6二次曲面的标准方程
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常用的二次曲面方程及其图形
这些交线都是椭圆。
3） 再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4） 如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2） 当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4） 当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义 图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。
二次曲面
u,v 为参数，且不全为0.
（1）对于单叶双曲面S上的每一点，两类直母线中各有一条直 母线经过它。 （2）单叶双曲面S上异族的两个直母线一定共面，同族的两个 直母线一定异面。
可以看出下面两直线在S上。
x z y x z y u v 1 0 u a c v 1 b 0, a c b I2 : I1 : v x z u 1 y 0 y x z v u 1 0 a c b a c b
当 | h | b时， 截线为双曲线 实轴//z轴 c 2 实半轴： b h 2 b 虚轴//x轴 a 2 虚半轴： b h 2 b
用平行与坐标面的平面y h来截割双曲面： x2 z 2 h2 2 2 1 2 截口方程为：a c b ; y h
当 | h | b时， 截线为两条直线 x z 0 a c y b x z 0 或a c y b
二次曲面
一个仿射坐标系中, x,y,z的一个二次方程的图 形成为二次曲面.
二次方程的一般形式:F ( x, y, z ) 0 F ( x, y, z ) a11 x a22 y a33 z 2a12 xy 2a23 yz 2a13 xz 2b1 x 2b2 y 2b3 z c
u,v 为参数，且不全为0.
三、性质： 1. 单叶双曲面上异族的任意两条直母 线必共面, 而双曲抛物面上异族的任意 两条直母线必相交. 2. 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的 任意两条直母线总是异面直线, 而且双 曲抛物面同族的全体直母线平行于同一 平面. 3. 对于单叶双曲面和双曲抛物面上的 每一点, 两族直母线中各有一条通过这 一点.
高等代数与解析几何7.6
但它没有对称中心. (2)范 围: x, y, z ∈ R.
（3）截口形状
(i)双曲抛物面与 xoy面的交线：
⎧⎪ ⎨
x a
±
y b
=
0
（两条相交直线）⎪⎩ z = 0
(xioi)z双面曲的抛交物线面：与⎧⎨ （抛物线） ⎩
x y
2 = 2a =0
2
z
z y
x o
(y（ioiiz抛)面双物的曲线交抛）线物：面与⎧⎨⎩
(II )
所定义的曲面叫做单叶双曲面，
方程(II)叫做单叶双曲面的标准方程。
2.性质和图形
(1)对称性:关于三个坐标平面，三个坐标轴及原点都对称。
(2)顶点与半轴: 两对顶点： (±a, 0, 0), (0, ±b, 0)
(3)范
围:
∵ x2 a2
+
y2 b2
=
1
+
z2 c2
≥1
故曲面在柱面
x2 a2
⎧⎪ ⎨
z c
2 2
−
x2 a2
=1
（双曲线） ⎪⎩ y = 0
oy
(iii)双叶双曲面与 yoz面的交线：
⎧⎪ z 2 ⎨ c2
−
y2 b2
=
1
x
（双曲线）
⎪⎩ x = 0
当 h ≥ c时,平面z = h与双叶双曲面的交线为
⎧ ⎪ ⎨
x2 a2
+
y2 b2
=
h2 c2
−1
(当 h = c时是一个点,当 h > c时是一个椭圆.)
