福州大学高等代数历年考研试题

福州大学2009年高等代数考研试题解答

u(x) f (x) v(x)g(x) 1.
将 x M 代入上式,得 u(M ) f (M ) v(M )g(M ) E ,即
u(M )A v(M )B E .
任取 W ,则 AB 0 ,
u(M ) A v(M )B .
取1 v(M )B ,2 u(M ) A .由于 A, B 都是 M 的多项式,故 AB BA ,进而有 Av(M ) v(M ) A,
b11 b22 bnn 0
aii k bii , i 1, 2,, n
aij bij , i j, i, j 1, 2,, n.
于是
n
n
n
aii (k bii ) nk bii nk,
i 1
i 1
i 1
即
从 aii k bii 得
k

1 n
n i 1
aii .
bii
aii
k
aii

1 n
n
a jj .
j 1
取
k

1 n
n i 1
aii ,
bij

aii

1 n
n
a jj , 若i
j 1
j,
aij,若i j,
那么 B (bij )nn 是一个迹为 0 的矩阵,且 A kE B . ■
0

0
n1( d1) .
0 0
因此,当 d1 0 时, A 的 n 个特征值都为 0；当 d1 0 时, A 的特征值为 0( n 1重), d1 (一重). 注意,对于一般的 n 阶矩阵 A (aij )nn 来说,若 A 的特征值为 1, 2 ,, n ,则 1 2 n a11 a22 ann .

2021-2022年部分高校高等代数考研真题

A
=
1 0 2
−1 1 3
−1 0 1
2 0 −1
1 −2 −2 −1
求 A 的包含 ε1 的最小的不变子空间.
3 1 −1 3. 求 A = −1 3 1 的若尔当标准形及有理标准形.
022
二、证明题.
1. 已知向量组 α1, α2, · · · , αr 线性无关, 且可由向量组 β1, β2, · · · , βs 线性表出, 证明: 存在某个向量 βj (1 ≤ j ≤ s), 使得向量组 βj, α2, · · · , αr 线性无关.
1 2
1 1
c −2 0
112
(1) 若 A 有特征值 4, 1, −2 , 求 a, b, c. (2) 设 α = (1, k, 1)T 是 B−1 的一个特征向量, 求 k .
五、(15 分) 设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵, 且 A 正定, 证明: AB 的特征值都是实数.
六、(15 分) 设 σ 是 n 维线性空间 V 上的一个线性变换, 证明: σ 的秩 +σ 的零度 = n.
1
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
一、填空题 (每题 3 分)
1. 2n 级排列 13 · · · (2n − 1)(2n)(2n − 2) · · · 42 的逆序数为
.
2. 设 4 阶方阵 A, B 的伴随矩阵为 A∗, B∗, 且它们的秩为 r(A) = 3, r(B) =
1
2x1 3x1
+ 3x2 + 5x2
+ (a + 2)x3 + 4x4 = b + 3 + x3 + (a + 8)x4 = 5

福州大学历年考研真题及答案解析

福州大学历年考研真题及答案解析2018考研已开始，为方便福州大学考研学子更好地复习，聚英考研网特意为大家分享福州大学各学院的专业考研真题等资料，希望更多考生能够在专业课上赢得高分，升入理想的院校。

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详情复制以下链接查找该专业课的考研资料和真题！2018福州大学各专业考研资料：/ziliao/all-fzu-0福州大学历年考研真题下：/down/all/fzu-0部分专业资料展示如下：本资料介绍：第一部分历年真题复习注意事项：此部分内容建议在10月份后开始做题，10月份之前主要分析题型。

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第二部分参考教材每个章节重点笔记、参考教材每个章节课后习题解析、参考教材每个章节典型题或章节真题解析复习注意事项：此部分为本资料的核心内容，考研各阶段均可配合复习，在进入强化阶段的同学可以结合自己的笔记开始章节重点复习及章节题型的强化！第三部分教材课件及相关扩充复习资料复习注意事项：根据本部分的内容拓展扩充知识，教材的重点及各类题型的融会贯通达到答题了然于胸。

