高等代数第五章知识点总结
高数大一第五章知识点总结

高数大一第五章知识点总结在高等数学的第五章中,我们主要学习了极限与连续的相关知识。
极限与连续是高数中的重要概念,对于理解微积分等后续学科具有重要意义。
下面我将对第五章的知识点进行总结,希望能够帮助大家更好地掌握这一章节内容。
1. 极限的概念和性质极限是一个数列或函数在某一点或者无穷远处的趋近值。
我们通常用“lim”表示极限,例如lim(n→∞) an = a表示当n趋近于无穷大时,数列an的极限为a。
极限具有唯一性、局部有界性、保号性等性质。
2. 极限的计算方法在计算极限时,可以利用数列的性质、极限的四则运算法则、夹逼定理等方法。
对于无穷小量与无穷大量的比较,我们可以使用洛必达法则等方法。
3. 无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是指极限为0和极限为正无穷或负无穷的数列或函数。
无穷小量与无穷大量在微积分中有重要应用,例如在计算微分和积分时经常会用到。
4. 函数的极限函数的极限与数列的极限类似,也是描述函数在某一点或者无穷远处的趋近值。
例如lim(x→a) f(x) = L表示当x趋近于a时,函数f(x)的极限为L。
函数的极限计算同样可以利用极限的性质和计算方法。
5. 连续的概念和性质连续是指函数在某一点处具有极限,且该极限等于函数在该点处的函数值。
连续函数具有保持不等式、可加性、介值性等重要性质。
我们还学习了间断点的分类和判定方法。
6. 基本初等函数的连续性基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在其定义域内均是连续函数。
总的来说,高数第五章的内容较为复杂,但是又非常重要。
掌握了极限和连续的概念和性质,我们才能够更好地理解微积分等后续学科,为以后的学习打下扎实的基础。
希望以上对第五章知识点的总结能够给大家带来帮助,同时也希望大家在学习高等数学的过程中能够保持耐心和积极性,不断提高自己的数学思维能力和解题能力。
通过不断的练习和思考,相信大家都能够掌握好这一章节的内容,为自己的数学学习打下坚实的基础。
大一基础高数第五章知识点

大一基础高数第五章知识点大一基础高数是大多数理工科学生的必修课程,其中第五章是一个相对重要的章节,涵盖了一些基本而又关键的知识点。
本文将就这些知识点展开讨论。
一、向量及其运算在高数中,向量是一个非常重要的概念。
它可以表示空间中的一条有方向的线段,既有大小也有方向。
向量的运算有加法和数乘两种,它们都有着直观的几何意义。
1. 向量的加法向量的加法可以用形如A+B=C的式子表示,其中A、B和C 都是向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘。
它的结果是将向量的长度缩放或者反向。
二、空间直角坐标系空间直角坐标系是研究三维空间中向量运算的重要工具。
在空间直角坐标系中,我们可以用三个坐标轴来表示一个点的位置。
1. 空间直角坐标空间直角坐标即向量的坐标表示形式,形如(a,b,c),其中a、b 和c分别代表点在x、y、z轴上的坐标。
2. 向量的表示与坐标向量可以用两点表示,也可以用坐标表示。
在空间直角坐标系中,给定两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2),则这两个点之间的向量可以表示为AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
三、空间中的直线和平面直线和平面是三维空间中常见的几何对象,它们在物理、工程等学科中具有广泛的应用。
1. 直线的方程在三维空间中,直线可以用参数方程、对称方程或者一般方程表示。
其中参数方程最为常用,形如:x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0, y0, z0)是直线上的一个已知点,a、b和c是方向向量的分量。
2. 平面的方程平面可以用点法式方程、一般方程或者截距式方程表示。
点法式方程最为常用,形如:A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0其中(x0, y0, z0)是平面上的一个已知点,ABC是平面的法向量。
四、空间曲线及其方程除了直线和平面外,空间中还存在各种形状的曲线。
高等代数课件 第五章

Pij 1 Pij
Di
(k )1
Di
(1) k
Tij (k)1 Tij (k)
引理5.2.1 A 行 A ,则 A可逆 A可逆 .
(初等变换不改变可逆性).
定理5.2.1 任一m×n矩阵A总可以通过初等变
换化为
A
Ir Omr
,r
Or ,n r Omr ,n r
证 由定理4.1.2,A可通过行及列变换化为
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n
b2
n
bmn
A 和B 加法定义为:
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn bmn
证
AA1 A由1 A I
有 (A1)A A(A.1) I
二 矩阵可逆的判别
定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵
称为初等矩阵.
n=4
0 0 0 1
P14
0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 00
1 0 0 0
D3
(k
)
0 0 0
1 0 0
0 k 0
0
0 1
1 0 0 0
T24
(k
矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律(其
中A,B,C 均为F上的矩阵,k,l为数域F中的数)
(1) 加法交换律 A B B A
高等数学第5章知识点总结

