高等代数教案 北大版 第五章
高等代数教案-第5章矩阵
第五章 矩 阵教学目的：1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。
及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。
2. 了解几种特殊矩阵的性质。
教学内容：矩阵的运算1 矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。
令F 是一个数域。
用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n n212222111211 叫做F 上一个矩阵。
A 也简记作（a ij ）。
为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。
一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。
特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。
F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。
以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。
我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。
先引入前两种运算。
2 矩阵的线性运算定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ）定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。
注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。
以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
现在回到一般的矩阵。
我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。
如果矩阵 A=(a ij )，我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。
3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A ；(A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0； a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。
利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法：A —B=A+（—B ）。
高等代数北大版教案-第5章二次型
高等代数北大版教案-第5章二次型-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN４８第五章 二次型§1 二次型的矩阵表示一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三 教学重点：矩阵表示二次型四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程：定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(+++n n x x a x a 2222222 (2)n nn x a + (3)称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型.例如：2332223121213423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型.定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4)称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：４９令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(++++n n x x a x a x x a 2222221221 …+22211n nn n n n n x a x x a x x a +++∑∑===n i nj j i ij x x a 11(5)把(5)的系数排成一个n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以A A ='.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，()n x x x AX X 21='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 22112222121121211121∑∑===ni nj j i ij x x a 11.５０故 AX X x x x f n '=),,,(21 .显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且 B B A A ='=',，则，B A = 线性替换的矩阵表示令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c cc c c C 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n y y y Y 21,那么，线性替换(4)可以写成， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c c c c c212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y y 21 或者CY X =.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设 AX X x x x f n '=),,,(21 ，A A ='， (7) 是一个二次型，作非退化的线性替换CY X = (8) 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y '.现在来看矩阵B 与矩阵A 的关系 把(8)代入(7)有AX X x x x f n '=),,,(21 ACY C Y CY A CY ''='=)()(BY Y Y AC C Y '=''=)(.５１容易看出，矩阵AC C '也是对称的，事实上，AC C C A C AC C '=''''='')(.由此，即得AC C B '=.定义2 数域P 上n n ⨯矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵C ，使AC C B '=.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 (1)反身性 AE E A '=.(2)对称性 由 AC C B '=，即得)()(11--'=C B C A .(3)传递性 由111AC C A '=，2122C A C A '=，即得)()(21212C C A C C A '=.因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§2 标准形一 授课内容：§2 标准形二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法. 三 教学重点：化普通的二次型为标准形.四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.５２五 教学过程：I 导入可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型2222211n n x d x d x d +++ (1)II 讲授新课定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式. 不难看出，二次型(1)的.2222211n n x d x d x d +++ =()n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d00000021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21. 反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和称为),,,(21n x x x f 的一个标准形.例 化二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=为标准形.