二次型与二次曲面
第7章 二次型与二次曲面
2 4
1 2 A= 0
T
0 0 −3
矩阵是对角矩阵
令 X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , 则 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = X A X
T
类似我们所考虑过的几何问题，我 们讨论在矩阵为Q的线性变换，即
定理 2.1
A 为正交矩阵的充要条件为
AT A = I. (2.4)
立则 证 ： 证 分 ， (2.4) 成 ， 明 先 充 性若
AX − AY = [ A( X −Y)]T A( X −Y) = ( X −Y)T AT A( X −Y) = ( X −Y)T ( X −Y)
2
= X −Y .
2
充分性得证。
x1 = q11y1 + q12 y2 +L+ q1n yn , x = q y + q y +L+ q y , 2 21 1 22 2 2n n
LLLL x = q y + q y +L+ q y n n1 1 n2 2 nn n
T
(1.7)
的作用下，二次型 f = X AX 会变成什么样子。
1 1 A= 0 0
2 3 0 3 0 −2 0 −2 −3
T
1
0
0
令 X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , 则 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = X A X
T
例1.2
解
写出二次型的矩阵和矩阵表示式：
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = x + 2 x − 3x
二次型与二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例5. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 解: f = x123x222x1x26x2x3+2x1x3 = [x12 2x1(x2 x3) + (x2 x3)2] (x2 x3)2 3x22 6x2x3 = (x1 x2 + x3)2 (2x2 + x3)2 = y12 y22
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形 1. 矩阵的合同 A与B相合或合同 (记为 A B): 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. ETAE = A
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形 1. 矩阵的合同 A与B相合或合同 (记为 A B): 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. (3) 对称性: A B B A. PTAP = B (P 1)TBP 1 = A
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
回忆
定理5.7. AT = A Mn(R) 正交矩阵Q使得 Q1AQ = QTAQ是对角矩阵.
|EA| = 0 特征值 正交化 (EA)x = 特征向量
Q
单位化
定理6.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
最大值为4, 最小值为2.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
3. 用配方法化二次型为标准形
二次型与二次曲面
第七章 二次型与二次曲面二次型的定义定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式()ji ij n i nj j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==1121称为n 元二次型或二次形式。
当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。
例：()3221213213x x x x x ,x ,x x Q +-=例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-=()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n nnn n n n n nn n n ji ij n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 212122221112112122211222222122111211221111121令()()TijTn A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q Tn = 21，称A 为二次型的矩阵。
()x x x x x x x ,x ,x x Q T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=02302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且r (A )=n .()∑∑===n i nj j i ij n x x |A|A ,x ,,x x Q 1121矩阵的相合设n n ,β,,ββ,,α,,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即()()P ,α,,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为()()Tn Tn ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121==则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）：x P y Py x 1-==或。
第六章 二次型与二次曲面
a21 x2 x1 a x
+
2 22 2
an1 xn x1 an 2 xn x2 x1 (a11 x1 a12 x2 x2 (a21 x1 a22 x2 xn (an1 x1 an 2 x2
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 , , xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn a1n x1 a11 a12 a21 a22 a2 n x2 ( x1 , x2 , , xn ) ann xn an1 an 2 二次型的矩阵表达式：f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX 实对称矩阵A : 二次型 f 的矩阵 二次型 f : 实对称矩阵 A 的二次型
Q Y,
xn )
X
T
AX，
使得
2 n yn
X T AX Y T (QT AQ)Y 1 y12 Q 的 n个列向量是A的对应于1 ,
, n为 实对称矩阵 A的n个 特征 值； , n的n个单位正交
例 将二次型
2 2 f 17 x12 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
配方法
例 化二次型
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x 2 2 x1 x3 6 x 2 x 3
为标准形, 并求所用的变换矩阵 .
