第一部分高等代数第五章二次型第二节标准形课件
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长安大学《线性代数》课件-第5章二次型 (2)
n
a
i , j 1
ij
xi x j
ann xn2
f ( x1 , x2 ,
, xn ) ax111 (xa1211x1a
a112xx2 2 aa1n1nxx1 xn )n
12 x
2
x
x
a
x
aa2 n2 nxx2 nx)n
ax21
(
a
x
a
x
2222 2 2
2 221 1 1
可逆变换 x = C z ，使 f (Cz) 为规范形．
如果要把 f = 2y12 + y22 + y32 化为规范形，令
y1 1 / 2 z1
y2 z 2
y z
2
2
可得 f 的规范形：f = z12 + z22 + z32
例 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。
2 3
1 3 , 则Q是正交矩阵。
2 3
例
2
2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) 2 x1 ax 2 4 x1 x 2 4 x 2 x 3
经正交变换 x Q y 化为标准形 f y12 by2 2 4 y 3 2
求 a,b;
解 二次型的矩阵为
2 2 0
ann xn2
2an1, n xn 1 xn
称为二次型．
例如： f ( x , y ) x 2 4 xy 5 y 2
2
2
都是二次型。
f ( x , y , z ) 2 x y xz yz
线性代数课件第5章：二次型及其标准形
x1 x2 x3 2
去掉配方后多出来的项
x22 x32 2x2 x3 2x22 5x32 6x2 x3
x1
x2
x3
2
x2 2
4
x2 3
4x2
x3
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
1 3
1 2 3,
2 3
2 5
2 1 5 ,
0
2 45
3 4 45 .
5
45
1 3
得正交矩阵
P 2 3
2 3
于是所求正交变换为
2 5 15
0
2 45
4 45 5 45
且有
x1 x2 x3
1 2 2
3 3 3
2 5 15
0
f 9 y12 18 y22 18 y32 .
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 2 y2
x3 0 0 1 y3
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
y12 y22 .
所用变换矩阵为
1
C
0
1 1
1
2
,
C 1 0
0 0 1
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
将
2
,
正交化：
3
取2
2
3
3
2,3 2,2
2,
对于实对称阵不同特征值的特征向量正交，
即得正交向量组 1 1 (1 2,1,1)T,
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4
从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2
线性代数—二次型的标准形和规范形PPT课件
解 二次型的矩阵
0 1 1 1
A
1 1 1
0 1 1
1 0 1
1
1 0
1 1 1
1 1 1 1
1 E A
1 1
1 1 ( 1)1
1
11
1 1
1
1 1 1
1 1 1
15
第15页/共33页
1 1 1 1 1 11 1 1 1 1
(
1 1)
E
1 A
11
1,2 ,,n , 记C (1,2 ,,n ) ;
5. 作 正 交 变 换X CY , 则 得 f 的 标 准 形
f 1 y12 n yn2 .
10
第10页/共33页
例3
用正交变换将二次型
f 17x12 14x22 14x32 4x1 x2 4x1x3 8x2 x3
化为标准形，并求所作的正交变换。
再配方，得
f 2( y1 y3 )2 2( y2 2 y3 )2 6 y32 ,
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
即
y1 1 0 1 z1 y2 0 1 2 z2
y3
0
0
1
z3
,
1
1
1
2
1
00
,3
0
1 0
, 4
第17页100/共3,3页
17
1
1
1
2
1 0 0
,
3
0 1 0
,
4
0 0 1
,
正交化，
1 1 1
第五章二次型--精品PPT课件
定义:复数域C上的n元二次齐次函数
f ( x1, x2 , , xn )
n j1
n i 1
aij
xi
x
j
其中 aij a ji ,称为C上n元Hermite型.
注: Hermite型是二次型的推广.
Hermite型矩阵_2
n元Hermite型 f ( x1, x2, , xn ) X ' AX
定理: A=A, B=B∈Cn×n，则A合同于B
r(A) = r(B)
定理: A=A, B=B∈Rn×n ，则A合同于B
A与B有相同的秩与符号差 A与B有相同的正惯性指数和负惯性指数 A与B有相同的正惯性指数和秩 A与B有相同的符号差和秩
注 1 : C上n阶对称阵，按合同关系分类共有n+1类
Hermite型矩阵_4
定理:设A是一个Hermite阵,则必存在一个可 逆阵C∈Cn×n,使 CAC为对角阵且主对角线元 素是实数.
定理:设 f (x1, …, xn) 是Hermite型, 则存在非 退化线性替换X=CY,使
f ( x1, x2 , , xn ) d1 y1 y1 d2 y2 y2 dn yn yn
二次型的标准型
引理:设0≠A’=A∈Kn×n,则必存在可逆阵C, 使C’AC的第(1,1)元素不等于0.
定理:设A’=A∈Kn×n,则存在可逆阵C∈Kn×n, 使C’AC为对角阵.
定理:设 f (x1…xn) 是K上n元二次型, 则存在 非退化线性替换X=CY,使
f ( x1, x2 , , xn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
定理中称r为f (x1…xn)的秩, p为f (x1…xn)的 正惯性指数, q = r－p称为f (x1…xn)的负惯性 指数, s = p－q称为f (x1…xn)的符号差.
线性代数 第五章二次型PPT课件
an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.2
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院再令Fra bibliotekz1 z2
y1 y2
y3
或
y1 y2
z1 z2
z3
z3 y3
y3 z3
即,
y1 1
y2 y3
0 0
0 1 0
1 z1
0 1
z2 z3
则 f ( x1, x2 , , xn ) 2z12 2z22 2z32 8z2z3
1 0
1 0
0 1
2 0 2 情形1)
2020/9/20§5.2
0 2 标2准形4
04 数学与计算科学学院
1 0 1
令
C2
0 0
1 0
0 1
,
1 0 0 2 0 2 1 0 1
A2
C2 A1C2
0 1
1 0
0 1
0 2
2 4
4 0
0 0
1 0
0 1
2 0 0
0 0
2 4
4 2
情形1)
1 0 0
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
二、合同的变换法
1. 定义：合同变换是指下列三种变换
（1）互换矩阵的 i, j 两行，再互 换矩阵的 i, j 两列; i （2）以数 k（k 0 ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘
z3
c32
y2
c33
y3
zn
cn2 y2
cn3 y3
c2n yn c3n yn cnn yn
使它变成平方和 d2z22 d3z32
dnzn2
于是，非退化线性替换
z1 y1
线代课件§5二次型及其标准形
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ; f 叫做对称矩阵 A的二次型;
对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩 .
例1 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵表示式并求 f 的秩 .
解
1 2 0 x1
f ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) 2 2 3 x2 .
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例4
二次型 f x12 ax22 x32 2bx1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
经过正交变换
x1 x2
P
y1 y2
化成了标准形
x3 y3
4. 将特征向量1, 2 , ,n正交化,单位化,得
P1 , P2 , , Pn ,记C P1 , P2 , , Pn ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例3 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ; f 叫做对称矩阵 A的二次型;
对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩 .
例1 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵表示式并求 f 的秩 .
解
1 2 0 x1
f ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) 2 2 3 x2 .
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例4
二次型 f x12 ax22 x32 2bx1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
经过正交变换
x1 x2
P
y1 y2
化成了标准形
x3 y3
4. 将特征向量1, 2 , ,n正交化,单位化,得
P1 , P2 , , Pn ,记C P1 , P2 , , Pn ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例3 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.