解：作非退化的线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x５３则3213212121321)(2)(6))((2),,(y y y y y y y y y y x x x f ++---+=323122218422y y y y y y +--=322223231822)(2y y y y y y +---=再令 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322311y z y z y y z 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3322311zy z y z z y则),,(321x x x f 233222212822z z z z z -+-=23232216)2(22z z z z +--=.最后令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==33322112z w z z w z w 或⎪⎩⎪⎨⎧=+==33322112wz w w z w z则 ),,(321x x x f 232221622w w w +-=是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011011321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321100210001100010101w w w ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321w w w . 用矩阵的方法来解 例 化二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=为标准形.解：),,(321x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=031301110A .取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1000110111C ,则111AC C A '=５４⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--031301110⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=042420202. 再取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000101012C ，则2122C A C A '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---042420202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=240420002. 再取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002100013C ，则3233C A C A '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--240420002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210001 3A 是对角矩阵，因此令321C C C C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100111311，就有AC C '⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=600020002.作非退化的线性替换CY X =即得),,(321x x x f 232221622y y y +-=.５５§3 唯一性一 授课内容：§3 唯一性二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正(负)惯性指数，符号差.三 教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别. 四 教学难点：实二次型的唯一性 五 教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.例 二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=经过非退化的线性替换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100110311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321w w w 得到标准形232221622w w w +-.而经过非退化的线性替换５６⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3100312111211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 就得到另一个标准形23222132212y y y +-. 这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 对于复数域的情形设),,,(21n x x x f 是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，),,,(21n x x x f 变为标准形，不妨设标准形为2222211r r y d y d y d +++ ，0≠i d ，r i ,,2,1 = (1)易知，r 就是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++nn r r rrr z y z y z d y z d y 1111111 (2) (1)就变为22221r z z z +++ (3) (3)称为复二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.对于实数域的情形设),,,(21n x x x f 是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使),,,(21n x x x f 变为标准形，2211p p y d y d ++ 2211r r p p y d y d ---++ (4)0>i d r i ,,2,1 = ，r 就是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++n n r r rrr z y z y z d y z d y 1111111 (5) (4)就变为221p z z ++ 221r p z z ---+ (6)(6)称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然，规范形完全被p r ,这两个数所决定.定理4(惯性定理) 任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3 在实二次型),,,(21n x x x f 的规范形中，正平方项的个数p 称为),,,(21n x x x f 的正惯性指数，负平方项的个数p r -称为),,,(21n x x x f 的负惯性指数，它们的差r p p r p -=--2)(称为),,,(21n x x x f 的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.§4 正定二次型一 授课内容：§4 正定二次型二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三 教学重点：正定二次型. 四 教学难点：判别方法 五 教学过程：定义4 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f .显然，二次型),,,(21n x x x f 221n x x ++=是正定的，因为只有在021====n c c c 时，221n c c ++ 才为零.一般的，实二次型),,,(21n x x x f 2222211n n x d x d x d +++=是正定的，当且仅当0>i d n i ,,2,1 =.可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.定理5 n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .定理5说明，正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为221n y y ++ (5)定义5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X '正定. 因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零. 定义6 子式iii i iii a a a a a a a a a P 212222111211=),,2,1(n i =称为矩阵nn ij a A )(=的顺序主子式.