高等代数考研复习[矩阵]描述
高等代数中的矩阵分析 基本概念与方法
高等代数中的矩阵分析基本概念与方法高等代数中的矩阵分析: 基本概念与方法矩阵是高等代数中的重要工具和对象，广泛应用于各个领域，包括线性代数、概率论、统计学、物理学等等。
本文将介绍高等代数中相关的矩阵的基本概念和分析方法。
一、矩阵的定义与表示在高等代数中，矩阵是由元素组成的矩形数组，通常用大写字母表示。
一个m×n的矩阵A可以表示为：A = [a_ij] =a_11 a_12 ... a_1na_21 a_22 ... a_2n... ... ...a_m1 a_m2 ... a_mn其中 a_ij 为矩阵A的第i行第j列的元素。
在矩阵中，行数m代表矩阵的行数，列数n代表矩阵的列数。
二、矩阵的基本运算在高等代数中，矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘和乘法。
1. 加法与减法：对于两个同型矩阵A和B，它们的加法与减法定义如下：A +B = [a_ij] + [b_ij] = [a_ij + b_ij]A -B = [a_ij] - [b_ij] = [a_ij - b_ij]其中 a_ij 和 b_ij 分别为矩阵A和B的对应元素。
2. 数乘：对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘定义如下：kA = [ka_ij] = [ka_11 ka_12 ... ka_1nka_21 ka_22 ... ka_2n... ... ...ka_m1 ka_m2 ... ka_mn]其中 ka_ij 为k与矩阵A的对应元素的乘积。
3. 矩阵乘法：对于两个矩阵A和B，它们的乘法定义如下：AB = C其中矩阵C的第i行第j列的元素c_ij为：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj其中 a_ij 是矩阵A的第i行第j列的元素，b_ij 是矩阵B的第i行第j列的元素。
三、矩阵的转置与逆矩阵在高等代数中，矩阵的转置与逆矩阵是两个重要的概念。
1. 矩阵的转置：对于一个矩阵A，它的转置定义如下：A^T = [a_ji] =a_11 a_21 ... a_m1a_12 a_22 ... a_m2... ... ...a_1n a_2n ... a_mn其中 a_ij 是矩阵A的第i行第j列的元素，a_ji 是矩阵A的转置后的第i行第j列的元素。
上海市考研数学复习资料高等代数重点知识点总结
上海市考研数学复习资料高等代数重点知识点总结高等代数是考研数学中的一门重要学科，涉及到矩阵论、线性代数、群论等多个知识点。
掌握高等代数的重点知识点对于考生来说至关重要。
本文将对上海市考研数学复习资料中的高等代数重点知识进行总结和归纳，帮助考生更好地备考。
一、矩阵论1. 矩阵的定义和运算法则2. 矩阵的特殊类型及性质（对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、幂等矩阵等）3. 矩阵的转置、共轭和伴随矩阵4. 矩阵的行列式及性质5. 矩阵的逆和可逆性6. 矩阵的秩、秩-零度定理和齐次线性方程组的解的结构7. 相似矩阵和对角化8. 矩阵的特征值和特征向量二、向量空间1. 向量空间的定义和运算法则2. 向量空间的子空间3. 向量空间的线性相关性和线性无关性4. 向量空间的基和维度5. 向量空间的坐标和坐标变换6. 线性映射和线性变换7. 线性映射的矩阵表示和矩阵的相似性8. 线性映射和线性变换的核和像三、群论1. 群的定义和运算法则2. 子群和正规子群3. 群的同态和同构4. 群的陪集和拉格朗日定理5. 群的正规系列和商群6. 群的中心和中心因子7. 群的直积和直和8. 群的有限性定理四、模论1. 环的定义和运算法则2. 子环、理想和素理想3. 除环和唯一因子分解环4. 有限环和域5. 环的同态和同构6. 环的中心和中心化因子7. 模的定义和运算法则8. 子模和陪模9. 模的同态和同构10. 模的秩和维数定理五、特殊知识点1. 特征多项式和最小多项式2. 标准型和矩阵的合同3. 广义逆和非负逆4. Stirling数和Bell数5. 哈密顿矩阵和酉矩阵6. 生成元和置换群7. 置换矩阵和循环群8. 半单群和李代数以上是上海市考研数学复习资料中的高等代数重点知识点总结。
希望考生能够针对这些知识点进行重点复习，掌握基本概念和性质，并能灵活运用于解题中。
