二次曲面2讲义009
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二次曲面2009
精品
§7.1 二次曲面
球面 柱面 锥面 旋转面 二次曲面 课堂练习
2 20.03.2021
本节主要讨论一些常见的曲面. 研究空间曲面方 程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状. 所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平 面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状， 然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌.
(x x 0 )2 (y y 0 )2 (z z 0 )2 R 2
若球心在坐标原点,则球面方程为:
x2 + y2 + z2 = R2
将上述方程展开得
x 2 y 2 z 2 2 x 0 x 2 y 0 y 2 z 0 z x 0 2 y 0 2 z 0 2 R 2
4 20.03.2021
球面的参数方程
z
1. 球心在原点
z P
P 0 P 和 Z 轴 正 向 的 夹 角Px 0
y
y
P 0P在 oxy坐 标 面 的 投 影
和 x轴 正 向 的 夹 角
x
x y zR R ssR iin n cosc so in s (0,02)
球心不在原点时
( x , y , z ) ( x 0 R s i n c o s , y 0 R s i n s i n , z 0 R c o s )5
在空间直角坐标系中，三元方程 F(x, y, z)=0 表示空间曲面，而
F x, y, z 0
G
x,
y,
z
0
则表示空间曲线.
3 20.03.2021
一、球面
与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面. 下面建立球心在点 P0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 .
空间中任一点 P(x, y, z) 在球面上,当且仅当 | P0 P | = R , 所以该球面方程为:
20.03.2021
曲面和曲线的参数方程
yxxy((uu,,vv)) zz(u,v)
(u,v)D
x y
x(t) y(t)
z z(t)
tI
例：求球面x2+y2+z2=5与平面z=1的交线C的方程。
x2 y2 z2 5 z 1
x2 y2 4 z 1
x y
2 2
cos sin
z 1
1
y2 b2
z2 c2
1;
4
x2 a2
z2 c2
1;
y
2x2y2 1;
5 xy0
z
3 x2 y0;
z
x
o y
y
z
y
x
xz
o
x
z
o y
x
10
20.03.2021
例：建立母线平行于C：x=y=z，且准线为
x2 + y2 + z2 = c x+y+z=0
的柱面方程。
M ( x ,y ,z ) L ,M 1 ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) L T
反之，柱面的准线不唯一。
7 20.03.2021
z 母线平行于z轴的柱面方程.
T:
f (x, y) 0 z 0
C :
x0 y0
CL
o
y
x 图1 T
求柱面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。
M 0 ( x 0 , y 0 , 0 ) T L , M ( x , y , z ) L xx0,yy0,z任 意
点M0。L称为锥面的母线，T称为锥面的准线， M0
称为锥面的顶点。
z
同理，锥面由准线顶点唯一决定， 并且锥面的准线不唯一。
o
y
x
求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。
12 20.03.2021
锥面方程的求解
求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。
T :
f (x, y) 0 z z1
M 0 (x0 , y0 , z0 )
13 20.03.2021
例子锥面的顶点在坐标原点，且准线为： x2 + y2 =1 z=c
(c为常数), 求锥面的方程 .
解：设 P(x, y, z) 为锥面上任一点,母线OP交准线于
点P1(x1, y1, z1), 则有
z
xyz, x1 y1 z1
x12y121,
z1c
消去参数 x1, y1, z1 可得 z2 = c2(x2 + y2)。o 锥面的参数方程：
M ( x ,y ,z ) L ,M 1 ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) L T xx0 yy0 zz0 x1x0 y1y0 z1z0
f(x 1 ,y 1 ) 0 ,x 0 ,y 0 ,z 0 ,z 1 已 知
x00,y00,z00 x1
z1x z
,
y1
z1y z
f (z1x, z1y)0 zz
y
xy u ucso insvv zcu
x
(u,0v2)
14 20.03.2021
四、旋转面
圆柱面可以看作由一条直线绕与它平行的另一条直
线旋转一周所成的曲面.一般地，由一条曲线L绕一
条定直线 l 旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面. 一般
例：设动点在一平面内做匀速圆周运动，角速度为
b,圆的半径为a;另一方面，该平面沿着与平面垂直的
方向做匀速直线运动,速率为v,求动点C运动的轨迹。P.241
6 20.03.2021
二、柱面
由一族平行直线形成的曲面叫做柱面。
T: 空间一条定曲线 ，称为柱面的准线。 C: 空间一条定直线 ，确定了柱面的方向。 动直线L始终平行于直线C并沿着曲线T移动而形成 的轨迹。动直线L称为柱面的母线。 注：柱面由准线T和定直线C的方向唯一确定。
因此该柱面方程中不含有z , 可设柱面方程为:
f (x, y) 0
8 20.03.2021
一般地,在空间直角坐标系中,方程 f(x , y)=0 (不含z), 表
示母线平行于z轴的柱面,它的一条准线为 f (x, y) 0 z0
方程 g(x , z)=0 (不含y), 表示母线平行于y轴的柱面,它
的一条准线为 g(x, z) 0 y0
方程 h(y , z)=0 (不含x), 表Leabharlann Baidu母线平行于x轴的柱面,它
的一条准线为 h(y, z) 0 x0
注：缺哪个自变量柱面就平行于哪个坐标轴。
二元二次方程为母线平行于坐标轴的柱面
9 20.03.2021
例：说明下列方程在空间直角坐标系中各表示什么曲面?
x x 1 t,y y 1 t,z z 1 t
(xt)2(yt)2(zt)2a2
xtytzt0
2 x 2 2 y 2 2 z 2 2 x y 2 y z 2 x z 3 a 2
11 20.03.2021
三、锥面
过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面.