定理6 实二次型),,,(21n x x x f ∑∑===ni nj j i ij x x a 11AX X '=是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零.例 判断二次型3231212322213214845),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=是否正定.解：),,(321x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----524212425它的顺序主子式05> ，01225> ， 0524212425>---- 因之，),,(321x x x f 正定. 与正定性平行，还有下面的概念.定义7 设),,,(21n x x x f 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，如果都有0),,,(21<n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为负定的；如果都有0),,,(21≥n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半正定的；如果都有0),,,(21≤n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么),,,(21n x x x f 就称为不定的.对于半正定，我们有定理7 对于实二次型),,,(21n x x x f AX X '=，其中A 是实对称的，下面条件等价：(1)),,,(21n x x x f 是半正定的. (2)它的正惯性指数与秩相等. (3)有可逆实矩阵C ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n d d d AC C21，其中，0≥i d n i ,,2,1 =. (4)有实矩阵C 使C C A '=.(5)A 的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如，()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=212122211000),(x x x x x x x f 就是一个反例.。
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4
从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.2
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院再令Fra bibliotekz1 z2
y1 y2
y3
或
y1 y2
z1 z2
z3
z3 y3
y3 z3
即,
y1 1
y2 y3
0 0
0 1 0
1 z1
0 1
z2 z3
则 f ( x1, x2 , , xn ) 2z12 2z22 2z32 8z2z3
1 0
1 0
0 1
2 0 2 情形1)
2020/9/20§5.2
0 2 标2准形4
04 数学与计算科学学院
1 0 1
令
C2
0 0
1 0
0 1
,
1 0 0 2 0 2 1 0 1
A2
C2 A1C2
0 1
1 0
0 1
0 2
2 4
4 0
0 0
1 0
0 1
2 0 0
0 0
2 4
4 2
情形1)
1 0 0
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
二、合同的变换法
1. 定义：合同变换是指下列三种变换
（1）互换矩阵的 i, j 两行，再互 换矩阵的 i, j 两列; i （2）以数 k（k 0 ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘
z3
c32
y2
c33
y3
zn
cn2 y2
cn3 y3
c2n yn c3n yn cnn yn
使它变成平方和 d2z22 d3z32
dnzn2
于是，非退化线性替换
z1 y1
北大版高等数学教材第五章
北大版高等数学教材第五章第五章导数与微分高等数学是一门应用广泛的学科，内容丰富而繁杂。
其中，导数与微分是其中一个重要且基础的章节。
本文将带您了解北大版高等数学教材第五章的主要内容。
1. 导数的概念与性质在数学中，导数是描述函数变化率的重要指标。
本章首先介绍了导数的概念，并详细解释了导数的几何意义。
随后，文章展示了导数的一些基本性质，如导数的运算法则、导数存在的条件等。
这些性质对于我们理解导数的本质以及后续的学习都具有重要意义。
2. 基本初等函数的导数刚刚学过导数的我们，自然要从最基本的函数开始研究其导数。
本章对常见的初等函数如幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数的导数进行了详细的讲解。
通过具体的例子和推导过程，读者将更加深入地理解这些函数的变化规律及其导数的计算方法。
3. 利用导数解题导数不仅是一种用来描述函数变化率的工具，更是解决实际问题的有力武器。
在本章中，我们将学习如何利用导数解题。
通过具体的实例，文章展示了如何根据题目要求建立函数模型，并利用导数性质进行求解。
这一部分内容将帮助读者将抽象的数学理论与实际问题相结合，培养解决实际问题的能力。
4. 高阶导数与导数的应用在本章后半部分，我们将深入讨论高阶导数及其应用。
首先，文章介绍了高阶导数的计算方法，并给出了一些高阶导数的具体例子。
随后，我们将学习导数在近似计算、曲线研究以及最值问题中的应用。
这些应用将帮助读者更好地理解导数与实际问题的关系，以及导数在数学建模中的重要性。
5. 微分的基本概念微分是导数的重要应用之一，也是后续学习微积分的基础。
在本章最后，文章将重点介绍微分的基本概念。
我们将学习微分的定义、微分的计算以及微分在几何问题中的应用。
这一部分内容将为读者进一步学习微积分打下坚实的基础。
总结：北大版高等数学教材第五章主要介绍了导数与微分的概念、性质以及应用。
通过学习该章节，读者将对导数的定义和几何意义有更深入的理解，掌握基本初等函数的导数计算方法，了解导数在实际问题中的应用，以及为后续的微积分学习做好铺垫。
北大精品课件高等代数(下)
221221r p p u u u u ---+++L L 其中.r p ≤≤0现在证规范型的唯一性。
规范型中的r 等于f 的秩，是唯一确定的，我们只需证明正平方项的个数p 也是唯一确定的就可以了。
设f 有两个规范型221221r p p u u u u ---+++L L 221221rq q v v v v ---+++L L 按命题2.2的推论，这表明在R 上n 维线性空间V 内存在一组基，使n 21ηηη，，，⋯当时n n u u ηηα++=L 11 =)(αf Q 221221rp p u u u u ---+++L L 在V 内又存在一组基，使当时，n 21ϖϖϖ，，，⋯n n v v ϖϖα++=L 11 =)(αf Q 221221r q q v v v v ---+++L L 现令M=L()，则当时，p ηη，，L 10,≠∈ααM (不全为零)。
p p u u ηηα++=L 11i u 于是。
又令N ＝L （）。
则当时，有=)(αf Q 0221>++p u u L n q ϖϖ,,1L +N ∈α nn q q v v ϖϖα++=++L 11于是。
这表明。
按维数公式，我们有=)(αf Q 0221≤---+r q v v L {}0=⋂N M )(dim dim )dim(dim q n p N M N M V n -+=+=+≥=这表明，即。
由于p ，q 地位对称，同理应有，于是p ＝q 。
0≤-q p q p ≤p q ≤第二学期第二次课2．正定二次型：正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型；正定二次型的（实对称）矩阵称为正定矩阵；设A ＝（）为n 阶实对称矩阵，称A 的r 阶子式ij a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧r r A LL2121为方阵的顺序主子式。
定理 设是实二次型，则下述四条等价：f （i ） 正定；f （ii ） 的矩阵，其中为可逆阵；f T T A '=T（iii ） 对应的二次型函数R ;f ∈∀>αα(0)(f Q )0,≠αn（iv ）的矩阵的所有顺序主子式都大于0.f 证明 由命题2.2知（i ）与（ii ）等价。
扬大高等代数北大三版-第五章二次型
目录
CONTENTS
• 引言 • 二次型的定义与性质 • 二次型的分类与判别式 • 二次型与矩阵的等价关系 • 二次型与线性变换的关系 • 特殊二次型与正定二次型
01
引言
背景介绍
二次型是代数学的一个重要分支，它在几何、物理和工程等领域有广泛的应用。
二次型的研究起源于二次方程的求解问题，后来逐渐发展成为一个独立的数学领域。
正定二次型的定义与性质
正定二次型的定义