⎧⎪ ⎨
x y
= =
a tanφ b tanφ
cosθ , sinθ ,
（3）截口形状
(i)双曲抛物面与 xoy面的交线：
⎧⎪ ⎨
x a
±
y b
=
0
（两条相交直线）⎪⎩ z = 0
(xioi)z双面曲的抛交物线面：与⎧⎨ （抛物线） ⎩
x y
2 = 2a =0
2
z
z y
x o
(y（ioiiz抛)面双物的曲线交抛）线物：面与⎧⎨⎩
(II )
所定义的曲面叫做单叶双曲面，
方程(II)叫做单叶双曲面的标准方程。
2.性质和图形
(1)对称性:关于三个坐标平面，三个坐标轴及原点都对称。
(2)顶点与半轴: 两对顶点： (±a, 0, 0), (0, ±b, 0)
(3)范
围:
∵ x2 a2
+
y2 b2
=
1
+
z2 c2
≥1
故曲面在柱面
x2 a2
⎧⎪ ⎨
z c
2 2
−
x2 a2
=1
（双曲线） ⎪⎩ y = 0
oy
(iii)双叶双曲面与 yoz面的交线：
⎧⎪ z 2 ⎨ c2
−
y2 b2
=
1
x
（双曲线）
⎪⎩ x = 0
当 h ≥ c时,平面z = h与双叶双曲面的交线为
⎧ ⎪ ⎨
x2 a2
+
y2 b2
=
h2 c2
−1
(当 h = c时是一个点,当 h > c时是一个椭圆.)
⎧⎪ ⎨
x y
= =
a tanφ b tanφ
cosθ , sinθ ,
二次曲面的标准方程
二次曲面的标准方程
二次曲面的标准方程是：x²+y²+z²=R²。
其中，R是球的半径，(x,y,z)表示空间中任意一点的位置。
如果二次曲面在三个坐标面上的截距都是圆，并且圆心都在原点，则它的方程为：x²+y²+z²=R²。
其中，R是球的半径。
如果二次曲面在xoy平面上的截距是一个圆，并且圆心在原点，则它的方程为：(x²+y²)=R²。
如果二次曲面在xoz平面上的截距是一个圆，并且圆心在原点，则它的方程为：(x²+z²)=R²。
如果二次曲面在yoz平面上的截距是一个圆，并且圆心在原点，则它的方程为：(y²+z²)=R²。
总之，二次曲面的标准方程可以根据不同的条件选择不同的形式，但它们都涉及到三个坐标轴和球心在原点的球面。
第五节常见的二次曲面及其方程
(2) y12 b2 , 实轴与 z 轴平行, 虚轴与 x 轴平行.
(3) y1 b, 截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
x a
z c
0
,
y b
x a
z c
0
.
y b
(4) y1 b,
截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
x a
z c
0
,
x a
z c
0
.
y b
y b
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得双曲线.
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
o
y
x
二、小结
c
2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
| z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2
高等数学-几种常见的二次曲面
母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴 的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
二次曲面方程的标准化及其图形实质
(b1′ , b2 ′ )=( B Tη 1,
2 2 ( BTη BTη 2) +( 3))
( 5)
根据定理 1 与定理 2 , 我们有以下结论 。 定理 3 : 空间中任意二次曲面方程经过 一次旋转变 换 和一次平移变换总可以化为标准方程 。 定理 4 : 已知曲面 ∑ 的方程 F (x , y , z )=0 先通过 一 次旋转变换 σ: X = PX 1 p 11 p 12 p 13 x x1 , X 1 = y1 z1 , 这里矩阵 P = p 21 p 22 p 23 , X = y
cos θ -sin θ =Λ
而 B PQ =B T ( η Q 1 η 2 η 3)
第 3 期 贡韶红 : 二次曲面方程的标准化及其图形实 质 的列向量 。 示什么曲面 ? 0 解: 这里矩阵 A = 1 1 1
· 51 ·
0 1 , 解特征方程 λ E -A
1 1 0 =0 , 得 λ 1 =2 , λ 2 =λ 3 =-1 同前 , 可求得矩 阵 A 对应 于 λ 1 =2 , λ 2 =λ 3 = -1 的 单位正交特征向量 1 1 1 T 1 1 , , , - ,0 ,η 2= 3 3 3 2 2 1 1 2 T , , η 3 =η 1 ×η 2= 6 6 6 1 1 1 3 2 6 η 1= 构造矩阵 P = 1 3 1 3 x 作旋转变换 y z 形
2 λ ′ x 1 +b 2 ″ y1 1 x 2 +b 1
其中 b′ = PE 0 下 , 曲面方程也变换为标准形 +c = 0 , 这里(b 1 ′ , b 2′ )=( B η 1,
T T 2 T 2
( B η B η 2) +( 3) ) 证明 : 显然这里 X = PX 1 是旋转变换 。 记矩阵 P = (η 1, η 2,η 3) , 1 0 则 P A P =P
高等数学6(6)曲面及其方程
用平面 z z1 ( z1 0)去截这曲面, 截痕为圆.
