高等代数 矩阵练习题参考答案
北京大学高等代数基础习题答案八
第八章 λ-矩阵[自测题解答]§1 λ-矩阵一、填空1 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------131313322λλλλλλλ；2、λλλλλλλλλλ21,211,122--， 2 ；3、λ. 二、解答题1.0112≠=+λλλλ, 所以矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11λλλ的秩为2. 0100121232≠--=----λλλλλλ，所以矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ的秩为3.2．因为141212--=--λλλλλ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121λλλ不可逆. 110012121-=-----λλλλ，所以矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=10012121)(λλλλλA 可逆. 3． 答：设)(λA 为n 级λ-矩阵，)(λA 可逆时一定满秩，因为这是)(λA 的行列式为非零常数，为非零多项式；满秩时不一定可逆，因为满秩只说明行列式不是零多项式，但不一定是零次多项式（非零常数）.4．证明 因为A E -λ是一个n 次多项式，不是零次多项式.所以A E -λ不可逆.§2 λ-矩阵在初等变换下的标准形一、问答题1． 数字矩阵的初等变换是λ-矩阵的初等变换，但λ-矩阵的初等变换不一定是数字矩阵的初等变换. 2．初等λ-矩阵都是可逆的.3． 可逆的λ-矩阵标准型都是单位矩阵，因此等价，反之如果两个λ-矩阵等价，且其中一个可逆，那么另一个一定可逆.4． 一致.二、解答题1．(),(),()A D H λλλ是标准形，而2100()010001B λλλ⎛⎫ ⎪≅+ ⎪⎪-⎝⎭，100()00000C λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，20()00000G λλλ⎛⎫⎪≅ ⎪ ⎪⎝⎭.2．10010*******()0000000100010100100B λλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=≅≅≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ §3 不变因子解答一、填空1．都是1，都是1；2.1，λ，2λλ-；3. 1，λ，2λλ+；4.,r r ；5.无穷 二、解答题解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1002)(λλλA 的行列式因子为1,(1)(2)λλ++，故不变因子为1,(1)(2)λλ++，所以标准形为100(1)(2)λλ⎛⎫⎪++⎝⎭；⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλ111)(B 的行列式因子44()D λλ=，而有一个三级子式等于1，故行列式因子321()1,()()1D D D λλλ===，所以不变因子为41,1,1,λ，所以标准形是4111λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=10030011)(λλλλλλC 的行列式因子为1,1,(1)(1)(3)λλλ-+-，故不变因子为1,1,(1)(1)(3)λλλ-+-，所以标准形为10001000(1)(1)(3)λλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭.证明：因为)(1λ-n D 是1-n 次的，()n D λ是n 次的故不变因子.设A 为n 级数字矩阵，且A E -λ的第1-n 个行列式因子证明A E -λ的不变因子()n d λ是一次的，但12()()()()n n D d d d λλλλ=L ，并且1()|()i i d d λλ+，从而12(),(),,()n d d d λλλL 相等.3．证明 容易计算()()A f λλ=，而其中一个1n -级子式为101(1)11nλλλ--=---OO ，故行列式因子为1,1,,1()f ()n λL 个，，从而不变因子为)(,1,,1,1λf Λ.§4 矩阵相似的条件一、 填空1．n 个；2.相似；3.正确. 二判断题 1.（F ）；2.（T ）. 二、 解答题1．证明 容易知道,,A B C 的不变因子为n1,1,,1-a)λL ，(，故,,A B C 相似.2．解 容易计算A 的不变因子为11,1,,1,()ni i a λ=-∏L ；B 的不变因子为1,1,,1,()n a λ-L ；C 的不变因子为E C λ-的不变因子为4321,1,1,2345λλλλ++++.3.证明：因为多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，所以B A ,在数域,K P 上的行列式因子相同，进而不变因子相同.故B A ,在P 上相似当且仅当在K 上相似.§5初等因子一、填空题1.21,1,1,(1)(1)λλλ-+；2.22,λλ.二、解答题1．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121的初等因子为(1),(2),(1),(2);λλλλ--++不变因子为1,1,1,(1)(2)(1)(2);λλλλ--++.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200120012的不变因子为31,1,(2)λ-，初等因子为3(2)λ-.容易计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---422633211的特征多项式为2(28)λλλ-+，故行列式因子23()(28)D λλλλ=-+，由于存在E A λ-的互素的二级子式1112,3324λλλ--+-，故二级行列式因子2()1D λ=，从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---422633211的不变因子为21,1,(28)λλλ-+，初等因子为,λλλ-+.3．解因为21110(1)010010010011(λλλλλλλ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥-⎪⎢⎥- ⎪≅⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以该矩阵的初等因子为211(1),(),()22λλλ-+--+.4．证明：因为E A λ-的初等因子()n D λ等于A E -λ，而()n D λ等于全部不变因子之积，而全部不变因子之积 等于全部初等因子之积.5．证明：设1()()()m h o A h o o λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O ， 1212()()()(),1,2,,,()ij i i ir kk k k i r j h p p p j m p λλλλλ==L L 为数域P 上的不可约因式.首先考虑1()p λ，若在λ-矩阵()A λ矩阵中相邻的1(),()i i h h λλ+中因式1()p λ的次数11,1i i k k +>，由北大教材的引理知道反复利用上述方法则λ-矩阵()A λ可化为等价的λ-矩阵其中112110m k k k '''≤≤≤L ，且是11211,,,m k k k L 的一个排列.然后用上述方法考虑()(2,,)i p i n λ=L ，则λ-矩阵()A λ可化为等价的λ-矩阵其中()ji k i p λ'是某一个()jik i p λ.并且当0ij k >时，他们是全部的初等因子.§5若当标准形的理论推导一、填空、1.2; 2.1000010001100000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭; 3.2(1),1λλ--;4. 000000000000,000,100000010010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;5.100100100100010,110,110,110011001011011-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6. 000100000100100,000,010,110010010011011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 二、解答题1．