正定二次型是指对于任意非零向量x，都有f(x)>0的二次型，其中f(x)是x的二次齐次函 数。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些重要的性质，如正定性、对称性、可微性等，这些性质在解决数学 问题时具有重要的作用。
正定二次型的应用
在数学物理中的应用
正定二次型在数学物理中有广泛的应用 ，如在量子力学、统计力学等领域中， 正定二次型可以用来描述粒子的能量和 动量等物理量。
线性变换与二次型的关系
二次型：一个多项式函数，可以表示为向量空间中向量的内积的线性组合， 其中每个内积项都是两个向量的二次方。
二次型可以通过线性变换转换为标准形式，即一个只包含平方项的多项式。
线性变换可以将二次型转换为标准形式，从而简化二次型的计算和分析。
线性变换的应用
01
02
03
在几何学中，线性变换可以用来 研究几何图形的形状和大小的变 化。
实对称矩阵是满足$A^T = A$的矩阵，其中 $A^T$是矩阵A的转置。
二次型可以通过线性变换转换为矩 阵形式，即$f(x_1, x_2, ..., x_n) = X^T A X$，其中$X$是列向量， $A$是实对称矩阵。
03
高等代数北大版教案-第5章二次型
第五章 二次型§1 二次型的矩阵表示一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三 教学重点：矩阵表示二次型四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况.五 教学过程：定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(+++n n x x a x a 2222222 …2nnn x a + (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型.例如：2332223121213423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型.定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4) 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(++++n n x x a x a x x a 2222221221 (22211)nn n n n n x a x x a x x a +++ ∑∑===n i nj j i ij x x a 11(5)把(5)的系数排成一个n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以A A ='.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， ()n x x x AX X 21='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 22112222121121211121 ∑∑===n i nj j i ij x x a 11.故 AX X x x x f n '=),,,(21 .显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且 B B A A ='=',，则，B A =线性替换的矩阵表示令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c C 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y Y 21,那么，线性替换(4)可以写成， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y 21 或者CY X =.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设 AX X x x x f n '=),,,(21 ，A A ='， (7) 是一个二次型，作非退化的线性替换CY X = (8) 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y '.现在来看矩阵B 与矩阵A 的关系把(8)代入(7)有AX X x x x f n '=),,,(21 ACY C Y CY A CY ''='=)()(BY Y Y AC C Y '=''=)(. 容易看出，矩阵AC C '也是对称的，事实上，AC C C A C AC C '=''''='')(.由此，即得AC C B '=.定义2 数域P 上n n ⨯矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵C ，使AC C B '=.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有(1)反身性 AE E A '=.(2)对称性 由 AC C B '=，即得)()(11--'=C B C A .(3)传递性 由111AC C A '=，2122C A C A '=，即得)()(21212C C A C C A '=.因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§2 标准形一 授课内容：§2 标准形二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.三 教学重点：化普通的二次型为标准形.四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.五 教学过程：I 导入可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型2222211nn x d x d x d +++ (1) II 讲授新课定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式. 不难看出，二次型(1)的.2222211n n x d x d x d +++ =()n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n d d d 00000021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21. 反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和称为),,,(21n x x x f 的一个标准形.例 化二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=为标准形.解：作非退化的线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x则3213212121321)(2)(6))((2),,(y y y y y y y y y y x x x f ++---+=323122218422y y y y y y +--=322223231822)(2y y y y y y +---=再令 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322311y z y z y y z 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3322311z y z y z z y则),,(321x x x f 233222212822z z z z z -+-=23232216)2(22z z z z +--=. 最后令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==33322112z w z z w z w 或⎪⎩⎪⎨⎧=+==33322112w z w w z w z则 ),,(321x x x f 232221622w w w +-= 是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011011321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321100210001100010101w w w ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321w w w .用矩阵的方法来解例 化二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=为标准形.解：),,(321x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=031301110A .取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1000110111C ,则111AC C A '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--031301110⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=042420202.