同时，建议考生多做一些真题和模拟题，加深对知识点的理解和记忆。
祝愿每位考生都能在考试中取得理想的成绩！。
考研数学高等代数重点整理
考研数学高等代数重点整理高等代数是考研数学中的一门重要学科，它涉及到矩阵、向量、行列式等内容。
在考研中，高等代数的重要性不言而喻。
为了帮助考生更好地掌握高等代数的重点知识，本文将对高等代数的相关知识进行整理和总结。
一、矩阵矩阵是高等代数中的基础概念之一。
矩阵可以表示为一个矩形数组，其中每个元素都是一个数。
在考研中，我们需要了解矩阵的基本运算，包括加法、减法和乘法。
此外，还需要掌握矩阵的转置、逆矩阵以及特殊矩阵（如对角矩阵、零矩阵等）的性质。
二、向量向量是高等代数中的另一个重要概念。
向量可以表示为一个有方向和大小的量。
在考研中，我们需要了解向量的基本运算，包括加法、减法、数量乘法以及点积和叉积。
此外，还需要了解向量的模、方向角以及向量与矩阵的乘法等相关知识。
三、行列式行列式是高等代数中的重点内容之一。
行列式可以看作是一个数学对象，它可以用来描述一个矩阵的性质。
在考研中，我们需要了解行列式的定义和性质，包括行列式的计算方法、展开定理以及特殊矩阵的行列式。
此外，还需要掌握行列式的变换和性质，比如行列式的性质、克莱姆法则等。
四、特征值与特征向量特征值与特征向量是高等代数中的重要概念。
特征值与特征向量可以用来描述一个矩阵的性质。
在考研中，我们需要了解特征值与特征向量的定义和性质，包括特征方程的求解方法、实对称矩阵的对角化以及相似矩阵的性质等。
五、线性方程组线性方程组是高等代数中的常见问题之一。
在考研中，我们需要学会解线性方程组的方法，包括高斯消元法、克莱姆法则以及矩阵表示法等。
此外，还需要掌握线性方程组的解的性质，比如解的存在唯一性、解的个数等。
六、二次型二次型是高等代数中的重要概念之一。
二次型可以看作是一个二次齐次多项式，它与矩阵有密切的联系。
在考研中，我们需要了解二次型的定义和性质，包括矩阵的标准型、规范型以及二次型的正定性和负定性等。
以上是考研数学高等代数的重点整理。
通过对这些内容的学习和掌握，相信考生能够在考试中取得好成绩。
考研数学高等代数复习指南
考研数学高等代数复习指南高等代数是考研数学中的一门重要课程，涵盖了矩阵、行列式、线性方程组、向量空间等内容。
为了帮助考生更好地进行高等代数的复习，以下是一份简洁明了的复习指南，供广大考生参考。
一、矩阵与行列式1. 矩阵基础知识- 矩阵的定义及基本运算法则- 矩阵的转置、共轭和伴随矩阵2. 行列式的性质- 行列式的定义及基本运算法则- 行列式的性质：行列式与元素之间的关系- 克拉默法则和拉普拉斯展开定理3. 矩阵的特征值与特征向量- 特征值和特征向量的定义- 求解特征值和特征向量的方法- 矩阵的对角化与相似矩阵二、线性方程组1. 线性方程组的基本概念- 线性方程组的定义及基本性质- 矩阵形式的线性方程组与增广矩阵- 齐次线性方程组与非齐次线性方程组2. 线性方程组解的存在唯一性- 线性方程组解的分类：有解、无解、无穷解- 判断线性方程组解的存在唯一性的准则3. 线性方程组的求解方法- 初等变换与线性方程组解的等价性- 高斯消元法、矩阵的初等行变换- 矩阵的秩与线性方程组解的个数三、向量空间1. 向量空间的定义与性质- 向量空间的基本性质：封闭性、加法性质、数乘性质 - 子空间的定义及判定2. 向量空间的线性独立与秩- 向量的线性相关与线性无关- 向量组的秩与最大线性无关组3. 线性变换与矩阵表示- 线性变换的定义与性质- 线性变换的矩阵表示及判定以上是考研数学高等代数的复习指南，希望能对各位考生的备战有所帮助。
复习过程中，建议结合教材进行深入学习，多做相关的习题和真题，加深对知识点的理解和掌握。
祝愿广大考生能够顺利通过高等代数这一重要科目，实现自己考研的梦想！。
高等代数-矩阵
• 列向量 n=1的特殊矩
阵
a1
a2
M
am
• 行向量 m=1的特殊矩阵
a1 a2 L an
特殊矩阵及其元素表示_5
• n维标准单位向量
1 0
0
e1
0
M
,
e2
1
M
,L
, en
0
M
0
0
1
特殊矩阵及其元素表示_6
• n阶基础矩阵Eij
0
O
Eij
0 O
a11 b11 a12 b12 a11 b11 a12 b12 a11 b11
a21 b21 a22 b22
a21
a22
b21
a12 b12 b22
矩阵的加减法2_运算规则
• 运算规则