解 容易计算矩阵1234501234001230001200001A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭一、二、三阶行列式因子为1，四阶行列式因子为1，而五阶行列式因子是5(1)λ-，所以其初等因子为4(1)λ-，故若当标准形为1111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 2．证明 由于A 的约当标准形为12k J J J ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O ，所以A 的最小多项式就是约当块12,,,k J J J L 的最小多项式的最小公倍式，而约当块的最小多项式是()(1,2,,)i d i k λ=L ，从而矩阵A 的最小多项式为()k d λ.3．因为A 的约当标准形是12k J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，01010iJ ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O ，从而存在可逆的矩阵P ，使11A E P JP E J E -+=+=+=.4．证明 由于A 的特征值是m 此单位根，因此其约当标准形为12k J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，其中11i ii i J εεε⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，则1J P AP -=，于是11()m m m J P AP P A P E --===，从而(1,2,,)mi J E i s ==L ，因此i J 都是1级的，即J 为对角矩阵.测试题[解答]1．解 （1）由于E A λ-是A 的特征多项式，所以不为0，故E A λ-的秩等于3.（2）行列式因子为2123()1,()1,()(1)D D D λλλλλ===-，不变因子为2123()1,()1,()(1)d d d λλλλλ===-，初等因子为2,(1)λλ-，E A λ-的标准形为211(1)λλ⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭ （3）约当标准形为000010011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 2．证明 由于最小多项式是最后一个不变因子，而特征多项式是所有不变因子的乘积，在利用不变因子的关系，直接得到()|()nf g λλ.3．解 因为矩阵A 的秩是1因此其若当标准型为1000000000000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L L L，因此A 的不变因子与10000000000000λλλ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L L L的不变因此完全相同，显然其不变因子为1,,,,(1)λλλλ-L ，故21n n D λ--=.E A λ-的标准形为1(1)λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭O4.证明：设A 的约当标准形为12k J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，其中11i i i i J λλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭O O O O ，且1J P AP -=，于是11()m m m J P AP P A P --==，即m mA J :.但是21k m mm m J J J J ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O，而i m i mi m i m J λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O ，即mJ 的特征值就是J 的特征值的m 次幂.但相似方阵具有相同的特征值，也即A 的特征值的m 次幂.5．证明 ,E A E B λλ--等价⇔,A B 相似⇔存在可逆矩阵P ，使1B P AP -=⇔,A PQ B QP ==数域上的同级方阵，求证的充分必要条件是,A B 有分解式：,,A PQ B QP ==其中1Q P A -=.。
(完整word)高等代数第四章矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =. 错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=.8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) TA A (B) TA A - (C) 2A (D) TA A -3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（B ）.(A) 若AB AC =，则B C =(B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）. (A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B) 当m n >时，必有行列式0AB = (C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) nA A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0nA = (B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A) 1A = (B) 0A = (C) TA A = (D) 0A ≠ 12．,,ABC 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）(A) 若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵；(C) 若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A =*.nAA A E A ==15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A)1njkki k aA =∑ (B)1nkjki k aA =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ） (A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ ) (A) **00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B A C A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA -20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ D ）(A) ()C A B CA CB +=+ (B) ()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D) ()A B C AC BC +=+21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ Ｃ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的主对角线上的元素（ Ｃ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零（C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零23．设1320A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A -=（ D ） (A) 1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ （B ）1031136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）1031126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D ）1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24． 