高等代数真题答案

12.
设
α1
=
⎜ ⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
−1⎟
,
α2
=
⎜ ⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
−1⎟
,
α3
=
⎜ ⎜ ⎜
4 −3
⎟ ⎟ ⎟
,
α
4
=
⎜ ⎜ ⎜
6
⎟ ⎟
−5 ⎟
, β1
=
⎜ ⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
−1⎟
,
β2
=
⎜⎜1⎟⎟ ⎜1⎟
,
β3
=
⎜ ⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
−1⎟
,
β4
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟
⎜ −1⎟
⎜⎜⎝ −1⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
姓名
学号
(高等代数习题册)
1
第六章习题册
1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域 R 上的线性空间?
(a) 集合{ f (x) ∈ R[x] | deg( f ) = n} 关于多项式的加法和数乘.
(b) 集合{A∈ M n (R) | AT = A}关于矩阵的加法和数乘.
(c)
集合{{xn
⎜⎝ 5 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝1⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
W1 = Span{α1, α2, α3, α4}, W2 = Span{β1,β2,β3,β4}, 请分别求W1 + W2 和W1 ∩W2 的一个基
姓名
学号
(高等代数习题册)
5
13. 设V1 = {(aij )n×n | aij = 0,1 ≤ i ≤ j ≤ n},V2 = {(aij )n×n | aij = −a ji ,1 ≤ i, j ≤ n}是矩阵空间 M n (R) 的两个子空间,
=
⎜ ⎜ ⎜
1 3
⎟ ⎟ ⎟
,
ε3
=
⎜ ⎜ ⎜
1 0
⎟ ⎟ ⎟
,
ε
4
=
⎜ ⎜ ⎜
1 1
⎟ ⎟ ⎟
,
ξ
=
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
⎜3⎟
⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 0⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 1⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 4⎟⎟⎠
姓名
学号
(高等代数习题册)
4
10. 求一个非零向量 ξ, 使得它在基 (ε1, ε2, ε3, ε4 ) 下的坐标和它在基 (η1, η2, η3, η4 ) 下的坐标相同, 这里
(b) Span(S1 ∪ S2 ) = Span(S1) + Span(S2 ) .
(c) Span(S1 ∩ S2 ) ⊆ Span(S1) ∩ Span(S2 ) .
姓名
学号
(高等代数习题册)
3
6. 如果 f1, f2, f3 是实数域上一元多项式全体所成的线性空间 R[x] 中三个互素的多项式, 但其中任意两个 都不互素, 那么它们线性无关.试证之.
⎛ 2 ⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞
ε1, ε2, ε3, ε4 与第9题相同,
η1
=
⎜ ⎜ ⎜
−1⎟⎟ 2⎟
,
η2
=
⎜ ⎜ ⎜
1 2
⎟ ⎟ ⎟
,
η3
=
⎜ ⎜ ⎜
2 1
⎟ ⎟ ⎟
,
η4
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜1⎟
⎜⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 1⎟⎟⎠
⎛ 2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛1⎞
}∞ n=0
|
xn
∈
R}
关于数列的加法和数乘.
2. 设V 是数域 F 上的线性空间, 证明 k(α − β) = kα − kβ , 这里 α,β ∈V , k ∈ F.
姓名
学号
(高等代数习题册)
2
3. 下述集合是否是 M n (R) 的子空间
(a) V = {A∈ M n (R) | AT = − A}
7. 设 S 是数域 F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α 是V 中一个向量, α ∉ S , 则 S ∪{α} 线性相关充 分必要条件 α ∈ Span(S) .
8. (a) 证明{Eij + E ji | (i ≤ j)}是 M n (F ) 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基.
⎛0 1 0⎞
姓名
学号
(高等代数习题册)
6
16. 设 ( A1, A2, A3) 和 (B1, B2, B3) 是矩阵空间 M 2 (R) 的子空间V 的两个基, 其中
A1
=
⎛1 ⎜⎝1
0⎞ −1⎟⎠
,
A2
=
⎛0
⎜ ⎝
−1
1 0
⎞ ⎟ ⎠
,
A3
=
⎛1
⎜ ⎝
0
1⎞ 0 ⎟⎠
15. R4 中, 求由基 (α1, α2, α3, α4 ) 到基 (β1,β2,β3,β4 ) 的过渡矩阵, 并求向量 ξ 在指定基 (α1, α2, α3, α4 ) 下的坐 标 . 其 中 α1 = (1,1,1,1), α2 = (1,1, −1, −1), α3 = (1, −1,1, −1), α4 = (1, −1, −1,1); β1 = (1,1, 0,1), β2 = (2,1,3,1), β3 = (1,1, 0, 0), β4 = (0,1, −1, −1). ξ = (1, 0, 0, −1) .
证明V1 ≅ V2
14. 设 g1 = 2x3 − 2x + 2, g2 = x3 − 3x2 − x + 3, g3 = 2x3 + 2x2 − 2x, 是 F[x] 的 子 空 间 V 一 个 基 , f1 = x3 + 2x +1, f2 = x3 − x + 2, f3 = 2x2 + x . 请问 f1, f2, f3 中哪些是属于V , 哪些是不属于V , 如果属于请给 出它在基 (g1, g2, g3) 下的坐标.
(b).
求 M3(F)
的子空间{ f (A) | f (x) ∈ F[x]}
的一个基和维数,
这里
A
=
⎜ ⎜
0
0
1
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
⎛1⎞ ⎛2⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞
9.
在 R4 中,
求向量 ξ 在基 (ε1, ε2, ε3, ε4 ) 下的坐标,
其中
ε1
=
⎜ ⎜ ⎜
1 0
⎟ ⎟ ⎟
,
ε
2
11.
在 R4 中,
求由向量
α1
=
⎜ ⎜ ⎜
1 3
⎟ ⎟ ⎟
,
α
2
=
⎜ ⎜ ⎜
2 0
⎟ ⎟ ⎟
,
α3
=
⎜ ⎜ ⎜
1 −3
⎟ ⎟ ⎟
,
α
4
=
⎜⎜1⎟⎟ ⎜1⎟
所张成的子空间的一个基与维数
⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝1⎟⎟⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛ −1⎞ ⎛1⎞ ⎛ −3⎞ ⎛ 1 ⎞
(b) V = { f ( A) | f (x) ∈ R[x]}, 这里 A∈ M n (R) 是一个固定方阵.
4. 叙述并证明线性空间V 的子空间W1 与W2 的并W1 ∪W2 仍为V 的子空间的充分必要条件.
5. 设 S1 与 S2 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当 S1 ⊆ S2 时, Span(S1) ⊆ Span(S2 ) .