✓交换律： A+B = B+A ✓结合律： (A+B)+C = A+(B+C) ✓0+A=A+0 = A ✓A+ (－A) = 0 ✓A+(－B) = A－B
产品 产量 产品1
分厂1 20 分厂2 30
产品2
17 20
产品3
12 10
3200
17 20
1102
这里2×3个数排成2行3列，成为一个整体，抛 去它所包含的实际意义，构成了高等代数中的 一个2×3阶矩阵。
关于矩阵_1
• 矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 18141897）于1850年首先提出。他是犹太人，故他 在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成 绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记 官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍 布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英 格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数 学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达 50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不 渝的作者之一。
高等代数第9章入-矩阵
§3 不变因子
• 一.行列式因子 • 定义 设-矩阵A()的秩为r, 对于正整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子式. A() 中全部k阶子式的首项系数为1的最大公 • 由定义可知, 对于秩为r的-矩阵, 行列式 因子一共有r个. • 行列式因子的意义就在于, 它在初等变换 下是不变的. 因式Dk()称为A()的k级行列式因子.
如此继续,A()便可化成所要求的形式.
• 例 用初等变换化-矩阵为标准形
1 A( ) 1 2
2 3 2 1
2 1
• 解
1 A( ) 1 2
1 1 2 1 1 2 0 0 2 3 2 3 1 1 1 1 1
0 d 1 ( ) 0 d 2 ( ) 0 0 0 0
0 A2 ( )
其中d1()与d2()都是首项系数为1的多
项式(d1()与bs()只差一个常数倍数),而
且d1()d2(). d2()能除尽A2()的全部 元素.
A( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
三. -矩阵的逆矩阵 • 定义 设A()是一个n×n的-矩阵,如果有 一个n×n的 -矩阵B()使 A()B()=B()A()=E 则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩
• 推论 如果A()可逆,则
A*() 其中d=|A()|是数域中P一个非零常数. • 例2 设
d
-1()= 1 A
因为|A()|=0, 所以A()不可逆.
2 1 B ( ) 1 2 2 3 2 2
2 1 A( ) 1 2 2
高等代数-高代矩阵
解法2
1
( AB)T
BT AT
7
4 2 2 2 0 0
1 0 17 3 14 13 .
1 3 1 1 2 3 10
48
四、对称矩阵和反对称矩阵
设 A为n阶方阵
A为对称矩阵
AT A
A为反对称矩阵 AT A
aii 0
aij a ji aij a ji
49
? 注：A, B是对称矩阵，AB是对称矩阵
(A
B)k
Ak
C
1 k
Ak
1
B
Ck2 Ak2B2
...
Bk
AB BA .
35
例5
设
A
0
1
0 1 ,
求 Ak .
0 0
解
A2
0
1
0
10
1
0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
36
2
A3 A2 A 0
2 2
1 1 2 0
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性替换. 其中aij为常数.
16
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
a12 a22
a1n a2n
ann
a11
a21 a22
.
