高等代数之二次型习题
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(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
。
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数二次型单元测验答案
（ A）卷
2017-2018 学年第 1 学期
班级：
姓名：
学号：
…………………………………装……………………………订…………………………线………….……………………………… 四、证明题（40 分） 1、设 A , B 都是 n 阶矩阵，且 AB 0，则 r(A) r(B) n .
设 B 的列向量组为 B1, B2 ,, Bn ，则 AB A(B1, B2,, Bn ) ( AB1, AB2,, ABn ) 0 故有 AB1 AB2 ABn 0 , 即方程组 AX 0有 n 组解 B1, B2,, Bn . 若 r( A) r ，则 B1, B2,, Bn 可由 AX 0的基础解系线性表出，于是 r(B) n r .因此 r( A) r(B) r (n r) n 2、设 A 是一个实矩阵，证明： r(AT A) r(A) .
从而 AX T AX 0 ,又因为 AX 是一个 n 维实列向量, 推出 AX 0
即证 AX 0 与 AT AX 0 同解，故 r AT A r A
3、 设 A , B 都是 n 阶正定矩阵，证明： A1 ， A B 都是正定矩阵 (1) 因为 A 正定,存在可逆矩阵 C , 使得 A CT C , 从而 A1 (CTC)1 C1(CT )1 C1(C1)T , 推出 A1 正定 (2) 任取 X 0 , X T (A B)X X T AX X T BX 0 , 推出 A B 是正定矩阵.
0 6 3 6 6 0 0 2 1 2 2 0
1 2
0
1
0 0
2 2 3
4 2 2 1 2 2
高等代数 第5章二次型 5.4 恒正二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 K 1) A(1,2,L ,k) M O
ak1 L
a1k M
Rkk
akk
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
a11 K a1k 2) Pk det A(1, 2,L , k) M O M
ak1 L akk
其中，c j
cis , 0,
当 j is , s 1, 2,L ,k 当 j is , s 1, 2,L , k
由于 A 正定，有 f ( x1, x2 ,K , xn ) X AX 正定，即有 X0 AX0 0, 从而， g(ci1 ,ci2 ,L ,cik ) f (0,L ,0,ci1 ,0,L ,ci2 ,0,L ,cik ,0,L ,0)
1
0,
P3 A 0.
f 正定.
n
2) f ( x1, x2,K , xn ) xi2
xi x j
i 1
1i jn
（习题7）
1
1
1 L
2
1
2 1
解： f ( x1, x2 ,K , xn )的矩阵
A
2 L 1
1
L 1
L L L
2 L
由2), f 正定 di 0,i 1, 2,L , n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
5）正定二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) 的标准形为 d1 y12 d2 y22 L dn yn2 , i 0, i 1, 2,L , n 规范形为
z12 z22 L zn2 .
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4
从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2
第八章 二次型
f = ax2 + 2bxy + cy2
（1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质（例如判断是什么曲线）, 我们可以对它进行适 当的坐标变换
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x′ cosθ x′ sin θ
− +
y′ sin θ y′ cos θ
,
（2）
将 f 化成标准方程.
(1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用变量的 线性替换(2)化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项.
一、配方法
配方法就是利用平方公式
(x1 + x2 +L + xn )2 = x12 + x22 +L + xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 +L + 2x1xn + 2x2 x3 +L + +2x2 xn +L + 2xn−1xn
对已知二次型进行配方. 配方法主要有以下两种情形:
(1) 如果二次型中, 某个变量平方项的系数不为零, 如有 a11 ≠ 0 , 先将含 x1 的所有因
子都配成平方项, 然后再对其它含平方项的变量配方, 直到全配成平方和的形式.
(2) 如果二次型中没有平方项, 而有某个 aij ≠ 0(i ≠ j) , 则可作线性替换
⎧xi = yi + y j
⎪ ⎨
x
j
பைடு நூலகம்
=
yi
−
yj
⎪ ⎩
xk
=
yk ,
k ≠ i, j
化成含有平方项的二次型, 然后再配方.