含有平方项
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 2 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 x1 5 x3 6 x2 x3 2 2 2 x 2 x x 2 x x 1 1 2 1 3 x2 x3 2 x2 x3 2 2 2 2 5 x3 6 x2 x3 x2 x3 2 x2 x3 2 x2 2 x1 x 2 x 3 2 2 2 2 x2 x3 2 x2 x3 2 x2 5 x3 6 x2 x3
二次型与二次曲面的关系
二次型与二次曲面的关系1. 引言1.1 概述二次型与二次曲面是数学中重要的概念，它们在代数和几何中发挥着重要的作用。
二次型是一类与二次多项式相关的函数形式，而二次曲面则是由二次方程定义的特定类型的曲线。
本文将探讨二次型与二次曲面之间的关系，并研究它们的特征和性质。
1.2 研究背景随着代数学和几何学的发展，人们对于函数和曲线的研究越来越深入。
而对于二次型和二次曲面的分析更是成为了这个领域中不可忽视的一部分。
通过研究二次型与二次曲面之间的联系，我们可以深入理解它们各自所具有的特征，并且可以推广到更为复杂和抽象的情况。
1.3 目的与意义本文旨在介绍并探讨二次型和二次曲面之间存在的联系，以及它们各自所具有的特征和性质。
通过对这两个概念进行详细阐述和比较分析，读者将能够更加全面地理解它们在数学中的重要性和实际应用。
此外，文章还将对可能未涉及到的研究方向进行简要展望，以期激发更多的学者和研究者对该领域问题的兴趣和探索。
2. 二次型的基本概念:2.1 二次型的定义:在线性代数中，二次型是指包含平方项和交叉乘积项的多元变量的多项式。
具体而言，对于$n$个变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$，一个二次型可以表示为如下形式的多项式：$$Q(x)=a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3+\ldots+ 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$a_{ij}$是实数系数$(i,j=1, 2, ..., n)$。
二次型可以看作是一个与欧几里得空间中的点对应的实值函数。
它在数学和工程领域中具有广泛的应用，在统计学、物理学、经济学等学科中也有重要意义。
2.2 二次型矩阵表示:每个二次型都可以通过一个对称矩阵来表示。
对于给定的$n$维向量$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，可以将其与一个对称矩阵$\mathbf{A}$相乘得到相应的二次型：$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} $$其中，$\mathbf{A}$的元素$a_{ij}$表示二次型中$x_i$和$x_j$的系数。
线性代数二次型与二次曲面4
若二次曲面的方程不是标准方程，要通过 正交变换和平移变换把一般二次方程化为 标准方程，从而知道其图形。
第六章 二次型与二次曲面
一般三元二次方程的化简
§6.4 二次曲面
a1114x
244a224y
2
4
4a343
z43 422a412
z2 c2
=
1
z = 0,
x2 a2
+
y2 b2
=
1
双曲线 椭圆
b x aO y
z = h,
x2 a2
+
y2 b2 =
1+
h2 c2
第六章 二次型与二次曲面
双叶双曲面
§6.4 二次曲面
x2 a2
+
y2 b2
z2 c2
= 1 (a>0, b>0, c>0)
z
x = 0,
y2 b2
z2 c2
21 0 解: f(x, y, z)的矩阵A = 1 1 k/2 ,
0 k/2 1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
上述方程表示一个椭球面A正定,
而P1 = 2 > 0,
P2 =
2 1
1 1
=
1
>
0,
P3 = |A| = 1k2/2.
由此可得, 2 < k < 2 时, 原方程表示一
个椭球面.
二次型
x4y4
24a143
x4z
4
24a2343yz
二次型与二次曲面
f = 4y12 +4y22 2y32.
x12+x22+x32 = 1 可化为y12+y22+y32 = 1, 此时 f = 4y12 +4y22 2y32
= 4(y12 +y22 +y32) 6y32 = 4 6y32 = 6(y12 +y22) 2(y12 +y22 +y32) = 6(y12 +y22) 2 最大值为4, 最小值为2.
§6.1 二次型
f(x1, x2, …, xn) = xTAx
x = Qy (Qy)TA(Qy) = yT(QTAQ)y
1 0 … 0 y1
= (y1, y2, …, yn)
0 …
2
…
…0 ……
y2 …
0 0 … n yn
= 1y12 + 2y22 + … + nyn2
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
]
3
x32
4
x12
3(
x22
2 3
x2
x3
1 9
x32
)
8 3
x32
4
x12
3(
x2
1 3
x3
)2
8 3
x32
令
y1 y2
x1 x2
1 3
x3
则 f =4y12+3y22+(8/3)y32.
y3 x3
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例4. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3
二次型与二次曲面
.
