高等代数试题及答案

合集下载

《高等代数》多项式试题库

�
(1 �
i)x 2
� 1 ;(vi) 1 �
1 2!
x
�
1 3!
x3
��
1 n!
xn
��
;
其中
是
多项式.
3. 零多项式是
, 零次多项式是
.
n
m
4.
� � 设多项式 f ( x) � ai x i , g ( x) � bi x i
i �1
i �1
,
则 f (x)g(x) 的 k 次项系数
二证明题
1. 证明 x f k (x) 的充分必要条件是 x f (x) .
2. 证明 . x 8 � x 7 � x 5 � x 4 � x 3 � x � 1 x 12 � x 9 � x 6 � x 3 � 1
3. 证明 x d �1 整除 x n �1 的充要条件是 d n .
4. 证明, 若 x 3 � x 2 � x � 1 f ( x 4 ) � xg (x 4 ) � x 2 h(x 4 ) ,则 x � 1 同时整除 f ( x), g ( x), h( x) . 与例 2 联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.
(C)若 g (x) Q f (x) ,则 g ( x) R f ( x) ;(D)若 g (x)� R f (x) ,则 g ( x)� q f ( x) .
3. 设 p(x) f (x), p(x) g (x) ,则 p( x) 整除于
.
① f ( x) � g ( x) ;② f 2 ( x) � g 2 ( x) ;③ f ( x) g ( x) ;④ f 3 (x) � g 3 (x) .
a2 � b2 n

高等代数试题及参考答案

高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数一考试试卷一、单选题每一小题备选答案中,只有一个答案是正确的,请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中.错选、多选、不选均不给分,6小题,每小题4分,共24分 1. 以下乘积中是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是 .A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵,若AB O =,则正确的是 . A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中,线性无关的是 .A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα,其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα,其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<,则A 中 .A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题正确的打√,错误的打×,5小题,每小题2分,共10分.1．若A 为n 阶矩阵,k 为非零常数,则kA k A =. 2．若两个向量组等价,则它们包含的向量个数相同. 3．对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变. 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. 5．任何数域都包含有理数域. 三、填空题每空4分,共24分.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-,则α= ,(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦,则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解,其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ,则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,则1A B -= . 四、计算题4小题,共42分1．计算行列式1111111111111a a a a；2111116541362516121612564.每小题6分,共12分2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.10分3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.10分4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.10分一、单选题每题4分,共24分二、判断题每题2分,共10分三、填空题每空4分,共24分1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2． 20；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题共42分1．12分,每小题各6分 1解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............3分31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................3分注：中间步骤形式多样,可酌情加分 2解：222233331111111116541654136251616541216125641654=,此行列式为范德蒙行列式 ......3分进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......3分2．10分解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ ..................3分得同解方程组取45,x x 为自由未知量,得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩其中45,x x 为自由未知量将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................3分用同样初等变换,得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量,得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩,将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............3分所以,原方程组的全部解为01122k k γηη++,12,k k 为数域P 中任意数. ............1分注：答案不唯一,但同一齐次方程组的基础解系必等价. 3．10分解：因123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-是线性无关向量组,现将 123,,ααα正交化,令11βα=,αβαββαββββββ-=--=-----=-313233121122(,)(,)814(3,5,1,1)(1,1,1,1)(0,2,1,3)(,)(,)414(1,1,2,0)............................6分再将向量组123,,βββ单位化,得βγβ==1111111(,,,)2222,βγβ==--2222,1,3)14,βγβ==-3332,0)6. 即123,,γγγ就是与123,,ααα等价的正交单位向量组. ....................4分注：答案不唯一. 4．10分解：A 的特征多项式为所以A 的特征值为1,2-2重. ....................4分1λ=-对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1101η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 11k η10k ≠为A 的属于特征值1-的特征向量； .................3分2λ=对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1144231,001ηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2233k k ηη+23,k k 不同时为零为A 的属于特征值2的特征向量. ...............3分注：答案不唯一.。

