， 记作： 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：a ∉ A
σ σ : M → M '或 M M ' M到M´的一个映射，记作 : 映射， 到 ´的一个映射 →
在映射σ下的 下的象 在映射σ下的 称 a´为 a 在映射 下的象，而 a´ 称为 在映射 下的 ´ ´ 称为a在映射 原象，记作σ(a)＝a´ 或 σ : a a a′. 原象，记作 ＝ ´
注
显然有， 显然有，A I B ⊆ A;
A ⊆ AU B
例题： 例题：
1、证明等式: A I ( A U B ) = A ． 、证明等式 证：显然， I ( A U B ) ⊆ A ．又 ∀x ∈ A, 则 x ∈ A U B ， 显然，A 从而, ∴ x ∈ A I ( A U B ) ， 从而 A ⊆ A I ( A U B ) ． 故等式成立． 故等式成立．
例4
判断下列M 到M ´对应法则是否为映射 判断下列
1）M＝｛ ，b，c｝、 ´＝｛ ，3,4｝ ） ＝｛ ＝｛a， ， ｝、 ＝｛1,2， ｝ ｝、M´ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2 ： ＝ ， ＝ ， ＝ δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4 ： ＝ ＝ ＝ ＝ τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4 ： ＝ ， ＝ 2）M＝Z，M´＝Z＋， ） ＝ ， ´ σ：σ(n)＝|n|, ： ＝ τ：τ(n)＝|n|＋1, ： ＝ ＋
高等代数(张禾瑞版)教案-第5章矩阵
高等代数(张禾瑞版)教案-第5章矩阵第五章 矩 阵教学目的：1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。
及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。
2. 了解几种特殊矩阵的性质。
教学内容：5.1 矩阵的运算1 矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。
令F 是一个数域。
用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n nΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 叫做F 上一个矩阵。
A 也简记作（a ij ）。
为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。
一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。
特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。
F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。
以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。
我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。
先引入前两种运算。
2 矩阵的线性运算定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ）定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。
注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。
以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
现在回到一般的矩阵。
我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。
如果矩阵 A=(a ij )，我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。
3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A ；(A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0；a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。
高等代数电子教案(Ⅲ)
进一步，设 f ( x) a0 a1 x an x . 是F上一个多项式，而 L(V ), 以σ代替x，以 a 0 代替 a 0 ，得到V的一个线性变换
n
a0 a1 an n .
这个线性变换叫做当 记作 f ( ).
x 时f (x)的值，并且
7.4 不变子空间 7.5 本征值和本征向量 7.6 可以对角化矩阵
7.1 线性映射
学习内容 线性映射的定义、线性变换的象与核.
§7.1.1 线性映射的定义
设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 , V , ( ) ( ) ( ). ②对于任意 a F , V , (a ) a ( ) 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 a, b F 和任意 , V ,
设 L(v), σ的负变换－σ指的是V到V的映射 : ( ). 容易验证，－σ也是V的线性变换，并且 （4） ( )
线性变换的数乘满足下列算律：
(5) (6) (7) (8)
k ( ) k k , (k l ) k l , (kl) k (l ), 1 ,
f x 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义 的映射是F[x]到自身的一个线性映射.
例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所
成的R上向量空间，对于每一 f x Ca,b, 规定
f x 仍是[a, b]上一个连续实函数，根据积分的
基本性质，σ是C[a, b]到自身的一个线性映射.