例２ 将二次型 f x1x2 x3 x4 写成矩阵形式. 解：f 是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵
0 1 2 A 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 , 1 2 0 x1 x2 X x3 x4
的特征值全大于 ，使
是实二次型，由定理7.1知 正交变换
由定理7.3知， 正定 推论7.2 实二次型 证 维实向量 所以 是正定二次型. 已知 是正定二次型，由推论7.1知， 正交阵 ，使 正定 实可逆阵 使， 可逆， . .
， 其中
.
令
， 则
所以 由 可逆及 可逆，知 可逆.
定理7.4 实对称阵 为正定的 于零. 即
（1）可变为 X CY . 但不惟一. （2） 当C 是可逆阵时. （1）式是可逆线性变换.
注1º 的秩 f 的标准形中系数不为0的 平方项的个数. 2º任一个实二次型都可通过可逆线性变换化为标准形. 元二次型的标准形不惟一，有三种方法化标准形. 7.2.1 用正交变换化实二次型为标准形 对于实二次型，最实用的方法是正交变换法，即所作的 可逆线性变换中可逆矩阵 不只是可逆，还是正交矩阵. 这个正交阵的存在是由实对称矩阵的性质决定的，值得注 意的是这种方法仅限于实二次型. 定理7.1 对 （不惟一） 元实二次型 ， 正交线性变换： ，使二次型 化为标准形. 是 的 个特征值.a22 A an1 an 2 a1n a 2n , aij a ji ann x1 x2 X xn
则二次型的矩阵形式为 f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX , A 为二次型 f 的矩阵, r ( A)为二次型 f 的秩． |~| 3．二次型 f A 对称阵 对应 注：讨论二次型问题，首要的问题是给定二次型能准确 地写出二次型的矩阵，反之，给定一个对称阵，会写出以 它为矩阵的二次型. 这里的关键概念是二次型的矩阵是一 个对称矩阵.
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第七章 二次型与二次曲面二次型的定义定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式()ji ij n i nj j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==1121称为n 元二次型或二次形式。
当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。
例：()3221213213x x x x x ,x ,x x Q +-=例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-=()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n nnn n n n n nn n n ji ij n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 212122221112112122211222222122111211221111121令()()TijTn A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q Tn = 21，称A 为二次型的矩阵。
()x x x x x x x ,x ,x x Q T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=02302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且r (A )=n .()∑∑===n i nj j i ij n x x |A|A ,x ,,x x Q 1121矩阵的相合设n n ,β,,ββ,,α,,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即()()P ,α,,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为()()Tn Tn ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121==则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）：x P y Py x 1-==或。
则()()()y AP P y APy Py Ax x αQ TT TT=== 称同一个二次函数()αQ 在不同基下所对应的两个二次型Ax x T 和()By y y AP P y T T T =是等价的。
定义：给定两个n 阶方阵A 和B ，如果存在可逆矩阵P ，使得B =P T AP ，则称B 与A 相合（或合同）。
性质：（1） 自反性：A 与自身相合；（2） 对称性：若A 与B 相合，则B 与A 相合； （3） 传递性：若A 与B 相合，B 与C 相合，则A 与C相合；结论：若矩阵A 与B 相合，则r (A )=r (B )，且与对称矩阵相合的矩阵也是对称矩阵。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200022022000140014400040004C ,B ,A 已知例 试判断A , B , C 中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同。
()满足关系则例设B A B ,A ,,00000000000000041111111111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=（1）合同且相似； （2）合同但不相似； （3）不合同但相似； （4）不合同且不相似。
二次型的标准形定义：形如()nn n x d x d x d αQ +++= 222211的二次型称为二次型的标准形。
主轴化方法（正交变化法）（适用于实二次型）定理（主轴定理）：任一实二次型()TT A A Ax x αQ ==其中,，存在正交线性替换x =Py ，其中P 是正交矩阵，使得()αQ 化为标准形：()nn n y y y αQ λλλ+++= 222211，其中n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值。
用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤： （1） 写出二次型的矩阵A （A 一定是实对称矩阵）； （2） 求矩阵A 的特征值，得n λλλ,,,21 ； （3） 求相应的特征向量；（4） 将特征向量作Schmidt 正交化，得到标准正交的特征向量；（5） 将这些向量按列排成矩阵，得到正交矩阵P ，这时有()n T AP P AP P λλλ,,,diag 211 ==-；（6） 写出可逆线性替换x =Py ，则有()nn n y y y αQ λλλ+++= 222211。