高等代数期末试题及答案

高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。

求解该线性方程组的解。

1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。

令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。

选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。

高等代数专升本试题及答案

高等代数专升本试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 2; 2 4]D. [1 0; 0 1]答案：D2. 设A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1, 2, 3，则A的平方的特征值为？A. 1, 4, 9B. 0, 4, 9C. 1, 2, 3D. 0, 1, 4答案：A3. 线性空间V的维数是指：A. 基的大小B. 线性无关向量组中向量的最大个数C. 线性相关向量组中向量的最大个数D. 向量空间中向量的最大个数答案：A4. 以下哪个是线性变换？A. f(x) = x^2B. f(x) = x + 1C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)答案：B5. 线性方程组的解集是：A. 向量B. 矩阵C. 线性空间D. 集合答案：C6. 矩阵A的迹（trace）是：A. A的行列式B. A的逆矩阵的行列式C. A的主对角线元素之和D. A的转置矩阵答案：C7. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大个数B. 矩阵中非零列的最大个数C. 矩阵中线性无关行向量的最大个数D. 矩阵中线性无关列向量的最大个数答案：D8. 以下哪个不是向量空间？A. 所有实数向量B. 所有复数向量C. 所有实数矩阵D. 所有实数多项式答案：C9. 矩阵的行列式可以用来判断：A. 矩阵是否可逆B. 矩阵的特征值C. 矩阵的秩D. 矩阵的转置答案：A10. 以下哪个是线性无关的向量组？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 0]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 0], [0, 0]答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 矩阵的转置是将矩阵的行和列________。