高等代数第五章
问题的引入:
解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f ax 2bxy cy
2 2
2
选择适当角度 θ ,逆时针旋转 坐标轴
x x cos y sin y x cos y sin
x 2 cy 2 f a
(标准方程)
4
代数观点下
二次齐次多项式
2 22 2
an1 xn x1 an 2 xn x2 an3 xn x3 a x
2 nn n
9
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 a2 n x2 xn
7
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型 2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
取 a ji aij , 则2 aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
事实上，
f ( x1 , x2 ,..., xn ) X AX
Y (C AC )Y
a33 x3 2a3 n x3 xn
2
高等代数教案
高等代数教案 The pony was revised in January 2021
高等代数
教案
秦文钊
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
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a的代数余子式.称为元素
ij
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高等代数(张禾瑞版)教案-第5章矩阵 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第五章 矩 阵教学目的：1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。
及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。
2. 了解几种特殊矩阵的性质。
教学内容：5.1 矩阵的运算 1 矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。
令F 是一个数域。
用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n n212222111211 叫做F 上一个矩阵。
A 也简记作（a ij ）。
为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。
一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。
特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。
F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。
以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。
我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。
先引入前两种运算。
2 矩阵的线性运算定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ）定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。
注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。
以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
现在回到一般的矩阵。
我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。
如果矩阵 A=(a ij )， 我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。
3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A ；(A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0；a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。
利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法：A —B=A+（—B ）。
于是有A+B=C ⇔A=C —B 。
由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对于数列也成立。
4 乘法定义 3 数域F 上的m*n 矩阵A=(a ij )与n*p 矩阵B=(b ij ) 的乘积AB 指的是这样的一个m*p 矩阵。
这个矩阵的第I 行第j 列（I=1,2,…，m; j=1,2, …p ） 的元素c ij 等于A 的第I 行的元素与B 的第j 列的对应元素的乘积的和： c ij =a i1b 1j +a i2b 2j+…+a in b nj 。
注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。
我们看一个例子:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0512******** =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅+-⋅-⋅-+⋅+⋅⋅+⋅-+-⋅-⋅+⋅-+⋅0)2(11)3(3)5()2(2113001)1()3(2)5(02)1(12 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--81570. 5 矩阵乘法的运算规律：对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘法说并不都成立。
值得一提的是以下两点。
两个非零矩阵的乘积肯是零矩阵，例如：00000002121111111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---.矩阵的乘法不满足交换律。
首先，当 p ≠ m 时 A mn B np 有意义，但B np A mn 没有意义。
其次，A mn B np 和B nm A mn 虽然有意义，但是当m ≠n 时，头一个乘积是m 阶矩阵而第二个是n 阶矩阵，它们不相等。
最后，A nn B nn 和B nn A nn 虽然都是n 阶矩阵，但它们也未必相等。