高等数学第5章知识点总结第5章二重积分(一)概念1. 二重积分的概念设二元函数f(x,y)在闭区域D上有界,把闭区域D分成n个小区域,记作ΔDi ,ΔSi为第i 个小区域的面积,ξi (i=1,2,3,…,n) 取在Di上的任一点,则二重积分的极限∬f(x,y)dA=lim n->∞ Σf(ξi)ΔSi(i=1,2,3,…,n)当这极限存在时,称其为在D上的二重积分,记作∬f(x,y)dA2. 二重积分的几何意义二重积分∬f(x,y)dA 表示把函数f(x,y)在闭区域D上的值与ΔS之积相加,其中ΔS是D上的微小面积。
即表示在闭区域D上f(x,y)在ΔS上的平均值与ΔS的面积之积的和。
3. 二重积分的计算法(1)累次积分法先对y积分,再对x积分。
(2)二次积分法先对x,y积分都在一起进行。
(3)极坐标法根据二重积分的边界条件,将直角坐标系转换为极坐标系。
(二)性质1. 线性性质若函数f(x,y)和g(x,y)在区域D上有界,则∬[f(x,y)+g(x,y)]dA = ∬f(x,y)dA + ∬g(x,y)dA2. 积分域的可加性若函数f(x,y)在区域D1和区域D2上有界,则∬f(x,y)dA = ∬f(x,y)dA1 + ∬f(x,y)dA23. 面积性质若函数f(x,y)在区域D上恒为1,则∬f(x,y)dA = S(D)(三)二重积分的应用1. 计算面积当f(x,y)=1时,二重积分∬1dA表示在闭区域D上的面积。
2. 计算质量、重心、转动惯量在力学中,可以利用二重积分计算平面薄片的质量、重心和转动惯量。
3. 计算电荷、电场在电磁学中,可以利用二重积分来计算平面薄片上的电荷、电荷分布和电场分布。
(四)二重积分的换元法1. 极坐标换元2. 线性换元3. 一般换元注:该知识点总结仅包括了高等数学第5章的基本内容,如需更多详细知识,请查阅相关资料。
高等代数第五章

问题的引入:
解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f ax 2bxy cy
2 2
2
选择适当角度 θ ,逆时针旋转 坐标轴
x x cos y sin y x cos y sin
x 2 cy 2 f a
(标准方程)
4
代数观点下
二次齐次多项式
2 22 2
an1 xn x1 an 2 xn x2 an3 xn x3 a x
2 nn n
9
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 a2 n x2 xn
7
二、二次型的表示方法
1.用和号表示 对二次型 2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
取 a ji aij , 则2 aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
事实上,
f ( x1 , x2 ,..., xn ) X AX
Y (C AC )Y
a33 x3 2a3 n x3 xn
2
高等代数.第五章.二次型.课堂笔记

������1 ������2 ,取X = ( ⋮ ,, ������������ (5)
则(4)可表示为矩阵形式: ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = X′AX 称(5)中的矩阵Α为二次型f(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ )的矩阵. 由定义:A = A′,这样的矩阵称为对称矩阵. 例 1.求下列二次型的矩阵: 2 2 2 2 (1) ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = ������1 + 2������2 + 3������3 + 4������4 + ������1 ������3 + ������2 ������4 ������1 1 0 ������2 ′ (2) ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = X BX,X = (������ ),其中B = (0 2 0 0 3 ������4 0 0
2 ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = ������11 ������1 + 2������12 ������1 ������2 + ⋯ + 2������1������ ������1 ������������ 2 +������22 ������2 + 2������23 ������2 ������3 + ⋯ + 2������2������ ������2 ������������ 2 + ⋯ + ������������������ ������������ 称(3)为一个 n 元二次型. 令������������������ = ������������������ (������ ≤ ������ ≠ ������ ≤ ������),(3)可表示为以下对称形式 : .... 2 ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) = ������11 ������1 + ������12 ������1 ������2 + ������13 ������1 ������3 + ⋯ + ������1������ ������1 ������������ 2 +������21 ������2 ������1 + ������22 ������2 + ������23 ������2 ������3 + ⋯ + ������2������ ������2 ������������ 2 +������31 ������3 ������1 + ������32 ������3 ������2 + ������33 ������3 + ⋯ + ������3������ ������3 ������������ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 +������������1 ������������ ������1 + ������������2 ������������ ������2 + ������������3 ������������ ������3 + ⋯ + ������������������ ������������
山东大学数学专题高等代数部分第五章第一讲PPT