再取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000101012C ，则2122C A C A '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---042420202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=240420002.再取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002100013C ，则3233C A C A '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--240420002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1002100013A 是对角矩阵，因此令321C C C C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100111311，就有AC C '⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=600020002.作非退化的线性替换CY X =即得),,(321x x x f 232221622y y y +-=.§3 唯一性一 授课内容：§3 唯一性二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正(负)惯性指数，符号差.三 教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别.四 教学难点：实二次型的唯一性五 教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.例 二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=经过非退化的线性替换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321w w w得到标准形232221622w w w +-. 而经过非退化的线性替换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3100312111211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 就得到另一个标准形23222132212y y y +-. 这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 对于复数域的情形设),,,(21n x x x f 是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，),,,(21n x x x f 变为标准形，不妨设标准形为2222211r r y d y d y d +++ ，0≠i d ，r i ,,2,1 = (1)易知，r 就是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++nn r r r r r z y z y z d y z d y1111111 (2) (1)就变为22221r z z z +++ (3)(3)称为复二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.对于实数域的情形设),,,(21n x x x f 是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使),,,(21n x x x f 变为标准形，2211p p y d y d ++ 2211r r p p y d y d ---++(4) 0>i d r i ,,2,1 = ，r 就是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++nn r r r r r z y z y z d y z d y1111111 (5) (4)就变为221p z z ++ 221r p z z ---+ (6)(6)称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然，规范形完全被p r ,这两个数所决定.定理4(惯性定理) 任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3 在实二次型),,,(21n x x x f 的规范形中，正平方项的个数p 称为),,,(21n x x x f 的正惯性指数，负平方项的个数p r -称为),,,(21n x x x f 的负惯性指数，它们的差r p p r p -=--2)(称为),,,(21n x x x f 的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.§4 正定二次型一 授课内容：§4 正定二次型二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三 教学重点：正定二次型.四 教学难点：判别方法五 教学过程：定义4 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f .显然，二次型),,,(21n x x x f 221nx x ++= 是正定的，因为只有在021====n c c c 时，221n c c ++ 才为零.一般的，实二次型),,,(21n x x x f 2222211nn x d x d x d +++= 是正定的，当且仅当0>i d n i ,,2,1 =.可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.定理5 n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .定理5说明，正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为221n y y ++ (5)定义5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X '正定.因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零.定义6 子式iii i i i i a a a a a a a a a P212222111211= ),,2,1(n i = 称为矩阵nn ij a A )(=的顺序主子式.定理6 实二次型),,,(21n x x x f ∑∑===n i nj j i ij x x a 11AX X '=是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零.例 判断二次型3231212322213214845),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=是否正定.解：),,(321x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----524212425它的顺序主子式05> ， 01225> ， 0524212425>---- 因之，),,(321x x x f 正定.与正定性平行，还有下面的概念.定义7 设),,,(21n x x x f 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，如果都有0),,,(21<n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为负定的；如果都有0),,,(21≥n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半正定的；如果都有0),,,(21≤n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么),,,(21n x x x f 就称为不定的.对于半正定，我们有定理7 对于实二次型),,,(21n x x x f AX X '=，其中A 是实对称的，下面条件等价：(1)),,,(21n x x x f 是半正定的.(2)它的正惯性指数与秩相等.(3)有可逆实矩阵C ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n d d d AC C 21，其中，0≥i d n i ,,2,1 =. (4)有实矩阵C 使C C A '=.(5)A 的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=212122211000),(x x x x x x x f 就是一个反例.。
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讲授法 启发式
教
学
过
程
经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.