设111222333a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c b AP a c b a c b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P =（ B ） (A) 100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n ≥阶矩阵1111a aa a a a A aa a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的秩为1，则a 必为（A ）(A) 1 （B ）-1 （C ）11n - （D ）11n -矩阵A 的任意两行成比例.26. 设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题: ①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价;②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同. 以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当AP P B 1-=时，,A B 为相似矩阵。
高等代数第四版习题答案
高等代数第四版习题答案【篇一：高等代数第四章矩阵练习题参考答案】xt>一、判断题1. 对于任意n阶矩阵a，b，有a?b?a?b.错.2. 如果a2?0,则a?0.错.如a11?2?,a?0,但a?0.1?1?23. 如果a?a?e，则a为可逆矩阵.正确.a?a2?e?a(e?a)?e，因此a可逆，且a?1?a?e.4. 设a,b都是n阶非零矩阵，且ab?0，则a,b的秩一个等于n，一个小于n. 错.由ab?0可得r(a)?r(b)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.5．a,b,c为n阶方阵，若ab?ac, 则b?c.错.如a11??21??32?,b?,c，有ab?ac,但b?c.1?1?2?1?3?2?6．a为m?n矩阵，若r(a)?s,则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵q，使?ispaq0?0??. 0??正确.右边为矩阵a的等价标准形，矩阵a等价于其标准形.7．n阶矩阵a可逆，则a*也可逆.*?a*a?|a|e正确.由a可逆可得|a|?0，又aa.因此a*也可逆，且(a*)?1?1a. |a|8．设a,b为n阶可逆矩阵，则(ab)*?b*a*.正确.(ab)(ab)*?|ab|e?|a||b|e.又(ab)(b*a*)?a(bb*)a*?a|b|ea*?|b|aa*?|a||b|e.因此(ab)(ab)*?(ab)(b*a*).由a,b为n阶可逆矩阵可得ab可逆，两边同时左乘式ab的逆可得(ab)*?b*a*.二、选择题1．设a是n阶对称矩阵，b是n阶反对称矩阵(bt??b),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（b ）.(a) ab?ba (b) ab?ba(c) (ab)2 (d) bab(a)(d)为对称矩阵，（b）为反对称矩阵，（c）当a,b可交换时为对称矩阵.2. 设a是任意一个n阶矩阵，那么（ a）是对称矩阵.(a) aa (b) a?a (c)a(d) a?a3．以下结论不正确的是（ c ）.(a) 如果a是上三角矩阵，则a也是上三角矩阵；(b) 如果a是对称矩阵，则 a也是对称矩阵；(c) 如果a是反对称矩阵，则a也是反对称矩阵；(d) 如果a是对角阵，则a也是对角阵.4．a是m?k矩阵, b是k?t矩阵, 若b的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（b ）(a) ab的第j行元素全等于零；(b)ab的第j列元素全等于零；(c) ba的第j行元素全等于零； (d) ba的第j列元素全等于零；2222tt2t5．设a,b为n阶方阵，e为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（d ）(a) (a?b)2?a2?2ab?b2(b) a2?b2?(a?b)(a?b)(c) (ab)2?a2b2 (d) a2?e2?(a?e)(a?e)6．下列命题正确的是（b ）.(a) 若ab?ac，则b?c(b) 若ab?ac，且a?0，则b?c(c) 若ab?ac，且a?0，则b?c(d) 若ab?ac，且b?0,c?0，则b?c7. a是m?n矩阵，b是n?m矩阵，则（ b）.(a) 当m?n时，必有行列式ab?0；(b) 当m?n时，必有行列式ab?0(c) 当n?m时，必有行列式ab?0；(d) 当n?m时，必有行列式ab?0.ab为m阶方阵，当m?n时，r(a)?n,r(b)?n,因此r(ab)?n?m，所以ab?0.8．以下结论正确的是（ c）(a) 如果矩阵a的行列式a?0,则a?0；(b) 如果矩阵a满足a?0，则a?0；(c) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；(d) 对任意方阵a,b，有(a?b)(a?b)?a?b9．设?1?,2?,3?,4是非零的四维列向量，a?(?1,?2,?3,?4),a*为a的伴随矩阵，222已知ax?0的基础解系为(1,0,2,0)t，则方程组a*x?0的基础解系为（ c ）.（a）?1,?2,?3.（b）?1??2,?2??3,?3??1.（c）?2,?3,?4.（d）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.10t由ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得(?1,?2,?3,?4)0,?1?2?3?0. ?2?0?因此（a），（b）中向量组均为线性相关的，而（d）显然为线性相关的，因此答案为（c）.由a*a?a*(?1,?2,?3,?4)?(a*?1,a*?2,a*?3,a*?4)?o可得?1,?2,?3,?4均为a*x?0的解.10.设a是n阶矩阵，a适合下列条件（ c ）时，in?a必是可逆矩阵nn(a) a?a (b) a是可逆矩阵 (c) a?0(b) a主对角线上的元素全为零11．n阶矩阵a是可逆矩阵的充分必要条件是（ d）(a) a?1 (b) a?0 (c) a?a (d)a?012．a,b,c均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ a）(a) 若a是可逆矩阵，则从ab?ac可推出ba?ca(b) 若a是可逆矩阵，则必有ab?ba(c) 若a?0，则从ab?ac可推出b?c(d) 若b?c，则必有ab?ac13．a,b,c均是n阶矩阵，e为n阶单位矩阵，若abc?e，则有（c ） (a) acb?e （b）bac?e（c）bca?e (d) cba?e14．a是n阶方阵，a是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ d ）(a) 若a是可逆矩阵，则a也是可逆矩阵；(b) 若a是不可逆矩阵，则a也是不可逆矩阵；***t**(c) 若a?0，则a是可逆矩阵；（Ｄ）aa?a.aa*?ae?a.*15．设a是5阶方阵，且a?0，则a?（Ｄ）234n(a) a (b) a (c) a(d) a16．设a是a?(aij)n?n的伴随阵，则aa中位于(i,j)的元素为（Ｂ） (a) **?ak?1njkaki (b) ?ak?1nkjaki (c) ?ajkaik (d) ?akiakj k?1k?1nn应为a的第i列元素的代数余子式与a的第j列元素对应乘积和.a11a1na11a1n17.设a, b,其中aij是aij的代数余子式，则（c ） an1?ann???an1?ann??(a) a是b的伴随 (b)b是a的伴随(c)b是a?的伴随(d)以上结论都不对18．设a,b为方阵，分块对角阵ca0?*,则c? ( Ｃ ) ??0b?0? *?bb?0?? abb*??a*(a) c0?aa*0?(b)c??*?b??0?ba*(c)c0?aba*0?? (d) c??ab*??0利用cc*?|c|e验证.19．已知a46??135?，下列运算可行的是（ c ） ,b1?2??246?(a) a?b (b)a?b (c)ab(d)ab?ba【篇二：高等代数第4章习题解】题4.11、计算（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?1(1,0,1,5) 2（2）5(0,1,2)?(1,1,0)?(1,1,1) 215517(1,0,1,5)?(,?3,?,?) 2222解：（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?（2）5(0,1,2)?(1,19,0)?(1,1,1)?(0,,9) 222、验证向量加法满足交换律、结合律。
