10三维空间中二次方程与二次曲面解读
二次曲线和二次曲面的性质
二次曲线和二次曲面的性质二次曲线和二次曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、代数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将就二次曲线和二次曲面的性质展开讨论。
一、二次曲线的性质1. 定义二次曲线是由二次方程所描述的曲线，其一般方程可以表示为Ax²+ Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，并且A和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆：当B² - 4AC < 0 时，方程描述的曲线为椭圆。
椭圆是一个闭合曲线，具有对称轴和离心率等性质。
双曲线：当B² - 4AC > 0 时，方程描述的曲线为双曲线。
双曲线有两个分离的曲线支，其特点是无界且具有两个渐近线。
抛物线：当B² - 4AC = 0 时，方程描述的曲线为抛物线。
抛物线具有轴对称性，分为开口向上和开口向下两种类型。
3. 几何性质不同类型的二次曲线具有不同的几何性质。
椭圆的主轴为长轴，副轴为短轴，其焦点在椭圆的长轴上。
椭圆的离心率介于0和1之间，且椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于常数。
双曲线的主轴为虚轴，分别与两个焦点连线构成直角。
双曲线的离心率大于1，且双曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于常数。
抛物线的焦点位于曲线的顶点上方或下方，其离心率等于1。
抛物线具有镜像对称性，焦点和顶点关于准线对称。
二、二次曲面的性质1. 定义二次曲面是由二次方程所描述的曲面，其一般方程可以表示为Ax²+ By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数，并且A、B和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲面可分为椭圆锥面、双曲面、抛物面和椭球面等类型。
椭圆锥面：当D² - 4AC < 0 时，方程描述的曲面为椭圆锥面。
冲刺高考数学二次型与二次曲面
冲刺高考数学二次型与二次曲面高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
在数学这一学科中，二次型与二次曲面是一个重要且具有一定难度的知识点。
为了在高考中取得优异的成绩，我们需要对其进行深入的理解和掌握。
首先，让我们来了解一下什么是二次型。
简单来说，二次型是一个数学表达式，它可以写成多个变量的二次齐次多项式的形式。
比如，对于两个变量 x 和 y，常见的二次型可以表示为 f(x,y) ＝ ax²＋ bxy ＋cy²。
那么，为什么要学习二次型呢？这是因为二次型在数学的很多领域都有着广泛的应用。
在几何中，它可以用来描述曲线和曲面的形状；在物理学中，它可以帮助我们解决一些与能量和势能相关的问题；在优化问题中，通过研究二次型的性质，我们可以找到最优解。
接下来，我们再看看二次曲面。
二次曲面是三维空间中的曲面，其方程可以表示为二次型的形式。
常见的二次曲面有椭球面、抛物面、双曲面等。
以椭球面为例，其方程可以表示为：（x²/a²) ＋（y²/b²) ＋（z²/c²)＝ 1。
其中，a、b、c 分别是椭球面在 x、y、z 轴上的半轴长。
当 a ＝b ＝c 时，就变成了球面。
抛物面又分为椭圆抛物面和双曲抛物面。
椭圆抛物面的方程形如 z＝（x²/a²) ＋（y²/b²)，而双曲抛物面的方程形如 z ＝（x²/a²) （y²/b²)。
双曲面则包括单叶双曲面和双叶双曲面。
单叶双曲面的方程为：（x²/a²) ＋（y²/b²) （z²/c²) ＝ 1，双叶双曲面的方程为：（x²/a²)（y²/b²) ＋（z²/c²) ＝ 1。
在高考中，对于二次型与二次曲面的考查，通常会结合其他知识点，比如空间向量、解析几何等。
10三维空间中二次方程与二次曲面概要.
