空间解析几何第章常见的曲面
几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
第三章_第一节 空间解析几何,李养成(新版),
它们的图像都是一条直线，z轴！
x y z a , 例3.1.4 讨论方程组 a 的图像. x y ax
x y z a 解：方程组的图像是球面 a a 与母线平行于z轴的圆柱面 x y 的交线
F x, y, z , G x, y, z
称为空间曲线的一般方程 注： (1)表示同一条曲线的方程不唯一。 (2)曲线上点的坐标都满足方程，
z
S1 S2
o
C
y
满足方程的点都在曲线上， x试考察方程
第3章 常见的曲面
本章在初步介绍空间图形与方程之间的一般关系 后，对柱面、锥面、旋转曲面以及二次曲面(包括椭球 面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛 物面)进行讨论.
对于前三种曲面具有明显的几何特征,我们着重从 这些曲面的几何特性来建立它们的方程.
对于五种二次曲面，我们则从曲面的标准方程出 发来讨论它们的几何性质, 描述它们的几何形状.
z
点P 在该圆锥面上
L
cos OP, k cos
OP k OP k
cos
y
x
x y tan z , 整理得二次齐次方程
圆锥面的坐标式方程
习题8（1） 已知圆锥面的顶点为P0 (1, 2,3)，轴垂直于 平面 x y z ，半顶角为 ,求这圆锥面的 方程. 解 圆锥面的轴过点 P0 , 方向向量 v 2,2, 1.
特别地,当 C0 是原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
C0
解析几何练习之常见曲面
常见曲面习题11.证明：如果2220a b c d ++->，那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。
证明：将方程配方得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到方程表示球心是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。
解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为2220x y z ax by cz d ++++++=，得到930,420,10a d b d c d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩球面方程为22294(1)032d dx y z x y d z d ++++---++=，其中d 任意。
过该三点的平面方程是132x yz ++=，所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ⎧++-+-+-++=⎨++-=⎩ 其中d 任意。
3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ⎧=⎪++⎪⎪=∈-∞+∞⎨++⎪⎪=⎪++⎩在一球面上，并此球面方程。
证明：因为曲线满足2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=，所以曲线在一个球面上。
4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹； （2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹； （3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示在空间解析几何中，曲线与曲面的方程表示是非常重要的概念。
通过方程，我们可以描述和研究曲线和曲面的特性、性质以及它们与其他几何对象之间的关系。
本文将介绍空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
一、曲线的方程表示在空间中，曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程进行表示。
1. 参数方程：曲线的参数方程表示为：x = f(t), y = g(t), z = h(t)其中，x，y和z分别是曲线上某一点的坐标，f(t)，g(t)和h(t)是参数方程。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上的各个点坐标。
2. 一般方程：曲线的一般方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲线上的点(x, y, z)所满足的关系式。
3. 轨迹方程：曲线的轨迹方程表示为：F(x, y, z, k) = 0其中，(x, y, z)是曲线上的点，k是参数。
二、曲面的方程表示在空间中，曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程进行表示。
1. 隐式方程：曲面的隐式方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲面上的点(x, y, z)所满足的关系式。
2. 一般方程：曲面的一般方程表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A，B，C和D是常数，(x, y, z)是曲面上的点。
3. 参数方程：曲面的参数方程表示为：x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v)其中，(u, v)是参数，f(u, v)，g(u, v)和h(u, v)是参数方程。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上的各个点坐标。
总结：通过以上介绍，我们了解了空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程描述，而曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程描述。
这些方程可以帮助我们研究曲线与曲面的性质、特性以及它们与其他几何对象之间的关系。
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
空间解析几何常见的曲面
o
y
代入得x,y轴上的截距为: x ? ? a ，y ? ? b ； x 在z轴上没有截距.
3 图形的范围
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
z
由方程
x2 a2
?
y2 b2
?1
知，即曲面存在于椭圆柱面
x2 a2
?
y2 b2
?1
之外，从而曲面与z轴无交点，
并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.
o
例如当 A ? 0, B ? 0, C ? 0 时，方程（1）可改写为
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1,
其中
1 a2
?
1 A, b2
?
?
B,
1 c2
?
C ，这是单叶双曲面的标准方程 .
例 给定方程
x2 ? y2 ? z2 ? 1?A ? B ? C ? 0?,
,从而椭圆焦点坐标为
? ? ?
y
?
0,
a 2 ? b2
? ?1
?
?
h2 c2
? ?, ?
?? z ? h.
? ?
z
?
h.
消去参数
h
得
? ? ?
a
2
x2 ?
b2
? z2 c2
? 1,
??
?? y ? 0.
