高等代数二次型

第五讲二次型
一、二次型的概念及标准形 1、 二次型的概念及几种表述
数域F 上的n 元二次齐次函数称为数域F 上的n 元二次型。

有以下几种表述方式： （1）1211
(,,,)n n
n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑；
（2）22
2
12111222(,,,)2n nn n ij i j i j
f x x x a x a x a x a x x <=++
++∑；
（3）12(,,
,)T n f x x x X AX =，其中12(,,,)T n X x x x =，()ij n n A a ⨯=，且T A A =，并
称A 为二次型的矩阵。

2、矩阵合同 （1） 设,,n n
A B F
⨯∈若存在可逆矩阵n n T F ⨯∈，使T B T AT =，则称A B 与是合同的。

（2） 合同是矩阵间的一种等价关系。

（3） 二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的。

3、 标准形 （1） 二次型22
2
121122(,,
,)n n n f x x x d x d x d x =++
+称为标准形。

（2） 任何二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形。

（3） 任何对称矩阵都合同于一个对角阵。

4、 复数域上二次型的规范形
（1） 复二次型22
2
121122(,,
,)n n n f x x x d x d x d x =++
+，其中1i d =或0，称为复
数域上的规范形。

（2） 任何复二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =都可以通过非退化线性替换化成规范
形22
21212(,,
,)n r f x x x y y y =++
+，其中r A =秩，且规范形是唯一的。

（3） 任何复对称矩阵A 都合同于对角阵000r
E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，其中r A =秩。

（4） 两个复对称矩阵合同的充要条件是秩相等。

5、 实数域上二次型的规范形 （1） 实二次型22
2
121122(,,
,)n n n f x x x d x d x d x =++
+，其中1,1i d =-或0，称为
实数域上的规范形。

（2） 任何实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =都可以通过非退化线性替换化成规范
形22
22
212121(,,
,)n p p r f x x x y y y y y +=+++--
-，
其中r A =秩，p 是正惯性指数，且规范形是唯一的。

（3） 惯性定理 任何实二次型经过非退化线性替换化成的标准形中，正平方项的个数
和负平方项的个数是唯一确定的，在实二次型的标准形
2
2
22
212112
211(,,
,)n p
p p q
p
q
f x x x b y b y b y c
y c y
++=+++
---(0,0,1,2,,;1,i j b c i p j q >>
==中，p 称为正惯性指数，q 称为负
惯性指数，p q -称为符号差，且p q A +=秩。

二、 正交阵、实对称阵的正交化标准形
1、 正交阵 （1）,,n n
T A R
A A E A ⨯∈=若则称为正交阵。

（2）正交阵的等价定义有：()n n ij n n A a R ⨯⨯=∈，
A 是正交阵11221,,
0,.i j i j in jn i j a a a a a a i j =⎧⇔++
+=⎨
≠⎩； A 是正交阵11221,,
0,.
i j i j ni nj i j a a a a a a i j =⎧⇔+++=⎨
≠⎩； A 是正交阵1T A A -⇔=。

（3）A 是正交阵，则11A =-或。

（4）A 是正交阵，则A 的特征值的模为1；如果正交阵A 有实特征值，则只能为1±。

（5）正交矩阵A 可以对角化，即存在复可逆矩阵T ，使1
1n A T T λλ-⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
，其中1,
,n λλ为A 的全部特征根，且1(1,
,)i i n λ==。

2、 施密特正交化方法： 设12,,
,()n n R ααα∈线性无关，
（1） 正交化：令11βα=， 11111111(,)
(,)
,(2,
,)(,)
(,)
k k k k k k k k k n αβαββαββββββ----=-
-
-
=；
（2） 单位化：令1
(1,2,
,)k k k
k n ηββ==；
（3） 令12(,,,)n A ηηη=，则A 为正交矩阵。

3、 实对称矩阵的标准形
（1） 实对称矩阵的特征值均为实数；
（2） 属于实对称矩阵A 的不同特征值的特征向量必正交；
（3） ()T n n
A A R ⨯=∈，则存在正交矩阵T ，使得11T n T AT T AT λλ-⎛⎫ ⎪==
⎪ ⎪⎝
⎭。

（4） 任一实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =，其中T A A =n n R ⨯∈，则存在正交
变换X TY =，使22
2
121122(,,
,)n n n f x x x y y y λλλ=++
+，12,,,n λλλ是
A 的全部实特征值。

三、正定二次型 1、 正定二次型
（1） 设实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =，其中T A A =n n R ⨯∈，则下列条件都
是正定二次型的等价条件：
对任意实向量12(,,
,)0T
n C c c c =≠，都有12(,,
,)0T n f x x x C AC =>；
存在实可逆阵T ，使1T
n d T AT d ⎛⎫ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
，其中0i d >，(1,2,,)i n =；
f 的正惯性指数与秩都等于n ；
A 的特征值全为正；
A 合同于E ；
A 的一切主子式都大于0； A 的一切顺序主子式都大于0。

（2） 当实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =是正定二次型时，称A 为正定阵，因此
上面这此条件也是正定阵的等价条件。

2、 负定二次型
（1） 设实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =，其中T A A =n n R ⨯∈，则下列条件都
是负定二次型的等价条件：
对任意实向量12(,,
,)0T
n C c c c =≠，都有12(,,
,)0T n f x x x C AC =<；
存在实可逆阵T ，使1T
n d T AT d ⎛⎫ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
，其中0i d <，(1,2,,)i n =；
f 的负惯性指数与秩都等于n ；
A 的特征值全为负； A 合同于E -；
12(,,
,)()T n f x x x X A X -=-是正定二次型；
A 的一切奇数阶主子式都小于0，A 的一切偶数阶主子式都大于0；
A 的一切奇数阶顺序主子式都小于0，A 的一切偶数阶顺序主子式都大于0。

（2） 当实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =是负定二次型时，称A 为负定阵，因此
上面这此条件也是负定阵的等价条件。

3、 半正定二次型
（1） 设实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =，其中T A A =n n R ⨯∈，则下列条件
都是半正定二次型的等价条件：
对任意实向量12(,,
,)T
n C c c c =，都有12(,,
,)0T n f x x x C AC =≥；
存在实可逆阵T ，使1T
n d T AT d ⎛⎫ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
，其中0i d ≥，(1,2,,)i n =；
f 的正惯性指数与秩相等；
A 的特征值全非负；
A 的一切主子式都非负；
存在实矩阵B ，使得T
A B B =。

（2） 当实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =是半正定二次型时，称A 为半正定阵，
因此上面这此条件也是半正定阵的等价条件。

4、半负定二次型，类似半正定二次型可以表述。

5、不定二次型
（1） 设实二次型12(,,
,)T n f x x x X AX =，其中T A A =n n R ⨯∈，
若存在两个实向量12(,,
,)T
n C c c c =和12(,,
,)T n D d d d =，使得
12(,,
,)0T n f c c c C AC =>且12(,,,)0T n f d d d D AD =<。

则称12(,,
,)
n f x x x 为不定二次型。

（2）不定二次型的矩阵A 的特征值必有正有负。