高等代数第8章入-矩阵习题课[1]
高等代数(北大版)第8章习题参考答案
第八章 —矩阵1. 化下列矩阵成标准形1） 2）3） 4）5）6）解 1）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
2）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
3）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ，从而A= B，B即为所求。
4）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = , 4 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ,4 = = ，从而A= B，B即为所求。
5）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
6）对矩阵作初等变换,有A，在最后一个行列式中3=1, 4 =, 5 = ，所以1 =2 =3 =1,4 = =,5 = =。
故所求标准形为B= 。
2.求下列矩阵的不变因子:1） 2）3） 4）5）解 1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 = ，故该矩阵的不变因子为1 =2 =1,3 =。
2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为3 =2 =1=1,4 =，故矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 =。
3）当时,有4 = = ，且在矩阵中有一个三阶子式= ，于是由,3 = 1，可得3 = 1，故该矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
当时,由1=1, 2 =1, 3 = , 4 = ，从而1 =2 =1,3 = ,4 = = 。
4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 =1, 4 = ，从而所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式因子为3 =1,4 = ，故所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
3.证明:的不变因子是，其中= 。
证因为n = ，按最后一列展开此行列式，得n == ，= ，因为矩阵左下角的阶子式= ,所以= 1,从而1=2 = … = = 1，故所给矩阵的不变因子为1 =2 = … = = 1，= = ，即证。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数 第8章线性变换 8.6 欧式空间的正交变换和对称变换
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.2
一、λ－矩阵的初等变换
定义：
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c；
③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的( )倍， ( )是一个多项式.
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
定义：
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的
矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵.
注： ① 全部初等矩阵有三类：
1
O
P(i, j)
1
0L 1
i行
M 1L 0
j行
1
O 1
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
1
O
1
LL
LL
L L
L L
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
r() L L
[1,i ]
L a11 L
L
(
L
)
L L L
L L L
B( ).
B( ) 的左上角元素 r( )符合引理的要求，
故 B( ) 为所求的矩阵.
ii) 在A( )的第一行中有一个元素 a1i ( )不能被a11( )
对 A( ) 作下述初等行变换:
a11( ) L
A(
)
L
ai1(
L
)
L L
L
a1 j ( ) L
L L
aij ( )
高代考研辅导第8章线性变换
八．线性变换1.（中国科学院2006）若α为一实数，试计算11lim nn n nαα→+∞⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。
解令11n A nαα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，容易求得A 的两个特征值为1,1i i n n αα+-，相应的特征向量为1,1i i ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
令11i P i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1111112i i P i i --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，使得11001i n A P P i n αα-⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎪⎝⎭，1(1)00(1)n nn i n A P P i n αα-⎛⎫+ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。
注意1(1)1lim lim in in in n n i i e n ααααα→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦，(1)lim n i n i e nαα-→∞-=，所以11011120lim ini n i i e A i i e αα-→∞-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin 1sin cos 2i ii i iii i e e ie ie ie ie e e αααααααααααα----⎛⎫+-+⎛⎫== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭。
2.（华南理工大学2006）设()n V M F =表示数域F 上n 阶全体矩阵的向量空间。
定义：(),()T n A A A M F σ=∀∈。
（1）证明：σ是线性变换；（2）求σ的全部特征子空间；（3）证明：σ可对角化。
证明（1）,(),n A B M F k F ∀∈∀∈，有()()()()T T T A B A B A B A B σσσ+=+=+=+，()()()T T kA kA kA k A σσ===，所以σ是线性变换；（2）设λ是σ的特征值，A 为对应于λ的特征向量（某个非零矩阵），则()A A σλ=，22()()T T A A A A σλ===，于是21λ=，得1λ=±。
高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.6
i 0 L 0 0
1 i L 0 0
Ji
L 0
0
L 0 0
L L L
L
i
1
L , 0
i
2020/4/11§8.6 若当标准形的数理学与论计算推科学导学院
i 1,2,L , s
J1
令
J
J2 O
Js
则 J 的初等因子也是（*），
即J与A有相同的初等因子.
故J 与A相似.
2020/4/11§8.6 若当标准形的数理学与论计算推科学导学院
0 0 2 2 0 0
0 0 0 0 2
A 的初等因子为 , , 2 .
0 0 0
故 A的若当标准形为
0 0
0 0
0 2
.
