第七章向量代数与空间解析几何复习题

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微积分练习册[第七章]向量代数与空间解析几何

习题7-1 空间直角坐标系1.填空题（1）下列各点所在象限分别是：a .（1，-2，3）在________________；b .（2，3，-4）在________________；c .（2，-3，-4）在________________；d .（-2，-3，1）在________________。

（2）点P(-3,2,-1)关于平面XOY 的对称点是_______，关于平面YOZ 的对称点是_________，关于平面ZOX 的对称点是__________，关于X 轴的对称点是__________，关于Y 轴的对称点是____________，关于Z 轴的对称点是____________。

（3）点A(-4,3,5)在XOY 平面上的射影点是_________，在YOZ 平面上的射影点是_________，在ZOX 面上的射影点是__________，在X 轴上的射影点是_________，在Y 轴上的射影点是__________，在Z 轴上的射影点是__________。

（4）已知空间直角坐标系下，立方体的4个顶点为A(,,a a a ---)，B(,,a a a --)，C(,,a a a --)和D （,,a a a ），则其余顶点分别为___________，_____________，___________， ___________。

2.已知三角形的三个顶点A（2，-1，4)，B(3，2，-6)，C(-5，0，2)，求过A、B、C 三点的中线的长度。

3.已知平行四边形ABCD的两个顶点A（2，-3，-5），B（-1，3，2）及它的对角线的交点E（4，-1，7），求顶点C、D的坐标。

4.已知某直线线段AB被点C（2，0，2）及点D(5，-2，0)内分为3等分，求端点A、B的坐标。

5.求点M（-4，3，-5）到各坐标轴的距离。

6.在YOZ面上，求与三个已知点A(3，1，2)，B（4，-2，-2）和C(0，5，1)等距离的点。

[整理]7空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ.三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z +=(2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程.5、求直线⎩⎨⎧=--=++03z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3.7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知a 和b 为两非零向量，问t 取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量n ，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过z 轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程.6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线2l ：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面π:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为m ）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线L ：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程.4、求两直线1L ：1101-=-=-z y x 与直线2L ：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章空间解析几何与向量代数习题答案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j ib a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章空间解析几何与向量代数习题答案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题

2
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的

2017年江苏省高数复习资料第七单元向量代数空间解析几何

第七单元向量代数空间解析几何一、向量概念及其加、减法和数乘运算 1、两点A （x 1,y 1）, B （x 2,y 2）之间的距离 212212)()(y y x x d -+-=2、向量的定义：既有大小，又有方向的量。

记作：或a向量的模：︱︱ 0向量：模为0的向量。

记作：0单位向量：模为1的向量。

记作：a 0，a =（=3、两向量相等：方向相同，模相等。

记作：a =b4、加法运算：a +b =b +a (交换律) (a +b )+c = a +(b +c ) （结合律）5、数与向量的积：记作λa （λ为常数） λa 的模：︱λa ︱=︱λ︱︱a ︱λa 的方向：当λ>0时，与a 同向，当λ<0时，与a 反向。

