高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.3
《高等代数》PPT课件
命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
2021/8/17
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三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩 阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果 是一个以向量为元素的矩阵, 即:
3) 0+ = 4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
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二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
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例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
高等代数课件
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第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
高等代数(北大版)第8章习题参考答案
第八章 —矩阵1. 化下列矩阵成标准形1） 2）3） 4）5）6）解 1）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
2）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
3）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ，从而A= B，B即为所求。
4）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = , 4 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ,4 = = ，从而A= B，B即为所求。
5）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
6）对矩阵作初等变换,有A，在最后一个行列式中3=1, 4 =, 5 = ，所以1 =2 =3 =1,4 = =,5 = =。
故所求标准形为B= 。
2.求下列矩阵的不变因子:1） 2）3） 4）5）解 1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 = ，故该矩阵的不变因子为1 =2 =1,3 =。
2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为3 =2 =1=1,4 =，故矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 =。
3）当时,有4 = = ，且在矩阵中有一个三阶子式= ，于是由,3 = 1，可得3 = 1，故该矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
当时,由1=1, 2 =1, 3 = , 4 = ，从而1 =2 =1,3 = ,4 = = 。
4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 =1, 4 = ，从而所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式因子为3 =1,4 = ，故所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
3.证明:的不变因子是，其中= 。
证因为n = ，按最后一列展开此行列式，得n == ，= ，因为矩阵左下角的阶子式= ,所以= 1,从而1=2 = … = = 1，故所给矩阵的不变因子为1 =2 = … = = 1，= = ，即证。
高等代数【北大版】课件
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.5
等价. 然后对 D1 ( ) 重复上述讨论.
2012-9-22§8.5 初等因子
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如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含
1 的方幂是按逆升幂次排列为止.
再依次对 2 , , r 作同样处理. 最后便得到与 D ( ) 等价的对角阵 D ( ).
结论2、两个同级数字矩阵相似
它们有相同的初等因子.
可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.
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三、初等因子的求法
1、(引理1)若多项式 f 1 ( ), f 2 ( ) 都与 g 1 ( ), g 2 ( ) 互素，则
f 1 ( ) g 1 ( ),
2
2, 1, 1
得A的不变因子为：
d 3 ( x ) ( 1) ( 2),
2
d 2 ( x ) d 1 ( x ) 1.
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结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，
则它们就有相同的初等因子； 反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有 相同的不变因子.
d 1 ( x ) ( 1 ) d 2 ( x ) ( 1 )
k 11
( 2 )
k 12
( r )
k1 r
, , .
k 21
( 2 )
k 22
( r )
k2 r
d n ( x ) ( 1 )
kn1
( 2 )
f ( ) | f 2 ( ) g 2 ( ),
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
第八章 二次型
f = ax2 + 2bxy + cy2
（1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质（例如判断是什么曲线）, 我们可以对它进行适 当的坐标变换
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x′ cosθ x′ sin θ
− +
y′ sin θ y′ cos θ
,
（2）
将 f 化成标准方程.
(1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用变量的 线性替换(2)化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项.
一、配方法
配方法就是利用平方公式
(x1 + x2 +L + xn )2 = x12 + x22 +L + xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 +L + 2x1xn + 2x2 x3 +L + +2x2 xn +L + 2xn−1xn
对已知二次型进行配方. 配方法主要有以下两种情形:
(1) 如果二次型中, 某个变量平方项的系数不为零, 如有 a11 ≠ 0 , 先将含 x1 的所有因
子都配成平方项, 然后再对其它含平方项的变量配方, 直到全配成平方和的形式.
(2) 如果二次型中没有平方项, 而有某个 aij ≠ 0(i ≠ j) , 则可作线性替换
⎧xi = yi + y j
⎪ ⎨
x
j
பைடு நூலகம்
=
yi
−
yj
⎪ ⎩
xk
=
yk ,
k ≠ i, j
化成含有平方项的二次型, 然后再配方.
例 1 将二次型
初等矩阵(高等代数课件)
1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 P (i , j ) 1
1
0
1 1
1
第i 行
第 j 行
1
0
1
(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2、以数 k 0 乘某行或某列
3) n 级方阵A可逆
Ps AQ1Q2
A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价.
