高等代数考研习题精选
高等代数考研真题 第二章 行列式
第二章１．（北师大2003－25）１．计算行列式87162534的逆序数，并依次将上述排列变成12345678的所有对换2．设n 个数码的排列121n n i ,i ,...i ,i -的逆序数是k ，那么排列321n n n i ,i ,...i ,i i -的逆序数是多少？请说明理由。
２．计算下列行列式（每小题6分，共12分）D=2132301211432211---的值。
3.（成电科大，2003）计算下列行列式（每小题6分，共12分）1.32222322223222223n ......D ..................=D ．＝ 2.2323231222111114441555D =4.（中科武汉2004－15）计算行列式1111111222221223331234111111n nn...b a a a ...a a b b a a ...a a D b b b a ...a a .....................b b b b ...b a =5（成电科大2004－10分）求证：1212341112321112321114311211n n n ...n n ...n n x ...n n D ()x x x ...n n .....................x x x (x)xx...x+------==---6.(北工大，2002－10分)计算行列式0121110001000100010n n na ...a x ...a x ...D ..................a ...x a ...x+-----的值。
7(东北大学，2001－10分)计算下列行列式11112n n nnna c a c D (n )db d b =8.（东北大学，2002－10分）11111n aa a D aa+--+=--+9．（北航，2001 10分）已知a>>0，证明n 阶行列式1000110001000000101a ...a ...a ...D (n ).....................a ...a --=≥--10.（复旦，2002）计算下列行列式的值：（7分）95000009500040950004000095400094.......................................11.（中大，2004 10分）计算下列n 阶行列式：000210001200012012......D n ........................=12.（东北大2003 25分）证明当αβ≠时，11000001000101n n ..............................αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-=+-+13.（北工大 2001 10分）计算n 阶行列式的值111n a b ab a b ab D a b ab a b++=++其中a,b 为实数。
高等代数考研习题精选
精心整理《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2A 3A C .D 4A 5A .B .C .D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立精心整理7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
9.A ．4610A .31a a 11. A .11a a 12. 设A . C ． 13. 设的是（ ）A .133221A A A A A A --- B .321211A A A A A A +++ C ．32121A A A A A -+ D .311132A A A A A +- 14. 设A 为四阶行列式，且2-=A ，则=A A （ ）A .4B .52C ．52-D .8精心整理15. 设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=)det(kA （ ）A .)(det A kB .A k detC ．A k n detD .A k n det16.设A ，B 为数域F 上的n 阶方阵，下列等式成立的是（ ）。
高等代数考研真题第一章多项式
且f(x)在有理数域上不可约。
第一章多项式1 (清华2 000— 20分)试求7次多项式f(X )，使f(M 1能被(X -1)4整除，而f(X )-1能被(X 1)4整除。
2、 (南航 2001 — 20 分)(1) 设 x —2px+2 I x +3x +px+q ，求 p,q 之值。
(2) 设f(x) , g(x), h(x) € R[x]，而满足以下等式2(x +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=02(x +1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=02 2证明：x +1 I f(x) , x +1 I g(x)3、 (北邮2002 —12分)证明：x d - 1 I x "- 1的充分必要条件是d I n (这里里记号 d I n 表示正整数d 整除正整数n )。