6、向量的坐标表示法：设向量的起点为M 1（x 1,y 1,z 1）,终点为M 2（x 2,y 2,z 2）,则 = (x 2-x 1)i +(y 2-y 1)j +(z 2-z 1)k︱︱=212212212)()()(z z y y x x -+-+-7、基本单位向量：三个坐标轴上正方向上的单位向量i ，j ，k 8、向量的加、减法与数乘运算a = a x i + a y j + a z k ,b = b x i + b y j + b z k a ±b =（a x ±b x ）i +（a y ±b y ）j +（a z ±b z ）k λa = (λa x )i + (λa y )j + (λa z ) k例1 设向量a =8i +9j -12k ，其始点坐标为A （2，-1，7）（1）求其终点B 的坐标（2）如取向量a 方向且模为34的向量，求该向量的终点坐标（始点仍为A ）解：（1）设终点坐标为B （x,y,z ）,则有=(x-2)i +(y+1)j +(z-7)k ，令 = a ，即8i +9j -12k =(x-2)i +(y+1)j +(z-7)k ，所以有： x-2=8，y+1=9，z-7=-12，解得x=10,y=8,z=-5 故终点坐标为B （10，8，-5）（2）与a 同向的单位向量为：a 0=a ∕∣a ∣=)1298(171)12(981298222k j i k j i -+=-++-+ 与a 同向的模为34的向量为：b =34a 0=16i +18j -24k设其终点坐标为B （x,y,z ）,仿（1）得x-2=16，y+1=18，z-7=-24，解得x=18,y=17,z=-17ABABM 1M 2M 1M 2 ABAB故终点坐标为B （18，17，-17） 9、方向角与方向余弦向量a 分别与x 、y 、z 三个坐标轴的正向不超过π的夹角，用α、β、γ表示，则称他们为向量a 的方向角，cos α、cos β、 cos γ称为方向余弦，且cos 2α+cos2β+cos 2γ=110、单位向量的三角表示法a 0=i cos α+j cos β+k cos γ 11、方向余弦的计算设向量a 的坐标表示为：a = x i +y j +z k ，则 222222aa cos ,cos zy x y yzy x x x++==++==βα222acos zy x z z++==γ例2 设向量a ={x,y,z}的方向角α=600，β=600且∣a ∣=3，问这种向量有几个，求之。

(完整版)空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章空间解析几何与向量代数习题答案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