4) 定理6
n 级方阵A可逆 A能表成一些初等矩阵的积,
§4.6 初等矩阵
即 A Q1Q2
Qt .
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 B PAQ . 由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵 Pss , Qnn , 使
r2 r3 , c1 2c3 ,
1r3 , 1c3
P (i , j ) A :
对换 A 的 i , j 两行；
AP ( i , j ): 对换 A 的 i , j 两列． P ( i ( k )) A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AP ( i ( k )) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列． P ( i , j ( k )) A ： A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ; AP ( i , j ( k )) ：A的第 i 列乘以 k 加到第 j 列．
§4.6 初等矩阵
A 如果要求Y CA , 则可对矩阵 作初等列变换， C A 列变换 E 1 , 即可得 Y CA1 . C CA
1
也可改为对( AT , C T ) 作初等行变换， （A , C )
(完整word版)高等代数教案北大版第八章
讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第八章λ－矩阵第一讲λ－矩阵2 学时讲课种类讲解法与练习法使学生认识-矩阵的观点，以及-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
求 -矩阵的逆矩阵启迪式讲解，议论，练习n 阶矩阵A与对角阵相像的充要条件是A有 n 个线性没关的特点向量.那么当只有 m( m n) 个线性没关的特点向量时, A与对角阵是不相像的.对这类情况 ,我们“退而求其次” ,找寻“几乎对角的”矩阵来与A相像 .这就引出了矩阵在相像下的各样标准型问题 .Jordan 标准型是最靠近对角的矩阵而且其相关的理论包括先前相关与对角阵相像的理论作为特例 .其他 , Jordan 标准型的宽泛应用波及到 Hamilton-Cayley 定理的证明 ,矩阵分解 ,线性微分方程组的求解等等 .因为Jordan 标准型的求解与特点多项式相关,而从函数的角度看,特点多项式其实是特别的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究 .一、- 矩阵及其标准型定义 1称矩阵 A() ( f ij ()) 为-矩阵 ,此中元素f ij ( )(i1,2,L, m; j 1,2,L , n)为数域 F 上对于的多项式 .定义 2称 n 阶-矩阵A() 是可逆的,假如有A B B A I n并称 B( ) 为A() 的逆矩阵.反之亦然.定理 1 矩阵A() 可逆的充要条件是其队列式为非零的常数,即det( A( )) c0 .证明：（ 1）充足性设A=d 是一个非零的数. A*表示A() 的伴随矩阵 ,则d1A*也是一个-矩阵 ,且有A d 1 A* d 1 A*A I所以,A( ) 是可逆的.(2) 必需性设A() 有可逆矩阵B() ,则A B I两边取队列式有A B I1因为 A与 B都是多项式 ,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式 ,即都是非零常数 .证毕 .例题 1判断-矩阵2 +121A=11能否可逆 .解固然2 +121A=1=201A( ) 是满秩的,但A不是非零常数 ,因此A() 是不行逆的.注意与数字矩阵不一样的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的 ,可逆的实质就是要保证变换的矩阵能够经过非零常数的倒数逆回去.定义3假如矩阵A() 经过有限次的初等变换化成矩阵B() ，则称矩阵A( ) 与B()等价,记为A B定理2矩阵A()与B() 等价的充要与条件是存在可逆矩阵P、Q,使得B P A Q证明因为 A B, 所以A() 能够经过有限次初等变换变为B() ,即存在初等矩阵P( ),P( ),L ,P( )12s与初等矩阵Q1 ( ), Q2 ( ),L ,Q t ( )使得B( ) P( )P( )L P( )A( )Q( )Q( )L Q( )12s12t令P( ) P1 ( )P2 ( )L P s () ,Q( ) Q1( )Q2 ( )L Q t ( )就是所要求的-矩阵 .它们都是初等矩阵的乘积,进而使可逆的 .证毕 .定义 4矩阵 A() 的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式 D k称为 A() 的k阶队列式因子.定理 2等价矩阵拥有同样的秩和同样的各级队列式因子.证明设-矩阵A( )经过一次行初等变换化为了B() ，f () 与 g( ) 分别是A( )与B() 的 k 阶队列式因子.需要证明f( )= g().