x y 2 pz1 z z1
2 2
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
22
x y z（ p 与 q 同号） 双曲抛物面 2 p 2q (马鞍面)
特点是: 有两个异号的平方项,另一变量
是一次项, 无常数项. 用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 图形如下：
绕y轴旋转一周的 旋转曲面方程为
f ( y,
x z )0
2 2
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
) 称为
转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面的方程. 解 yOz面上直线方程为
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
x 2 y 2 2 pz
旋 转 椭 球 面
(3) yOz坐标面上的抛物线 y 2 2 pz 绕z轴.
旋转抛物面
9
四、二次曲面
1. 二次曲面的定义
三元二次方程所表示的曲面称为 二次曲面.
2 2 y1 x 2 p z 2q y y 1
它的轴平行于 z 轴
2 y1 顶点 0, y1 , 2q
20
(3) 用坐标面 yOz ( x 0)及平面 x x1 去截这曲面, 截痕为抛物线. 同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
x
7
例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成 的旋转曲面的方程.
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c
b
双曲线 x
y y0 .
以平行于 yz 面的平面 x=x0 截曲面，所得截线 方程为：
y b
2 2
z c
2 2
x0 a
2 2
z y
0
1,
x x0 .
椭圆
作业
P47.1. 2. 3.画出 z=xy 的图象. 4.研究z=2x2+3y2与5-z=3x2+2y2的交线在xy平面上 的投影
高校理科通识教育平台数学课程
微积分学(二)
多元微积分学
空间解析几何
●
授课教师
孙学峰
向量代数与
空间解析几何
二次曲面的标准方程
§6 二次曲面的标准方程
1.定义
由x, y, z的二次方程:
ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零.
当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小; 当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.
3 类似地, 依次用平面x = 0,平面 y = 0截割, 得椭圆:
y2 z 2 b c x 0
2 2
1
,
x 2 z 2 c a y 0
2 2
1 .
o x
y
k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.
2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线
x2 k 2 b a y k
2 2
z ,
当k 0 时 , 为 z
x a
2 2
.
3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.
2 k 2 y 2 2 z a b x k
x a
2 2
y b
2 2
z c
2 2
1
(a, b, c均大于0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
2 z0 x y 1 , 2 2 2 2 2
a
b
c
双曲线
z z0 .
以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为
a
2 y0 x z 1 , 2 2 2 2 2
特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示
球心在原点o, 半径为a的球面.
(2) 椭圆抛物面:
x a
2 2
y b2 2zz1 平面 z = k ,(k 0)截割, 截线 是平面 z = k上的椭圆.
2 x2 y 2 2 k a b z k
,
椭圆
z z0 .
以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为
x a
2 2
z c
2 2
1
y0 b
2
2
,
双曲线
y y0 .
以平行于 yz 面的平面 x=x0 截曲面，所得截线 方程为：
y b
2 2
z c
2 2
1
x0 a
2 2
,
双曲线
x x0 .
5. 双叶双曲面
研究方法是采用平面截痕法.
2. 几种常见二次曲面. (1) 椭球面
x a
2 2
z
2 2
y b
z C
2 2
1
1 用平面z = 0去截割, 得椭圆
x2 y 1 2 2 a b z 0
2
O
x
o
y
2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆
2 x2 y k 2 2 1 a b c z k 2 2
当k 0 时 , 为 z
y b
2 2
.
3. 双曲抛物面
z
x a
2 2
y b
2 2
z y x
4. 单叶双曲面
x a
2 2
y b
2 2
z c
2 2
1
(a, b, c均大于0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
x a
2 2
y b
2 2
1
z0 c
2
2