高等代数习题答案.doc

高等代数（北大第三版）答案

目录

第一章多项式

第二章行列式

第三章线性方程组

第四章矩阵

第五章二次型

第六章线性空间

第七章线性变换

第八章—矩阵

第九章欧氏空间

第十章双线性函数与辛空间

注：

答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！

12．设

A 为一个 n 级实对称矩阵，且 A

0 ，证明：必存在实 n 维向量 X 0 ，使

X AX 0 。

证

因为 A

0，于是 A

0 ，所以 rank A

n ，且 A 不是正定矩阵。故必存在非

退化线性替换 X

C 1Y 使

XAX YC 1

ACY

Y BY

y 12 y 22

y p 2

y p 2

1

y p 2 2

y n 2 ，

且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在

Z C 1Y 中，令 y y

2 y

p

1

0, y p 1 y p

2

y n 1, 则可得一线性方程组

c 11

x 1

c 12

x

2

c 1n x

n

c p 1

x

1

c p 2 x

2

c pn

x n

，

c p 1,1

x

1

c p 1, 2 x

2

c p

1,n

x

n

1

c n1

x 1

c n 2 x

2

c nn x

n

1

由于 C 0 ，故可得唯一组非零解

X s x 1s , x 2s , , x ns 使

X s AX s 0 0

0 1 1

1

n p 0 ，

即证存在 X 0，使 X AX

0 。

13 ．如果 A, B 都是 n 阶正定矩阵，证明：

A B 也是正定矩阵。

证 因为 A, B 为正定矩阵，所以 X AX , X BX 为正定二次型，且

X AX 0 ，

X BX 0 ，

因此

X A B X X AX X BX 0 ，

于是 X

A B X 必为正定二次型，从而

A B 为正定矩阵。

14 ．证明：二次型 f x 1 , x 2 , , x n 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

证 必要性。采用反证法。若正惯性指数

p 秩 r ，则 p

r 。即

f x 1 , x 2 , , x n

y 2 y 2

y 2

y 2

y 2 ，

1

2

p

p 1

r

若令

y1 y2 y p 0 ， y p 1 y r 1 ，

则可得非零解x1 , x2 , , x n 使 f x1, x2 , , x n 0 。这与所给条件 f x1 , x2 , , x n

0 矛盾，故 p r 。

充分性。由p r ，知

f x1 , x2 , , x n y12 y22 y p2，

故有

f x1 , x2 , , x

n 0 ，即证二次型半正定。

n n 2

x i2

15 ．证明： n x i 是半正定的。

i 1 i 1

n n 2

证 n x i2 x i

i 1 i 1

n x12 x22 x n2

x12 x22 x n2 2x1 x2 2 x1 x n 2x2 x3 2x2 x n 2x n 1x n n 1 x12 x22 x n2 （ 2x1 x2 2x1 x n 2x2 x3

2 x2 x n 2x n 1 x n）

x12 2x1x2 x22 x12 2x1x3 x32 x n21 2x n 1 x n x n2

x i x j 2 。

1 i j n

可见：

1）当x1, x2, , x n不全相等时

f x1 , x2 , , x n x i x j 2

0 。

1 i j n 2）当

x1 x2 x n

时

f x1 , x2 , , x n x i x j 2

0 。

1 i j n 故原二次型 f x1 , x

2 ,, x n是半正定的。

16 ．设f x1, x2, , x n X AX

是一实二次型，若有实n 维向量 X 1 , X 2使

X1 AX 0 ，X2AX2 0。

证明：必存在实n 维向量 X 0 0使 X0AX0 0。

设 A 的秩为r，作非退化线性替换X CY 将原二次型化为标准型

X AX d1 y12 d 2 y22 d r y r2，

其中 d r为1或-1。由已知，必存在两个向量X1, X2使

X1AX1 0 和X2AX2 0，

故标准型中的系数d1 , , d r不可能全为1，也不可能全为 -1 。不妨设有p 个1， q 个-1，且 p q r ，即

X AX y12 y 2p y2p 1 y p2 q ，

这时 p 与 q 存在三种可能：

p q ，p q ，p q

下面仅讨论 p q 的情形，其他类似可证。

令 y1 y q 1，y

q 1 y p 0 ，

y

p 1 y p q 1 ，

则由 Z CY 可求得非零向量X 0使

X0AX0 y12 y p2 y p2 1 y 2p q 0，

即证。

17．A是一个实矩阵，证明：

rank A A rank A 。

证由于 rank A rank A A 的充分条件是AX 0与 AAX 0 为同解方程组，故只要

证明 AX 0与AAX 0 同解即可。事实上

AX 0 A AX 0 X AAX 0

AX AX 0 AX 0 ，

即证 AX 0与AAX 0 同解，故

rank A A rank A 。

注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第 2 题的证明，此处略。

一、补充题参考解答

1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：

1）x1x2n x

2

x

2 n 1

x

2

x

2n 1 x n x n 1；

2）x1x2 x2 x3 x n 1 x n；