这个定理通常称为惯性定理.
定义3在实二次型 的规范形中，正平方项的个数 称为 的正惯性指数；负平方项的个数 称为 的负惯性指数；它们的差 称为 的符号差.
应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.
至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关.
下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.
设 是一个复系数的二次型，由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后， 变成标准形，不妨假定化的标准形是
.(1)
易知 就是 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，再作一非退化线性替换
是非退化时，由上面的关系即得
.
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第二讲标准形
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
要求学生掌握二次型化成标准形的相关理论以及相应的矩阵语言的叙述，熟练掌握化二次型为标准形的方法（配方法与合同变换法）
(2)
(1)就变成
(3)
(3)就称为复二次型 的规范形.显然，规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定，因此有
定理3任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.
定理3换个说法就是，任一复数的对称矩阵合同于一个形式为
的对角矩阵.从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.
是 级对称矩阵.由归纳法假定，有 可逆矩阵 使
成对角形.取 ，
就成对角形.
例化二次型 成标准形
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第三讲唯一性
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
要求学生能熟练掌握实数域与复数域上化二次型为规范形
教学重点
二次型的秩、实二次型的规范形、复二次型的规范形
教学难点
实数域与复数域上化二次型为规范形及其规范性的唯一性
定理5（1）任一复对称矩阵 都合同于一个下述形式的对角矩阵：
.
其中对角线上1的个数等于 的秩.
（2）任一实对称矩阵 都合同于一个下述形式的对角矩阵：
,
其中对角线上1的个数 及-1的个数 （ 等于 的秩）都是唯一确定的，分别称为 的正、负惯性指数，它们的差 称为 的符号差.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
1)自反性:任意矩阵 都与自身合同.
2)对称性:如果 与 合同,那么 与 合同.
3)传递性:如果 与 合同, 与 合同,那么 与 合同.
因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。这样把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。
最后指出，在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何上看，这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线性替换
定理7实二次型
是正定的 矩阵 的顺序主子式全大于零.
例判定二次型
是否正定.
定义7设 是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数 都有 ,那么 称为负定的；如果都有 ，那么 称为半正定的；如果都有 ，那么 称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么
就称为不定的.
由定理7不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当 是负定时， 就是正定的.
对称
当 时， ,从而 正定.
当 时,
所以 与 合同，因而 正定.
讨论、练习与作业
课后反思
设 是一实系数的二次型.由本章定理1，经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使 变成标准形
(4)
其中 是 的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换
(5)
(4)就变成
(6)
(6)就称为实二次型 的规范形.显然规范形完全被 这两个数所决定.
定理4任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.
其中 是 中一切 级主子式之和，由题设 ，故当 时， ， 是正定矩阵.
若 不是半正定矩阵，则存在一个非零向量 ，使
令
与 时 是正定矩阵矛盾，故 是半正定矩阵.
Th8 记 的行指标和列指标为 的 级主子式为 ，对应矩阵是 ，对任意 ，有 ,其中
又 是半正定矩阵,从而 .