an1 an2 ann
i j, aij 0
i j, aij 0
14
三、矩阵与线性变换
高等代数教学笔记4：矩阵 I
高等代数教学笔记4：矩阵 I对于一般的线性方程组 (行列式为零或方程与未知量不一样多), Cramer 法则不能 (直接) 应用, 于是需要新的方法, 对方程组的系数进行处理. 代数学处理问题的方式一般是整体考虑, 记为数域上的m×n 矩阵的全体,先研究这个集合的整体性质, 然后再分别考虑特殊的矩阵. 而在代数层面上,集合的整体性质是通过其中的运算关系来展示的, 所以我们需要研究矩阵集合上的运算.矩阵的运算在上有自然定义的加法运算并且满足如下性质.问题4.1(1) 交换律: A + B = B + A;(2) 结合律: (A + B) + C = A + (B + C);(3) 零矩阵: 0 + A = A, 这里的 0 是所有元素都是 0 的矩阵;(4) 负元 (可以定义减法): 存在 B 使得 B + A = 0. (唯一的! 记为 -A.)这些性质的验证非常简单, 不过有必要提醒一下: 从现在开始, 我们会慢慢走进抽象的数学领域, 当然, 这个抽象的过程是一步步实现的, 不能一蹴而就.最自然的抽象过程是在很多数学对象中寻找共性, 提炼出来就是一个抽象的数学概念. 比如, 上述的四个性质是代数学中所讨论的加法的共性, 这一类对象以后会有一个共同的名字——Abel 群; 更一般地, 只满足~(2)-(4), 不满足交换律的对象就是今后需要研究的群.在上可以定义数乘运算◦ (通常省略):数乘运算不再是矩阵内部的运算, 而是常数与矩阵之间的运算. 而上有加法和乘法运算, 上有刚刚定义的加法运算, 因此我们需要考虑所有这些运算之间的关系. 另外, 数域中有一个特殊元素 1, 它在数乘中的地位也是比较特殊的. 这些结合起来就自然有如下问题.问题4.2 (5) 单位 1: 1 ◦ A = A;(6) (结合律) (kl) ◦ A = k ◦ (l ◦ A);(7) (分配律一) k ◦ (A + B) = k ◦ A + k ◦ B;(8) (分配律二) (k + l) ◦ A = k ◦ A +l ◦ A.我们将会发现, 满足加法和数乘运算及如上性质 (1) − (8) 的研究对象越来越多, 比如前面提到的数域、多项式、平面向量、空间向量等, 它们最终融汇成一个抽象的概念——线性空间, 这将把高等代数的研究提到一个新的高度.矩阵中更重要的运算自然是 Cayley 利用变量替换方式引入的矩阵乘法. 按照惯例, 我在上课时让学生们计算了两三个变量时的替换, 并且要求他们在课堂上计算出结果. 这不是一个困难的过程, 学生们基本能得到结果, 如下图所示.由此得到一般矩阵的乘法规则. 不过, 奇怪的是, 即使用上面这个比较直观的图来表示矩阵乘法, 学生们还是能够很快忘掉矩阵乘法怎么作, 其中的原因耐人寻味.定义了矩阵乘法, 首先考虑一下其自身性质.问题 4.3 (1) 矩阵乘法没有交换律, 举例有三个层次的原因: 交换了不能相乘、交换顺序能相乘但结果的阶数不同、方阵相乘也不一定可换.(2) 矩阵乘法满足结合律 (两种观点: 直接验证或从变量替换两次的角度看).(3) 单位矩阵: , 其中.(4) 逆矩阵 (类似于倒数) 不一定存在.问题4.4如果对任意, 都有 BA = A, 是否一定有?矩阵乘积中的每一个元素都是一个求和, 这样的求和用行矩阵与列矩阵相乘更为简洁直观, 应用起来也会方便很多.问题4.5 (1) A,B 的乘积 AB 的第 i 行第 j 列元素是用矩阵乘法表示(实际上, 以后看到求和号都可以转换为矩阵乘法!).(2) A,B,C 的乘积 ABC 的第 i 行第 j 列元素如何用矩阵表示?问题4.6 (1) 矩阵乘法与加法有分配律.(2) 矩阵乘法与数乘有结合律.(3) 矩阵乘法与转置: (AB)′= B′A′.矩阵与线性方程组利用矩阵运算, 我们可以重新理解线性方程组.问题4.7 (1) 方程组的形式:(2) 矩阵乘法: 记 A 为其系数矩阵,则有矩阵乘法形式(3) 列向量的加法与数乘: 记 A 的列向量为则有这里蕴含着列向量之间的关系——线性相关性.(4) 行向量: 记为 A 的行向量, 则第 i 个方程可以简单记为方阵与多项式矩阵中最值得研究的是方阵, 数域上 n 阶方阵的全体记为, 它将成为高等代数课程的主要研究对象. 