西南大学高等代数历年考研试题
2001高代西南大学数学专业考研真题资料
2001高等代数一、判断题，正确的答“对”，错误的答“错”，并对错误的命题举出反例给予说明。
（每小题5分，共30分）1．数域F 上的某n 元线性方程组有解，则其全体解向量可构成F 上线性空间n F 的一个子空间。
2．对称矩阵的伴随矩阵也是对称矩阵。
3．数域F 上一元未定元多项式)(x f 不可约的充分必要条件是对][x F 中的多项式)(x g 和)(x h ，当)()(|)(x h x g x f 时，必有)(|)(x g x f 或)(|)(x h x f 。
4．在任意非零的有限维欧式空间中，对任意的正实数r 存在无穷多其之间的距离为r 的向量对。
5．设σ和τ为数域F 上的某n 维线性空间V 的两个线性变换，若σ和τ具有相同的特征多项式，则σ和τ具有相同的最小多项式。
6．n 元二次型AX X x x x f n '=),,,(21 负定的充分必要条件是A 的顺序主子式均小于0。
二、计算题（每小题10分，共40分）1、求所有λ使01600400040001≠λλλλ2、设4321,,,αααα及4321,,,ββββ是数域F 上的4维线性空间V 的两个基，且V 中向量α在基4321,,,αααα下的坐标为()4,3,2,1，V 中向量β在基4321,,,ββββ下的坐标为()1,2,3,4。
若基4321,,,αααα到基4321,,,ββββ的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111101111011110，试求向量βα+在基4321,,,ββββ下的坐标。
3、求-λ矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----++=00221330010102602206341032)(λλλλλλλλλλλλλλλA 的标准形。
4、通过正交线性替换求二次曲面方程054423222=+-----yz xy z y x 的标准形，并在相应新的直角坐标系中画出草图。
三、证明题（每小题10分，共30分）（注：1—3题由数学教育方向考生完成，4—6题由基础数学专业其它各方向考生完成。
高等代数考研试题及答案
高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。
如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。
B. 矩阵的乘积总是可交换的。
C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。
D. 行列式的值总是正数或零。
6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。
西南大学2011年《高等代数》考研真题
5．（20分）设 ，证明 无解，这里X为三阶未知复矩阵。
6．（10分）设V是数域P上n维线性空间，是V的一个线性变换，的特征多项式为 。证明： 在P上不可约的充分必要条件是V无关于的非平凡不变子空间（通常称V的子空间0和V为V的关于的平凡不变子空间）。
1．填空题（每小题6分，共60分）
（1）设 ，在由1，2，…，n构成的n!个n级排列中，反序数等于2的排列
西南大学
2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：研究方向：
试题名称：高等代数试题编号：819
（答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效）
（7）二元实二次型 的秩=。
（8）设n元非齐次线性方程组AX=B无解，其系数矩阵的秩为4，则其增广矩阵的秩
为。
（9）设矩阵 ，其中 线性无关， ，向量
，则非齐次线性方程组AX=的通解为。
（10）设D为一个三阶行列式，D的元素为1或 ，则D的最大值为。
2．（20分）设 ，且 ，其中E为三阶单位矩阵，求 。
3．（20分）设A为三阶实对称矩阵，其特征值为 ， 与
分别是A的属于特征值 与 的特征向量。求矩阵A。
4．（20分）设P为数域， ， ，且 。证明
共有个。
（2）设A，B为n阶方阵。若 ， ， ，则 =。（3）设 Nhomakorabea 。若 ，则
， 。
（4）设A为三阶方阵， 为三阶可逆阵，并且 。
若 ，则 =。
（5）设 是三阶正定矩阵，则 的取值范围是。
（6）设 为复数域上三阶方阵，则A的最小多项式为。
西南大学数学与统计学院《819高等代数》历年考研真题汇编
\ 10）设＜4 =（叫/队…，】,）,其中耳为实教” R不全为零，B-A A ,
是
4的转的“则8的全部特征值为， L〔2。分}设况为一复数，且是。[刈中某个非零多顼式的报，令
J = V（X）€ Q[x] |，愆）=0} a
证明；＜D在/中存在唯一的最高轶项系数是1的多项式尸⑴，使p（x）整除J中每一多项
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Fl 0 ］1
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A⑵分）设』=0 2 0 ,且施+ E* 4田其中E为三阶单位矩阵,求研 101
3.⑵如设 X为三阶实对祢矩阵，其特征值为；I,=必
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%=］分别是＞1的属于精征值人与石的特征向量。求矩阵元
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虫门0胪设尸为教域，/（玖g⑴顷刈，以,弓如尸，且血-加#0,证明
2008年西南大学819高等代数考研真题
西南大学
澎磅年攻读用七学位研究生入学考试试题
硕
学科，专业:摒湖"也
研究方向：&诗帮网佑为向
试题名称：曷驾心妲
试题编号：811
（答题-律做在答题纸上，并注明题忸番号，否则答题无效）
泠意：报汶学衍i n’MlWI.完我I，餐3. 4. 5. 6-境1°暨报引 向的与1「尼成！，2. 3. 4, 5. 6- 7> 8题，监试时问为3小旧’-满分为顷'■
[Q 0 0 1 . (6)给定尸'中的线性变换4如下：
A -. (x)ix1,x3)h>(2xi -xz,x2 +x^2xt +Xj)
则 KeM ="
（7）令4为V的正交变换.。=（2,0厂1厂2）为4的一个特征向街 则
（Aav Aa）=.
西南大学2012年《高等代数》考研真题
（9）三元实二次型 的正惯性指数为。
（10）设 ，其中 为实数，且不全为零， ，这里 是A的转置。则B的全部特征值为。
2．（20分）设 为一复数，且是 中某个非零多项式的根，令
。
证明：（1）在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式 ，使 整除J中每一多项式 ；
（2） 在Q上不可约。
3．（20分）设V为n维欧几里得空间， 为V的一个正交变换，令
。
（1）证明： 是V的子空间；
（2）证明Leabharlann 。4．（20分）设A，B为n阶实矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA。证明存在非零实系数多项式 ，使 。
5．（10分）设A，B，C为n阶方阵，满足条件BC= 0， 。证明：存在非零的n维列向量X，使AX=BX。其中 表示矩阵A的秩。
1．填空题（每小题8分，共80分）
西南大学
2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：数学各专业研究方向：所有方向
试题名称：高等代数试题编号：819
（答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效）
（7）设 ，则A的Jordan（若尔当）标准形为。
（8）设V为n维欧几里得空间（欧氏空间）， 为V中非零向量， 是关于 的反射变换，
（1）方程组 在复数域内的解是。
（2）行列式 的第一列元的代数余子式的和是。
（3） 。
（4） 。
（5）设A为3阶方阵，X为3维列向量，满足 ，若向量组X，AX，A2X线性无关，则 。
（6）设P为数域，f为线性空间P3的线性变换，使
。
则f的象空间Imf的维数是。