2020/4/11§8.6 若当标准形的数理学与论计算推科学导学院
例2、已知12级矩阵A的不变因子为
114,12,L43,1,( 1)2,( 1)2 1, 12 1( 2 1)2 9个 求A的若当标准形. 解：依题意，A的初等因子为 12 , 12 , 12 , 1, 1, i2 , i2
00 00
L L 1n1
1 0
L 1
所以 E J0 的 n 1 级行列式因子为1. 从而， E J0 的 n 2,L ,2,1 级行列式因子皆为1.
J0 的不变因子是:
d1 L dn1 1, dn 0 n . 故 J0 的初等因子是: 0 n .
2020/4/11§8.6 若当标准形的数理学与论计算推科学导学院
1
O
1
s ks
等价. 由定理9，J 的全部初等因子是：
( 1 )k1 , ( 2 )k2 , L , ( s )ks .
《高等代数课后答案》(邱著)
《高等代数课后答案》(邱著)高等代数之后的答案(秋微写的)《高等代数》的内容由浅入深，循序渐进，符合当前两位学生的教学实践。
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以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。
希望你喜欢！点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。
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-矩阵的初等矩阵: 由单位矩阵经一次-矩阵的初等变换 得到的-矩阵称为初等-矩阵. P(i, j); P(i(c)); P(i, j())
初等矩阵都是可逆的, 并且有
P(i, j)-1=P(i, j) , P(i(c))-1=P(i(c-1)), P(i,j())-1=P(i,j(-)).
必要条件是它们有相同的行列式因子, 或者说, 有相同的不变因子.
注 由上可见, 在-矩阵的行列式
因子之间,有 Dk()∣Dk+1()
(k=1,2,…,r-1).
在计算-矩阵的行列式因子时,
常常是先计算最高阶的行列式因子. 这样就大致有了低阶行列式因子的 范围了.
特别地, 当B()=E时, 就得到如下结果
二. 不变因子与初等因子的关系
n阶矩阵A的不变因子与初等因子 是互相确定的.
命题
命题
两个同阶方阵有相同的初等因子 当且仅当它们有相同的不变因子. 定理 两个同阶方阵相似当且仅当它们有 相同的初等因子.
三. 初等因子的求法
定理 按初等变换化A的特征矩阵E- A 为对角形, 将主对角线上的元素分解成互 不相同的一次因式方幂的乘积, 则所有 这些一次因式的方幂(相同的按出现的次 数计算)就是A的全部初等因子.
第8章 1 2 3 4 5 6 7
-矩阵习题课
-矩阵的概念 -矩阵在初等变换下的标准形
不变因子与行列式因子 矩阵相似的条件 初等因子 Jordan标准形的理论推导 矩阵的有理标准形
1 - 矩阵的定义、秩、可逆性 一. 概念 设P是一个数域, 是一个文字,作多项式环 P[]. 如果一个矩阵其元素是的多项式, 即P[]的元素, 就称为 -矩阵. 常用A(),B()表示. 数字矩阵: 特殊情形. 运算:与数字矩阵相同.
1 0 0 a n 1 A 0 1 0 a n 2 0 0 1 a1
n
为多项式d()的伴侣矩阵.
d()的伴侣矩阵A的不变因子是1,1,…,1, d() 0 0 an 证 因为
1 0 a n 1 E A 0 1 0 an2 0 1 a1 0
k1 k2
ks
其中 ( i )ki 是Ji的初等因子.
定理 每一个n阶的复数矩阵A都与一个 Jordan形矩阵相似, 这个Jordan形矩阵 除去其中Jordan块的排列次序外 是被矩阵A唯一决定的,它称为A的Jordan 标准形。 （这里的Jordan块是由A 的初等因子 决定的）
定理 复矩阵A 相似于对角阵， 当且仅当A的初等因子都是一次的。
3
不变因子
一.行列式因子
设-矩阵A()的秩为r, 对于正 整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子 式. A()中全部k阶子式的首项系数为1 的最大公因式Dk()称为A()的k级行列 式因子.
定义
由定义可知, 对于秩为r的-矩阵,
行列式因子一共有r个.
行列式因子的意义就在于, 它在
对一个sn的-矩阵A()作一次初等行变换
就相当于在A()的左边乘上相应的ss初等 -矩阵;
对A()作一次初等列变换就相当于在A() 的右边乘上相应的nn的初等 -矩阵.
定义 -矩阵A()称为与B()等价,
如果可以经过一系列初等变换将A()化 为B().
理标准形.
定理
4
矩阵相似的条件
定理 设A, B是数域P上两个nn矩阵. 则A与B相似当且仅当E-A和E-B等价.