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福州大学2008年高等代数考研试题A卷及解答 (1)

福州大学2008年招收硕士研究生入学考试试卷招生学院_______________招生专业________________考试科目________________科目编号________________本卷共十题，每题15分一、填空题（每小题4分，满分20分）1、多项式32()61514f x x x x =-+-的有理根是_________；【答案解析】：22、矩阵012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的逆矩阵1A -=_________；【答案解析】：124211221232⎛⎫- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭3、设P 为数域，在线性空间[]n P x 中，多项式()f x 在基1{1,(),...,()}n x a x a ---下的坐标是_________；【答案解析】：(1)()()((),(),,...,)2!(1)!n f a f a f a f a n -'''-4、在欧式空间4R 中，向量1(1,2,2,3)α=，2(3,1,5,1)α=的夹角为________；【答案解析】：455、已知1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则nA =________；【答案解析】：101n ⎛⎫⎪⎝⎭二、简答题（每小题5分，满分25分）6、求非齐次线性方程组1231234123412344212357375822268x x x x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪-+++=⎪⎨-+-=-⎪⎪---=-⎩的通解；【考察重点】：求非齐次线性方程组的通解，属于简单计算题，掌握知识点即可。

【答案解析】：解：142011420110245231570555501111371580555500000222680666600000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知原方程组与下面方程组同解1342342451x x x x x x --=-⎧⎨-++=⎩令340x x ==，得原方程组的一个特解()5100--且原方程组的两个基础解系为()()123010,1001αα=-=-所以原方程组的通解为()()()12510030101001x k k =--+-+-其中1k ，2k 为任意常数。