分3种状况议论：（ 1）A( )i , j B( ),此时,B() 的每个 k 阶子式或许等于A( ) 的某个k 阶子式,或许与A( ) 的某个阶子式反号,所以 , f ()是B() 的k阶子式的公因子 ,进而f ()| g() .（2）A( )i(c)B( ) ,此时,B( )的每个k阶子式或许等于A( )的某个 k 阶子式,或许等于 A() 的某个 k 阶子式的c倍.所以,f()是B() 的 k 阶子式的公因式 ,进而f()|g( ) .（3）A( )i j( )行与 j行的阶子式和B( ) ,此时,B( )中那些包括i那些不包括 i 行的 k 阶子式都等于A() 中对应的 k 阶子式； B() 中那些包括 i 行但不包括 j 行的 k 阶子式,按 i 行分红两个部分,而等于A( )的一个k阶子式与另一个 k 阶子式的( ) 倍的和,,也就是A() 的两个 k 阶子式的线性组合,所以,f( ) 是的k阶子式公因式进而 f( )| g().,对于列变换, 能够同样地议论.总之 , A() 经过一系列的初等变换变为B() ，那么f()|g() .又因为初等变换的可逆性, B( )经过一系列的初等变换能够变为 A() ,进而也有g( )| f() .当 A( ) 所有的阶子式为零时, B() 所有的 k 阶子式也就等于零；反之亦然.故 A() 与 B( ) 又同样的各阶队列式因子,进而有同样的秩.证毕.既然初等变换不改变队列式因子,所以 ,每个-矩阵与它的标准型有完整相同的队列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因此 ,在求一个-矩阵的队列式因子时 ,只需求出它的标准型的队列式因子即可.议论、练习与作业课后反省讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第二将λ－矩阵在初等变换下的标准型2讲课种类讲解课认识- 矩阵的初等变换，掌握求标准型的方法，掌握最小多项式的观点和求最小多项式的方法。
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3）（定理4） 矩阵的标准形是唯一的. 证：设 矩阵 A ( ) 的标准形为
d1 ( ) d r ( ) D ( ) 0 0
其中 d 1 ( ), d r ( ) 为首1多项式，且
d i ( ) d i 1 ( ) , i 1, 2, r 1,
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由2），A ( ) 的 k 级行列式因子为
D k ( ) d 1 ( ) d 2 ( ) d k ( ), k 1, 2, r .
2
2 1 0 0
又
D3 A
1 .
3
所以，A 的不变因子为 ：
d 1 D1 1, d3 D3 D2 d2
2
D2 D1
证：必要性显然. 只证充分性. 若 A ( ) 与 B ( ) 有相同的行列式因子，则
A ( ) 与 B ( ) 也有相同的不变因子， 从而 A ( ) 与 B ( )
有相同的标准形， 所以 A ( ) 与 B ( ) 等价.
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又 A ( ) 的n个行列式因子满足:
Dk ( ) Dk 1 ( ) , k 1, 2, , n 1.
D k ( ) 1,
k 1, 2, , n.
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从而不变因子
d k ( ) Dk ( ) Dk 1 ( ) 1, k 1, 2, , n
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解：1） A ( ) 的非零1级子式为:
,
2
2 0 A( ) 0 0 0
2 1 0 0
,
1
2
.
D1 1
A ( ) 的非零二级子式为:
1 ,
1 .
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2）
1 0 0 2 1 0 1, 0 2 1
D 3 1.
A
2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2
A ( ) P1 Ps EQ 1 Q t P1 Ps Q 1 Q t .
推论：两个 s n 的 矩阵 A ( ) 、B ( ) 等价
存在一个 s s 可逆矩阵 P ( ) 与一个 n n 可逆
矩阵 Q ( ) ，使
B ( ) P ( ) A ( )Q ( ).
k 级子式的 c倍.
因此，f ( )是 B ( ) 的 k 级子式的
f ( ) g ( ) .
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公因式， 从而
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③ A B . 此时 B ( ) 中包含 i , j 两行
i j
D k ( ) D k 1 ( ),
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k 1, 2, , r 1.