例 1 将二次型
高等代数之二次型习题
当t充分大时，k (t) 为严格主对角占优的行列式，且
t aii aij , (i 1,2, , n), ji
k (t ) 0(k 1,2, , n), 从而tE A正定的.
.
8.设A为一个n级实对称矩阵，且|A|<0, 证明：必存在实n维向量 X 0使X ' AX 0. 证: 假设任意实n维向量X，有 X' AX 0,
二次型习题
2.证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于 1的对称矩阵之和. 证: 由题设 A A', r( A) r ，存在可逆矩阵C使
C' AC D (D为对角阵)
又因为 C',C 1,(C 1 )' (C' )1均为可逆矩阵，
所以有C' AC D1 D2 Dr
0
d1
D1
A A',则 X ' AX ( X ' AX )' X '( A)X X ' AX 即X ' AX 0
充分性 取 X i (0, ,1, ,0) 取 X i j(i j)
i A i aii 0
X AX aii aij a ji a jj 0
从而 aij a ji (i j).
则f ( X 1 , , X n ) X ' AX半正定，
从 而A的所有主子式大于或等于0， 故|A|≥0这与|A|< 0矛盾，故假设不成立，原命题成立.
.
s
2.设实二次型 f ( x1, x2 , , xn ) (ai1 x1 ai2 x2 ain xn )2 i 1
证明：f ( x1, x2, , xn ) 的秩等于矩阵
则可经线性替换X=CY，二次型化为 f ( x1 , x2 , , xn ) ky12 其中 y1 a1 x1 a2 x2 an xn
高等代数习题-二次型
则得
2 2 原式 =-z1 + 4 z2 2 + z3 .
(3)
此即原二次型的标准型. 将式(3)代入式(1), 得
ì 1 1 ï ï x1 = z1 + z2 + z3, ï ï 2 2 ï ï ï 1 1 ï í x2 = z1 - z 2 + z3, ï 2 2 ï ï ï x3 = z3 , ï ï ï î ï
2 aij = 0
(i , j = 1,2,L , n) ,
A =0 .
例 5、 如果把实 n 级对称矩阵按合同分类, 即两个实 n 级对称矩阵属于同一类当
且仅当它们合同, 问共有几类? 解 ： 当实对称矩阵 A 与 B 合同时, 则有 d1 T ' BT = C ' AC = 反之亦然. 下面考虑相应二次型的情况 : 在 d i 中可分为 r 个 正， r − 1 个 正， M 2 1 0 个 正， 个 正， 个 正， 0 1 个 负 个 负 d2 dr 0 . 0
1ù ú 2ú ú 1ú -1 ú 2ú 0 1 úú ú û 1
ì z1 = t3 , ï ï ï ï (II) 令 í z 2 = t 2 / 2, 得 ï ï ï ï î z3 = t1,
é-1 0 0ù ê ú = êê 0 4 0úú . ê 0 0 1ú ë û
ì x1 = (t1 + t2 + t3 )/2, ï ï ï ï í x2 = (t1- t2 + t3) / 2, ï ï ï ï î x3 = t1,
f = t12 + t22 - t32 ；
则实二次型的规范形为
再令
ì t1 = w1, ï ï ï ï ít 2 = w2 , 得 ï ï ï ï ît3 = i w3 ,
2 2 原式 =-z1 + 4 z2 2 + z3 .
(3)
此即原二次型的标准型. 将式(3)代入式(1), 得
ì 1 1 ï ï x1 = z1 + z2 + z3, ï ï 2 2 ï ï ï 1 1 ï í x2 = z1 - z 2 + z3, ï 2 2 ï ï ï x3 = z3 , ï ï ï î ï
2 aij = 0
(i , j = 1,2,L , n) ,
A =0 .