福州大学《线性代数》含参考答案

福州大学《线性代数》试卷2014年4月27日一、填空(共30分,每空3分)1. 设1211102,2243x x y t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则t =____________. 2. T (1,2,3),A E A A =-=设则3_______________．3. 313233112103,,3312ij ij D A D a A A A _____.-=-+-=-设表示中元素的代数余子式则.4. ,A B 设都是n 阶方阵，13,2,3______A B A B *-==-=且则.5. 2333231232221131211==a a a a a a a a a M 如果，则=D 111112132121222331313233532532532a a a a a a a a a a a a ----=--__________. 6. 若方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩存在非零解，则.__________=λ7. 设方阵A 的特征值3对应的特征向量为T (1,3,1)-，则T (1,3,1)A-= .8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50413102x 可相似对角化，则x 的值为 .9. 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++的矩阵表达式为_____________________________________________，可经正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形 123(,,)f y y y =______________.学院专业级班姓名学号二、单项选择（每小题2分，共10分） n 1.设,,,A B C ABC E =阶方阵满足则必有（）.(C) (D)CBA E BAC E ACB E === 2. 设A 是n 阶非奇异矩阵.其伴随矩阵为A *，则( )．2112(A) () (B) () (C) () (D)() n n n n A AA AAA A AA A AA ++--********====3. 设A 是s m ⨯矩阵,B 为n s ⨯矩阵,则使0=ABx 与0=Bx 是同解方程组的一个充分条件是( ).(A) (R A m =) (B ) (R A s =) (C )(R B n =) (D) (R B s =) 4．已知3阶方阵A 的特征值是0，1，1-，则下列命题中不正确的是( ). (A) 方阵A 是不可逆的 (B) 方阵A 与对角矩阵相似(C) 1和1-所对应的特征向量正交 (D) 0=Ax 的基础解系由一个向量组成5. 设1234(,,,)A αααα=是4阶方阵，若T (1,0,1,0)是方程0AX =的一个基础解系，则*0A X =的基础解系可为( ).(A)12,αα (B)13,αα (C)123,,ααα (D)234,,ααα三(10分) 1,6,A B A BA A BA -=+设三阶矩阵满足A =且111(,,),234diag 试求矩阵B ．.四(10分) 11002131101121210111003200110022A B ,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭设； (1)B 求；(2)R 求()AB .五(10分)设矩阵A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1129513151133173113311，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属该最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示．六(10分) 当λ取何值时，线性方程组 ,1)5(4224)5(2122)2(321321321⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-λλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解? (2)无解? (3)有无穷多解? 并求其通解．装订线装订线装订线11)6(---=∴E A B ).21,31,41(---=diag -------------10分四、解 (1) .40104222312122200230012121312-=⨯-=-⋅-=--=B ----------5分(2) 由(1)知,040≠-=B 所以B 可逆, 从而有 ).()(A R AB R =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100111011010011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−1100111011100011r ,0000110011100011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−r,3)(=∴A R 因此.3)()(==A R AB R ----------10分法二 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4100531254122504AB ,0000410001205312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−r .3)(=∴AB R 五、解记),,,,( 54321ααααα=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1129513151133173113311 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−00000210001121013311r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−00000210003021080101r ---------6分故一个最大无关组为421,,ααα.且有,2213ααα+=.2384215αααα++-=六、解对方程组的增广矩阵)(b A B =施行初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------==154224521222)|(λλλλb A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------−→−)4)(1()10)(1(0011101452λλλλλλλλr（或 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+-−→−=)4)(1()10)(1(0011101542)|(λλλλλλλλλrb A B ）(1) 当 λ ≠ 1且λ ≠ 10时, R (A )=R (B )=3,方程组有唯一解.(2) 当 λ = 10时, R (A )=2, R (B )=3, 方程组无解. ----------6分(3) 当 λ=1时, R (A )=R (B )=1, 方程组有无穷多解.此时,000000001221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−rB故方程组的一个特解为,)0,0,1(T =η导出组的基础解系为,)1,0,2(,)0,1,2(21T T=-=ξξ故所求方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,) ---------10分解法二方程组的系数行列式为λλλ-------=542452222||A ,)1)(10(2--=λλ(1) 当 λ ≠ 1且λ ≠ 10时, |A| ≠0, 方程组有唯一解.(2) 当 λ = 10时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------==221121215112)|(b A B ,90000330211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−λrR (A )=2, R (B )=3, 方程组无解. ----------6分(3) 当 λ=1时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==244224421221)|(b A B ,000000001221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−rR (A )=R (B )=1, 方程组有无穷多解.得方程组的一个特解为,)0,0,1(T =η导出组的基础解系为,)1,0,2(,)0,1,2(21T T =-=ξξ故所求方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)----------10分七、解(1),000210101000210321622412321),,(21⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=r r x x β.221x x --=∴β ----------6分(2) 212121222)2(x x Ax Ax x x A A +-=--=--=β.026⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ----------10分八、证明 “充分性”设T ab A =,其中b a ,为非零列向量,则有.1)()(==T b R a R 由Sylverster 不等式有)},(),(min{)(1)()(T T T b R a R ab R b R a R ≤≤-+即有,1)(1≤≤T ab R 故,1)(=T ab R 即.1)(=A R ----------4分“必要性” 设,1)(=A R 则A 的标准形为n m O O O E F ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1n m ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001 所以存在m 阶可逆阵P , n 阶可逆阵Q , 使得,F PAQ =(1) 从而有,11--=FQ P A 记 ),,,,(211m p p p P =-,211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n q q q Q则),,2,1(m i p i =为m 阶非零列向量, ),,2,1(n j q j =为n 阶非零行向量,112121000000001),,,(q p q q q p p p A n n m m =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⨯令,,11q b p a T ==则b a ,均为非零列向量,且有T ab A =. ----------10分（或(2) 推出 11000000001--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P A 1111)0,,0,1(001-⨯⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q P n m 记11001⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m P a ,11)0,,0,1(-⨯=Q b n T , 则b a ,均为非零列向量,且有T ab A =. -------10分）。