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二、不变因子
1. 定义：
矩阵 A ( ) 的标准形
d1 ( ) d r ( ) D ( ) 0 0
于是
d 1 ( ) D1 ( ), d 2 ( ) D2 ( ) D1 ( ) , , d r ( ) Dr ( ) Dr 1 ( )
即 d 1 ( ), , d r ( ) 由 A ( ) 的行列式因子所唯一确定. 所以 A ( ) 的标准形唯一. 4）秩为 r 的 矩阵的 r 个行列式因子满足：
4
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练习：求 A ( ) 的不变因子
1 A 0 0 0 0 0 0 0 0 an 0 a n 1 a2 1 a1
0 0
2）若 n n 的 矩阵 A ( )可逆，则 A ( ) 的不变 因子全部为1， A ( ) 的标准形为单位矩阵 E ，即
A ( ) 与 E 等价.
证；若 A ( ) 可逆，则 A ( ) d ， d 为一非零常数.
A ( ) 的第n个行列式因子 D n 1.
所以，A ( ) 的标准形为 E .
注：A ( ) 可逆
A ( )与 E 等价.
3)（定理6） A ( ) 可逆 A ( ) 可表成一些初等 矩阵的乘积.
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证：A ( ) 可逆 A ( ) 与 E 等价
存在初等矩阵 P1 , , Ps , Q 1 , Q t , 使
g ( ) 分别是 A ( ) 与 B ( ) 的 k级行列式因子．
下证 f g ，分三种情形：
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① A ( ) B ( ). 此时 B ( ) 的每个 k 级子式或
i , j
者等于 A ( ) 的某个 k 级子式， 或者与 A ( ) 的某个
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2. 有关结论
1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级
行列式因子.
（即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证， －矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的． 设 A ( ) 经过一次初等变换变成 B ( ) ，f ( ) 与
的主对角线上的非零元素 d 1 ( ), d 2 ( ), , d r ( ) 称为 A ( ) 的不变因子.
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2. 有关结论
B 1)（定理5） 矩阵 A ( ) 、 ( ) 等价 A ( ) 、 ( )有相同的不变因子. B A ( ) 、 ( )有相同的行列因子. B
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例、求 矩阵的不变因子
2 0 A 0 0 0
A
1
2 1 0 0
2
2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2
0 2 1 , 0
2
0
3
0
1
2
,
2
0
0
1
2
1 .
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D2 1 .
2 0 A( ) 0 0 0
第八章 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 §2 λ－矩阵的 标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §5 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 的理论推导 小结与习题
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§8.3 不变因子
一、行列式因子 二、不变因子
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证： A ( ) 与 D ( ) 等价， A ( ) 与 D ( ) 有相的秩与行列式因子.
在 D ( ) 中，若一个 k 级子式包含的行、列指标不
完全相同，则这个 k 级子式为零. 所以只需考虑由 i1 , i 2 , i k 行与 i1 , i 2 , i k 列组成的 k 级子式 (1 i1 , i 2 , i k r ), 即 d i ( ) d i ( ).
1 k
而这种 k 级子式的最大公因式为 d 1 ( ) d 2 ( ) d k ( ). 所以，A ( ) 的 k 级行列式因子
D k ( ) d 1 ( ) d 2 ( ) d k ( ), k 1, 2, r .
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又
D1 D 2 , D 2 D 3
D1 D 2 1.
而
D4 A 2 .
4
A ( ) 的不变因子为
d 1 d 2 d 3 1, d 4 2 .
k 级子式反号. 因此， f ( ) 是 B ( ) 的 k 级子式的
公因式， 从而
i c
f ( ) g ( ) .
② A ( ) B ( ). 此时 B ( ) 的每个 k 级子式或
者等于 A ( ) 的某个 k 级子式，或者等于 A ( ) 的某个
的和不包含 j 行的那些 k 级子式与 A ( ) 中对应的 k 级子式相等； B ( ) 中包含 i 行但不包含 j 行的 k 级 子式，按 i 行分成 A ( ) 的一个 k 级子式与另一个 k 级子式的 ( ) 倍的和， 即为 A ( ) 的两个 k 级子式 的组合， 因此 f ( ) 是 B ( ) 的 k 级子式的公因式， 从而
f ( ) g ( ) .
f ( ) g ( ).
同理可得， g ( ) f ( ) .
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