高等代数(北大版)第8章习题参考答案
第八章 λ—矩阵1. 化下列矩阵成标准形 1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλλλ3522232）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ 3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22)1(000λλλλ 4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000)1(0000002222λλλλλλ 5）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-+--+-+--+1244323534321232322222λλλλλλλλλλλλλλ6）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----++00221330010102602206341032λλλλλλλλλλλλλλ解 1）对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-λλλλλλ352223→ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλλλ322253→ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λλλλλλ3-10-053232 → ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--λλλλ3100023= B )(λ， B )(λ即为所求。
2）对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(000001λλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λλλ20000001= B )(λ， B )(λ即为所求。
3）因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++22)1(000λλλλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(+λλ, D 3 = 32)1(+λλ， 所以d 1 = 1, d 2 =12D D = )1(+λλ, d 3 = 23D D = 2)1(+λλ， 从而A =)(λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++22)1(00000λλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λλ+λλ2)1(000)1(0001= B )(λ，B )(λ即为所求。
4）因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000)1(0000002222λλλλλλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(-λλ, D 3 = 22)1(-λλ, D 4 = 44)1(-λλ，所以d1= 1,d2=12D D = )1(-λλ,d 3=23D D = )1(-λλ,d 4=34D D = 22)1(-λλ，从而A =)(λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000)1(0000002222λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎝λλλλ-λλ221)-(00001)-(0000)1(0= B )(λ， B )(λ即为所求。
高等代数矩阵练习题参考答案
高等代数矩阵练习题参考答案The document was prepared on January 2, 2021第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =.错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠ ⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B =错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=. 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A - 3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零； 5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+- (C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（B ）. (A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）. (A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B) 当m n >时，必有行列式0AB = (C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =. 8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++. （C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T 可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) n A A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0n A = (B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A) 1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠12．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ） (A) 若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵； (C) 若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A = 15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A) 1n jk ki k a A =∑ (B) 1n kj ki k a A =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ）(A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ ) (A) **00A CB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B A C A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA -20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ D ）21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ Ｃ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的主对角线上的元素（ Ｃ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零 （C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零23．