4、 、(北邮 2003 —15分)设在数域 P 上的多项式 g 1(x), g 2(x) , g 3(x) , f(x),已知 g 1(x) I f(x),g 2(x) I f(x) , g 3(x) I f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：(〔)如果 g 1(x) ,g 2(x) , g 3(x)两两互素，则一定有 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x) I f(X )(2)如果g1(x) , g 2(x) , g 3(x)互素，则一定有 g 1(x)g 2(x)g 3(x)I f(X )5、 (北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ,b 若p I ab 则p I a 或p I b 。
6、 (大连理工2003 —12分)证明：次数＞0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幕主充分必要条件是，对任意的多项式g(x) , h(x),由f(x) I g(x) h(x)可以推出f(x) I g(x)，或者对某一正整数 m , f(x) I h m(x)。
考研高等代数真题答案
考研高等代数真题答案一、选择题1. 根据线性空间的定义，下列哪个选项不是线性空间的子空间？- A. 所有零向量组成的集合- B. 线性空间中的非零向量集合- C. 线性空间中的任意向量集合- D. 线性空间中满足特定线性组合的向量集合答案：B2. 矩阵A的特征值是λ1, λ2, ..., λn，矩阵B的特征值是μ1,μ2, ..., μn。
若AB=BA，那么矩阵A+B的特征值是什么？- A. λ1+μ1, λ2+μ2, ..., λn+μn- B. λ1*μ1, λ2*μ2, ..., λn*μn- C. λ1+μ1, λ1+μ2, ..., λn+μn（无规律）- D. 不能确定答案：A二、填空题1. 若线性变换T: V → W，其中V和W是有限维向量空间，且dim(V) = n，dim(T(V)) = r，则T的核的维数是_________。
答案：n-r2. 设A是一个3×3的矩阵，且|A| = 2，矩阵A的特征多项式为f(λ)= (λ-1)^2(λ-3)，则矩阵A的迹是_________。
答案：4三、解答题1. 证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*的行列式等于|A|^(n-1)，其中n是A的阶数。
证明：设矩阵A是一个n×n的可逆矩阵，其伴随矩阵记为A*。
根据伴随矩阵的定义，我们有：A * A* = |A| * I，其中I是单位矩阵。
两边同时乘以A的逆矩阵A^(-1)，得到：A^(-1) * A * A* = |A| * A^(-1) * I，即 A* = |A|^(n-1) * A^(-1)。
由此可知，A*的行列式是|A|^(n-1)。
2. 解线性方程组：x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 3解：首先写出增广矩阵：[1 2 3 | 1][4 5 6 | 2][7 8 9 | 3]通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 -1 | -1][0 1 3 | 4][0 0 0 | 0]根据行最简形式，我们可以得到y = 4 - 3z，x = 1 + z。
高等代数每日一题考研真题
高等代数每日一题考研真题高等代数是数学中的重要分支之一，对于考研学生来说，掌握高等代数的知识是非常重要的。
为了帮助考生更好地备考，下面将为大家介绍一道高等代数的考研真题，并给出详细的解答过程。
考研高等代数题目如下：已知矩阵A = [a11, a12, a13; a21, a22, a23; a31, a32, a33]其中，a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33均为非零实数。
（1）若|A| = -6，求a33的值。
（2）设矩阵B = (A^-1)^T，其中(A^-1)^T表示矩阵A的逆矩阵的转置矩阵，求B。
解答如下：（1）根据题目已知条件，我们可以使用行列式的性质进行求解。
由于|A| = -6，根据行列式的性质可知：|A| = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 -a22a31) = -6根据上述等式，可以得到一个关于a33的二次方程，进一步求解该二次方程，即可得到a33的值。
（2）根据题目已知条件，我们需要先求解矩阵A的逆矩阵，然后再对其进行转置。