第七章向量与空间解析几何复习题

第七章向量与空间解析几何复习题一、选择题1. 向量}6,3,2{-=a ，则与a 同向的单位向量为（）（A ） }6,3,2{- （B ）}6,3,2{71-- （C ） }6,3,2{71-± （D ） }6,3,2{71- 2. 平面243=-z x （）(A)平行于zox 平面 (B)平行于y 轴 (C)垂直于y 轴 (D)垂直于x 轴3. 设向量c b a ,,满足0)(=-⨯c b a 则必有（）(A)0 =a (B) c b = (C)b a //且c a // (D) )//(c b a -4. 平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=C B （C ）0,0=≠C B （D ）0==C B5. 在空间直角坐标系中，点（1，-2，3）关于原点对称的点的坐标是（）(A) （1，-2，-3） (B) （-1，2，-3） (C) （-1，-2，-3） (D) （1，-2，-3）6. 设向量a ={4,-3,4},b={2,2,1},则向量a 和b 的夹角为（） (A) 412arcsin (B) 0 (C) 412arccos (D) 4π 7．平面4y-7z=0的位置特点是（）(A) 通过oz 轴 (B) 通过oy 轴 (C) 通过ox 轴，且过点（0，7，4）(D) 平行于oyz 面8．平面x+y+2z=0的位置特点是（）(A) 通过原点 (B) 不通过原点 (C) 平行于向量a={1，1，2} (D)过x 轴 9．向量k j i k j i a 22432-+=+-=β与的夹角为（） (A)2π (B) 0 (C) π (D) 4π 10. 平面3510x z -+= ( )(A) 平行于zox 平面（B) 平行于y 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 垂直于x 轴 11. 下列平面中，与平面012=++-z y x 垂直的平面是( )(A)052=++-z y x (B) 0532=++-z y x(C) 0103=+--z y x (D) 0653=-+-z y x12．设向量{}1,2,3-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=k ,34,2b .已知b a ⊥，则=k （）. (A) 32 (B) 326 (C) 27(D) 113．在空间直角坐标系中,方程1222=+y x 表示的曲面是（）.(A) 球面 (B) 圆柱面 (C) 圆锥面 (D)椭圆柱面14．设向量{}2,1,1-=，{}4,0,3=，则向量在向量上的投影为（）. (A) 65 (B) 65- (C) 1 (D) -115．下列曲面方程中表示圆锥面的是（）.(A)22y x z += (B)22y x z += (C)1222=++z y x (D) 1222=+y x16．设平面截x ，y ，z 轴的截距分别为a ，b ，c （a 、b 、c 均不为0）则这个平面的方程为() (A)1xyza b c ++= (B)1xyza b c ++=- (C) 1=++cz by ax (D) 0=++cz by ax17. 设空间直线 210zyx== ，则该直线过原点，且（）(A) 与X 轴垂直 (B) 垂直于Y 轴，但不平行X 轴(C) 与X 轴平行 (D) 垂直于Z 轴，但不平行X 轴18. 直线42z 31y 21x -=+=-与平面x-2y+z=5的位置关系是（）.(A) 垂直 (B) 平行 (C) 重合 (D) 斜交19．向量b a ⨯与二向量a 及b 的位置关系是（）(A) 共面 (B) 共线 (C) 垂直 (D) 斜交20. 在空间直角坐标系中，点(1,3,1)P -关于y 轴对称的点的坐标是（）(A) （1，3，1） (B) （-1，3，-1） (C) （-1，-3，1） (D) （-1，3，1）21．点（1,2,1）到平面032=++-z y x 的距离=d （ ).(A) 0 (B) 2 (C)36(D) 36222.在空间直角坐标系中，仅有点（）是在第三卦限内.（A ）(1,-1,2) （B ）(-1,-1,2) （C ）(1,1,-2) （D ）(-1,1,-2)23. 同时垂直于向量(2,1,4)a =和z 轴的向量的单位向量是（）（A ）(55- （B ）(55- （C ）(55- （D ）(5524．过点（２，－３，0）且以)3,2,1(-=→n 为法向量的平面方程为( )(A) 13231)2(=+-++-z y x (B) 13231)2(-=+-++-z y x (C) 13)3(2)2(=++--z y x (D) 03)3(2)2(=++--z y x25．yoz 平面内的直线14=+z y 绕y 轴旋转一周所得的曲面方程为（）.(A) )(16)1(222z x y +=- (B) 116)(222=++z x y(C) 1)(4=++z x y (D) 11622=+z y二、填空题1．设a b k a },1,2,0{},,1,1{-=-=⊥,b 则常数k = .2．已知112,(2,0,1)a b =-=（，，），则a b ⨯= .3.设},4,2,1{},1,0,2{==b a 则a 与b 的夹角=)^(b a .4.过空间两点)2,1,0(-和)1,4,3(-的直线方程为 .5.已知3=a ，26=b ，72=⨯b a ，则=⋅b a .6. 点)0,2,1(M 到平面02543=++-z y x 的距离为 .7. 过点)3,1,2(-且与平面2240x y z +--=垂直的直线方程为 .8．设k j i a 23-+=，k j i b --=32，则b a ⋅= .9．点(0,1,3)-到平面2380x y z -+-=的距离为____________________.10．设(2,3,5),(2,4,),a b c ==-且a b ⊥，则常数c =___________．11.直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 12．设(2,1,1),(1,1,2),a b a b →→→→=-=-⨯=则________________.13．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(-关于x 轴的对称点为 _____________.14．已知点)2,1,3(-A 和向量}1,3,4{-=AB ，则B 点的坐标为______________.15．过点0(3,4,4)P -且方向角为2,,343πππ的直线方程为___________________. 16．已知向量}2,3,2{},0,1,3{-=-=b a ，则a 与b 的夹角余弦为 .17．过点)3,1,2(-且垂直于直线11211-+==-z y x 的平面方程为 . 18．若向量b 与向量k j i a 22+-=平行且满足18-=⋅k b ,则b = . 19．向量}1,2,2{-=a 在y 轴上的投影等于 .20．已知向量 {}{}2,3,2b , 0,1,3-=-=→→a , 则模→→⨯b a = .21. 过（1，1，-1）、（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程是 .22．求过定点)2,1,1(-且与直线111122-=-+=-z y x 垂直的平面方程为____________. 23.曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==-01422z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 .24.已知)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ，则与,同时垂直的向量是 .25.xOz 平面内的抛物线122+=x z 绕z 轴旋转一周所得曲面方程 .26. 过空间两点)0,1,1(),2,1,0(-B A 的直线方程为 .27．过空间两点)5,2,1(),2,0,1(--的直线方程为 ..28.过点)1,1,2(-且与直线12431:-==-z y x l 平行的直线方程为 .29．已知向量{}1,0,1a -=，{}3,2,0b -=，则a 在b 上的投影为 . 30．xoy 平面上的曲线y x 22=绕y 轴旋转后得到的旋转曲面方程 .31．过点（1,－2,0）且垂直于向量}1,3,2{-=a 的平面方程是 .32．设向量{}4,3-,4=，{}1,2,2=，则_____________),(cos =. 33. 设}1,2,1{},3,1,0{=-=b a ，则与a 和b 同时垂直的单位向量为 .34. 直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 .35. 点M （1，2，1）到平面：02543=++-z y x 的距离为36．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(-关于原点的对称点是 __________.37. xoy 平面内双曲线12y 3x 22=-绕y 轴旋转所得曲面方程是 . 38．过空间两点)1,3,0(),2,1,0(B A -的直线方程为 .39．设空间三点)3,1,2(),0,1,1(),2,1,0(C B A -,则=⋅AC AB .三、解答题1．求过空间三点(1,0,2),(-1,1,1),(3,1,0)的平面方程.2．试把空间直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x 化成参数方程形式.3.求过点)1,2,1(-且同时平行于两平面012:1=--+z y x π与012:2=+-+z y x π的直线方程.4. 求过P 0129(,,)-与平面π:3250x y z +--=垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点.6．求平行于x 轴是过点)2,1,3(1-M 和)0,1,0(2M 的平面方程.9．试写出直线⎩⎨⎧=-+-=+++022301z y x z y x 的点向式方程和参数方程. 10.求过点)4,2,0(且与平面12=+z x 平行的平面方程.12. 已知平面通过)2,7,4(),1,3,8(21P P -且垂直于平面021753=+-+z y x ，求这个平面的方程.13. 已知A （1，1，1），B （2，2，1），C （2，1，2），求与AB →，AC →同时垂直的单位向量.14. 设平面经过原点及点（6，-3，2），且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程.15. 求过点)0,1,2(且与两平面0152084=---=+-z y x z x 和都平行的直线的方程。