设1320A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A-=（D）(A)121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦（B）131136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（C）131126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D）121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24．设111222333a b cA a b ca b c⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c bAP a c ba c b⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P=（ B）(A)100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（B）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（C）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（D）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n≥阶矩阵1111a a aa a aA a a aa a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若矩阵A的秩为1，则a必为（A ）(A)1 （B）-1 （C）11n-（D）11n-矩阵A的任意两行成比例.26.设,A B为两个n阶矩阵,现有四个命题:①若,A B为等价矩阵,则,A B的行向量组等价;②若,A B的行列式相等,即||||,A B=则,A B为等价矩阵;③若0Ax=与0Bx=均只有零解,则,A B为等价矩阵;④若,A B为相似矩阵,则0Ax=与0Bx=解空间的维数相同.以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当APPB1-=时，,A B为相似矩阵。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的一个重要概念，也是在数学、物理、计算机科学等领域中广泛应用的工具。
通过解矩阵练习题，可以帮助我们加深对矩阵运算和性质的理解。
下面给出一些矩阵练习题及其答案，供大家参考。
1. 问题描述：已知矩阵 A = [4 2]，求 A 的转置矩阵 A^T。
解答：矩阵的转置就是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
因此，A 的转置矩阵为 A^T = [4; 2]。
2. 问题描述：已知矩阵 B = [1 -2; 3 4]，求 B 的逆矩阵 B^-1。
解答：对于一个可逆矩阵 B，其逆矩阵 B^-1 满足 B * B^-1 = I，其中 I 是单位矩阵。
通过矩阵的求逆公式，可以得到 B 的逆矩阵 B^-1 = [4/11 2/11; -3/11 1/11]。
3. 问题描述：已知矩阵 C = [2 1; -3 2]，求 C 的特征值和特征向量。
解答：矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的重要性质。
特征值λ 是方程 |C - λI| = 0 的根，其中 I 是单位矩阵。
解方程可得特征值λ1 = 1 和λ2 = 3。
特征向量 v1 对应于特征值λ1，满足矩阵C * v1 = λ1 *v1，解方程可得 v1 = [1; -1]。
特征向量 v2 对应于特征值λ2，满足矩阵C * v2 = λ2 * v2，解方程可得 v2 = [1; 3]。
4. 问题描述：已知矩阵 D = [1 2 -1; 3 2 4]，求 D 的行列式和秩。
解答：矩阵的行列式表示线性变换后单位面积或单位体积的变化率。
计算 D 的行列式可得 det(D) = 1 * (2*4 - 4*(-1)) - 2 * (3*4 - 1*(-1)) + (-1) * (3*2 - 1*2) = 10。
矩阵的秩表示矩阵中独立的行或列的最大个数。
对矩阵 D 进行行变换得到矩阵的行最简形式为 [1 0 6; 0 1 -3]，因此 D 的秩为 2。
高等代数(北大版)第4章习题参考答案
第四章 矩阵1.设1）311212123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111210101B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭2）111a b c A c b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111a c B b b c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭计算AB ，AB BA -。
解 1）622610812AB -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭ ，400410434BA ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭222200442AB BA -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪--⎝⎭ 2）22222222223a b c a b c ac b AB a b cac b a b c a b c a b c ⎛⎫+++++⎪=+++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭222222a ac c b ab c c a BA a ac c b b c ab b a c b bc c c ac a ⎛⎫+++++ ⎪=+++++ ⎪ ⎪+++++⎝⎭33()ij AB BA a ⨯-=， 其中11a b ac =-， 22212a a b c b ab c =++---， 221322a b ac a c =+-- 21a c bc =-， 2222a ac b =-， 32223a a b c ab b c =++--- 23132a c a =--， 32a c bc =-， 33a b ab =-2.计算22111)310012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭5322)42⎛⎫ ⎪--⎝⎭113)01n⎛⎫ ⎪⎝⎭ cos sin 4)sin cos nϕϕϕϕ-⎛⎫⎪⎝⎭()15)2,3,111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭，()112,3,11⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ()1112132122313132336),,11a a a x x y a a a y a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2111111117)11111111---⎛⎫ ⎪---⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭，1111111111111111n---⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭108)0100nλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 22117441)310943012334⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
矩阵习题带答案
矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。
1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。
解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。
因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。
解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。