首先，求解矩阵A的逆矩阵。
设A的逆矩阵为A^-1，根据矩阵的性质可知：AA^-1 = I，其中I为单位矩阵，即I = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1]。
根据上述等式，我们可以得到以下方程组：a11x11 + a12x21 + a13x31 = 1a11x12 + a12x22 + a13x32 = 0a11x13 + a12x23 + a13x33 = 0a21x11 + a22x21 + a23x31 = 0a21x12 + a22x22 + a23x32 = 1a21x13 + a22x23 + a23x33 = 0a31x11 + a32x21 + a33x31 = 0a31x12 + a32x22 + a33x32 = 0a31x13 + a32x23 + a33x33 = 1解上述方程组，即可得到逆矩阵A^-1的值。
研究生高等代数复习题
1.设 是数域P 上线性空间 V 的线性变换且 扌2扌，证明: (1) 的特征值为 1或0; (2)0 1(0)A （ ）| V ;（ 3）*扌"01 fllTUl £J 1 血引& 1 -4 ［D 亠 2」La V *1V 才(0)/(V).h 妙门)tb 师A 丫搦就匚由曆岭串入岂切勿门P) '：(«叫刀专壯丫]国弘0 \记出和 忙小加elV,曲此肋卜煤J-殖R H R L対&炭M A Wu 血M E 畑隔茫卜鯛皿W 伽咄 换片⑷二W 二2-如]£艸』.毎(L ；s 器对们*靱为¥^占宦函，戈中箱冋 刪內M •(tr) Sfe 込亂:'oi 绘W 叹E 砒护.如 MV A oi -A^+^IZ.貞b)+AL审a Vote A) fl 5ft 由 D I E 如心 阳p.嶽[小吊。
讹比加"十賊.2.已知 是n 维欧氏空间的正交变换，证明： 的不变子空间 W 的正交补 W 也是 的不变子空间. .呼:演M 肛坊涵凤y 詁色疑接 则站 如巒哪、 WS J 辰磯上飙询辰M 戈二Q. K 幕亍疋丹册匚沪.H 就M 丄 八厲艸)=0 “古忆 押期 卫时贱，朋4神刑. \ r 加/AG*)o 舟呻)二&<舜】"八'亠如 J-初丄匕M 七 D 1 Uy缭制严叫f%舟淀边提.6.设 A 为 n 阶 方阵，W X R "|A X 03.已知复系数矩阵 A 1 2 0 1 0 00 03 42 31 2 '0 1(1)求矩阵 A 的行列式因子、不变因子 和初等因子；(2)若当标准形.(15分) 如 [JH 心巧十5 O 0 _>-<. W X R n| (A E)X4廿M 病營竝杳/屋乩苗常歸•沖疋嘲驗I 「叫+1V1CR" 站卞E|巴火U 阶战)十叙总中 由A U-Ap =蘇-私={A _&Y =D 彌 vM-xe[6f . t [4-£Mp= f 尼A>y 刃知 A 啜E 呛 故gg 加"曲G W 古甌 A J 為骼讹 、•‘ fF?=^i+lAi.丈險皿fl 怜由密刖■触p ；由XE I 似 欲勺哎P 寺 -^-0 孕 g -略nWi斗M .、：E=lVi 费鵝，7.若设 W= f(x)|f(1) 0, f(x)R[x]n ,证明：W 是R[x]”的子空间，并求出 W 的一组基及维数.T 曲，⑴0£用「W 那艺I 仍k 卵)吗X1J 押+肿乜■\ *30+3⑷ e|V血甲他巩押老X 甲.吋g '；申』訓.故时善眈I 個繼邱^V^^weW,阳痂戒怒忑伽f+…十伽伽如由ftnm?紂口十+…+①+弘之.,\ J IMW 二 n 叫.8. 设V 是一个n 维欧氏空间，0证明A 为幂等矩阵，则 R W W .笹 tjOnLXT,』ty 对：。
研究生高等代数复习题完整版
32.设 的两个子空间为： ,
.求 与 的基与维数.
33.设 是3维线性空间， 为它的一个基.线性变换 ，
求（1） 在基 下的矩阵； （2）求核 和值域 .
34.设 是实数域上所有 阶对称阵所构成的线性空间，对任意 ，定义 ，其中 表示 的迹.（1）证明： 构成一欧氏空间；（2）求使 的子空间 的维数；（3）求 的正交补 的维数.
17.设 是5维的欧几里得空间 的一组标准正交基， ，其中 ，求 的一组标准正交基.
18.设 是 矩阵，其中
（1）求 的值；（2）设 ，求W的维数及W的一组基.
19.设?是线性空间 上的线性变换，满足 ，求?在基 下的矩阵.
20.设?是 维线性空间 上的线性变换， 是 的一组基.
如果?是单射，则 也是一组基.
研究生高等代数复习题
1.设?是数域 上线性空间 的线性变换且 ,证明:
（1）?的特征值为1或0；（2） ;（3） .
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间 的正交补 也是?的不变子空间．
3.已知复系数矩阵 ， （1） 求矩阵 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）
35.试找出全体实2级矩阵 所构成的线性空间到 的一个线性同构.
36.求由向量 生成的子空间 与由向量 生成的子空间 的交的基和维数.