三维空间中二次方程与二次曲面张晓青（2010073060029）指导教师：李厚彪【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解.【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面1 引 言教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变换=X A α，=Y A β，则 T T T T(,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ 即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变.设222123111222333121213132323112233(,,)222?f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1）则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面.令111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,123x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，123b b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b 则（1.1）式可记为T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T()g =X X AX1. 作正交变换=X CY ，其中T 123(,,)y y y =Y ，则223'''112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3）其中，123,,λλλ是矩阵A 的特征值,112233()()()()g g f g b y b y b y c=''''=++++=X CYX Y X Y2. 对（1.3）配平方，在几何上就是作坐标平移变换，将(1.3)化为标准型，因为正交变换不改变向量的内积，所以化成的标准型后的方程表示的几何图形与（1.1）中的几何图形相同. 由于二次曲面的三个特征根123,,λλλ不全为零，下面按它们全不为零，有一个为零和有两个为零三种情况讨论.（1）1230λλλ≠，通过配方，将223'''1122331122330y y y b y b y b y c λλλ++++++= 改写为2222223312121122331231231()()()()02224b b b b b b y y y c λλλλλλλλλ''''''++++++-++= （2.1.1）令111122223333222b z y b z y b z y λλλ⎧'=+⎪⎪⎪'⎪=+⎨⎪⎪'⎪=+⎪⎩作平移变换，2223121231()4b b b d c λλλ'''=++-，方程化为 222112233z z z d λλλ++= （2.1.2）讨论简化方程（2.1.2）的系数 1）0d ≠.①123,,λλλ与d 同号令122232111d a d b d c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221z z z a b c ++=（2.1.3） 为椭球面标准方程，确定的曲面为椭球面（图1 (a)）图1(a) 椭球面图1(b) 球面特别地，当123λλλ==时为球面(图1(b))②123,,λλλ与d异号令122232111d ad bd cλλλ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221zz za b c++=-（2.1.4）为虚椭球面.③123,,λλλ中有一个与d同号（不妨设3λ与d同号）令122232111d ad bd cλλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221zz za b c+-=（2.1.5）为单叶双曲面标准方程，确定的曲面为单叶双曲面（图2）.图2单叶双曲面④123,,λλλ中有两个与d 同号（不妨设12,λλ与d 同号）令122232111d a d b d c λλλ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221z z z a b c +-=-（2.1.6） 为双叶双曲面标准方程，确定的曲面为双叶双曲面（图3）.图3 双叶双曲面2）0d = ⑤123,,λλλ同号令122232111a b c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122220z z z a b c ++=（2.1.7） 当且仅当1230z z z ===成立，故表示一点（0,0,0）. ⑥123,,λλλ不全同号（不妨设12,λλ与3λ异号）令122232111a b c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122220z z z a b c +-=（2.1.8） 为椭圆锥面标准方程，确定的曲面为椭圆锥面(图4). 特别地当12λλ=时为圆锥面(图5).