在深入研究之前, 我们需要与前面学过的多项式和行列式理论联系一下. 中有加法、数乘和乘法等三种运算, 这与多项式理论有相通之处.问题4.8对任意, 我们定义:(1) 证明:(2) 对任意我们记称为A 的多项式. 证明:(3) 对任意, 有. 其中的问题 (3) 是矩阵多项式的既简单又重要的性质. 首先, 矩阵乘法的麻烦之处是交换律的缺失, 而矩阵的多项式却具有交换性; 其次, 我们将会发现,对于给定矩阵 A, 很多与 A 有关的重要矩阵都是 A 的多项式, 这将是矩阵研究中的一个重要突破口! 我们可以用如下问题来表述.问题4.9设, 定义映射证明: 对任意, 有对于上述映射, 如下问题对以后会很有用.问题4.10 (1) 是单射吗? 或者, 集合有什么特点? 这与我们前文研究多项式的因式分解时考虑的一些集合很相似!(2) 的像是什么? 是满射吗?剧透一下: 前面我们多次提到了更一般地, 对于n 阶方阵,是一个神奇的多项式, 因为它满足 f(A) = 0! 不信就去验证 (超级大坑!).最后举一个我们熟悉的例子: Fibonacci 数列这个递推关系可以用矩阵乘法来表达这似乎没什么. 我们再增加一项有问题4.11 证明:由 (1) 或 (2), 求 Fibonacci 数列的通项公式就转化成求矩阵于是就要发展矩阵理论求这样的矩阵的 n 次幂, 这是后话.方阵与行列式前面考虑广义 Laplace 展开的时候, 就得到了所谓的行列式的乘积公式.问题4.12设, 则|AB| = |A||B|.广义 Laplace 展开实际上是把两个 n 阶行列式的乘积转化成一个 2n 阶的行列式. 这个想法非常有用. 我们今后会处理各种矩阵问题, 有时需要同时处理好几个矩阵, 如果能用一种合理的方式把这些矩阵放到同一个大的矩阵里, 我们就只需要处理一个矩阵即可, 这就是分块矩阵的思想. 还有另一个简单粗暴的想法: 把 |AB| 按列展开为很多行列式的和, 仔细观察这些行列式的特点!上述问题其实还可以推广.问题4.13设. 若 m > n, 则 |AB| = 0; 麻烦在于 A,B 都不是方阵, 那就把它们补充成方阵但不能改变它们的乘积, A 要添加一些列, B 要添加一些行, 怎么添加?有了这个结论, 我们就可以计算一些特殊的行列式.问题4.14 计算行列式:这个行列式当然可以用行列式技巧计算 (比如拆项、镶边等), 不过, 用矩阵乘法的观点来看会容易的多. 类似的有问题4.15计算行列式:上式中的矩阵实际上是A′A, 其中不过, 如果换一下顺序就不一样了:问题4.16 (Cauchy 不等式) 设, 证明:Cauchy 不等式可能在中学就遇到过, 证明方法也不难: 配成平方和! 不过, 观察一下这些平方和, 它们与行列式有关系吗? 实际上关系很紧密. 我们有如下更一般的情形.问题 4.14 (Binet-Cauchy 公式) 设证明: 当m < n 时,注意到再用广义Laplace 展开即可. 这样就把A,B 的乘积问题转化成一个矩阵去研究, 这种方法在矩阵理论中是常用的. 特别地, 上式的右边我们有了一个简单的表达式, 把复杂矩阵分解为四块, 这样的形式简单且容易操作, 这是我们今后要经常使用的矩阵分块技巧.特别地, 我们有问题4.18设, 则. 当 m = 2 时就是 Cauchy 不等式.。
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(4)特殊矩阵
1
(a)对角矩阵 A
2
.
O
n
对角矩阵的和、
差、积、方幂为主对角线上元素的和、差、积、方幂.
它的逆为
1 1
A1
1 2 O
1 n
(b)对称阵与反对称阵
若方阵 A (aij )nn 满足 A A ，即 aij a ji 则称A 为对称矩阵.
(c)基本矩阵
形如
Eij
1
i
的矩阵称为基本矩阵.
j
结论1：任一矩阵都可由基本矩阵线性表出. 结论2：与任意矩阵可换的矩阵一定是数量矩阵.证明 可利用基本矩阵. (d)正交矩阵，幂等矩阵，幂零矩阵，对合矩阵
AA AA E, A2 A, A2 0, A2 E.
时，上述公式应用广泛.
题型分析： 1 0
例1 设
A
0 0
0
1
,求 An .
求矩阵的方幂一般有三种方法：
(1)归纳法， (2) 可换公式法，(3)相似对角化法.
由于矩阵A是特殊矩阵，所以使用可换公式法简单！
例2
设
1
A
2
3 1.