37.设 ，求(1) 的不变因子、行列式因子、初等因子.(2) 的 标准形.
38.设 是数域 上 矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换 ， .（1）证明： 是 上的对合线性变换，即 是满足 （恒等变换）的线性变换；（2）求 的特征值和特征向量.
58.设 是4维空间 的一组基，已知线性变换 在这组基下的矩阵为
全国名校高等代数考研真题汇编(含部分答案)
考生注意： 1.本 试 卷 满 分 为 150 分，共计10道题，每题满分15 分，考试时间总计180 分钟；
2.答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸 上均无效。
一、设 是 阶单位矩阵， ，证明 的行列式等于 .
，矩阵 满足
二、设 是 阶幕零矩阵满足
，
.证明所有的 都相似于一个对角矩阵，
的特征值之和等于矩阵 的秩.
3.南开大学高等代数考研真题 2012年南开大学804高等代数考研真题 2011年南开大学802高等代数考研真题
4.厦 门 大 学 825高等代数考研真题 2014年厦门大学825高等代数考研真题 2013年厦门大学825高等代数考研真题 2012年厦门大学825高等代数考研真题 2011年厦门大学825高等代数考研真题
有
证明：
(1)
.
(2) 是 的不变子空间，则 也是的 不变子空间.
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11.浙江大学高等代数考研真题
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浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：高等代数（601）
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《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。
A ．1B ．2C ．3D ．43．以下命题不正确的是（）。
A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。
A .充分B .充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。
A .甲成立,乙不成立；B .甲不成立,乙成立；C .甲,乙均成立；D ．甲,乙均不成立7．下面论述中,错误的是()。
A .奇数次实系数多项式必有实根；B .代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中,()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式,则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =()。
A .DB .D -C ./D D ．(1)n D -9.行列式41032657a --中，元素a 的代数余子式是（）。
A ．4067-B ．4165C ．4067--D ．4165- 10．以下乘积中（）是5阶行列式ij D a =中取负号的项。
A .3145122453a a a a a ；B .4554421233a a a a a ；C ．2351324514a a a a a ；D .1332244554a a a a a11.以下乘积中（）是4阶行列式ij D a =中取负号的项。
A .11233344a a a a ；B .14233142a a a a ；C ．12233144a a a a ；D .23413211a a a a12.设,A B n 均为阶矩阵，则正确的为（）。
A .det()det det AB A B +=+B .AB BA =C ．det()det()AB BA =D .222()2A B A AB B -=-+13.设A 为3阶方阵，321,,A A A 为按列划分的三个子块，则下列行列式中与A 等值的是（）A .133221A A A A A A ---B .321211A A A A A A +++ C ．32121A A A A A -+D .311132A A A A A +- 14.设A 为四阶行列式，且2-=A ，则=A A （）A .4B .52C ．52-D .815.设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=)det(kA （）A .)(det A kB .A k detC ．A k n detD .A k n det16.设A ，B 为数域F 上的n 阶方阵，下列等式成立的是（）。
A .det()det()det()AB A B +=+；B .det()det()kA k A =；C ．1det()det()n kA k A -=；D .det()det()det()AB A B =17.设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵且A 可逆，则结论正确的是（）A .**1()||n A A A -=B .**1()||n A A A +=C ．**2()||n A A A -=D .**2()||n A A A +=18.如果11AA A A I --==，那么矩阵A 的行列式A 应该有（）。
A .0A =；B .0A ≠；C ．,1A k k =>；D .,1A k k =<-19.设A ,B 为n 级方阵,m N ∈,则“命题甲：A A -=-；命题乙：()m m m AB A B =”中正确的是()。
A .甲成立,乙不成立；B .甲不成立,乙成立；C ．甲,乙均成立；D .甲,乙均不成立20.设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则*A A =（）。
A .2n AB .n AC ．2n n A -D .21n n A -+21.若矩阵A ，B 满足AB O =，则（）。
A .A O =或B O =；B .A O ≠且B O ≠；C ．A O =且B O =；D .以上结论都不正确22.如果矩阵A 的秩等于r ，则（）。