二、双叶双曲面
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
?1
双叶双曲面
特别的a=b 时
x2 a2
?
y2 ? b2
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
空间解析几何-第3章 常见的曲面2
单叶双曲面 双叶双曲面
抛物面
椭圆抛物面 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
x2 y 2 h2 2 2 1＋ 2 , Cz h： b c 椭圆 a z h.
z
O x y
结论：单叶双曲面可看作由一 个椭圆的变动（大小位置都改 变）而产生，该椭圆在变动中， 保持所在平面与xOy 面平行， 且两对顶点分别在两定双曲线 上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
（1）双叶双曲面与x轴、y轴不交，而与 z轴交于（0，0，±c），此为其实顶点. （2）用x=0,y=0代入，得曲线在z轴上的 截距，而在x,y轴上无截距.
z
x
o
y
3 图形范围
x2 y 2 z2 2 1 2 2 a b c
，易知
所以曲面分成两叶，一叶在 z c 的上方，另一叶在 z c 平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。
z
此时的单叶双曲面是双曲线
y2 z2 1, : b2 c2 x 0
o
b
y
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的 x .
单叶旋转双曲面
例 用一组平行平面 z h （ h 为任意实数）截割单叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 a b 得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹. 2 a b c
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
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y2 b2
1
知，即曲面存在于椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
之外，从而曲面与z轴无交点，
并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.
o
y
x
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
x2
a
2
y2 b2
1
z 0
—xoy面上的 椭圆叫做腰 椭圆
y2
b
2
z2 c2
1
x 0
x2 C y h： a 2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝ b 时 截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝ b 时
x2 Cyh： a2
z2 c2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
①当 h b 时
截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
②当 h b 时
x
截线为双曲线
z
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点，
z
而与z轴的交点（0，0，±ci）
称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
o
y
代入得x,y轴上的截距为: xa，y b ； x 在z轴上没有截距.
3 图形的范围
x2 a2
by22
cz22
1
z
由方程
x2 a2
x2
xO
z
面
:
a
2
z2 c2
1
y 0
y2
yOz面
:
b
2
z2 c2
1
x 0
椭球面的主截线（主椭圆）
z 椭球面
o
x
y
5.平截线：
z
x2 y2 z2
a2
b2
c2
1
用z = h截曲面
用y = m截曲面
用x = n截曲面
c
o a
by
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面 可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b 时
截线为双曲线
O x
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
4.主截线：
平行截割用法坐：标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察
其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面 的全貌。
截口是曲面与平面的交线
椭球面
x2 a2
by22
cz22
1与三个坐标面的交线
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1与三个坐标面的交线
x2
xO
y面
:
a
2
y2 b2
1
z 0
oy x
oy x
一、单叶双曲面
x2 a2
by22
cz22
1单叶双曲面
1 对称性（symmetric）
关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称，
（0，0，0）为其对称中心.
2 顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept)
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0），
➢ 抛物面
➢ 椭圆抛物面 ➢ 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面
相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
§3.5.1 椭球面
x2 y2 z2 1 (a0,b0,c0)
a2 b2 c2
1.对称性：
•主平面:三坐标平面 •主轴:三坐标轴 •中心:坐标原点
2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c) 轴:2a,2b,2c ( ) 半轴:a,b,c 截距:±a, ±b, ±c
3.范围： x a, y b, z c
—yoz面 上的双曲 线
x2
a
2
z2 c2
1
y 0
—xoz面上 的双曲线
2020/6/5
有共同的虚 轴和虚轴长
5 平截线
用平行于坐标面的平面截割
z
(1)用z = h 截曲面
x2 Czh： a2
y2 b2
1＋h2 c2
,椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：
x2
a
2
y2 b2
1
h2 c2
(5)Biblioteka z hh c ，(5)无图形；
h c
h c
，(5)表示两个点 (0,0,c)； (5)表示一个椭圆，两半轴长分别为
a 1 h2 c2
b
1
h2 c2
由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由 一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平 面与坐标面xoy平行.
z z1
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
三、椭球面的参数方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
xzy ca bsccio onssscions22,02
应用实例： 上海科技城椭球体玻璃幕墙
§3.5.2 双曲面
单叶双曲面 z
双叶双曲面 z
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 a2
ay22
cz22
1
旋转椭球面
由椭圆
x a
2 2
z2 c2
1 绕 z轴旋转而成．
y 0
方程可写为
x2 y2 z2 a2 c2 1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 (|z1|c)的交线为圆.
截面上圆的方程
x2
y2
a2 c2
(c2
z12).
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
2020/6/5
本章主要内容
1 柱面
2 锥面
3 旋转曲面
4 曲线与曲面的参数方程
5 椭球面
6
双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面）
五种典型的 二次曲面
7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面）
8 二次直纹面
9 作图
§3.5 五种典型的二次曲面
➢ 椭球面
➢ 双曲面
➢ 单叶双曲面 ➢ 双叶双曲面
1
h2 b2
，
y h.
②当 h b 时 截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
③当 h ＝ b 时
x2 C y h： a 2
z2 c2
0，
x
y h.
o
y
截线为直线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面