答案：互换12. 线性方程组的增广矩阵中，________是增广项。

答案：最后列13. 如果向量组线性相关，则存在不全为零的标量使得它们的线性组合为零向量。

高等代数试题

复习提纲一、填空题1. 设B A ,是两个n 级对角矩阵，则乘积AB 是2. 实二次型()()31212322213212212,,x x x kx x k x x x x x f ++-++=为正定二次型，则k 的取值范围为3. 如果把复数域看作实数域上的线性空间，那么这个空间的维数是4．设q p ,是两个实数，在2R 中对于向量),(),,(2121b b a a ==βα，规定内积为2121),(b qb a pa +=βα，使2R 构成欧氏空间的充要条件是5．设βα,是欧氏空间V 中两个线性无关的向量，则|),(|βα ||||βα∙ . 6．在2R 中，对于向量()()2121,,,b b a a ==βα规定内积为()221153,b a b a +=βα ，则基()()1,0,0,121==e e 的度量矩阵为7．设A 是实对称矩阵，且E A =2，则A 是矩阵.已知二次型31212322212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定二次型，则t 的取值范围是 .8．设有3R 的子空间(){}R b a b a b a W ∈=+=,,20,,，则W 的维数= .9. 设()()1,1,2,121-==εε与()()1,0,0,121==ηη是2R 中的两组基，则从基21,ηη到基21,εε的过渡矩阵为，向量()2,3-=α在基21,εε下的坐标为，设线性变换A i i ηε=()2,1=i , 则A 在基21,εε下的矩阵为 .10. 在欧式空间4R 中，已知向量()()3,2,2,1,1,5,1,3==βα，则内积()βα,= ，两向量的夹角β,= .11. 设3R 的子空间(){}R x x x x x W ∈+=21221,,0,2，维()=W ，W 的一组基为 .12. 已知二次型3231212322214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=是正定二次型，则t 的取值范围是 .13. 设()()1,1,2,121-==εε与()()1,0,0,121==ηη是2R 中的两组基，则从基21,εε到基21,ηη的过渡矩阵为，向量()2,3-=α在基21,εε下的坐标为，设线性变换A i i ηε=()2,1=i , 则A 在基21,εε下的矩阵为 . 14. 在欧式空间4R 中，已知向量()()2,1,1,1,1,1,0,1-=-=βα，则两向量的夹角βα,= .15. 在2P 中，已知两组基：()()1,1,2,121-==εε与()(),1,0,3,121=-=ηη则基21,ηη到基21,εε的过渡矩阵为，向量()0,1=α在基21,εε下的坐标. .16. 设3R 中有两个线性变换()()0,,,,323211a a a a a =A ，()3212,,a a a A()33221,,a a a a a ++=，则()()=A -A 32121,,a a a ，()()=A ∙A 32121,,a a a .17. 设B A ,是两个n n ⨯矩阵，若B A ~，则A B ，2A 2B .18. 设3R 中有两个线性变换()()0,,,,323211a a a a a =A ，()3212,,a a a A()33221,,a a a a a ++=，则()()=A +A 32121,,a a a ，()()=A -3211,,2a a a ，()()=A ∙A 32121,,a a a线性变换()21A ∙A 在基()0,0,11=e ，()0,1,02=e ，()1,0,03=e 下的矩阵为 .19. 设矩阵A 满足O A A =-42，则A 的特征值是 .20. 设3,1,1-是33⨯矩阵A 的特征值，则3254E A A --= .21. 设q p ,是两个实数，在2R 中对于向量),(),,(2121b b a a ==βα，规定内积为2121),(b qb a pa +=βα，使2R 构成欧氏空间的充要条件是，找出2R 的一组标准正交基 .二、判断题：1. 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.2. 设A 为n 阶实对称矩阵，0>A ，则存在实的n 维向量O X ≠0，使000>'AX X .3. 正定二次型()321,,x x x f 的规范形是232221x x x ++.4. 设4321,,,αααα是线性空间V 的一组向量，则(L ),,,4321αααα),(),(4321ααααL L ⊕=.5. 设A 是线性空间V 的线性变换，V ∈βα,，若βαA =A ，则βα=.6. 设A 是线性空间V 的线性变换，ξ与η是A 的两个特征向量，则ηξ+也是A 的特征向量.7. 设A 是复数域C 上的n 维线性空间V 的线性变换，则总可以找到V 的一组基，使A 在这组基下的矩阵是对角矩阵.8. 对任意实对称矩阵A ，总能找到正交矩阵T ，使AT T 1-为对角矩阵.9. 设V 是n 维线性空间，A 是V 上的线性变换，则V A AV =+-)(1θ.10. 任意两组标准正交基间的过渡矩阵是正交矩阵.11. 设4321,,,αααα是空间V 的向量，θαααα=-+-43212345，则),(),(4321ααααL L =.12. 设两个n 级矩阵A 与B 有相同的特征多项式，则A 与B 合同. 13. 在复数域上三元二次型的规范形为()232221321,,x x x x x x f ++=.14. 全体复数可看成实数域上的二维向量空间.15. 21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间.16. 次数等于n 的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间. 17. 在线性空间V 中，设αξ=A ，其中V ∈α是一固定的向量，则A 是线性空间V的线性变换.18. 设A 是线性空间V 的线性变换，ξ与η是A 的属于两个不同特征值的特征向量，则ηξ+也是A 的特征向量.19. 设A 是一个n 级正定矩阵，而(),,,,21n x x x =α(),,,,21n y y y =β在n R 中定义内积()βα,为()T A βαβα=,，则nR 是一欧式空间.20. η是欧式空间V 中一单位向量，定义()ηαηαα,-=A ，则A 是正交变换. 21. 任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级对角形矩阵T ，使T 与A 既合同又相似.22. 三元正定二次型的规范形为()232221321,,x x x x x x f ++=. 23. 全体复数可看成复数域上的一维向量空间.24. 21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间.25. 在线性空间V 中，设αξ=A ，其中V ∈α是一固定的非零向量，则A 是线性空间V 的线性变换.26. η是欧式空间V 中一单位向量，定义()ηαηαα,3-=A ，则A 是正交变换.. 27. 实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是A 合同于单位矩阵. 28. 全体复数可看成实数域上的二维向量空间.29. 设n ααα,,,21 是欧式空间V 中的一组基，如果V ∈β且满足()0,=i αβ()n i ,,2,1 =，则O=β.30. 在[]x R 3中定义内积为()()()()()dx x g x f x g x f ⎰-=11,，则31,,12-x x 是 []x R 3的一组标准正交基.31. 设(){}F b a b a V ∈=,,，现取加法为通常的加法，而数量乘积重新定义为：()()kb a b a k ,,= ，则V 关于加法与新定义的数量乘积是F 上的线性空间. 32. 数域F 上的n 元线性方程组的解集合是nF 上的子空间.33. 设21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间. 34. 设4321,,,αααα是线性空间V 的一组向量，且满足=-+-43212345αααα，则()()432321,,,,ααααααL L =.35. 设(){}F b a b a V ∈=,,，对V 定义两种运算：()()()k d b c a d c b a ,,,,++=⊕⊙()()kb a b a ,,=，则V 关于加法和数量乘积是F 上的向量空间. 36. (){}F b a b a b a ∈+,,,是3F 的子空间.37. (){}F a a a ∈3,,1是3F 的子空间.38. nF 中，设n εεε,,,21 是n 维单位向量组，则=nF（n εεε,,,21 ）.39. 设(),,F T F Mat S n n ==⨯令()S A A A ∈=,σ，则σ是从S 到T 的一个线性变换.三、解答题1. 已知实二次型313221321),,(x x x x x x x x x f ++=（1）试用矩阵乘积的形式表示f ；（2）试求非退化线性替换化f 为标准型.2. 设22,,1x x x x ++是线性空间3][x R 的一组基，求2231x x +-在这组基的坐标.3. 设3P 中定义线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101110211A ，计算（1）V A 与A 的秩；（2）()O 1-A 与A 的零度4. 在线性空间3P 中，给出两个向量组⎩⎨⎧=-=)1,1,1()0,1,1(21αα； ⎩⎨⎧--=-=)1,1,1()0,3,1(21ββ求),(),(2121ββααL L +与),(),(2121ββααL L 的基与维数5. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=312132220A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）求可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.6. 在欧氏空间4R 中，求与)0,4,1,1(--=α，)2,2,1,1(=β，)4,5,2,3(=γ都正交的单位向量.7. 已知实二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形. 8. 设A 是线性空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）问A 是否可对角化？若不可对角化，则说明理由；若可对角化，则求出可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.9. 已知齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-+=-+-+0032532154321x x x x x x x x x ，求（1）一个基础解系；（2）解空间的一组标准正交基. 10. 设(){}0,,3213211=++=x x x x x x V ，(){}R y y V ∈=,0,02 证明：（1）1V 是3R 子空间；（2）证明213V V R ⊕=.11. 已知实二次型32312123222132148455),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形.12.设A 是线性空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）问A 是否可对角化？若不可对角化，则说明理由；若可对角化，则求出可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.13. 设(){}0,,3213211=++=x x x x x x V ，(){}32132122,,x x x x x x V ===，证明：（1）1V 是3R 子空间；（2）证明213V V R ⊕=. 14. 已知实二次型323121232232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形. （3）()321,,x x x f 的正、负惯性指数及符号差. 15. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=312132220A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）求可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵；（3）写出V 的一组标准正交基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵. 16.设（1）证明21,v v 是3R 子空间；（2）证明213v v R ⊕=。