计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。
解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。
对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。
4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。
解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。
首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。
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第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+.错.2. 如果20,A =则0A =.错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠ ⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n .错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n .5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B =错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形.7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=. 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB =正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB =二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵.2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A -3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵；(B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵；(C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵；(D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零；(C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（B ）.(A) 若AB AC =，则B C =(B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C =(C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C =(D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）.(A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠；(B) 当m n >时，必有行列式0AB =(C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠；(D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =；(B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++. （C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T 可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) n A A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0n A =(B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A)1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠12．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A)若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA =(B)若A 是可逆矩阵，则必有AB BA =(C)若0A ≠，则从AB AC =可推出B C =(D)若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ）(A)ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E =14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）(A)若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵；(B)若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵； (C)若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A =15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A)A (B) 2A (C) 3A (D) 4A16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A) 1n jk ki k a A =∑ (B) 1n kj ki k a A =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ）(A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随(D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ )(A)**ACB⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(B)**A ACB B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C)**B ACA B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(D)**A B ACA B B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用*||CC C E=验证.19．已知46135,12246A B⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ）(A)A B+ (B)A B- (C)AB (D)AB BA-20．设,A B是两个m n⨯矩阵，C是n阶矩阵，那么（ D ）21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA=，那么B是一个（Ｃ）(A)对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A的逆矩阵与任意一个n阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且0A=，那么A的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（B）只有一个为零（C）至少有一个为零（D）可能有零，也可能没有零23．设1320A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A-=（ D ）(A)121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦（B）131136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（C）131126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D）121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24．