(因
V
)本题结论成立.
jr
3. 设 A1,A2 ,L ,Am是线性空间V的m个异于零的线性变换,证明:V中存在一组基x1 L xn使
Ai(xj)≠ 0,i = 1,L ,m j = 1,L ,n
ห้องสมุดไป่ตู้
证明:令Vi Ai1(0),Ai 0,则Vi是V的真子空间.故存在向量x1 V 使x1 Vi ,1 i m,
2. 设V1,L ,Vm是n维线性空间V的真子空间.证明:V中必有向量u不在所有这m个子空间中, (即 V1∪V2∪L ∪Vm ≠ V) 证明: 对m用归纳法证明本题.
m 1显然成立,设m 1时结论成立,证明m时结论也成立,存在 V1,L ,Vm1,若 Vm得证. 否则 Vm,必存在 Vm,我们证明存在正整数k使k Vi , 对所有的i 1,L , m成立. 首先注意k Vm ,否则得 Vm矛盾,要证明此断言成立,只要证明存在正整数k使
易证AW是V的子空间.AW=L( A1, A2,L , A1L , As ) Ai 0,
故 AW=L( A1L , As ),只要证明A1L , As线性无关即可.
s
s
s
s
s
设 ki Ai 0,即 A kii 0,于是 kii A1(0), 又 kii W , 故 kii W0,
dimV dimV1 dimV2 特别若1L r ,r+1L n是V的一组基,V1=L(1L r ),V2 L(r+1L n ), 则 V V1 V2 (以上条件可推广到多个子空间的直和)
2. 线性变换及其子空间
(1) 线性变换A满足A( ) A A,A(k ) kA,A的定义域和值域都是V
高等代数与解析几何第五章(6)

2
( ) ( 1 )
2
2
2
1
2
由此得 1
0, 所以 1 .
定义6.2 设W是欧氏空间V的一个子空间, 是V
中的一个向量.如果W中存在一个向量 使得
, W
则称 为 在W上的最佳逼近元. 定理6.3表明,V中任意向量 在子空间W上的最
2 W , 即 2 W . 由 1 2 可知 所以
V W W .
再证 W W
{0} . 设 W W , 则
0.
( , ) 0, 从而
故V W W .
2
W
1
定理6.2中的 1 称为向量 在子空间W上的正交
( 1 2 , ) ( 1 , ) ( 2 , ) 0 ( k 1 , ) k ( 1 , ) 0
所以 1 2 S , k 1 S , 因此 S 是V的线性子空间.
如果把S取成V的一个子空间,则有如下重要结论: 定理6.2 设W是欧氏空间V的一个线性子空间,则
2 1
对于任意 j ( j 1, , m ), 有
( 2 , j ) ( 1 , j ) ( , j ) ( 1 , j ) ( , j ) (( , 1 ) 1 ( , m ) m , j ) ( , j ) ( , j ) 0
S正交的所有向量构成的集合称为S的正交补,记作 S 即
S
,
{ V | ( , ) 0, S }
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高等代数第五章知识点总结
高等代数是数学中的一个重要分支,主要研究代数结构、线性代数、群论等数学领域。
第五章主要涉及线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换等知识点。
以下是对这些知识点的总结:
1. 线性方程组:线性方程组是一组线性方程的集合,其中每个方程都是一次多项式。
线性方程组的解称为线性方程组的解,可以用矩阵和向量来表示。
2. 矩阵:矩阵是一种特殊的数组,可以表示线性方程组、线性变换和向量空间等数学对象。
矩阵的加法、数乘等运算符合矩阵的定义,并且矩阵具有一些特殊的性质,如行列式、秩等。
3. 向量空间:向量空间是一个线性空间,其中添加了一个标量值域。
向量空间的元素称为向量,向量空间的基和维数是重要概念。
向量空间的加法、数乘等运算符合向量空间的定义。
4. 线性变换:线性变换是一个将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性变换的特征是保持向量空间的加法和数乘运算。
线性变换的矩阵表示是一个方阵,其中每行每列都是一个向量。
5. 特征值和特征向量:特征值和特征向量是两个重要的概念,用于描述矩阵的性质。
矩阵的特征值是指矩阵在乘以某个向量后得到的值,而特征向量是指与特征值相关的向量。
6. 相似矩阵:相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
相似矩阵之间具有一些相似性质,如行列式、秩等。
相似矩阵可以用来表示线性变换的缩放比例和旋转角度。
7. 克莱默法则:克莱默法则是一个用于求解线性方程组的公式,可以将线性方程组的系数矩阵转换为阶梯形矩阵或行最简矩阵,从而求解线性方程组的解。
8. 特征值分解:特征值分解是将矩阵分解成一组特征向量的乘积,从而求解矩阵的特征值和特征向量。
特征值分解在矩阵的分解和求解中发挥着重要作用。
9. 二次型:二次型是一种特殊的矩阵,其元素是二次多项式。
二次型可以用来表示线性变换的对称矩阵和非对称矩阵,并且具有一些重要的性质,如行列式、秩等。
以上是第五章的主要知识点总结,这些知识点是高等代数中的重要基础,对于理解代数结构、线性代数和群论等数学领域具有重要意义。