2014年8月
第二章 矩阵
矩阵是高等代数研究的主要对象之一，也是数 学及许多科学领域中最重要的工具.矩阵问题 丰富多彩，技巧性高.在高等代数中扮演着重 要角色. 本章主要复习内容:
(1)矩阵运算与特殊矩阵 (2)初等变换与矩阵
的逆 (3)矩阵的秩 (4)分块矩阵及应用
1.矩阵的运算与特殊矩阵
(1)矩阵的线性运算 (a)矩阵的加法 设 A (aij )sn, B (bij )sn 是数域
f (x) amxm am1xm1 L a1x a0 为任意多项式，
求出 f ( A) 的表达式.
例3 设A、B为n阶方阵，且 AB A B, 证明：AB BA.
分析：证明A、B可换，联想到可逆定义即可获结论.
例4 设 1 0 0
A
0 3
1 1
0 2
若方阵 A (aij )nn 满足A A ，即 aij a ji 则称A 为反对称矩阵.
结论1：任一方阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵
的和即 A 1 ( A A) 1 ( A A).
2
2
结论2：奇数阶反对称矩阵的行列式为零；偶数阶反
对称矩阵的行列式可能为零也可能非零.
阵P使
PAQ
Er 0
0 0
.
等价标准形在处理矩阵问题中有重要应用！
结论2：可逆矩阵的等价标准形是 E.
结论3：矩阵A与B等价的充要条件是 r( A) r(B).
(4)逆矩阵 (a)逆矩阵的定义
对于方阵 A 如果存在方阵 B使得 AB BA E, 则称 矩阵 A 可逆，B 为 A 的逆矩阵，记为 A1.
(e)可换矩阵
若方阵满足 AB BA 则称矩阵A与B可换.
结论1：与对角阵(主对角元互不相等)可换的矩阵
只能是对角矩阵.
a1E
结论2：与
A
a2 E
O
是同型的准对角矩阵.
可换的矩阵只能
an
E
当A与B可换时，下面结论成立.
(A B)n, An Bn 的展开式成立.特别，当 B E
(2)初等矩阵 对单位矩阵E 作一次初等变换得到的矩阵称为初
等矩阵. 初等矩阵有三种形式： P(i, j), P(i(c)), P(i, j(k)).
结论1：初等矩阵都是可逆的，且 P1(i, j) P(i, j), P1(i(c)) P(i(c1)), P1(i, j(k)) P(i, j(k)).
P上的矩阵，和定义为 A B (aij bij )sn . (b)数乘矩阵 设 A (aij )sn, k P ，k 与 A 的乘积
定义为 kA (kaij )sn 矩阵加法与数乘称为矩阵的线性运算，且满足运算 律.
(2)矩阵的乘法 (a)设 A (aij )sn, B (bij )nm 定义 A 与 B 的乘积为： AB (cij )sm, 其中，cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj 注：两个矩阵只有当前面矩阵的列数与后面矩阵的
行数相等时才能相乘. 满足的运算律有：结合律；分配律；数与乘法的结
合律即：(kA)B A(kB) k(AB). 但是，乘法一般不 满足交换律即: AB BA. 有三种原因，你是否知道？
(b)方阵的幂及矩阵多项式
Am 1AA2L3A 称为矩阵的方幂.
m个
矩阵多项式：设 f (x) amxm am1xm1 L a1x a0, A 为方阵，称 f ( A) am Am am1Am1 L a1A a0E, 为矩阵 A 的多项式。 对任意的 f (x), g(x) 都有 f (A)g(A) g(A)f(A).
(3)矩阵的转置
(a)将矩阵 A (aij )sn 的行列互换，所得到的矩 阵称为 A 的转置。记为 A 或 AT .
(b)转置的性质 ( A) A, ( A B) A B,
(kA) kA, ( AB) BA. 特别 (An ) (A)n.
结论2 (变换与矩阵乘积的关系)在矩阵A的左(右)侧 乘初等矩阵，相当于对矩阵A作一次相应的行(列)初 等变换. (3)矩阵的等价
对矩阵A做初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与矩阵 B等价.
结论1：若 r(A) r,
则矩阵ABiblioteka 与矩阵 Er o
o
o
等价，称为 A 的等价标准形.即存在可逆矩
求所有与A可换的矩阵.
提示：先化简，后计算. 例5 设 A, X 均为n阶方阵，其中 A 的元素均为1，证 明方程 X AX XA 仅有零解. 注意：这种元素均为1的矩阵有特殊性质 A2 nA,以 后还会遇到！
2.初等变换与矩阵的逆
(1)初等变换 (a)交换矩阵的两行(列). (b)矩阵的某一行(列)同乘一个非零数. (c)矩阵的某一行(列)的常数倍加到另一行(列).