设111222333a b cA a b ca b c⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c bAP a c ba c b⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P=（ B ）(A)100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（B）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（C）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（D）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n≥阶矩阵1111a a aa a aA a a aa a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若矩阵A的秩为1，则a必为（A ）(A)1 （B）-1 （C）11n-（D）11n-矩阵A的任意两行成比例.26. 设,A B为两个n阶矩阵,现有四个命题:①若,A B为等价矩阵,则,A B的行向量组等价;②若,A B的行列式相等,即||||,A B=则,A B为等价矩阵;③若0Ax=与0Bx=均只有零解,则,A B为等价矩阵;④若,A B为相似矩阵,则0Ax=与0Bx=解空间的维数相同.以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当AP P B 1-=时，,A B 为相似矩阵。
相似矩阵的秩相等。
齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数。
三、填空题1．设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，有2A =，则11()2*3A A --=11*||2A A A A --==，111()33A A --=，因此11111311()2*34(1)32A A A A A A ------=-=-=-=-. 2．设,AB 为4阶方阵，且3A =，则1(3)A --= 1/27 , 21BA B -= 9 。
3．设A 是一个m n ⨯矩阵，B 是一个n s ⨯矩阵，那么是()'AB 一个s m ⨯阶矩阵，它的第i 行第j 列元素为1njk ki k a b =∑.4.n 阶矩阵A 可逆A 非退化 ||0A ≠⇔ A 与单位矩阵等价 ⇔ A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积 .4.三阶对角矩阵000000a A b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 的伴随矩阵*A = 000000bc ac ab ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 5．设123023003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则*1()A -=16A .6．设0,1,2,i a i n ≠=，矩阵12100000000000n na a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为 111121100000000000n n a a a a -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 7．设,A B 都是可逆矩阵，矩阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 8．设121331,,342424A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则(2)B A C -=（ ）． 9．A 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A 为 零 矩阵.10．设方阵111222333b x c A b x c b x c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111222333b y c B b y c b y c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且2,3A B =-=则行列式A B += 4 .11．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，已知,A a B b ==，则行列式00A B=ab mn )1(-.将A 的各列依次与B 的各列交换，共需要交换mn 次，化为0A B12．设A 为n 阶方阵，且0A ≠，则 在A 等价关系下的标准形为 n 阶 单位矩阵 .13. 设12221311A a-⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭（a为某常数），B为43⨯的非零矩阵，且0BA=，则矩阵B的秩为1 .由0BA=可得A的各列为齐次线性方程组0Bx=的解，A的前两列线性无关，因此0Bx=的基础解系至少有两个解，因此()1r B≤.又B为非零矩阵，因此()1r B≥.即() 1.r B=四、解答下列各题1．求解矩阵方程(1)25461321X-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2)211113210432111X-⎛⎫-⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭⎪-⎝⎭;(3)142031 121101X⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(4)010100143 100001201 001010120X-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：（1）1254635462231321122108 X-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）12111132212104328/352/3111X--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎪-⎝⎭2．设033110123A⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭,2AB A B=+ ,求B解：(2)A E B A -=.0332002332110020110123002121A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22A E -=，因此2A E -可逆.3．.设1P AP -=Λ,其中1411P --⎛⎫= ⎪⎝⎭,1002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭ ,求11A . 解：1,A P P -=Λ4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆. 证明：124A B B E -=-两边同左乘以A 得到24B AB A =-.因此有 (2)4A E B A -=.由A 可逆可得2A E -，且111(2).4A E BA ---= 5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.证明：()R A r =，因此矩阵A 可以经过一系列行初等变换化为后n r -行全为零.也即存在初等矩阵11,,,m P P P ，使得21m P P P A 后n r -行全为零. 21m P P P P =,则PA 的后n r -行全为零.由矩阵乘法运算可得1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关. 证明：由,m n AB E <=可得()()m r AB r A m =≤≤，因此()r A m =.因此A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是0.AB BA +=证明：当B A +时幂等阵时，因此0.AB BA +=反之，当0.AB BA +=时有B A +是幂等矩阵.。