各大学高等代数考研真题

各大学高等代数考研真题高等代数是数学中的一门重要学科，它在各个领域都有广泛的应用。

对于数学专业的学生来说，高等代数是一个重要的考试科目。

而对于那些准备考研的学生来说，高等代数更是必考的科目之一。

在考研中，高等代数的考试题目往往涉及到各个领域的知识，考察学生对于高等代数的理解和应用能力。

下面我们就来看一些高等代数考研真题。

首先，我们来看一道典型的高等代数考研题目。

题目如下：设V是数域K上的n维线性空间，f是V到V的线性变换。

如果对于任意的v∈V，存在非零多项式g(t)，使得g(f)(v)=0，则f一定有特征值。

对于这道题目，我们需要运用到高等代数中的一些基本概念和定理。

首先，我们需要知道什么是特征值和特征多项式。

特征值是指线性变换在某个向量上的作用结果与该向量平行的现象，而特征多项式则是用来求解特征值的一种方法。

在这道题目中，我们需要运用到特征多项式的性质，通过特征多项式来证明f一定有特征值。

接下来，我们来看一道关于线性空间的题目。

题目如下：设V是数域K上的线性空间，f是V到V的线性变换。

如果对于任意的v∈V，存在正整数m，使得f^m(v)=0，则f一定有特征值。

这道题目考察了线性变换的零化幂的概念。

零化幂是指对于线性变换f，存在一个正整数m，使得f^m(v)=0。

而这道题目要求我们证明，如果对于任意的v∈V，存在正整数m，使得f^m(v)=0，则f一定有特征值。

这个题目的证明过程比较复杂，需要运用到线性变换的一些性质和定理，以及线性空间的相关知识。

最后，我们来看一道关于矩阵的题目。

题目如下：设A是n阶方阵，如果存在非零矩阵B，使得AB=0，则A一定不可逆。

这道题目考察了矩阵的可逆性和零子式的概念。

可逆矩阵是指存在逆矩阵的矩阵，而零子式是指矩阵中的某个子矩阵的行列式为0。

这道题目要求我们证明，如果存在非零矩阵B，使得AB=0，则A一定不可逆。

证明过程中，我们需要运用到矩阵的一些性质和定理，以及矩阵的相关知识。

福州大学研究生入学考试试题

1999年福州大学研究生入学考试试题（每题10分）一．证明1sin x在(,1)(01)c c <<上一致连续，但在(0,1)上不一致连续。

二．曲线n y x =(n 为正整数)上点(1,1)处的切线交x 轴于点(,0)ξ，求lim ()n y ξ→∞。

三．证明：若00()0,()0,f x f x +-''><则存在0x 的一个邻域，使得在邻域中0()()f x f x ≥。

四．求下列极限：2(1)l i m1s i n x a r c t g x xπ→∞- 201sin (2)limsin x x x x→五．证明不等式 3(0).32x tgx x x π>+<<六．用柯西收敛原理判断下列级数的敛散性1111111112345632313n n n+-++-+++-+--七．证明(,)f x y =在(0,0)点连续，且(0,0),(0,0)x y f f 存在但(0,0)点不可微。

八．证明级数1211(1)n n n x∞-=-+∑关于x 在(,)-∞∞上为一致收敛，对任何x 非绝对收敛。

九．计算d d ,sI xyz x y =⎰⎰其中222:1,0,0S x y z x y ++=≥≥外侧。

十．利用含参变量广义积分的积分顺序交换定理，并从等式222 d ax bxb x y a e e xe y x----=⎰ 出发，计算积分 22d (0)ax bxe e x b a x--+∞->>⎰2001年福州大学研究生入学考试试题（每题10分）一．计算下列两题1.求2d (,)d d x x f x t t x⎰ 2.求42 0cos d x x π⎰二．用定义证明()f x =(0,1)上一致连续。

三．设0x >，证明2ln(1)2x x x +>-。

四．确定常数,a b，使lim )0x ax b →+∞-=五．设()f x 在有限区间(,)a b 中可导，且lim (),x bf x -→'=∞问是否必有lim ()?x bf x -→=∞若是，请予证明；若否，请举例说明。