例如.571813321221⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ .751412211332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 但是距阵乘法满足结合律:(AB)C=A(BC)事实上,可以假定A=(a ij )mn ,B=(b ij )np , C=(c ij )pq ,那么(AB)C 和A(BC)都是m*n 距阵,我们来证明它们的对应元素相等,令 AB=U=(u ij ), BC=V=(v ij ). 由距阵乘法知,u il= ba klnk ik∑=1,c b vlj pl kl kj∑==1,因此(AB)C=UC 的第I 行第j 列的元素是 (1)cb ac u ijkink ikpl ljpl il)(111∑∑∑====.11cb a ljklpl n k ik∑∑===另一方面, A(BC)=AV 的第I 行第 j 列的元素是(2))(111c b a va lj pl kl n k ik kjnk ik∑∑∑====.11cb a ljkln k pl ik∑∑===由于双重求和符号可以交换次序,所以(1)和(2)的又端相等.这就证明了结合律.我们知道,数1乘任何数a 仍得a.对距阵的乘法来说,存在这样的距阵,他们有类似于数1的性质. 我们把主对角线上(从左上角到右下角的对角线)上的元素都是1,而其它元素都是0的n 阶正距阵1 0… 0 0 1… 0 ………… 0 0 1叫做n 阶单位距阵 ，记作I n ,有时简记作I. I n 显然有以下性质：I n A np =A np ; A mn I n =A mn .距阵的乘法和加法满足分配律：A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA;这两个式子的验证比较简单，我们留给读者。
注意，由于距阵的乘法不满足结合律，所以着两个式子并不能互推。
距阵的乘法和数与距阵的乘法显然满足以下运算规律：a(AB)=(aA)B=A(aB).给了任意r 个距阵A 1,A 2,…… A r ,只要前一个距阵的列数等于后一个距阵的行数，就可以把它们依次相乘，由于距阵的乘法满足结合律，作这样的乘积时，我们可以把因子任意结合，而乘积A 1A 2……A r 有完全确定的意义。
特别，一个n 阶正方阵A 的r 次方（r 是正整数）有意义个r rA AA A=我们再约定A 0=I这样一来，一个n 阶距阵的任意非负整数次方都有意义。
设f(x)=a 0+a 1+……+a m x m是F[x]中有确定的意义，它仍然是F 上的一个n 阶正方阵，我们将它记作f(x): f(A)=a 0I +a 1A+……+a m A m .如果f(x), g(x)∈F [x],而A 是一个 n 阶距阵，令 u (x)=f (x)+g (A),v (x)=f (x)g (x) 于是有u (A)=f (A)+g (A),v (A)=f (A)g (A)5 距阵的转置 定义4 设m*n 距阵a 11 a 12 …… a 1nA= a 21 a 22 …… a 2n …………………… a m1 a m2 …… a mn 把A 的行变为俩所得到的n×m 距阵a 11 a 21 …… a m1A’= a 12 a 22 …… a m2 ………………… a 1n a 2n …… a mn叫A 的转置距阵的转置规律a) (A’)’=A,b) (A+B)’=A’+B’ c) (AB)’=B’A’ d) (aA)=aA’我们只验证(5),其它三个规律容易验证.设A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n n212222111211 , B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b bb bb b b b b np n n p p212222111211 首先容易看出,(AB)’和B ’A ’都是pm 矩阵.其次,位于(AB)’的第i 行第j 列的元素就是位于AB 的第j 行第i 列的元素,因而等于a j1b 1i +a j2b 2i +…+a jn b ni . 位于B ’A ’的第i 行第j 列的元素等于B ’的第i 行的元素与A ’的第j 列的对应元素的乘积之和,因而等于B 的第i 列的元素与A 的第j 行的对应元素的乘积之之和:b 1i a j1+b 2i a j2+…+b ni a jn 上面两个式子显然相等,所以(5)成立..等式(4)和(5)显然可以推广到n 个矩阵的情形,也就是说,以下等式成立: (A 1+A 2+…+A n )’=A 1’+A 2’+…+A n ’ , (A 1A 2…A n )’=A n ’A n-1’…A 2’A 1’5.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式教学目的：1 掌握逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充要条件。
2掌握求逆矩阵的方法，尤其能利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。
教学内容：1逆矩阵的定义：令 A是数域F上的一个n阶矩阵。
若是存在F上n阶矩阵B，使得 AB=BA=I，那么A叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B叫作A的逆矩阵。
若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵由A唯一决定。
事实上，设B和C都是A的逆矩阵：AB=BA=I，AC=CA=I。
那么B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C。
2逆矩阵的性质：我们以后把一个可逆矩阵A的唯一的逆矩阵用A-1来表示。
我们有以下简单的事实：可逆矩阵A的逆矩A-1也可逆，并且（A-1）-1=A这由算式AA-1=A-1A=I可以直接推出。
两个可逆矩阵A和B的乘积AB也可逆，并且（AB）-1=B-1A-1这是因为（AB）(B-1A-1)=（B-1A-1）(AB)=I一般，m个可逆矩阵A1，A2，…，A m的乘积A1A2…A m也可逆，并且（A1A2…A m）-1=A m-1…A2-1A1-1可逆矩阵A的转置A’也可逆，并且（A’）-1=（A-1）’这是因为求等式AA-1=A-1A=I中三个相等的矩阵的转置，得（A-1）’A’=A’(A-1)’=I’=I一个n阶矩阵未必可逆。
例如，令a11 a12A=00而B是任意一个2阶矩阵。
那么乘积AB的第二行的元素都是零，因此不存在二阶矩阵B，使AB=I，从而A不是可逆矩阵。
3初等变换首先注意以下事实：对于一个矩阵施行一个行或列初等变换相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个可逆矩阵。
我们把以下的三种正方阵叫做初等矩阵：i 列 j 列110 … 1 i 行 1 P ij =1 1 … 0 j 行11 i 列11 D i(k) = k i 行 11i 列 j 列11 … k i 行 T ij(k) =1 j 行 1这里没有注明的元素在主对角线上的都是1，在其它位置的都是零。
通过验算容易看出：交换一个m ×n 矩阵A 的第和第i 和第j 行或第i 和第j 列，相当于把A 左乘以m 阶矩阵P ij 或右乘以n 阶矩阵P ij ；把A 的第i 行或列乘以数k ，相当于把A 左乘以m 阶的D i(k)，或右乘以n 阶的D i(k)；把A 的第j 行乘以数k 后加到第i 行相当于把A 左乘以m 阶的T ij(k),把A 的第j 列乘以数k 后加到第i 列相当于把A 右乘以n 阶的T ij(-k)初等变换都是可逆的，并且它们的逆矩阵仍是初等变换。