动直线L沿定曲线T移动，并且L移动时始终经过动
精品
§7.1 二次曲面
球面 柱面 锥面 旋转面 二次曲面 课堂练习
2 20.03.2021
本节主要讨论一些常见的曲面. 研究空间曲面方 程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状. 所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平 面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状， 然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌.
(x x 0 )2 (y y 0 )2 (z z 0 )2 R 2
若球心在坐标原点,则球面方程为:
x2 + y2 + z2 = R2
将上述方程展开得
x 2 y 2 z 2 2 x 0 x 2 y 0 y 2 z 0 z x 0 2 y 0 2 z 0 2 R 2
4 20.03.2021
球面的参数方程
z
1. 球心在原点
z P
P 0 P 和 Z 轴 正 向 的 夹 角Px 0
y
y
P 0P在 oxy坐 标 面 的 投 影
和 x轴 正 向 的 夹 角
x
x y zR R ssR iin n cosc so in s (0,02)
球心不在原点时
( x , y , z ) ( x 0 R s i n c o s , y 0 R s i n s i n , z 0 R c o s )5
在空间直角坐标系中，三元方程 F(x, y, z)=0 表示空间曲面，而
F x, y, z 0
G
x,
y,
z
0
则表示空间曲线.
3 20.03.2021
一、球面
与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面. 下面建立球心在点 P0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 .
空间中任一点 P(x, y, z) 在球面上,当且仅当 | P0 P | = R , 所以该球面方程为:
20.03.2021
曲面和曲线的参数方程
yxxy((uu,,vv)) zz(u,v)
(u,v)D
x y
x(t) y(t)
z z(t)
tI
例：求球面x2+y2+z2=5与平面z=1的交线C的方程。
x2 y2 z2 5 z 1
x2 y2 4 z 1
x y
2 2
cos sin
z 1
1
y2 b2
z2 c2
1;
4
x2 a2
z2 c2
1;
y
2x2y2 1;
5 xy0
z
3 x2 y0;
z
x
o y
y
z
y
x
xz
o
x
z
o y
x
10
20.03.2021
例：建立母线平行于C：x=y=z，且准线为
x2 + y2 + z2 = c x+y+z=0
的柱面方程。
M ( x ,y ,z ) L ,M 1 ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) L T
反之，柱面的准线不唯一。
7 20.03.2021
z 母线平行于z轴的柱面方程.
T:
f (x, y) 0 z 0
C :
x0 y0
CL
o
y
x 图1 T
求柱面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。
M 0 ( x 0 , y 0 , 0 ) T L , M ( x , y , z ) L xx0,yy0,z任 意
点M0。L称为锥面的母线，T称为锥面的准线， M0
称为锥面的顶点。
z
同理，锥面由准线顶点唯一决定， 并且锥面的准线不唯一。
o
y
x
求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。
12 20.03.2021
锥面方程的求解
求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。
T :
f (x, y) 0 z z1
M 0 (x0 , y0 , z0 )
13 20.03.2021
例子锥面的顶点在坐标原点，且准线为： x2 + y2 =1 z=c
(c为常数), 求锥面的方程 .
解：设 P(x, y, z) 为锥面上任一点,母线OP交准线于
点P1(x1, y1, z1), 则有
z
xyz, x1 y1 z1
x12y121,
z1c
消去参数 x1, y1, z1 可得 z2 = c2(x2 + y2)。o 锥面的参数方程：
M ( x ,y ,z ) L ,M 1 ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) L T xx0 yy0 zz0 x1x0 y1y0 z1z0
f(x 1 ,y 1 ) 0 ,x 0 ,y 0 ,z 0 ,z 1 已 知
x00,y00,z00 x1
z1x z
,
y1
z1y z
f (z1x, z1y)0 zz
y
xy u ucso insvv zcu
x
(u,0v2)
14 20.03.2021
四、旋转面
圆柱面可以看作由一条直线绕与它平行的另一条直
线旋转一周所成的曲面.一般地，由一条曲线L绕一
条定直线 l 旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面. 一般
例：设动点在一平面内做匀速圆周运动，角速度为
b,圆的半径为a;另一方面，该平面沿着与平面垂直的
方向做匀速直线运动,速率为v,求动点C运动的轨迹。P.241
6 20.03.2021
二、柱面
由一族平行直线形成的曲面叫做柱面。
T: 空间一条定曲线 ，称为柱面的准线。 C: 空间一条定直线 ，确定了柱面的方向。 动直线L始终平行于直线C并沿着曲线T移动而形成 的轨迹。动直线L称为柱面的母线。 注：柱面由准线T和定直线C的方向唯一确定。
因此该柱面方程中不含有z , 可设柱面方程为:
f (x, y) 0
8 20.03.2021
一般地,在空间直角坐标系中,方程 f(x , y)=0 (不含z), 表
示母线平行于z轴的柱面,它的一条准线为 f (x, y) 0 z0
方程 g(x , z)=0 (不含y), 表示母线平行于y轴的柱面,它
的一条准线为 g(x, z) 0 y0
方程 h(y , z)=0 (不含x), 表Leabharlann Baidu母线平行于x轴的柱面,它
的一条准线为 h(y, z) 0 x0
注：缺哪个自变量柱面就平行于哪个坐标轴。
二元二次方程为母线平行于坐标轴的柱面
9 20.03.2021
例：说明下列方程在空间直角坐标系中各表示什么曲面?
x x 1 t,y y 1 t,z z 1 t
(xt)2(yt)2(zt)2a2
xtytzt0
2 x 2 2 y 2 2 z 2 2 x y 2 y z 2 x z 3 a 2
11 20.03.2021
三、锥面
过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面.
动直线L沿定曲线T移动，并且L移动时始终经过动