5
初等因子
一. 初等因子的概念 定义 把方阵A(或线性变换A)的每个 次数大于零的不变因子分解成互不相同 的一次因式方幂的乘积,所有这些一次 因式方幂(相同的必须按出现的次数计 算)称为矩阵A(或线性变换A)的 初等因子.
定理 数域P上nn方阵A在P上相似于 唯一的一个有理标准形,称为A的有理 标准形.
B1 B
B2
Bs
线性变换的语言 定理 设A是数域P上n维线性空间V的
一 个线性变换,则在V中必定存在一组基, 使A在这组基下的矩阵是有理标准形,并且 这个有理标准形由A唯一决定,称为A的有
定理 任意一个非零的sn的-矩阵A()
都等价于下列形式的矩阵
d 1 ( ) d 2 ( ) d r ( ) 0 0
其中r1, di() (i=1,2,…,r)是首项系数为 1的多项式, 且 di()di+1() (i=1,2,…,r-1) 。
推论 复矩阵A 相似于对角阵， 当且仅当A的不变因子都没有重根。
引理 n 阶矩阵A 的最小多项式 就是A的最后一个不变因子dn( )。
7 矩阵的有理标准形 本节将在任意数域中讨论 一. 伴侣矩阵 定义 对数域上的一个多项式 d()=n+ a1n-1++an 称矩阵 0 0 0 a
1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 d ( ) 0 0
二. 有理标准形 定义 下列准对角矩阵
A1 A A2 As
其中Ai分别是数域P上的某些多项式di() 的伴侣矩阵.且满足d1()d2()ds(), 就称A为P上的一个有理标准形矩阵.
初等变换下是不变的. 定理 等价的-矩阵具有相同的秩 与相同的各阶行列式因子。
二.标准形的唯一性 定理 -矩阵的标准形是唯一的．
三.不变因子
定义 标准形的主对角线上非零元素
d1()‚d2(),…,dr() 称为-矩阵A()的不变因子.
定理 两个sn 的-矩阵等价的充分
推论 设A()是一个准对角矩阵 A1 ( ) A ( ) 2 A( ) As ( ) 则A1(),A2(), …,As()的全部初等因子 合起来就是A()的全部初等因子.
6 Jordan标准形的理论推导 一. Jordan标准形的初等因子 0 0 0 0 Jordan块
随矩阵A*(): 同数字矩阵.
定理 一个n×n的-矩阵A()可逆的充分必 要条件为行列式|A()|是一个非零的数.
2 -矩阵在初等变换下的标准形
一.初等变换与初等矩阵
-矩阵的初等变换:指下面的三种变换
(1)矩阵的两行(列)互换位置; (2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c; (3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的 ()倍, ()是一个多项式.
-矩阵的行列式
(1) -矩阵的行列式与数字矩阵的行列式 有相同的性质. (2) -矩阵的行列式是关于文字 的一个 多项式。 (3)可定义 -矩阵行列式的子式、非零
子式、 -矩阵的秩等概念。 零矩阵的秩规定为0.
三. -矩阵的逆矩阵 定义 设A()是一个n×n的-矩阵,如果有 一个n×n的 -矩阵B()使 A()B()=B()A()=E 则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩阵. 注 (1)这里 E是n阶单位矩阵; (2)这样的矩阵B()是唯一的, 记作A-1().
-矩阵之间的等价满足如下三条;
(1) 自反性: 每个-矩阵与自己等价. (2) 对称性:若A()与B()等价,则B()与 A()等价. (由于初等变换具有可逆 性). (3) 传递性:若A()与B()等价, B()与C()等价,则A()与C()等价.
命题 矩阵A()与B()等价的充分必要条件 为有一系列初等-矩阵P1,P2,…,Ps, Q1, Q2 ,…,Qt,使 A()=P1P2…PsB()Q1Q2…Qt .
定理 -矩阵A()可逆的充分必要条件
是:A()的标准形为单位矩阵E. 定理 -矩阵A()可逆的充分必要条件 是: A()能表成一些初等矩阵的乘积.
两个sn的-矩阵A()与B() 等价的充分必要条件是:存在可逆的 s阶-矩阵P()与可逆的n阶-矩阵 Q(), 使得 B()=P()A()Q().
1 J0 0 0
0 0
1 0
的初等因子是( - 0)n. Jordan形矩阵
0 0 0 1 0 nn
Js
J1 J
J2
的全部初等因子是
( 1 ) , ( 2 ) ,, ( s )