例 5、 如果把实 n 级对称矩阵按合同分类, 即两个实 n 级对称矩阵属于同一类当
且仅当它们合同, 问共有几类? 解 ： 当实对称矩阵 A 与 B 合同时, 则有 d1 T ' BT = C ' AC = 反之亦然. 下面考虑相应二次型的情况 : 在 d i 中可分为 r 个 正， r − 1 个 正， M 2 1 0 个 正， 个 正， 个 正， 0 1 个 负 个 负 d2 dr 0 . 0
1ù ú 2ú ú 1ú -1 ú 2ú 0 1 úú ú û 1
ì z1 = t3 , ï ï ï ï (II) 令 í z 2 = t 2 / 2, 得 ï ï ï ï î z3 = t1,
é-1 0 0ù ê ú = êê 0 4 0úú . ê 0 0 1ú ë û
ì x1 = (t1 + t2 + t3 )/2, ï ï ï ï í x2 = (t1- t2 + t3) / 2, ï ï ï ï î x3 = t1,
f = t12 + t22 - t32 ；
则实二次型的规范形为
再令
ì t1 = w1, ï ï ï ï ít 2 = w2 , 得 ï ï ï ï ît3 = i w3 ,
高等代数_二次型的考研真题
而两实对称阵合同的充要条件是它们有相同 的秩和符号差（或是正负惯性指数相同）Th11.8 结论：而两实对称阵合同的充要条件是它们各自 正特征根，负特征根的个数是相等的（或是秩相 等，正特征根个数相等）。
结论：而两实对称阵合同的充要条件是它们各自 正特征根，负特征根的个数是相等的。
1 2 3、练习：与 在实数域上合同的矩阵是 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 (A) (B) (C) (D) ； ； ； 1 2 1 2 1 2 2 1
1 1 1 4 0 1 1 1 0 0 ,B 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 讨论A，B的相似和合同关系
1 1 3、A 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 练习：与 在实数域上合同的矩阵是 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 (A) (B) (C) (D) ； ； ； 1 2 1 2 1 2 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0
考研真题 1、f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x 5 x cx 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
的秩为2 (1)求c及其二次型矩阵的特征值 (2) f 1表示何种二次曲面。 2、设A为m阶实对称矩阵且正定， B为m n实矩阵，证明 BT AB为正定阵 RankB n
阶实对称阵正定的特征值全大于2981016对于阶实对称矩阵有正交矩阵使得的特征根而两实对称阵合同的充要条件是它们有相同的秩和符号差或是正负惯性指数相同th118结论
n 阶实对称阵 A正定 A的特征值全大于0.
由P298 Th10.16， 对于n阶实对称矩阵A, 有正交矩阵T , 使得 1 1 . T 1 AT T T AT n 1 , , n为A的特征根
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总之， f ( x1 , x 2 , , x n ) 可表成两个一次齐次式的乘积.
.
6.设A是实对称矩阵.证明：当实数t充分大之后，
tE+A是正定矩阵.
证:
t a11 a12 a 11 t a 22 tE A a n1 a n1 a 1n a 2n t a nn
充分性
1） f ( x1 , x 2 , , x n ) 秩为1，
f ( x1 , x 2 , , x n ) ky12 则可经线性替换X=CY，二次型化为
其中 y1 a1 x1 a 2 x 2 a n x n
.
f ( x1 , x 2 , , x n ) k (a1 x1 a 2 x 2 a n x n ) 2 ( ka1 x1 ka2 x 2 kan x n )( a1 x1 a 2 x 2 a n x n )
bi kai ( i 1,2,, n)
.
y1 a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n y x (i 2,, n) i i
2 f ( x 1 , x 2 , , x n ) ky1 二次型化为
f ( x1 , x 2 , , x n ) 秩为1.
ai 1 x1 s a i 2 x2 ( x1 , , xn ) (ai 1 , , ain ) X ' A' AX i 1 x ain n
.
f ( x 1 , x 2 , , x n ) (a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n ) 2 2.设实二次型
i 1
s
证明： f ( x 1 , x2 ,, xn ) 的秩等于矩阵
a11 A a 21 a s 1
a a a
i, j i, j i, j
则 | X ' AX | a | xi || x j |
i, j
.
可得
| X ' AX | a
i, j
x i2 x 2 j 2
an x i2 cX ' X .
i
其中 c=an.