延安大学继续教育学院二零二二年高等代数期末考试试题及答案

延安大学继续教育学院二零二二年高等代数期末考试试题及答案注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2A x x x B=--<=-，则{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

大学_高等代数模拟试题及答案

高等代数模拟试题及答案高等代数模拟试题及答案(一)26.如果矩阵rankAr,则 ( )A. 至多有一个r阶子式不为零;B.所有r阶子式都不为零C. 所有r1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零;D.所有低于r阶子式都不为零27. 设A为方阵，满足AA1A1AI，则A的行列式|A|应该有 ( )。

A. |A|0B. |A|0C. |A|k,k1D. |A|k,k128. A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA ( )。

A. kA;B. kA;C. knAD. |k|nA29. 设A、B为n阶方阵，则有( ).A.A，B可逆，则AB可逆B.A，B不可逆，则AB不可逆C.A可逆，B不可逆，则AB不可逆D.A可逆，B不可逆，则AB不可逆30. 设A为数域F上的n阶方阵，满足A2A0，则下列矩阵哪个可逆( )。

2A.AB.AIC.AI DA2I31. A,B为n阶方阵，AO，且R(AB)0，则( )。

A.BO;B.R(B)0;C.BAO;D.R(A)R(B)n32. A，B，C是同阶方阵，且ABCI，则必有( )。

A. ACBI;B. BACI;C.CABID. CBAI33. 设A为3阶方阵，且R(A)1，则( )。

A.R(A__)3;B.R(A__)2;C.R(A__)1;D.R(A__)034. 设A,B为n阶方阵，AO，且ABO，则( ).A.BOB.B0或A0C.BAOD.ABA2B2 20040000035. 设矩阵A1000，则秩A=( )。

00000200A.1B.2C.3D.436. 设A是mn矩阵，若( )，则AXO有非零解。

A.mn;B.R(A)n;C.mnD.R(A)m37. A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是( )。

A.ABOAO且BO;B. A0AO;C.AB0AO或BO;D. AI|A|1高等代数模拟试题及答案(二)38. 设A为n阶方阵，且RAr<n，则a中( p="">A.必有r个行向量线性无关B.任意r个行向量线性无关C.任意r个行向量构成一个极大无关组D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示39. 设A为34矩阵，B为23矩阵，C为43矩阵，则下列乘法运算不能进行的是( )。