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第七章向量代数与空间解析几何（一）空间直角坐标系、向量及其线性运算一、判断题1．点（ -1， -2， -3）是在第八卦限。

（）2．任何向量都有确定的方向。

（）3．任二向量a,b，若a b .则 a = b 同向。

() 4．若二向量a,b满足关系a b = a + b ,则 a,b 同向。

（）5．若a b a c, 则b c()6．向量a, b满足a=b，则a, b同向。

（）a b7．若a ={ a x,a y, a z } ，则平行于向量 a 的单位向量为{a x，ay，az }。

（）| a || a || a |8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。

(）二、填空题1．点（ 2， 1， -3）关于坐标原点对称的点是2．点（ 4， 3， -5）在坐标面上的投影点是 M （0， 3， -5）3．点（ 5， -3， 2）关于的对称点是 M（ 5， -3， -2）。

4．设向量 a 与 b 有共同的始点，则与a, b 共面且平分 a 与 b 的夹角的向量为5．已知向量 a 与 b 方向相反，且 | b | 2 | a | ，则 b 由 a 表示为 b =。

6．设 a =4， a 与轴l的夹角为，则 prj l a=67．已知平行四边形ABCD 的两个顶点 A （2， -3，-5）、 B（ -1， 3， 2）。

以及它的对角线交点 E（ 4，-1，7），则顶点 C 的坐标为，则顶点 D 的坐标为。

8．设向量 a 与坐标轴正向的夹角为、、，且已知=60，=120。

则= 9．设 a 的方向角为、、，满足 cos=1时， a 垂直于坐标面。

三、选择题1．点（ 4，-3， 5）到oy轴的距离为（A）42( 3)252（ B）( 3)252（C）42( 3)2（D）42522．已知梯形 OABC 、CB // OA且CB =1OA 设 OA = a ， OC = b ，则 AB 2=（ A ） 1a b1 1 a （ D ） b1 （ B ） ab （ C ） b a22223．设有非零向量 a,b ，若 a b ，则必有（ A ） a b = a + b（ B ） a b = a b （ C ） a ba b（ D ） a ba b四、试证明以三点 A （ 4， 1， 9）、 B （ 10， -1，6）、 C （ 2， 4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。