例：已知实二次型()()323121232221444x x x x x x x x x a αQ +++++=经正交变换x =Py 可化成标准形()216y αQ =，则a =？例：用主轴化方法将二次型()434232413121222222x x x x x x x x x x x x αQ ++--+=为标准形。
解：二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111101111011110A 其特征多项式为：()()311111*********+-=--------=-λλλλλλA λI 所以A 的特征值为()3121-==λ，三重根λ。
11=λ时，由()01=-x A I λ，求得三个线性无关的特征向量()()()T T T ,,,,,,,,,1001,0101,0011321-===ααα用施密特正交化方法求得三个标准正交向量为：TTT⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=123,121,121,1210,62,61,610,0,21,21321γγγ，， 32-=λ时，求得一个单位特征向量为T⎪⎭⎫⎝⎛--=21,21,21,214γ取正交矩阵： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=211230021121620211216121211216121P 则P T AP =diag(1,1,1,-3)T ,作正交变换x =Py ,得()()2423222133111y y y y y ,,,diag y APy P y Ax x αQ T T T T -++=-===配方法：（适用于任意二次型）例：用配方法将二次型()32312123222182252x x x x x x x x x αQ +++++=化为标准形。
()()()()()()()22211232323222323222123232322212323322584635Q αx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++-++++=+++++=++++-解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3213213332232111003101113x x x y y y xy x x y x x x y 即令Py y y y x x x yx y y x y y y x =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=⇒32132133322321110031021132即作可逆线性替换x =Py ,得()2322215y y y APy P y Ax x αQ TTT-+===100111112110124013231145001111112100013013010005001005-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭例：用配方法将二次型()312142x x x x αQ +=化为标准形。
⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=32132133212211100011011y y y x x x yx y y x y y x 即解：令 ()()()()()()()()23223123322223132312221321212122222442242y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y αQ --+=+--+=++-=++-+=则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=32132133322311*********即z z z y y y yz y y z y y z 令 则()222122z z αQ -=为所求的标准形。
所作的坐标变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321321321100211011100110101100011011100011011z z z z z z y y y x x x 定理：任意一个二次型都可以通过可逆线性替换化成标准形 矩阵的初等变换法定理：对每个实对称矩阵A ，存在初等矩阵s ,P ,,P P 21使得 ()n s T T Ts,d ,,d d P P AP P P P 212112diag =方法：先将二次型的对应矩阵A 写出，然后将单位矩阵写在A 的下面，构成一个()n n ⨯2阶矩阵，当列进行初等变换后，对行向量也进行相同的初等变换，则当A 变成对角阵时，I 就成了所作的变换矩阵。
例：用初等变换法将下列二次型()32312123222182252x x x x x x x x x αQ +++++=化为标准形。
()()()()()()2131332111100100124113013A 145134034I 100111111010010010001001001100100010010035005112112013013001001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪--→→⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝解：⎫⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭后，得到当作坐标变换令Py x P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=,100310211()2322215y y y αQ -+=即为标准形。
例：用初等变换法将下列二次型()xx αQ T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111112120化为标准形。
()()→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛↔10000101011110212110000101011112110210001000111111212012I A 解： 例：用初等变换法将下列二次型()xx αQ T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002001210化为标准形。
()()→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10001100100200121210001100100200121110001000100200121012I A 解： 惯性定理和二次型的规范形设()Q α为复二次型，它的秩为r ，其标准形为2221122r r d y d y d y +++ 其中,0,1,2,i i d C d i r ∈≠=，令1,1,2,,,1,,.i i i i y z i r y z i r n ⎧==⎪⎨⎪==+⎩则()22212r Q z z z α=+++------规范形定理：任意一个复系数二次型总可以经过一个适当的可逆线性替换化为规范形，且规范形是唯一的。