第七章向量代数与空间解析几何复习题

第七章向量代数与空间解析几何

（一）空间直角坐标系、向量及其线性运算

一、判断题

1．点（ -1， -2， -3）是在第八卦限。（）2．任何向量都有确定的方向。（）

3．任二向量a,b，若a b .则 a = b 同向。() 4．若二向量a,b满足关系a b = a + b ,则 a,b 同向。（）5．若a b a c, 则b c()

6．向量a, b满足a

=

b

，则a, b同向。（）a b

7．若a ={ a x,a y, a z } ，则平行于向量 a 的单位向量为{a x，a

y

，

a

z }。（）

| a || a || a |

8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。(）

二、填空题

1．点（ 2， 1， -3）关于坐标原点对称的点是

2．点（ 4， 3， -5）在坐标面上的投影点是 M （0， 3， -5）

3．点（ 5， -3， 2）关于的对称点是 M（ 5， -3， -2）。

4．设向量 a 与 b 有共同的始点，则与a, b 共面且平分 a 与 b 的夹角的向量为

5．已知向量 a 与 b 方向相反，且 | b | 2 | a | ，则 b 由 a 表示为 b =。

6．设 a =4， a 与轴l的夹角为，则 prj l a=

6

7．已知平行四边形ABCD 的两个顶点 A （2， -3，-5）、 B（ -1， 3， 2）。以及它的对角线交点 E（ 4，-1，7），则顶点 C 的坐标为，则顶点 D 的坐标为。8．设向量 a 与坐标轴正向的夹角为、、，且已知=60，=120。则= 9．设 a 的方向角为、、，满足 cos=1时， a 垂直于坐标面。

三、选择题

1．点（ 4，-3， 5）到oy轴的距离为

（A）42( 3)252（ B）( 3)252

（C）42( 3)2（D）4252

2．已知梯形 OABC 、CB // OA且CB =1

OA 设 OA = a ， OC = b ，则 AB 2

=

（ A ） 1

a b

1 1 a （ D ） b

1 （ B ） a

b （ C ） b a

2

2

2

2

3．设有非零向量 a,b ，若 a b ，则必有

（ A ） a b = a + b

（ B ） a b = a b （ C ） a ba b

（ D ） a b

a b

四、试证明以三点 A （ 4， 1， 9）、 B （ 10， -1，6）、 C （ 2， 4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。

五、在 yoz 平面上求与三个已知点 A （ 3， 1， 2）、 B （ 4， -2， -2）、 C （ 0， 5，1）等距离的

点 D 。

六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。

七、设 A （ 4，

2 ， 1）、 B （ 3， 0，2），求 AB 的模、方向余弦及与 AB 反向的单位向量。

八、已知 OA ={2 ，-3，6} ， OB ={-1 ， 2，-2} 。OD 为 AOB 的平分线，在 OD 上求一长度

为 3

42 的向量。

（二）向量的乘积运算

一、判断题

1． ( a b) 2

2

2

a b

（

）

2

2． a （ a b ） = a b

（ ） 3．若 a b = a c 且 a 0 ，则 b c 。

（ ） 4．若 a

b =1，则 a

b =1

（

）

2

2

2

5． a b = a2a b b

（ ） 6． a b

b a

（ ）

7．若 a 、 b 、 c 满足 a b c, b c a ，则 a 、 b 、 c 两两垂直。

（

）

8．设非零向量 a,b 的方向角分别为

1, 1,

1

和

2 ,

2,

2

则

cos (a b ） = cos 1 cos

2

cos 1 cos

2

cos 1 cos 2

（

）

二、填空题

1．设 ( a b) =

， a

5, b 8, 则 a b =

。

3

2．若 a 13, b

19, a b 24 。则 a b =

。

2 ，且 a 1, b

2 。则 a b =

。

3．若 ( a b )

3

4．已知 a 3, b

26, a b

72 ，则 a b =

。

a

5．设

6．设

a { 4, 3,4},

b { 2,2,1} ，则 Prj b = 。

a

{ 2, 3,2}, b { 4,6, 4} ，则 (a b ) =

。

7．设 a,b 为不共线向量，则当

=

时。 P

a 5

b 与 Q 3a b 共线。

三、选择题

1．设空间三点的坐标分别为 M （ 1， -3， 4）、 N （ -2， 1， -1）、P （ -3， -1， 1）。则 MNP =

（A ）、

（B ）、

3

（ C ）、

（ D ）、

4

4 2

2．下列结论正确的是

a a 2

（ B ）、若 a b 0 则必 a 0或 b 0

（A ）、

a

（ C ）、 a(b c ) ab ac

（ D ）、若 a

0 ，且 ab ac 则 b

c

3．设 a

{ x,3,2}, b { 1,4,4}. 若 a // b ，则

（ A ）、 x=0.5 y=6 (B) 、 x=-0.5 y=-6

(C) 、 x=1 y=-7

(D) 、 x=-1

y=-3

四、设 a { 2, 1,1}, b 1{1,3, 1} ，求与 a 、 b 均垂直的单位向量。

五、设向量

a { 2,3, 1}、

b {1, 2,3}、

c { 2,1,2} , 向量

d 与 a,b 均垂直，且在向量

c 上的投影是 14，求向量 d.

六、用向量证明：

当

a

1

a 2 a 3

时， (a 1

2

a 2 2 a 3 2 )(

b 12 b 2 2 b 3

2 )

(a 1b 1 a 2 b 2 a 3b 3 )2

b 1

b 2

b 3

七、设 AD 为

ABC 中 BC 边上的高，记 BA

c.BC

a.

证明：

a

c a c

S

2

ABD

2 a

（三）平面及其方程

一、填空题

１．过点Ｍ （３，０，１）且与平面 3x-7y+5z-12=0

平行的平面方程

。

２．三平面 x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3 的交点坐标是 。

３．过点（２，－５，３）且平行与ＸＯＺ平面的平面方程是

。

４．过点Ｍ １

（４，０，－２）和Ｍ

２

（５，１，７）且平行于ＯＸ轴的平面方程是

。

５．点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0

的距离是

。

６．当 l =

,及 m=

时，二平面 2x+my+3z-5=0 与 l x-6y-6z+2=0

互相平行。