五、在 yoz 平面上求与三个已知点 A （ 3， 1， 2）、 B （ 4， -2， -2）、 C （ 0， 5，1）等距离的点 D 。

六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。

七、设 A （ 4，2 ， 1）、 B （ 3， 0，2），求 AB 的模、方向余弦及与 AB 反向的单位向量。

八、已知 OA ={2 ，-3，6} ， OB ={-1 ， 2，-2} 。

OD 为 AOB 的平分线，在 OD 上求一长度为 342 的向量。

（二）向量的乘积运算一、判断题1． ( a b) 222a b（）22． a （ a b ） = a b（） 3．若 a b = a c 且 a 0 ，则 b c 。

（） 4．若 ab =1，则 ab =1（）2225． a b = a2a b b（） 6． a bb a（）7．若 a 、 b 、 c 满足 a b c, b c a ，则 a 、 b 、 c 两两垂直。

（）8．设非零向量 a,b 的方向角分别为1, 1,1和2 ,2,2则cos (a b ） = cos 1 cos2cos 1 cos2cos 1 cos 2（）二、填空题1．设 ( a b) =， a5, b 8, 则 a b =。

32．若 a 13, b19, a b 24 。

则 a b =。

2 ，且 a 1, b2 。

则 a b =。

3．若 ( a b )34．已知 a 3, b26, a b72 ，则 a b =。

a5．设6．设a { 4, 3,4},b { 2,2,1} ，则 Prj b = 。

a{ 2, 3,2}, b { 4,6, 4} ，则 (a b ) =。

7．设 a,b 为不共线向量，则当=时。

Pa 5b 与 Q 3a b 共线。

三、选择题1．设空间三点的坐标分别为 M （ 1， -3， 4）、 N （ -2， 1， -1）、P （ -3， -1， 1）。

则 MNP =（A ）、（B ）、3（ C ）、（ D ）、44 22．下列结论正确的是a a 2（ B ）、若 a b 0 则必 a 0或 b 0（A ）、a（ C ）、 a(b c ) ab ac（ D ）、若 a0 ，且 ab ac 则 bc3．设 a{ x,3,2}, b { 1,4,4}. 若 a // b ，则（ A ）、 x=0.5 y=6 (B) 、 x=-0.5 y=-6(C) 、 x=1 y=-7(D) 、 x=-1y=-3四、设 a { 2, 1,1}, b 1{1,3, 1} ，求与 a 、 b 均垂直的单位向量。

五、设向量a { 2,3, 1}、b {1, 2,3}、c { 2,1,2} , 向量d 与 a,b 均垂直，且在向量c 上的投影是 14，求向量 d.六、用向量证明：当a1a 2 a 3时， (a 12a 2 2 a 3 2 )(b 12 b 2 2 b 32 )(a 1b 1 a 2 b 2 a 3b 3 )2b 1b 2b 3七、设 AD 为ABC 中 BC 边上的高，记 BAc.BCa.证明：ac a cS2ABD2 a（三）平面及其方程一、填空题１．过点Ｍ（３，０，１）且与平面 3x-7y+5z-12=0平行的平面方程。

２．三平面 x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3 的交点坐标是。

３．过点（２，－５，３）且平行与ＸＯＺ平面的平面方程是。

４．过点Ｍ１（４，０，－２）和Ｍ２（５，１，７）且平行于ＯＸ轴的平面方程是。

５．点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是。

６．当 l =,及 m=时，二平面 2x+my+3z-5=0 与 l x-6y-6z+2=0互相平行。

二、选择题１．平面 x -2z = 0 的位置是。

（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。

（Ｂ）、平行ＯＹ轴（Ｃ）、垂直于ＯＹ轴（Ｄ）、通过ＯＹ轴２．下列平面中通过坐标原点的平面是。

（Ａ）、x=1 (Ｂ )、 x+2z+3y+4=0 (C) 、 3(x-1)-y+(y+3)=0 (D) 、 x+y+z=13．已知二平面１：mx+y-3z+1=0 与２：７ x-2y-z=0 当 m ＝１２。

（Ａ）、１／７（Ｂ）、－１／７（Ｃ）、７（Ｄ）、－７４．二平面１： x + y - 11=0,2 : 3x +8=0 的夹角＝。

（Ａ）、（Ｂ）、／３（Ｃ）、／４（Ｄ）、／６2三、求通过三点（１，１，１）、（－２，－２，２）和（１，－１，２）的平面方程。

四、求通过点Ｐ（２，－１，－１）、Ｑ（１，２，３）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0平面方程。