若 ，则P234,12T，存在 使 与 矛盾，所以 .
设
(7)
是一个二次型，作非退化线性替换
(8)
得到一个 的二次型
，
二、矩阵的合同关系
现在来看矩阵 与 的关系.
把（8）代入（7），有
易看出，矩阵 也是对称的，由此即得
.
这是前后两个二次型的矩阵的关系。
定义2数域P上两个 阶矩阵 ， 称为合同的，如果有数域P上可逆的 矩阵 ,使得
.Hale Waihona Puke 合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质:
（1）
称为数域 上的一个 元二次型，简称二次型.
定义1设 是两组文字，系数在数域P中的一组关系式
(2)
称为由 到 的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式 ,那么线性替换(2)就称为非退化的.
线性替换把二次型变成二次型.
令 由于 所以二次型(1)可写成
把(3)的系数排成一个 矩阵
(4)
它称为二次型(3)的矩阵.因为 所以
第四讲正定二次型
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
通过本节的学习，要求学生掌握正定二次型及其性质、并能熟练掌握正定性以及与正定性平行的几个类型的判别
教学重点
正定二次型及其性质、正定性的判别、与正定二次型平行的几个类型
教学难点
正定性以及与正定性平行的几个类型的判别
教学方法与手段
讲授法 启发式
教
学
过
程
一、正定二次型
二、正定二次型的判别
定理6实数域上二次型 是正定的 它的正惯性指数等于 .
定理6说明，正定二次型 的规范形为
(5)
定义5实对称矩阵A称为正定的，如果二次型
正定.
因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的 它与单位矩阵合同.
推论正定矩阵的行列式大于零.
定义6子式
称为矩阵 的顺序主子式.
◇设 为 级实矩阵，且 ，则 都是正定矩阵.
◇设 为 实矩阵，则 都是半正定矩阵.
证明 是实对称矩阵， 令 ，则 是 维实向量
是半正定矩阵，同理可证 是半正定矩阵.
◇设 是 级正定矩阵，则 时， 都是正定矩阵.
证明由于 正定，存在可逆矩阵 ，使 ,
,从而 为正定矩阵.
正定
又 正定， , 正定, 正定.
定理8对于实二次型 ，其中 是实对称的，下列条件等价：
（1） 是半正定的；
（2）它的正惯性指数与秩相等；
（3）有可逆实矩阵 ，使
其中 ；
（4）有实矩阵 使
.
（5） 的所有主子式皆大于或等于零；
注意，在（5）中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如
就是一个反例.
证明Th8, 设 的主子式全大于或等于零， 是 的 级顺序主子式， 是对应的矩阵
授课内容
第五章二次型第一讲二次型的矩阵表示
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
要求学生掌握二次型及二次型矩阵表示、熟练掌握替换前后二次型和矩阵的关系
教学重点
二次型及二次型矩阵表示、替换前后二次型和矩阵的关系
教学难点
二次型及二次型矩阵表示
教学方法与手段
讲授法 启发式
教
学
过
程
一、二次型及其矩阵表示
设 是一个数域,一个系数在数域 中的 的二次齐次多项式
,
这里 为 的转置， 为 级单位矩阵.这样
矩阵 是一个 对称矩阵，由归纳法假定，有 可逆矩阵 使
为对角形，令
,
于是
,
这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是
.
2. 但只有一个 .
这时，只要把 的第一行与第 行互换，再把第一列与第 列互换，就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取
行
显然
.
矩阵
就是把 的第一行与第 行互换，再把第一列与第 列互换.因此， 左上角第一个元素就是 ，这样就归结到第一种情形.
3. 但有一
与上一情形类似，作合同变换
可以把 搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应，取
,
于是 的左上角就是
,
也就归结到第一种情形.
4.
由对称性， 也全为零.于是 ,
把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令
或
应该看到二次型(1)的矩阵A的元素,当 时 正是它的 项的系数的一半,而 是 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型