' , 有 ( A A) A A 可知，f 的矩阵为
' ' '
r ( B ) r ( ' ) r ( ).
.
3.设A是n级实对称矩阵，
证明：存在一正实数c使对任一实n维向量X都有
| X ' AX | cX ' X .
证:
| X ' AX || aij xi x j | | aij || xi || x j | 令a max | aij |,
它的k级顺序主子式
.
t a11 k (t ) a21 ak 1
a12 ak 2
a1k a2 k
t a22
t akk
当t充分大时， k (t ) 为严格主对角占优的行列式，且
t a ii
a
ji
ij
, ( i 1,2, , n),
k ( t ) 0( k 1,2,, n), 从而tE A正定的 .
存在可逆矩阵T与C使
.
d 1 T ' BT C ' AC
d2 dr
D 0 0
考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况，
共计r+1个合同类.但秩r又分别取n，n-1，…，2,1,0， 故共有
1 2 3 n ( n 1) ( n 1)( n 2) 个合同类 2
.
8.设A为一个n级实对称矩阵，且|A|<0,
证明：必存在实n维向量 X 0使X ' AX 0.
证: 假设任意实n维向量X，有 X ' AX 0,
则f ( X 1 , , X n ) X ' AX半正定，
从而A的所有主子式大于或等于0，
故|A|≥0这与|A|< 0矛盾，故假设不成立，原命题成立.
y z z 1 2 1 y 2 z1 z 2 y z ( i 3, , n ) i i
.
2 f ( x1 , x 2 , , x n ) y1 y 2 z12 z 2 二次型化为
f ( x1 , x 2 , , x n )
秩为2，且符号差为0.
于是
A (C 1 )' D1 C 1 (C 1 )' D2 C 1 (C 1 )' Dr C 1
3.设A是一个n级矩阵，证明： 1) A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X， 有X’AX=0； 2)如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有X’AX=0， 那么A=0. 证: 1）必要性
二次型习题
2.证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于
1的对称矩阵之和. 证: 由题设 A A' , r ( A) r ，存在可逆矩阵C使
C' AC D ( D为对角阵 )
C ' , C 1 , (C 1 )' (C ' )பைடு நூலகம்1 均为可逆矩阵， 又因为
所以有C ' AC D1 D2 Dr
从而 aij a ji ( i j ).
可知 A 反对称.
2）
X AX 0, X
则由1）知 A 反对称，
A A A
从而 A 0
4.如果把实n级对称矩阵按合同分类，即两个实n 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共 有几类？ 解:
实对称矩阵A与B合同充要条件是
.
5.证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的 一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的 秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1. 证: 必要性 设 f ( x1 , x 2 ,, x n ) (a1 x1 a 2 x 2 a n x n )(b1 x1 b2 x 2 bn x n ) 1) 若上式右边的两个一次式系数成比例，即
f 2） ( x1 , x2 ,, xn ) 秩为2，且符号差为0，
则可经线性替换X=CY，二次型化为
2 2 f ( x1 , x 2 , , x n ) y1 y2 ( y1 y 2 )( y1 y2 )
(a1 x1 a 2 x 2 a n x n )( b1 x1 b2 x 2 bn x n )
12 22
a a
s2
2n a sn
1n
的秩.
证:
ai 1 x1 a x s s 2 i 2 (a , , a ) 2 f (ai 1 x1 ain xn ) ( x1 , , xn ) in i1 i 1 i 1 ain xn
A A' , 则 X ' AX ( X ' AX )' X ' ( A) X X ' AX 即X ' AX 0
充分性 取 X i (0,,1,,0)
i A i a ii 0
取 X i j (i j )
X AX a ii a ij a ji a jj 0
d 1 D1
0 d 2 0 , D 2 0
0 0 , , Dr 0 dr 0 0 0
2) 若上式右边的两个一次式系数不成比例，设
a1 a2 b1 b2
.
y a x a x a x 1 1 2 2 n n 1 y 2 b1 x1 b2 x 2 bn x n y x ( i 3, , n ) i i
二次型化为 f ( x1 , x 2 , , x n ) y1 y 2