图4椭圆锥面 图5 圆锥面（2）1230λλλ=情况一：123,,λλλ有且只有一个为零（不妨设30λ=），通过配方，将22'''11221122330y y b y b y b y c λλ+++++= 改写为2222121211223312121()()()0224b b b b y y b y c λλλλλλ'''''+++++-+= （2.2.1）令111122223322b z y b z y z y λλ⎧''=+⎪⎪⎪'⎪'=+⎨⎪⎪'=⎪⎪⎩作平移变换，2212121()4b b d c λλ''=-+，方程化为 221122330z z b z d λλ''''+++= （2.2.2）（1）30b '≠再令1122333z z z z z b z d ⎧'=⎪⎪'=⎨⎪''=+⎪⎩又一次作平移变换，方程化为221122330z z b z λλ'++=（2.2.3）讨论简化方程（2.2.3）的系数 ⑦12,λλ同号令13231212p b q b λλ⎧=⎪'⎪⎨⎪=⎪'⎩,(2.2.3)变成22123(0)22z z z pq p q +=>（2.2.4），为椭圆抛物面的标准方程，所确定的曲面为椭圆抛物面（图6）. 特别地，当p q =时，曲面是旋转抛物面（图7）.图6 椭圆抛物面 图7旋转抛物面⑧12,λλ异号令13231212p b q b λλ⎧=⎪'⎪⎨⎪=-⎪'⎩,(2.2.3)变成22123(0)22z z z pq p q -=>，为双曲抛物面的标准方程，所确定的曲面为双曲抛物面（图8）. 特别地，当p q =时，表示30z =的平面.图8 双曲抛物面（2）30b '=, 则2211220z z d λλ++= A.0d ≠⑨12,λλ同号与d 异号令122211d a d b λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z z a b +=，为椭圆柱面标准方程，确定的曲面为椭圆柱面（图9），特别地，当12λλ=时为圆柱面.图9椭圆柱面⑩12,λλ与d 同号令122211d a d b λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z z a b +=-，为虚椭圆柱面.⑪12,λλ异号令122211d a db λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z z a b -=，为双曲柱面标准方程，确定的曲面为双曲柱面（图10）.图10 双曲柱面B.0d =⑫12,λλ同号，则当且仅当120z z ==成立，表示一对垂直相交于一条直线的曲面. ⑬12,λλ异号令122211d a db λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2212220z z a b -=，表示一对相交平面的标准方程，确定了两个相交平面, 特别地，当a b =时，12z z =±，表示一对相互垂直的平面.情况二：123,,λλλ有两个为零（不妨设230λλ==），通过配方，将2'''111122330y b y b y b y c λ++++= 改写为221111223311()024b by b y b y c λλλ''''++++-= （2.3.1）令111122332b z y z y z y λ⎧''=+⎪⎪⎪'=⎨⎪'=⎪⎪⎩作平移变换，2114b d c λ'=-，方程化为21122330z b z b z d λ''''+++= （2.3.2）讨论简化方程（2.3.2）的系数. （1）23,b b ''至少一个不为零⑭令1123z z z z ⎧⎪⎪'=⎪⎪''''⎪=⎨⎪⎪''''⎪=⎪⎪⎩作旋转变换得221120z z λ=，再令p =2122z pz =±（0p >），为抛物柱面的标准方程，所确定的曲面为抛物柱面（图11）.图11抛物柱面（2）230b b ''==则2110z d λ'+=（2.3.3）⑮1,d λ异号 令21da λ=-，方程（2.3.3）改写成 221z a =，表示一对平行平面 1z a =±.⑯1,d λ同号 令21da λ=，方程（2.3.3）改写成 221z a =-，表示一对虚的平行平面.⑰0d = ，方程变为210z =，表示一对重合平面.3.小 结：任何一个二次方程通过正交变换可以化成五种标准方程之一： (一) 222112233z z z d λλλ++=1230λλλ≠；(二) 221122330z z b z λλ'++= 1230b λλ'≠； (三) 2211220z z d λλ++=120λλ≠；(四) 21120z pz λ±= 10p λ≠；(五) 2110z d λ'+=10λ≠.（i λ为各二次方程的非零特征根）各标准方程对应不同的参数值可得17种类型的曲面，这17种类型曲面可分成3种情况： a) 基本类型：9种 b) 两个平面：3种一条直线：1种 一个点：1种 c) 虚图形：3种参考文献[1]黄廷祝，成孝予，线性代数与空间解析几何，高等教育出版社，2008。
二次型与二次曲面的关系
二次型与二次曲面的关系1. 引言1.1 概述二次型与二次曲面是数学中重要的概念，它们在代数和几何中发挥着重要的作用。
二次型是一类与二次多项式相关的函数形式，而二次曲面则是由二次方程定义的特定类型的曲线。
本文将探讨二次型与二次曲面之间的关系，并研究它们的特征和性质。
1.2 研究背景随着代数学和几何学的发展，人们对于函数和曲线的研究越来越深入。
而对于二次型和二次曲面的分析更是成为了这个领域中不可忽视的一部分。
通过研究二次型与二次曲面之间的联系，我们可以深入理解它们各自所具有的特征，并且可以推广到更为复杂和抽象的情况。
1.3 目的与意义本文旨在介绍并探讨二次型和二次曲面之间存在的联系，以及它们各自所具有的特征和性质。
通过对这两个概念进行详细阐述和比较分析，读者将能够更加全面地理解它们在数学中的重要性和实际应用。
此外，文章还将对可能未涉及到的研究方向进行简要展望，以期激发更多的学者和研究者对该领域问题的兴趣和探索。
2. 二次型的基本概念:2.1 二次型的定义:在线性代数中，二次型是指包含平方项和交叉乘积项的多元变量的多项式。