A .至多有一个r 阶子式不为零；B .所有r 阶子式都不为零；C ．所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；D .所有低于r 阶子式都不为零23.设n 阶矩阵A 可逆(2)n ≥，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则结论正确的是（）。
A .()1n A A A *-*=；B .()1n A A A *+*=；C ．()2n A A A *-*=；D .()2n A A A *+*=24.设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则||||*A A =（）A .2||n AB .||n AC ．2||n n A -D .21||n n A -+ 25.任n 级矩阵A 与?A ,下述判断成立的是()。
A .A A =-；B .AX O =与()A X O -=同解；C .若A 可逆,则11()(1)n A A ---=-；D ．A 反对称,-A 反对称26.如果矩阵rankA r =,则（）A .至多有一个r 阶子式不为零；B .所有r 阶子式都不为零C ．所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；D ．所有低于r 阶子式都不为零27.设A 为方阵，满足11AA A A I --==，则A 的行列式||A 应该有（）。
A .||0A =B .||0A ≠C ．||,1A k k =>D .||,1A k k =<-28.A 是n 阶矩阵，k 是非零常数，则kA =()。
A .k A ；B .k A ；C ．n k AD .||n k A29.设A 、B 为n 阶方阵，则有（）.A .A ，B 可逆，则A B +可逆B .A ，B 不可逆，则A B +不可逆C ．A 可逆，B 不可逆，则A B +不可逆D .A 可逆，B 不可逆，则AB 不可逆30.设A 为数域F 上的n 阶方阵，满足220A A -=，则下列矩阵哪个可逆（）。
A .AB .A I -C ．A I +D 2A I -31.B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且()0R AB =，则（）。
A .OB =；B .()0R B =；C ．O BA =；D .()()R A R B n +≤32.A ，B ，C 是同阶方阵，且ABC I =，则必有（）。
A .ACB I =；B .BAC I =；C ．CAB I =D ．CBA I =33.设A 为3阶方阵，且()1R A =，则（）。
A .*()3R A =；B .*()2R A =；C ．*()1R A =；D .*()0R A =34.设B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且O AB =，则（）.A .OB =B .0=B 或0=AC ．O BA =D .()222B A B A +=- 35.设矩阵00400000100000000200A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则秩A =（）。
A ．1B ．2C ．3D ．436.设A 是m n ⨯矩阵，若（），则AX O =有非零解。
A .m n <；B .()R A n =；C ．m n >D .()R A m =37.A ，B 是n 阶方阵，则下列结论成立得是（）。
A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠；B .0A A O =⇔=；C ．0AB A O =⇔=或B O =；D .1||=⇔=A I A38.设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（）.A .必有r 个行向量线性无关B .任意r 个行向量线性无关C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示39.设A 为34⨯矩阵，B 为23⨯矩阵，C 为43⨯矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（）。
A .T T A BCB .T ACBC ．BACD .ABC40.设A 是n 阶方阵，那么A A '是（）A .对称矩阵；B .反对称矩阵；C ．可逆矩阵；D .对角矩阵41.若由AC AB =必能推出C B =（C B A ,,均为n 阶方阵），则A 满足()。
A .0A ≠B .O A =C ．O A ≠D .0≠AB42.设A 为任意阶)3(≥n 可逆矩阵，k 为任意常数，且0≠k ，则必有=-1)(kA （） A .1-A k n B .11--A k n C ．1-kA D .11-A k43.A ，B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，则（）A .A 相似于B ；B .A B =；C ．A 合同于B ；D .A B =44.设)(21I B A +=，则A A =2的充要条件是（）A .B I =；（B ）I B -=；C ．I B =2D .I B -=2 45.设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个可能不可逆（）A .2A I +B .A I -C ．A I +D .A46.设n 阶方阵A 满足220A A -=，则下列矩阵哪个一定可逆（）A .2A I -；B .A I -；C ．A I +D .A47.设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（）.A .必有r 个列向量线性无关；B .任意r 个列向量线性无关；C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组；D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示48.设A 是m n ⨯矩阵，若（），则n 元线性方程组0AX =有非零解。