五、求通过Ｚ轴且与平面 2x+y-5 z-7=0 的夹角为／３的平面方程。

六、证明：二平行平面Ａx+By+Cz+D 1=0 , Ax+By+Cz+D 2=0 之间的距离公式：d ＝D 2 D 1B 2C 2A 2（四）直线及其方程一、填空题１．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线x2 2 y z 1的直线方程为。

35x 2 y 4 z 7２。

．过点Ｐ（２，０，－３）且与直线 {3 x5 y 2 z1垂直的平面方程为。

３．过点Ｐ（ 0，2，4）且与二平面 x + 2z = 1 和 y - 3z = 2 平行的直线方程是。

4．当 m=时，直线x1y 2z与平面 mx+3y-5z+1=0 平行。

431x y 3z 05．直线 {x与 x-y-z+1=0 的夹角为。

y z 0x y 4z 12 06．点Ｐ（２，０，－１）关于直线 {2 x y 2 z 30 的对称点坐标为。

二、选择题1．下列直线中平行与XOY 坐标面的是。

x 1 y 2 z 3 （ C ） x 1 y 1 z（ A ）13214 x y 4x 1 2t （ B ） {x z 4 0（D ） y 3tz 42．直线 L 1： {x 2x 2 y y zz3 x 6 y 3 z 87 7 与 L 2： {2 x y z 0的关系是。

（A ）、L 1 L 2 （ B ）、 L 1//L 2 （ C ）、 L 1 与 L 2 相交但不垂直。

（ D ）、 L 1 与 L 2 为异面直线。

3．直线 L ：x3 y4z与平面： 4x-2y-2z=3 的关系是。

273（ A ）、平行（ B ）、垂直相交（C ）、 L 在上（ D ）、相交但不垂直4．两平行线 xt 1, y2t 1, z t 与x2y 1 z1之间的距离是。

121 （Ａ）、１（Ｂ）、２（Ｃ）、２／３（Ｄ）、233三、设直线 L 通过 (1,1,1)且与L 1 ： 6x 3y2z 相交，又与 L 2 ：x 1 y2 z 3214垂直，求直线 L 的方程。

四、求通过点Ｐ（２，０，－１）且又通过直线x 1 y z 2的平面方程。

21 3五、求通过点Ｐ（２，１，０）且与直线x3 5 y z25垂直相交的直线。

22六、设直线Ｌ：x y 1 z 1与平面：2xyz 3112（１） . 求证Ｌ与相交，并求交点坐标（２） . 求Ｌ与交角。

（３） . 通过Ｌ与交点且与Ｌ垂直的平面方程。

（４） . 通过Ｌ且与垂直的平面方程。

（５） .Ｌ在上的投影直线方程。

（五）空间曲线及其方程一、填空题y 5 x 1１．方程组 {y 2x3 在平面解析几何中表示，在空间解析几何表示。

2 2z 2 =0 与平面 z=3 的交线圆的方程是，其圆心坐标是，２．曲面 x +y -9圆的半径为。

x 2 y 2 1在ＹＯＺ面上的投影曲线为。

３．曲线( y 1)2( z 1)2x 2 1４．螺旋线 x=acos ,y=asin ,z=b 在ＹＯＺ面上的投影曲线为。

５．上半锥面Ｚ＝x 2 y 2 （０z 1）在ＸＯＹ面上的投影为，在ＸＯＺ面上的投影为，在ＹＯＺ面上的投影为。

xt 1的一般式方程为。

6．曲线 yt 2z 2t 1二、选择题22yx 1１．方程{ y 4z 9在空间解析几何中表示。

（Ａ）、椭圆柱面（Ｂ）、椭圆曲线（Ｃ）、两个平行平面（Ｄ）、两条平行直线x 22222y z2y yz z1２．已知曲线 { x y z a 在ＹＯＺ坐标面上的投影曲线为 { x 0，则 a ＝。

（Ａ）、－１（Ｂ）、０（Ｃ）、１（Ｄ）、２４．参数方程 x a cos 的一般方程是。