具体而言，对于$n$个变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$，一个二次型可以表示为如下形式的多项式：$$Q(x)=a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3+\ldots+ 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$a_{ij}$是实数系数$(i,j=1, 2, ..., n)$。
二次型可以看作是一个与欧几里得空间中的点对应的实值函数。
它在数学和工程领域中具有广泛的应用，在统计学、物理学、经济学等学科中也有重要意义。
2.2 二次型矩阵表示:每个二次型都可以通过一个对称矩阵来表示。
对于给定的$n$维向量$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，可以将其与一个对称矩阵$\mathbf{A}$相乘得到相应的二次型：$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} $$其中，$\mathbf{A}$的元素$a_{ij}$表示二次型中$x_i$和$x_j$的系数。
空间解析几何二次曲面
二次曲面的性质
封闭性
01
二次曲面是封闭的，即它包围着一个确定的区域。
连续性
02
二次曲面在三维空间中是连续的，没有断裂或突起。
可微性
03
二次曲面在三维空间中是可微的，这意味着它的表面是平滑的。
02
二次曲面方程
二次曲面方程的建立
定义
二次曲面是三维空间中通过两个二次方程定义的 几何体。
形式
二次曲面的一般方程为 (Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2Fxy + 2Gxz + 2Hyz = D)。
优化方法
常用的优化方法包括数学规划、遗传算法、 模拟退火等，通过这些方法可以找到最优的 设计方案，提高产品的性能和降低成本。
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特点
二次曲面具有独特的形状和性质，其 形状由二次函数的系数决定。
二次曲面的分类
1 2
椭球面
当 $f$ 为正时，二次曲面呈现为椭球形状，其长 轴和短轴分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴平行或垂直。
抛物面
当 $f$ 为一次函数时，二次曲面呈现为抛物线形 状，其开口方向与 $z$ 轴平行。
3
双曲面
当 $f$ 为负时，二次曲面呈现为双曲形状，其形 状取决于 $x$ 轴和 $y$ 轴的方向。
工程设计
二次曲面在工程设计中用于描述各种形状的表面，如球面、抛物 面等。
物理模拟
在物理模拟中，二次曲面用于描述粒子在力场中的运动轨迹和分 布。
数据分析
在数据分析中，二次曲面用于拟合数据，以揭示数据之间的内在 关系和规律。
03
二次曲面在三维空间中的 表示
二次曲面在三维空间中的投影
二次曲面部分内容总结归纳
二次曲面部分内容总结归纳在数学中，二次曲面是一类重要的曲线图形，具有广泛的应用。
本文将对二次曲面的定义、性质以及常见的二次曲面进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、二次曲面的定义和特点二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为系数。
1. 定义：二次曲面是在三维空间中满足以上方程的点的集合。
它是由平面或曲线与另外一个平面所构成的立体。
2. 分类：根据系数之间的关系，二次曲面可以分为椭球面、双曲面、抛物面和圆锥曲面等。
3. 对称性：二次曲面通常具有一定的对称性，例如椭球面关于三个坐标轴对称，双曲面关于两个坐标轴对称，抛物面则关于一个坐标轴对称。
二、常见的二次曲面下面将介绍几种常见的二次曲面及其特点：1. 椭球面：椭球面是指A、B、C系数均为正数的二次曲面。
它可以是一个三维椭球，具有三个轴，其中有一个是最大的主轴。
2. 双曲面：双曲面是指A、B、C系数有正有负的二次曲面。
它可以是两个相交的曲面，呈现典型的双曲线形状。
3. 抛物面：抛物面是指A、B系数有一个为零的二次曲面。
它可以是开口向上或向下的形状，对称于坐标轴。
4. 圆锥曲面：圆锥曲面是指除了A、B、C系数外，D、E、F系数都为零的二次曲面。
它可以是圆锥的侧面，或者是圆锥的顶部和底部。
三、二次曲面的应用二次曲面具有广泛的应用，其中一些常见的领域包括：1. 几何学：二次曲面在几何学中的应用非常广泛，如描述平面、曲线和曲面之间的关系，解决几何问题等。
2. 物理学：在物理学中，二次曲面可以用来描述电磁场、电荷分布和光学等现象。
3. 工程学：二次曲面在工程学中常用于描述悬索桥、天线接收器的覆盖范围等。
4. 经济学：二次曲面可以用于描述经济模型中的供需曲线、成本函数等。
曲面及其方程、二次曲面-PPT
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
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例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
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这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
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二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。
在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。
通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。
本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。