高代一期末考试试题及答案

高代一期末考试试题及答案高等代数一期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性变换C. 矩阵D. 微积分2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中线性无关行的最大数量D. 矩阵中线性无关列的最大数量3. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 所有选项都是4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯形矩阵D. 非方阵5. 特征值和特征向量的计算与下列哪个矩阵运算相关？A. 矩阵的加法B. 矩阵的乘法C. 矩阵的转置D. 矩阵的行列式二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个向量空间 \( V \) 的基 \( B \) 包含 \( n \) 个线性无关向量，则 \( V \) 的维数为 _______。

7. 若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是 \( n\times p \) 矩阵，则 \( AB \) 是 _______ 矩阵。

8. 线性变换 \( T: V \rightarrow W \) 的核是所有满足 \( T(v) = 0 \) 的向量 \( v \) 的集合，记为 _______。

9. 矩阵 \( A \) 与 \( B \) 相等，当且仅当它们具有相同的_______。

10. 一个 \( n \) 阶方阵的迹是其对角线上元素的 _______。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个线性无关向量组的例子。

12. 描述矩阵的行列式计算的几何意义。

13. 说明如何使用高斯消元法求解线性方程组。

14. 什么是特征值分解？它在哪些领域有应用？四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明如果矩阵 \( A \) 可逆，则 \( A \) 的行列式不为零。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

. .
中国海洋大学 2007-2008学年第2学期期末考试试卷
112
3
1n n
n a a a a a -⎤⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的循环矩阵的集合，的子空间.
BA
. 1λ
授课教师命题教师或
命题负责人签字年月日院系负责人签
字年月日
共 2 页第 2 页
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年第X 学期期末考试试卷
五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x .
六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,,是V 上的线性变换，且=
.
证明:
的值域与核都是
的不变子空间.
七(10分)设2n 阶矩阵a
b a b A b a
b
a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足
()()0p f q f =(零变换)
求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f
S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年第2学期期末考试数学科学学院《高等代数》试题(A 卷)答案
一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√
二.解：A =⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111111，
3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量：
11111
,,,)'2222α＝(
，2α＝，
3α＝
，4'6662α--＝(-.
所以正交阵1
2612
610210
2
2T ⎡-⎢⎢⎢⎢-⎢
⎥=⎢⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
而40'00T AT ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 三.证：(1) ,.A B M ∀∈ 验证,A B kA M +∈即可.
(2) 令1101
01
0011
0n E D E -⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎛⎫
⎢
⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，D 为循环阵， 00n k k k
E D E -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，(k E 为k 阶单位阵) 则2
1,,
,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.
且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++
++，令112(),n n f x a a x a x -=++有
()A f D =.
B M ∀∈，必P ∃上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真.
()()()()AB f D g D g D f D BA ∴===
(3)由上可知：2
1,,,
,n E D D D -是M 的一组基，且dim M n =.
四.解：A 的行列式因子为3
3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==.
所以，不变因子为3
3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3
(2)λ+，
因而A 的Jordan 标准形为21212J -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
五．证："":()()()
()()()0f x g x q x f A g A q A ⇐=∴==
""⇒：()0,()0f A g A ==
设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ∂<∂. 所以0()()()()f A g A q A r A =+＝, 因而()0r A =. 因为()g x 为最小多项式，所以()0r x =.()|()g x f x ∴. 六．证：在的核0V 中任取一向量ξ，则
()()()()00ξξξξ→
→
====
=
所以ξ在下的像是零，即0V ξ∈．即证明了0V 是
的不变子空间．
在
的值域V 中任取一向量η，则
()()V ηη=∈.
因此，V 也是的不变子空间．
综上，的值域与核都是的不变子空间．
七．解：22
()n
E A a b λλ⎡⎤-=--⎣⎦
当0b =时，由于A aE O -=，()A m x x a ∴=-
当0b ≠时，由于22
()A aE b E O --=，22()()A m x x a b ∴=--
八．证：先证V W S =+，显然，W S V +⊂
(),()p x q x 互素，(),()[],u x v x p x ∴∃∈使得()()()()1u x p x v x q x +=
()()()()u f p f v f q f ε∴+=（单位变换） ,()()()()V p f u f q f v f αααα∀∈+= 设111()(),()()()[()]0q f v f p f p f q f v f W ααααα→
===∴∈ 222()(),
()()()[()]0p f u f q f q f p f u f S ααααα→
===∴∈
V W S V W S ∴⊂+∴=+
再证：W S +是直和
,()0,()0
()()()()0{0}W S p f q f u f p f v f q f W
S V W S
αααααα→
→
→
→
∀∈==∴=+=∴=∴=⊕。