希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。
最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。
整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。
文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。
通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。
同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。
通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。
": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。
在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。
2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。
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三维空间中二次方程与二次曲面张晓青（2010073060029）指导教师：李厚彪【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解.【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面1 引 言教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变换=X A α，=Y A β，则 TTTT(,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变.设222123111222333121213132323112233(,,)222?f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1）则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面.令111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,123x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，123b b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b 则（1.1）式可记为T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T()g =X X AX1. 作正交变换=X CY ，其中T123(,,)y y y =Y ，则223'''112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3）其中，123,,λλλ是矩阵A 的特征值,112233()()()()g g f g b y b y b y c=''''=++++=X CYX Y X Y2. 对（1.3）配平方，在几何上就是作坐标平移变换，将(1.3)化为标准型，因为正交变换不改变向量的内积，所以化成的标准型后的方程表示的几何图形与（1.1）中的几何图形相同. 由于二次曲面的三个特征根123,,λλλ不全为零，下面按它们全不为零，有一个为零和有两个为零三种情况讨论.（1）1230λλλ≠，通过配方，将223'''1122331122330y y y b y b y b y c λλλ++++++= 改写为2222223312121122331231231()()()()02224b b b b b b y y y c λλλλλλλλλ''''''++++++-++= （2.1.1）令111122223333222b z y b z y b z y λλλ⎧'=+⎪⎪⎪'⎪=+⎨⎪⎪'⎪=+⎪⎩作平移变换，2223121231()4b b b d c λλλ'''=++-，方程化为 222112233z z z d λλλ++= （2.1.2）讨论简化方程（2.1.2）的系数 1）0d ≠.①123,,λλλ与d 同号令122232111d a d b d c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221z z z a b c ++=（2.1.3） 为椭球面标准方程，确定的曲面为椭球面（图1 (a)）图1(a) 椭球面图1(b) 球面特别地，当123λλλ==时为球面(图1(b)) ②123,,λλλ与d 异号令122232111d a d b d c λλλ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成 2223122221z z z a b c ++=-（2.1.4） 为虚椭球面.③123,,λλλ中有一个与d 同号（不妨设3λ与d 同号）令122232111d a d b d c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成 2223122221z z z a b c +-=（2.1.5） 为单叶双曲面标准方程，确定的曲面为单叶双曲面（图2）.图2单叶双曲面④123,,λλλ中有两个与d 同号（不妨设12,λλ与d 同号）令122232111d a d b d c λλλ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221z z z a b c +-=-（2.1.6） 为双叶双曲面标准方程，确定的曲面为双叶双曲面（图3）.图3 双叶双曲面2）0d = ⑤123,,λλλ同号令122232111a b c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122220z z z a b c ++=（2.1.7） 当且仅当1230z z z ===成立，故表示一点（0,0,0）. ⑥123,,λλλ不全同号（不妨设12,λλ与3λ异号）令122232111a b c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成222312222zz za b c+-=（2.1.8）为椭圆锥面标准方程，确定的曲面为椭圆锥面(图4). 特别地当12λλ=时为圆锥面(图5).图4椭圆锥面图5 圆锥面（2）123λλλ=情况一：123,,λλλ有且只有一个为零（不妨设3λ=），通过配方，将22'''1122112233y y b y b y b y cλλ+++++=改写为2222121211223312121()()()0224b b b by y b y cλλλλλλ'''''+++++-+=（2.2.1）令111122223322bz ybz yz yλλ⎧''=+⎪⎪⎪'⎪'=+⎨⎪⎪'=⎪⎪⎩作平移变换，2212121()4b bd cλλ''=-+，方程化为22112233z z b z dλλ''''+++=（2.2.2）（1）3b'≠再令1122333z zz zz b z d⎧'=⎪⎪'=⎨⎪''=+⎪⎩又一次作平移变换，方程化为22112233z z b zλλ'++=（2.2.3）讨论简化方程（2.2.3）的系数⑦12,λλ同号令13231212pbqbλλ⎧=⎪'⎪⎨⎪=⎪'⎩,(2.2.3)变成22123(0)22z zz pqp q+=>（2.2.4），为椭圆抛物面的标准方程，所确定的曲面为椭圆抛物面（图6）.特别地，当p q=时，曲面是旋转抛物面（图7）.图6 椭圆抛物面图7旋转抛物面⑧12,λλ异号令13231212pbqbλλ⎧=⎪'⎪⎨⎪=-⎪'⎩,(2.2.3)变成22123(0)22z zz pqp q-=>，为双曲抛物面的标准方程，所确定的曲面为双曲抛物面（图8）. 特别地，当p q=时，表示3z=的平面.图8 双曲抛物面（2）3b'=, 则221122z z dλλ++=A.0d≠⑨12,λλ同号与d异号令122211d ad bλλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z za b+=，为椭圆柱面标准方程，确定的曲面为椭圆柱面（图9），特别地，当12λλ=时为圆柱面.图9椭圆柱面⑩12,λλ与d同号令122211d ad bλλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z za b+=-，为虚椭圆柱面.⑪12,λλ异号令122211d ad bλλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z za b-=，为双曲柱面标准方程，确定的曲面为双曲柱面（图10）.图10 双曲柱面B.0d=⑫12,λλ同号，则当且仅当12z z==成立，表示一对垂直相交于一条直线的曲面.⑬12,λλ异号令122211d ad bλλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成221222z za b-=，表示一对相交平面的标准方程，确定了两个相交平面, 特别地，当a b=时，12z z=±，表示一对相互垂直的平面.情况二：123,,λλλ有两个为零（不妨设230λλ==），通过配方，将2'''111122330y b y b y b y c λ++++= 改写为221111223311()024b b y b y b y c λλλ''''++++-= （2.3.1）令111122332b z y z y z y λ⎧''=+⎪⎪⎪'=⎨⎪'=⎪⎪⎩作平移变换，2114b d c λ'=-，方程化为21122330z b z b z d λ''''+++= （2.3.2）讨论简化方程（2.3.2）的系数. （1）23,b b ''至少一个不为零⑭令11112222212112232212z z z b b z b b ⎧⎪⎪'=⎪⎪''''⎪=⎨''⎪+⎪''''⎪=⎪''⎪+⎩作旋转变换得222111220z b b z λ''++=，再令221212b b p λ''+=，方程化为2122z pz =±（0p >），为抛物柱面的标准方程，所确定的曲面为抛物柱面（图11）.图11抛物柱面（2）230b b ''==则2110z d λ'+= （2.3.3）⑮1,d λ异号 令21da λ=-，方程（2.3.3）改写成 221z a =，表示一对平行平面 1z a =±.⑯1,d λ同号 令21da λ=，方程（2.3.3）改写成 221z a =-，表示一对虚的平行平面.⑰0d = ，方程变为210z =，表示一对重合平面.3.小 结：任何一个二次方程通过正交变换可以化成五种标准方程之一：(一) 222112233z z z d λλλ++= 1230λλλ≠；(二) 221122330z z b z λλ'++= 1230b λλ'≠；(三) 2211220z z d λλ++= 120λλ≠； (四) 21120z pz λ±= 10p λ≠；(五) 2110z d λ'+= 10λ≠. （i λ为各二次方程的非零特征根）各标准方程对应不同的参数值可得17种类型的曲面，这17种类型曲面可分成3种情况： a) 基本类型：9种 b) 两个平面：3种一条直线：1种 一个点：1种 c) 虚图形：3种参考文献[1]黄廷祝，成孝予，线性代数与空间解析几何，高等教育出版社，2008。